luận văn thạc sĩ dãy fibonacci ước chung lớn nhất hợp thành và đồng nhất thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐẠI THANH DÃY FIBONACCI: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, HỢP THÀNH VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐẠI THANH DÃY FIBONACCI: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, HỢP THÀNH VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mở đầu 1 Ước chung lớn dãy nâng dãy Fibonacci 1.1 Một số tính chất sở 1.2 Dãy số fn (1) 1.3 Dãy số ( fn (2)) 1.4 Dãy số ( fn (−1)), ( fn (−2)) (ln (1)) 10 1.5 Chứng minh Định lí 1.1.3 Định lí 1.1.4 11 Hợp thành số Fibonacci 14 2.1 Monoit tự 14 2.2 Các đồng thức Fibonacci 20 Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 34 luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học Toán khóa (2014 - 2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh, Huyện Kiến Thụy, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc Mở đầu Số học lĩnh vực cổ xưa Toán học, lĩnh vực tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn toán học nẩy sinh Hơn nữa, năm gần đây, Số học không lĩnh vực tốn học lí thuyết, mà cịn có nhiều ứng dụng, đặc biệt lĩnh vực bảo mật thông tin Dãy Fibonacci dãy số vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử ln tổng hai phần tử trước Chúng ta biết rằng, số Fibonacci tham gia vào nhiều vấn đề toán học từ nhiều năm nay, có tạp chí tốn học chuyên dành nghiên cứu số Fibonacci Từ thực tiễn đó, tơi chọn nghiên cứu đề tài “Dãy Fibonacci: Ước chung lớn nhất, hợp thành đồng thức” làm luận văn thạc sĩ Chúng tơi bỏ qua việc trình bày tính chất dãy Fibonacci, có nhiều tài liệu đề cập đến Ở trọng giới thiệu hai kết nghiên cứu gần ước chung lớn số hạng dãy nâng Fibonacci, hợp thành số Fibonacci, tức việc biểu diễn số Fibonacci dạng tổng số nguyên dương Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu lý thuyết số • Chương Ước chung lớn dãy nâng dãy Fibonacci dành luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc để trình bày dãy nâng Fibonacci, mở rộng dãy Fibonacci cổ điển Nếu dãy Fibonacci cổ điển, ước chung lớn hai số hạng liên tiếp ln 1, với dãy nâng Fibonacci, điều khơng cịn Các kết trình bày chương lớp dãy nâng Fibonacci mà ước chung lớn nói bị chặn • Chương Hợp thành số Fibonacci trình bày hợp thành số Fibonacci Một số công thức cho hợp thành số Fibonacci chứng minh chương Phương pháp tiếp cận sử dụng monoit tự do, lập nên hợp thành với phép toán ghép Thái Nguyên, ngày 27 tháng năm 2016 Tác giả Đỗ Đại Thanh luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc Chương Ước chung lớn dãy nâng dãy Fibonacci 1.1 Một số tính chất sở Định nghĩa 1.1.1 Dãy Fibonacci dãy số xác định F1 = 1, F2 = Fn = Fn−2 + Fn−1 , với n ≥ Định nghĩa 1.1.2 Dãy Lucas dãy số xác định L1 = 1, L2 = Ln = Fn−2 + 3Fn−1 , với n ≥ Dãy Fibonacci tổng quát xác định G1 = α, G2 = β , Gn = αFn−2 + β Fn−1 , với n ≥ Nếu α = β = 1, dãy Fibonacci tổng quát Gn dãy Fibonacci Fn Nếu α = β = 3, dãy Fibonacci tổng quát Gn dãy Lucas Ln Xét dãy (Fn + a), với a số nguyên Ta gọi dãy nâng Fibonacci Các phần tử liên tiếp dãy Fibonacci số nguyên tố nhau, với dãy nâng Fibonacci điều khơng cịn Năm 1971, Hoggatt lưu ý gcd(F4n+1 + 1, F4n+2 + 1) = L2n , gcd(F4n+1 − 1, F4n+2 − 1) = F2n , luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc gcd(F4n+3 − 1, F4n+4 − 1) = L2n+1 Nghĩa là, phần tử liên tiếp dãy nâng Fibonacci ±1 luôn số nguyên tố Nếu đặt fn (a) = gcd(Fn + a, Fn+1 + a) ( fn (0)) dãy không đổi 1, 1, 1, , ( fn (±1)) không bị chặn Năm 2003 Hernández Lucas chứng minh có số không đổi c mà gcd(Fm + a, Fn + a) > ecm , vô hạn cặp số nguyên dương m > n Trong luận văn này, thấy ( fn (a)) bị chặn a 6= ±1 Cụ thể, chứng minh hai định lý sau Định lí 1.1.3 Với số nguyên (α), (β ), n a với α + (α.β ) − β − a2 6= 0, có gcd(G2n−1 + a, G2n + a) ≤ a2 − Giả sử α = β = Định lí 1.1.3 Định lí 1.1.4 Chúng ta kết luận ln (a) bị chặn số nguyên a tuỳ ý Trong phần tiếp theo, suy hai bổ đề Từ đó, xác định fn (1), fn (2), fn (−1), fn (−2) ln (1), phần 3, Trong phần cuối, chứng minh Định lí 1.1.3 Định lí 1.1.4 Bổ đề 1.1.7 Với số nguyên n, k a gcd(Gn + aFk , Gn−1 − aFk+1 ) = gcd(Gn−2 + aFk+2 , Gn−3 − aFk+3 ) (1.3) Chứng minh Do gcd(a, b) = gcd(a + bc, b) số nguyên a, b c, có gcd(Gn + aFk , Gn−1 − aFk+1 ) = gcd(Gn + aFk − (Gn−1 − aFk+1 ), (Gn−1 − aFk+1 )) = gcd(Gn−2 + aFk+2 , Gn−1 − aFk+1 ) = gcd(Gn−2 + aFk+2 , Gn−1 − aFk+1 − (Gn−2 + aFk+2 )) = gcd(Gn−2 + aFk+2 , Gn−3 − aFk+3 ) Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.1.8 Với số nguyên m, k a, gcd(Gm + a, Gm+1 + a) = gcd(Gm−(2k) + aF2k−1 , Gm−(2k+1) − aF2k ) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com (1.4) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc Chứng minh Chúng ta rút gọn gcd(Gm + a, Gm+1 + a), gcd(Gm + a, Gm+1 + a) = gcd(Gm + a, Gm+1 + a − (Gm + a)) = gcd(Gm + a, Gm−1 ) Vì F−1 = 1, F0 = 0, viết = gcd(Gm + a, Gm+1 + a) = gcd(Gm + aF−1 , Gm−1 − aF0 ), áp dụng (1.3) k lần để rút kết Lưu ý rằng, ta gọi dãy số {Fn + k} dãy số fn (k) 1.2 Dãy số fn(1) Định lí 1.2.1 Với số nguyên n, có gcd(F4n−1 + 1, F4n + 1) = F2n−1 ,   2, gcd(F4n + 1, F4n+1 + 1) =  1, gcd(F4n+1 + 1, F4n+2 + 1) = L2n ,   2, gcd(F4n+2 + 1, F4n+3 + 1) =  1, (1.5) n ≡ mod 3, (1.6) ngược lại, (1.7) n ≡ mod 3, ngược lại Chứng minh Giả sử m = 4n − 1, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n−1 + 1, F4n + 1) = gcd(F2n−1 + F2n−1 , F2n−2 − F2n ) = gcd(2F2n−1 , −F2n−1 ) = F2n−1 , cho ta (1.5) Giả sử m = 4n + 1, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n+1 , F4n+2 + 1) = gcd(F2n+1 + F2n−1 , F2n + F2n ) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com (1.8) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc = F2n+1 + F2n−1 = L2n , cho ta (1.7) Giả sử m = 4n, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n + 1, F4n+1 + 1) = gcd(F2n + F2n−1 , F2n−1 + F2n ) = gcd(F2n+1 , −F2n−2 ) Vì gcd(Fqn+r , Fn ) = gcd(Fn , Fr ) cho số nguyên q, r n Điều cho ta gcd(F4n+1 , F4n+1 + 1) = gcd(F2n−2 , F3 ) Vì gcd(Fk , Fr ) = gcd(Fgcd(k,r) ) cho số nguyên k r, gcd(F4n + 1, F4n+1 + 1) = gcd(F2n−2 , F3 ) = Fgcd(2n−2,3)   F3 = 2, =  F1 = 1, n ≡ mod 3, ngược lại, (1.6) Giả sử m = 4n + 2, k = n + a = (1.4) gcd(F4n+2 + 1, F4n+3 + 1) = gcd(F2n + F2n+1 , F2n−1 − F2n+2 ) = gcd(F2n+2 , F2n−1 − F2n+2 ) = gcd(F2n+2 , F2n−1 ) = gcd(F3 , F2n−1 ) = Fgcd(3,2n−1)   F3 = 2, =  F1 = 1, n ≡ mod 3, ngược lại, (1.8) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc 1.3 Dãy số (fn(2)) Định lí 1.3.1 Với số ngun n, có (1.9) gcd(F4n−1 + 2, F4n + 2) = 1, (1.10) gcd(F4n + 2, F4n+1 + 2) = 1, gcd(F4n+1 + 2, F4n+2 + 2) = gcd(F4n+2 + 2, F4n+3 + 2) =   3, n ≡ mod 2, n ≡  1, ngược lại mod 5, Chứng minh Giả sử m = 4n − 1, k = n a = (1.4): gcd(F4n−1 + 2, F4n + 2) = gcd(F2n−1 + 2F2n−1 , F2n−2 − 2F2n ) = gcd(3F2n−1 , F2n−1 + F2n ) = gcd(3F2n−1 , F2n+1 ) Vì gcd(a, bc) = gcd(a, gcd(a, b)c) (1.11) n ≡ mod 2,  1,   5, gcd(F2n−1 + F2 ) = 1, ta có gcd(F4n−1 + 2, F4n + 2) = gcd(3gcd(F2n−1 , F2n+1 ), F2n+1 ) = gcd(3, F2n+1 ) = gcd(F4 , F2n+1 ) = Fgcd(4,2n+1) = F1 = 1, (1.9) Giả sử m = 4n, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n+2 , F4n+1 + 2) = gcd(F2n + 2F2n−1 , F2n−1 − 2F2n ) = gcd(F2n−1 + F2n+1 , F2n − F2n−2 ) = gcd(L2n , L2n−1 ) = 1, luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com (1.12) luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc (1.10) Giả sử m = 4n + 1, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n+1 + 2, F4n+2 + 2) = gcd(F2n+1 + 2F2n−1 , F2n − 2F2n ) = gcd(F2n+1 + 2F2n−1 + F2n , F2n ) = gcd(3F2n+1 , F2n ) = gcd(3, F2n ) = gcd(F4 ), F2n ) = Fgcd(4,2n)   F4 = 3, =  F1 = 1, n ≡ mod 2, n ≡ mod 2, (1.11) Giả sử m = 4n + 2, k = n, a = (1.4) : gcd(F4n+2 + 2, F4n+3 + 2) = gcd(F2n+2 + 2F2n−1 , F2n+1 − 2F2n ) = gcd(F2n+2 + 2F2n−1 , −F2n + F2n−1 ) = gcd(F2n+2 + 2F2n−1 , −F2n−2 ) = gcd(F2n−2 , F2n+2 + 2F2n ) Từ F2n+2 + 2F2n = F2n+1 + 3F2n = 4F2n + F2n−1 , ta có gcd(F4n+2 + 2, F4n+3 + 2) = gcd(F2n−2 , 4F2n + F2n−1 ) = gcd(F2n−2 , 5F2n ) = gcd(F2n−2 , gcd(F2n−2 , F2n ) = gcd(F2n−2 , 5) = gcd(F2n−2 , F5 ) = Fgcd(2n−2,5)   F5 = 2, n ≡ mod 5, =  F1 = 1, ngược lại, luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc 10 (1.12) 1.4 Dãy số (fn(−1)), (fn(−2)) (ln(1)) Áp dụng phương pháp tương tự, có Định lí 1.4.1 Với số ngun n, có gcd(F4n−1 − 1, F4n − 1) = L2n−1 ,   2, gcd(F4n − 1, F4n+1 − 1) =  1, n ≡ mod 3, ngược lại, gcd(F4n+1 − 1, F4n+2 − 1) = F2n ,   2, gcd(F4n+2 − 1, F4n+3 − 1) =  1, n ≡ mod 3, ngược lại Định lí 1.4.2 Với số ngun n, có gcd(F4n−1 − 2, F4n − 2) = 1,   5, gcd(F4n − 2, F4n+1 − 2) =  1,   1, gcd(F4n+1 − 2, F4n+2 − 2) =  3, n ≡ mod 5, ngược lại, n ≡ mod 2, n ≡ mod 2, gcd(F4n+2 − 2, F4n+3 − 2) = luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc 11 Định lí 1.4.3 Với số ngun n, có     3, n ≡ mod 6,        1, n ≡ mod 6,       6, n ≡ mod 6, gcd(L4n−1 + 1, L4n + 1) =    1, n ≡ mod 6,        3, n ≡ mod 6,       2, n ≡ mod 6,   4, n ≡ mod 3, gcd(L4n + 1, L4n+1 + 1) =  1, ngược lại,   2, n ≡ mod 3, gcd(L4n+1 + 1, L4n+2 + 1) =  1, ngược lại,   4, n ≡ mod 3, gcd(L4n+2 + 1, L4n+3 + 1) =  1, ngược lại 1.5 Chứng minh Định lí 1.1.3 Định lí 1.1.4 Trước tiên, chứng minh Định lí 1.1.3 Chứng minh Định lí 1.1.3 Giả sử m = 4n − k = n (1.4) : gcd(G4n−1 + a, G4n + a) = gcd(G2n−1 + aF2n−1 , G2n−2 + aF2n ) = gcd(αF2n−3 + β F2n−2 + aF2n−1 , αF2n−4 + β F2n−3 − aF2n ) Sử dụng quan hệ truy hồi cho Fn , giả sử an = αF2n−3 + β F2n−1 + aF2n−1 = (a + α)F2n−3 + (a + β )F2n−2 luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thucluan.van.thac.si.day.fibonacci.uoc.chung.lon.nhat.hop.thanh.va.dong.nhat.thuc 12 bn = αF2n−4 + β F2n−3 − aF2n = (−a − α + β )F2n−3 + (α − 2a)F2n−2 Vì gcd(an , bn ) chia hết γan + θ bn , với số nguyên γ θ , (α + a)bn − (−α + β − a)an = (α + αβ − β − a2 )F2n−2 , (α − 2a)an − (β + a)bn = (α + αβ − β − a2 )F2n−3 Chúng ta thấy rằng, α + αβ − β − a2 6= ước chung lớn hai số α + αβ − β − a2 Vì gcd(an , bn ) chia hết α + αβ − β − a2 Nghĩa gcd(G4n−1 + a, G4n + a) ≤