luận văn thạc sĩ vành các hàm số học và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Các 1.1 1.2 1.3 kiến thức chuẩn bị Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm Định nghĩa vành, idean, miền nguyên Ước chung lớn 2 Vành hàm số học 2.1 Vành hàm số học 2.2 Các tính chất vành hàm số học 8 10 Một vài hàm số học 3.1 Giá trị trung bình hàm số hc 3.2 Hm s Măobius 3.3 Hàm nhân tính 3.4 Giá trị trung bình phi - hàm Euler 3.5 Một số toán áp dụng 16 16 26 30 33 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Mở đầu Trong lý thuyết số, hàm số học có vai trị quan trọng Nhiều nhà toán học tiếng giới nghiên cứu hàm số học có nhiều kết lý thú có giá trị, ứng dụng rộng rãi lý thuyết số nói riêng tốn học nói chung Mục đích luận văn hệ thống tính chất vành hàm số học, đạo hàm hàm số học Tiếp theo, trình bày số kết quả, tính chất vài hàm số học đặc biệt dạng tốn ứng dụng liên quan Ngồi phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị liên quan đến khái niệm nhóm, vành, vấn đề ước số ước chung lớn Chương trình bày tính chất dạng tốn vành số học Chương trình bày số lớp hàm số hc nh hm Măobius (thun v o), hm nhõn tớnh, phi - hàm Euler ứng dụng liên quan số học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Phó Giáo sư, Tiến sĩ Nơng Quốc Chinh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn - Tin, phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Hòn Gai bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm) Một tập hợp G gọi nhóm tồn ánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh phần tử (a, b) ∈ G × G, với a, b phần tử tùy ý G, qua ánh xạ ta kí hiệu ab) thỏa mãn tính chất sau (G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G (G2) Có đơn vị: Tồn phần tử a ∈ G cho ae = ea = a, ∀a ∈ G (G3) Có nghịch đảo: Với phần tử a ∈ G tồn phần tử b ∈ G cho ab = ba = e Phần tử ab gọi tích a b ánh xạ xác định tích gọi phép tốn nhóm nhân G Phần tử e trong(G2) gọi phần tử đơn vị G, phần tử b (G3) gọi phần tử nghịch đảo a G kí hiệu a−1 Nếu ab = ba, ∀a, b ∈ G, nhóm G gọi nhóm Abel, nhóm giao hốn Một nhóm G gọi hữu hạn hay vô hạn tập hợp G hữu hạn hay vô hạn phần tử Trường hợp nhóm G hữu hạn số phần tử G gọi cấp nhóm kí hiệu |G| luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Định nghĩa 1.2 Một nhóm G gọi nhóm xyclic phần tử lũy thừa phần tử a ∈ G Khi ta gọi a phần tử sinh nhóm xyclic G kí hiệu G = hai Theo định nghĩa, nhóm xyclic G với phần tử sinh a viết dạng G = {an | n ∈ Z} Định nghĩa 1.3 Một tập hợp H của nhóm G gọi nhóm G điều kiện sau thõa mãn: (i) Phép tốn nhân đóng H, tức xy ∈ H ∀ x, y ∈ H; (ii) H chứa phần tử đơn vị e G; (iii) x−1 ∈ H, ∀x ∈ H Nói cách khác, H 6= ∅ nhóm với phép tốn nhân phép tốn G Để H nhóm G kí hiệu H ≤ G Định lý 1.1 Một tập hợp H nhóm nhóm G H 6= ∅ xy −1 ∈ H, ∀x, y ∈ H 1.2 Định nghĩa vành, idean, miền nguyên Định nghĩa 1.4 (Định nghĩa vành): Một tập hợp R gọi vành R có hai phép tốn hai ngơi, gọi phép cộng gọi phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: (R1) Tập hợp R nhóm Abel phép cộng.(R1 ) Tập hợp R nhóm Abel phép cộng (R2) Phép nhân R kết hợp có đơn vị (R3) Luật phân phối: Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa với phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có (x + y)z = xz + yz z(x + y) = zx + zy Như thông thường ta kí hiệu phần tử đơn vị phép nhân R eR phần tử khơng nhóm Abel cộng R 0R Trường luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung hợp vành R xác định cụ thể trước ta kí hiệu đơn giản cho phần tử đơn vị cho phần tử không R Một vành R gọi vành giao hoán, phép nhân R thỏa mãn thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ R Định nghĩa 1.5 Một vành giao hốn khơng có ước không gọi miền nguyên Định nghĩa 1.6 Một vành R gọi trường, R vành giao hoán phần tử khác khơng R có nghịch đảo, nghĩa tập hợp R∗ = R\{0} lập thành nhóm phép nhân R Định nghĩa 1.7 (i) Một tập hợp A vành R gọi vành R, A lập thành nhóm Abel với phép cộng R đóng phép nhân, tức ab ∈ A Trường hợp R trường vành R gọi trường trường với phép toán R (ii) Một tập hợp a vành R gọi idean trái (hoặc idean phải) R, a vành R thỏa mãn tính chất Ra ⊆ a (hoặc aR ⊆ a) Nếu a vừa idean phải vừa idean trái R gọi idean R Định nghĩa 1.8 Cho R vành giao hoán, phần tử x ∈ R • x gọi ước y tồn z ∈ R cho xz = y Khi đó, ta kí hiệu x|y • x gọi ước x khác tồn phần tử y khác thuộc R cho xy = • x gọi phần tử khả nghịch tồn y thuộc R cho xy = luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Ví dụ 1.1 Trong 6Z, ước ¯2, ¯3, ¯4 Các phần tử khả nghịch ¯1, ¯5 Trong mZ, ước a ¯ cho a không chia hết m (a, m) > Các phần tử khả nghịch a ¯ cho (a, m) = 1.3 Ước chung lớn Định nghĩa 1.9 Cho A ⊂ Z; A 6= {0}; với a ∈ A ta có a chia hết cho d ta nói d ước chung tập A Số nguyên d gọi ước chung lớn A c|d với ước chung c A, kí hiệu d = gcd(A) Định lý 1.2 Cho H nhóm nhóm số nguyên với phép cộng Tồn số nguyên không âm d cho H tập gồm tất bội d, H = {0, ±d, ±2d, } = dZ Chứng minh Ta có ∈ H với nhóm H Nếu H = {0} ta chọn d = H = Hơn nữa, d = phần tử sinh nhóm Nếu H 6= {0} tồn a ∈ H, a 6= Vì −a thuộc H nên kéo theo H chứa số nguyên dương Do tập hợp số nguyên dương tập thứ tự tốt nên H chứa số nguyên dương nhỏ d Với q ∈ Z, ta có dq = |d + d +{z + d} thuộc H H nhóm q Z, từ suy dZ ⊆ H Giả sử a phần tử H, theo thuật tốn chia, ta viết a = dq + r với q, r số nguyên dương ≤ r < d − Vì dq thuộc H H nhóm nên suy r = a − dq thuộc H Vì ≤ r < d d số nguyên dương nhỏ H, ta phải có r = tức a = dq ∈ dZ H ⊆ dZ Dẫn đến H = dZ Nếu H = dZ = d0 Z, với d, d0 số nguyên dương d0 ∈ dZ suy d0 = dq Q số nguyên d ∈ d0 Z suy d = s0 q , q số nguyên Do đó, d = d0 q = dqq tức qq = nên q = q = ±1 d = ±d0 Vì d d0 số nguyên dương nên d = d0 Và d số nguyên sinh nhóm H  luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Ví dụ 1.2 Nếu H nhóm chứa tất số ngun có dạng 35x + 91y = 35(−5) + 91.2 ∈ H H = 7Z Định lý 1.3 Giả sử A ⊂ Z; A 6= {0}, A có ước chung lớn nhất tồn số nguyên a1 , , ak ∈ A x1 , , xk ∈ Z cho gcd(A) = a1 , x1 + ak xk Chứng minh Kí hiệu H tập Z chứa tất số nguyên tố có dạng a1 , x1 + ak xk với a1 , at ∈ A x1 , , xt ∈ Z, với t ∈ N Khi H nhóm Z A ⊆ H Theo định lí 1.2, tồn số nguyên dương d cho H = dZ, tức H chứa tất bội d số nguyên a ∈ A bội d, suy d ước chung A Vì d ∈ H nên tồn số nguyên a1 , , ak ∈ A x1 , , xt ∈ Z cho d = a1 x1 + + ak xk Giả sử c ước chung A, ta có c ước a1 , , ak nên c ước d Vậy ước chung A ước d nên d ước chung lớn A Nếu số nguyên dương d d0 ước chung lớn d|d0 d0 |d nên d = d0 Tức ước chung gcd(A)  Kí hiệu: Nếu A = {a1 , , ak } tập hữa hạn số nguyên không đồng thời không, ta viết gcd(A) = (a1 , , ak ) Ví dụ (35, 91) = = 35.(−5) + 91.2 Định lý 1.4 Cho a1 , , ak số nguyên không đồng thời Thì (a1 , , ak ) = tồn số nguyên x1 , , xk cho a1 x1 + + ak xk = Chứng minh Điều dễ dàng thu từ định lý 1.3 luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com  luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung Định nghĩa 1.10 Ta nói số a1 , , ak nguyên tố ước chung lớn chúng Các số nguyên a1 , , ak đôi nguyên tố (ai , aj ) = 1, i 6= j Ví dụ 1.3 Ba số nguyên 6,10,15 nguyên tố không đôi nguyên tố (6, 10, 15) = (6, 10) = 2; (6, 15) = 3; (10, 15) = luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com a c Nếu f (t) hàm số đơn điệu khơng âm [1, +∞) F (x) = X Zx f (n) = n≤x f (t) dt + O(1) (3.3) Chứng minh a Nếu f (t) tăng đoạn [n, n + 1] f (n) ≤ n+1 R f (t) dt ≤ f (n + 1) n Nếu f (t) tăng đoạn [a, b] Zb f (a) + f (t) dt ≤ b X f (n) ≤ f (b) + n=a a Zb f (t) dt a Tương tự, f (t) giảm đoạn [n, n + 1] n+1 Z f (n + 1) = f (t) dt ≤ f (n) n Nếu f (t) giảm đoạn [a, b] Zb f (b) + a f (t) dt ≤ b X f (n) ≤ f (a) + n=a Zb f (t) dt a luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.vanh.cac.ham.so.hoc.va.mot.vai.ung.dung 18 b Cho f (t) hàm số đơn điệu không âm đoạn [y, x] Cho a = [y] + b = [x] Ta có y < a ≤ b ≤ x Nếu f (t) tăng, X f (n) = y