lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1 lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1 lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1lý thuyết toán kinh tế cơ sở 1
Cơ sở Toán Chương 2: Ma trận - Định thức Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nơng nghiệp Việt Nam Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Mục lục Ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Mục lục Ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Ma trận Định nghĩa Cho m, n ∈ N Một bảng gồm m.n số thực xếp thành m hàng, n cột đượcgọi ma trận thực (ma trận) cấp(cỡ) m × n Ký hiệu: a11 a1j a1n a11 a1j a1n A= ai1 aij ain A = ai1 aij ain am1 amj amn am1 amj amn Ký hiệu tắt A = [aij ]m×n A = (aij )m×n Ký hiệu ma trận chữ in A, B, C , aij : ký hiệu phần tử nằm hàng i, cột j ma trận A Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận ai1 aij ain : ma trận hàng thứ i (hàng thứ i, vectơ hàng thứ i), a1j aij : ma trận cột thứ j (cột thứ j, vectơ cột thứ j) amj Ma trận chuyển vị Ma trận A = [aij ]m×n Ma trận chuyển vị A a11 a11 a1j a1n t A = ai1 aij ain −→ A = a1j am1 amj amn a 1n Cơ sở Toán - Chương At = [aji ]n×m , ai1 am1 aij amj ain amn VNUA / 22 Ma trận Một số ma trận đặc biệt Ma trận không Ma trận cấp m × n có tất phần tử gọi ma trận không cấp m × n, ký hiệu Om×n O Ma trận vuông Ma trận gồm n hàng, n cột gọi ma trận vuông cấp n, ký hiệu An thay cho An×n Với A = [aij ]n×n , a11 , a22 , , ann : phần tử chéo ma trận A (nằm đường chéo chính); tr (A) = a11 + a22 + · · · + ann gọi vết ma trận A; aij = aji , ∀i, j A ma trận đối xứng Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Ma trận chéo Ma trận A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i 6= j gọi ma trận chéo cấp n Ma trận đơn vị Ma trận vng cấp n có phần tử chéo 1, tất phần tử lại gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In đơn giản I Ma trận tam giác Ma trận tam giác trên: A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i > j Ma trận tam giác dưới: A = [aij ]n×n vng cấp n có aij = 0, ∀i < j Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n Nếu phần tử hàng thứ k A gọi hàng hàng không hàng tầm thường Nếu hàng k A hàng tầm thường phần tử khác không hàng k thuộc cột j ma trận A nói hàng k có bậc j Ma trận dạng bậc thang Ma trận A = [aij ]m×n gọi ma trận dạng bậc thang thỏa mãn: Các hàng tầm thường (nếu có) nằm hàng khơng tầm thường; Các hàng khơng tầm thường có bậc tăng thực kể từ xuống Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Các phép toán với ma trận Phép cộng ma trận cấp Cho A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n Tổng hai ma trận A B ma trận C = A + B = [cij ]m×n với cij = aij + bij Phép nhân số thực với ma trận Cho α ∈ R A = [aij ]m×n Tích số thực α với ma trận A ma trận cấp với A, ký hiệu αA, có phần tử hàng i cột j αaij Phép nhân ma trận hàng với ma trận cột Cho A = [a1j ]1×n B = [bj1 ]n×1 Tích ma trận hàng A ma trận cột B (theo thứ tự đó) ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) có phần tử n P c = a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1n bn1 = a1j bj1 j=1 Cơ sở Toán - Chương VNUA / 22 Ma trận Phép nhân hai ma trận Cho A = [aij ]m×n B = [bjk ]n×p (m, n, p ∈ N) Tích ma trận A ma trận B (theo thứ tự đó) ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) cấp m × p, với phần tử hàng i cột k n P aij bjk cik = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk = j=1 Chú ý Chỉ có tích hai ma trận AB số cột ma trận A=số hàng ma trận B Khi A ma trận cấp m × n, B ma trận cấp n × p tích AB ma trận cấp m × p Tích hai ma trận khơng có tính chất giao hốn Cơ sở Tốn - Chương VNUA 10 / 22 Ma trận Một số tính chất A + (B + C ) = (A + B) + C , ∀ A, B, C ma trận cấp A + B = B + A, ∀ A, B hai ma trận cấp A + O = O + A = A, ∀A α(A + B) = αA + αB, ∀ A, B cấp α ∈ R (α + β)A = αA + βA, ∀ A, ∀ α, β ∈ R 0.A = O; 1.A = A, ∀ A A(BC ) = (AB)C , ∀ A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tích ma trận A(B + C ) = AB + AC , ∀ A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tổng, tích ma trận Om×n An×p = Om×p ; Am×n On×p = Om×p 10 Im Am×n = Am×n = Am×n In Cơ sở Tốn - Chương VNUA 11 / 22 Định thức Mục lục Ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Cơ sở Toán - Chương VNUA 12 / 22 Định thức Định nghĩa (Chú ý: Chỉ có định nghĩa định thức ma trận vuông) Định thức ma trận vuông cấp Cho ma trận A vuông cấp một, A = [a] Định thức ma trận A ký hiệu det A |A| số a Định thức ma trận vuông cấp hai a a Cho ma trận A vuông cấp hai, A = 11 12 a21 a22 a11 a12 số Định thức ma trận A ký hiệu det A |A| a21 a22 a11 a22 − a12 a21 Cơ sở Toán - Chương VNUA 13 / 22 Định thức Ma trận ma trận Mt A vuông cấp n,A = [aij ]n×n Xóa hàng i cột j A, a11 a1j a1n A= ai1 aij ain −→ an1 anj ann a11 a1,j−1 a1,j+1 a1n ai−1,1 ai−1,j−1 ai−1,j+1 ai−1,n Mij = ai+1,1 ai+1,j−1 ai+1,j+1 ai+1,n an1 an,j−1 an,j+1 ann Mij (vuông cấp (n − 1)) gọi ma trận ma trận A ứng với phần tử aij Cơ sở Toán - Chương VNUA 14 / 22 Định thức Định nghĩa định thức cấp n Cho ma trận A vuông cấp n, A = [aij ]n×n a11 a1n Định thức ma trận A, ký hiệu |A| det A , an1 ann số cho công thức a11 a1n n X |A| = det A = = (−1)1+j a1j det M1j an1 ann j=1 (Nếu det A 6= ta nói ma trận A khơng suy biến) Cơ sở Toán - Chương VNUA 15 / 22 Định thức Một số tính chất A = [aij ]n×n vng cấp n 1) Cơng thức khai triển định thức theo cột 1: n P ai1 (−1)i+1 det Mi1 det A = i=1 2) det At = det A HQ: Nếu phát biểu định thức với hàng phát biểu ta thay "hàng" "cột" 3) Đổi chỗ hai hàng i k ma trận A cho (i 6= k), ta ma trận B có det B = −det A 4) Nếu ma trận A có hai hàng giống det A = 5) Công thức khai triển định thức theo hàng i, n P det A = aij (−1)i+j det Mij j=1 6) Nếu ma trận A có chứa hàng khơng det A = Cơ sở Tốn - Chương VNUA 16 / 22 Định thức Một số tính chất (tiếp) 7) Nhân hàng i ma trận A với số thực α ta ma trận B có det B = α det A HQ 1: Nếu ma trận A có hai hàng tỷ lệ det A = HQ 2: det (α A) = αn det A 8) Nếu hàng thứ i ma trận A viết dạng aij = bij + cij det A = det B + det C , B, C hai ma trận thành lập từ ma trận A cách thay hàng thứ i A hàng có phần tử bij , cij tương ứng 9) Nếu cộng α lần hàng i vào hàng k (i 6= k) ma trận B có det B = det A HQ: det A không thay đổi cộng vào hàng A tổ hợp tuyến tính hàng khác 10) Khi A ma trận tam giác det A = a11 a22 · · · ann HQ: det In = 11) det (AB) = (det A).(det B) Cơ sở Toán - Chương VNUA 17 / 22 Định thức Các phương pháp tính định thức Phương pháp khai triển Phần bù đại số phần tử aij là: Aij = (−1)i+j det Mij Công thức khai triển det A = n P j=1 n P aij Aij = aij Aij i=1 Phương pháp biến đổi dạng tam giác nhờ biến đổi sơ cấp ma trận Biến đổi sơ cấp ma trận Đổi chỗ hai hàng (cột) Nhân hàng (cột) với số α 6= Cộng vào hàng (cột) bội hàng (cột) khác Cơ sở Toán - Chương VNUA 18 / 22 Ma trận nghịch đảo Mục lục Ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo Cơ sở Toán - Chương VNUA 19 / 22 Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo (Chú ý: Chỉ đề cập tới ma trận vuông.) Định nghĩa Cho ma trận A vuông cấp n, I ma trận đơn vị cấp n Nếu có ma trận B vuông cấp n cho AB = BA = I nói ma trận A khả nghịch gọi B ma trận nghịch đảo ma trận A −1 Ký hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A A −1 Ví dụ 1: Cho A = B = Tính tích AB BA −1 1 Từ cho biết ma trận A có khả nghịch khơng? Chỉ ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A −2 −1 −2 B = 8 12 Ví dụ 2: Tiếp tục với A = −1 −3 Cơ sở Toán - Chương VNUA 20 / 22 Ma trận nghịch đảo Tính chất Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A (nếu có) Nếu ma trận A vng cấp n có ma trận nghịch đảo A−1 det A 6= det A−1 = det A Nếu ma trận A vng có det A 6= 0thì A khả nghịch A11 A21 An1 A12 A22 An2 A∗ = A−1 = det A det A A1n A2n Ann Ma trận A∗ = [Aij ]t gọi ma trận phụ hợp ma trận A Nếu A, B hai ma trận vuông cấp khả nghịch tích AB khả nghịch (AB)−1 = B −1 A−1 Nếu A, B hai ma trận vuông cấp thỏa mãn AB = I (hoặc BA = I ) A khả nghịch B = A−1 Cơ sở Toán - Chương VNUA 21 / 22 Ma trận nghịch đảo Cách tìm ma trận nghịch đảo A = [aij ] vng cấp n Tính det A Nếu det A = 0, kết luận A không khả nghịch −→ DỪNG Nếu det A 6= −→ chuyển sang bước Tính phần bù đại số Aij = (−1)i+j det Mij phần tử aij Lập ma trận phụ hợp A11 A21 An1 A12 A22 An2 A∗ = A1n A2n Ann Suy A−1 = A∗ det A Cơ sở Toán - Chương VNUA 22 / 22