luận văn thạc sĩ các định lý hội tụ của dãy số dãy hàm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu 1 Đại cương dãy số dãy hàm 1.1 Dãy số 1.2 Dãy hàm Các định lý hội tụ dãy số dãy hàm 2.1 Các định lý hội tụ dãy số 2.2 Các định lý hội tụ dãy hàm 20 Một số ứng dụng 27 3.1 Dãy cấp số cộng số ứng dụng thực tế 27 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế 32 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Mở đầu Dãy số dãy hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết dãy số, dãm hàm người ta quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ dãy số, dãy hàm ứng dụng quan trọng chúng Ngoài luận văn giới thiệu số toán nâng cao dãy số, dãy hàm phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số khái niệm kết quan trọng dãy số dãy hàm Chương trình bày cách chi tiết có hệ thống định lý liên quan đến hội tụ dãy số hội tụ điểm, hội tụ dãy hàm Cuối chương giới thiệu số ứng dụng dãy cấp số cộng, dãy cấp số nhân số toán nâng cao phù hợp với chương trình tốn bậc phổ thơng Luận văn hồn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tơi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học đại học năm học thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Võ Công Huân luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Chương Đại cương dãy số dãy hàm Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dãy số, dãy hàm, ví dụ tính chất dãy số, dãy hàm 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Ñ R cho n ÞĐ apnq : an Dãy số thường ký hiệu tan u, pan q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu pan q Số hạng an gọi số hạng tổng quát dãy pan q Dãy số thường cho công thức số hạng tổng quát cho công thức truy hồi (hay quy nạp) Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1.2 Cho dãy số pan q xác định π an  n2 sin , n ¥ n Với cách định nghĩa ta hoàn toàn xác định số hạng dãy, chẳng hạn cho n  100 số hạng thứ 100 dãy π a100  1002 sin 100 Ví dụ 1.3 Cho trước hai số thực q, d với q  Xét dãy panq xác định d, n ¥  q an Nếu ta xét hàm số bậc f pxq  qx d dãy viết lại an  f pan q, n ¥ an Dãy định nghĩa gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung • Cho q  1, dãy panq có dạng an  an n ¥ d, Dãy pan q gọi dãy cấp số cộng (hay gọi tắt cấp số cộng) với cơng sai d • Cho d  0, dãy pan q có dạng an  q an, n ¥ Dãy pan q gọi dãy cấp số nhân (hay gọi tắt cấp số nhân) với công bội q Định nghĩa 1.4 Dãy số pan q gọi • bị chặn tồn số thực M (không phụ thuộc vào n) cho an ¤ M @n P N; • bị chặn tồn số thực L (không phụ thuộc vào n) cho an Ơ L @n P N; ã b chặn bị chặn bị chặn dưới, hay tồn số thực P (không phụ thuộc vào n) cho |an| Ô P @n P N nh nghĩa 1.5 Dãy số pan q gọi • tng (gim) nu an Ô an (an Ơ an 1) với n P N; • tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) an   an (an ¡ an 1) với n P N Ta gọi chung dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm giảm nghiêm ngặt dãy đơn điệu Định nghĩa 1.6 Cho dãy số pan q pmn q dãy tăng nghiêm ngặt số tự nhiên Khi dãy pamn q gọi dãy dãy pan q Ta viết pamn q € pan q Ví dụ 1.7 Dãy pa2n q dãy dãy pan q Dãy pan q dãy luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Dãy a1 , a1 , a2 , a3 , a3 , không dãy dãy pan q ¥ n với n Nếu pam q € pak q pak q € pan q pam q € pan q Định nghĩa 1.9 ([3]) Ta gọi số thực L giới hạn dãy pan q, kí hiệu lim an  L an Ñ L, với ε ¡ 0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có Nhận xét 1.8 kn Nếu pamn q € pan q mn n n kn |an
L|   ε Khi ta nói dãy pan q hội tụ Trong trường hợp ngược lại ta nói dãy tan u phân kỳ Định nghĩa 1.10 ([3]) Ta nói dãy pan q phân kỳ đến 8, kí hiệu lim an  an Ñ 8, với M ¡ 0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có an ¡ M Ta nói dãy pan q phân kỳ đến
8, kí hiệu lim an 
8 an M   0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có an Ñ
8, với   M Định lý 1.1 ([3]) Mỗi dãy số có nhiều giới hạn Chứng minh Giả sử phản chứng tồn dãy pan q có hai giới hạn L1 L2 Đặt L1
L2 ε Vì dãy pan q hội tụ đến L1 nên tồn N1 P N cho n ¥ N1 ñ |an
L1|   ε Vì dãy pan q hội tụ đến L2 nên tồn N2 n ¥ N2 Đặt N P N cho ñ |an
L2|   ε  max tN1, N 2u giả sử n ¥ N Khi |L1
L2|  |pL1
anq pan
L2q| Ô |an
L1| |an
L2|   ε ε  2ε  32 |L1
L2|   |L1
L2| Điều vơ lý Vậy dãy khơng thể có nhiều giới hạn luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Định nghĩa 1.11 (Dãy Cauchy, [3]) Dãy số pan q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε ¡ 0, tồn N  N pεq P N cho với m ¥ n ¥ N ta có |am
an|   ε Định lý 1.2 (Tính chất dãy Cauchy) Cho pan q dãy Cauchy Khi Nếu pamn q € pan q lim amn Ñ8 n  a nlim a  a; Đ8 n Dãy pan q bị chặn Chứng minh Cố định ε ¡ Vì lim amn  a nên tồn n1  n1pεq P N cho Ñ8 n |am
a|   ε{2 @n ¡ n1 n Vì tan u dãy Cauchy nên tồn n2  n2pεq P N cho |am
an|   ε{2 @m, n ¥ n2 Khi đó, mn ¥ n nên với n ¥ n0  maxtn1, n2u, ta có |an
a| Ô |an
am | |am
a|   ε n n Vậy dãy tan u hội tụ đến a Vì tan u dãy Cauchy nên với ε  tồn số tự nhiên n0 cố định cho | an
an |   @ n ¥ n Vì |an |
|an0 | Ô |an
an0 | nờn |an|   |an | Đặt M Khi Vậy dãy pan q bị chặn @ n ¥ n0  maxt|a1|, , |an
1|, |an | 0 1u |an| Ô M @n P N Định nghĩa 1.12 Dãy đoạn ran , bn s € R gọi thắt lại r an , bn s € ran, bns với số tự nhiên n nlim pb
anq  Ñ8 n luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Định lý 1.3 (Nguyên lý Cantor dãy đoạn thắt lại, [1]) Mọi dãy đoạn thắt lại có điểm chung Chứng minh Giả sử tran , bn su thắt lại Khi dãy tan u tăng bị chặn b1 dãy tbn u giảm bị chặn a1 Vì dãy tan u tbn u hội tụ Vì lim pbn
an q  nên tồn ξ cho lim an  ξ  lim bn Vì dãy tan u tăng dãy Đ8 Ñ8 n Ñ8 n n tbnu giảm nên ξ P ran, bns với n P N Giả sử tồn ξ P ran, bns với n Khi ú |
1| Ô bn
an vi n Do nlim pb
anq  ta suy ξ  ξ Ñ8 n 1.2 Dãy hàm Định nghĩa 1.13 (Dãy hàm) Giả sử F  ( f :AÑR họ tất hàm số xác định A € R Ta gọi ánh xạ f : N Đ F, n ÞĐ fn pxq dãy hàm xác định A Dãy hàm thường ký hiệu tfn pxqu f1 pxq, f2 pxq, ,fn pxq, Với x0 P A tfn px0 qu dãy số Nếu dãy số tfn px0 qu hội tụ (tương ứng, phân kỳ) điểm x0 gọi điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) dãy hàm tfnpxqu Tập A0 gồm điểm hội tụ dãy hàm tfn pxqu gọi miền hội tụ dãy hàm Tập A1  AzA0 gồm điểm phân kỳ dãy hàm tfn pxqu gọi miền phân kỳ dãy hàm Định nghĩa 1.14 (Hội tụ điểm, [3]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A € R gọi hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với x P A ε ¡ 0, tồn N  N px, εq P N cho với n ¥ N ta có  fn x  p q
f pxq   ε Ký hiệu: fn pxq Ñ f pxq, x P A luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 31 Lời giải Theo giả thiết toán với k, n, m P Z ta có: $ ' ' a ' & a1 ' ' ' % a1 Mặt khác kd  25 $ & n ñ% nd  43 md  25 2005  70 p
kqd  18 ñ pm
n2n
kqd  pm
nqd  27 9.215  a1 md 215pm
2n  a1 p216m
430n  a1 ld, k qd 215k qd với l  216m
430n 215k, l P Z Vậy 2005 hạng tử dãy cho Ta xét ứng dụng cấp số cộng ví dụ thực tế sau: Ví dụ 3.8 ([2]) Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với kỹ sư tuyển dụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Nếu bạn người lao động bạn chọn phương án nào? Lời giải Vấn đề đặt ra: Chọn hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn hai phương án nhận lương phải vào số tiền mà họ đuợc nhận 10 năm Phương án giải quyết: Ta nhận thấy hai phương án số tiền nhận sau năm (một quí) tuân theo quy luật định : Phương án 1: cấp số cộng với số hạng đầu u1  36 triệu công sai d  triệu Phương án 2: cấp số cộng với số hạng đầu u1  triệu công sai d  0, triệu Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận là: S10  p72 9.3q.5  195ptriệuq Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận là: S10  p14 39.0, 5q.20  670ptriệuq luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 32 Vậy nguời lao động chọn phương án để nhận lương sau 10 năm số tiền lương cao 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế Xét toán phổ thơng có ứng dụng cấp số nhân Ví dụ 3.9 ([2]) Viết lại số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) 0.3333 ; b) 0.7777 ; c) 0.454545 ; d) 1.227027027 Lời giải Mỗi số thập phân vơ hạn tuần hồn viết dạng tổng nhiều số thập phân viết dạng cấp số nhân 0, 333   3 10 100 10
10 1000  31 10n Tương tự 7 7  n 10 100 1000 10 45 45 45 0, 4545 45    100 10000 100
100 11 0, 777  Với số 1.227027027 , ta nhận thấy có 027 lặp vơ hạn nên ta phân tích sau: 12 27 27 1.227027027  10 1000 1000000 27 681  65 1000  555
1000 Ví dụ 3.10 ([2]) Dãy tan u cấp số cộng với số hạng thứ 1, thứ 20 thứ 58 số hạng liên tiếp cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 33 Lời giải Giả sử a1 , a20 , a58 số hạng cấp số cộng với a1 số hạng d cơng sai Khi ta có a1  a1  a1 a58  a1 a20 19d 57d Vì a1 , a20 , a58 hạng tử liên tiếp cấp số nhân nên ta có cơng bội q  aa20  aa58  a1 Suy 20 pa1 19dq2 19d a1  aa1  a1pa1 57d 19d 57dq Biến đổi rút gọn ta thu kết quả: 19dpa1
19dq  Vì a1  a20  a58 d  nên a1  19d Từ kêt vừa thu ta có q  a1 Vậy công bội cấp số nhân q 19d a1  19d19d19d   Ví dụ 3.11 ([2], ASHME) Cho dãy số thực a1 , a2 , a3 với a1 99a3n với n ¥ Tìm a100 Lời giải Vì a3n nên an an  a3n   99a3n  ? 99 Do dãy số thực cho cấp số nhân với công bội q tiên a1  ? Vậy a100  1.p 99q99  9933  Ví dụ 3.12 ([2], Rivkin) Các nghiệm phương trình x3
7x2 hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng Tính nghiệm ? 99 số hạng đầu 14x luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com a  luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 34 Lời giải Vì x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình cho, nên theo định lý Viet ta có x1 x2 x3 
a x1 x2 x1 x2 x3 7 x2 x3 x3 x1  14 Vì nghiệm hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng nên x31 r3 
a x1 x1 r x21 r (3.1) x1 r x21 r x31 r 7  14 (3.2) (3.3) Chia vế theo vế (3.3) cho (3.2) ta x1 Thay x1  2r vào (3.3) ta có  2r 2r2
5r 20 Phương trình có nghiệm r1  21 r2  Vì dãy cần tìm dãy tăng nên chọn r  2, x1 Và  1, x2  2, x3  a 
x31 r3 
8 Ví dụ 3.13 Các số 100, 101 102 có phải số hạng (không cần liên tiếp) cấp số nhân? Lời giải Giả sử 100, 101, 102 số hạng cấp số nhân Khi đó:  100  a1ri
1 aj  101  a1 rj
1 ak  102  a1 rk
1 Do 101 100 102 101  r j
i  r k
j luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 35 Suy 102 j
i k
j p 101 q  rpj
j qpk
j q  p q 100 101 Rút gọn biểu thức ta thu kết 101k
i  102j
i.100k
j Vì i   j   k nên vế trái số lẻ cịn vế phải số chẵn Do biểu thức vơ lí Vậy 100, 101, 102 khơng phải hạng tử cấp số nhân Ví dụ 3.14 ([2]) Đồng vị phóng xạ Iot, 131 I, sử dụng y học hạt nhân cho thủ tục chẩn đoán để xác định rối loạn tuyến giáp xạ hình Tốc độ phân rã không đổi k 131 I 9, 93.10
7 s
1 Phương trình phân rã 131 e
I Đ131 Xe Tình chu kì bán rã 131 I ngày Tính thời gian cần thiết để chất phóng xạ 131 I giảm 30% lượng phóng xạ ban đầu Ta tìm hiểu ứng dụng cấp số nhân thơng qua ví dụ thực tế tốn phóng xạ tốn lãi suất Lời giải Gọi x0 lượng chất phóng xạ ban đầu, x lượng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian t, k số phóng xạ Ta có phương trình phân rã sau x  x0 e
kt Nếu x  x0 (3.4) t  t ta rút cơng thức sau: k 
lnt  lnt 2 (3.5) Thay (3.5) vào (3.4) ta thu công thức x  x0 e
kt t t1  x0peln q  x0p 12 q t t1 (3.6) Theo giả thiết toán cơng thức (3.5) chu kì bán rã t1 ln  9, 93.10
7  698033, 41pgiâyq  8, 079pngàyq Sử dụng công thức (3.4), thay x  0, 3x0 ta phương trình 0, 9, 93.106
7s
1 Khi ln 10 t  1212460pgiâyq  14pngàyq 9, 93.10
7  e
kt với k  Vậy chu kì bán rã ngày thời gian để lượng phóng xạ cịn lại 30% 14 ngày luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 36 Ta tìm hiểu cách tính giá trị lãi tương lai cho khoản tiền cố định Tiền gửi vào tài khoản trả lãi, cộng gộp theo định kỳ Nhưng khơng nhiều người gửi khoản tiền lớn tiền thời điểm tài khoản Hầu hết người tiết kiệm đầu tư tiền cách gửi tiền số lượng nhỏ thời điểm khác Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 3.15 ([2]) Giả sử 100 triệu (Việt Nam đồng) số tiền gửi vào ngân hàng vào ngày tháng năm từ 2015 đến 2020, với lãi suất năm 5% Tính giá trị tài khoản sau năm sau lần gửi cuối Lời giải Ta kiểm tra tài khoản vào ngày tháng năm 2021 Vào ngày tháng năm 2015, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100p1 0.05q6  134 triệu Tuy nhiên, ta gửi thêm 100 triệu vào môi ngày tháng năm, nên ta tình riêng khoản gửi thêm Vào ngày tháng năm 2016, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100p1 0.05q5 triệu Tương tự khoản vào năm 2017, 2018, 2019 2020 100p1 0.05q4 100p1 0.05q3 100p1 0.05q1 100p1 0.05q2 Vậy tổng số tiền gốc lẫn lãi vào ngày tháng năm 2021 là: S  100p1 0.05q6 100p1 0.05q3  105 105.1, 05 105.1, 054 100p1 100p1 0.05q5 0.05q2 105.1, 052 100p1 100p1 0.05q4 0.05q1 105.1, 053 105.1, 055 Ta nhận xét số hạng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q  1, 05 Suy 105p1, 056
1q  714, 42 S6  1, 05
luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com  105 luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 37 Vậy vào ngày tháng năm 2021, ta có số tiền 714 triệu tài khoản hiển nhiên số tiền lớn tổng 600 triệu không gửi ngân hàng 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Ta xét toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi có ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân Ví dụ 3.16 ([2]) Cho số a, b, c z Ba số hạng đầu lập thành cấp số cộng, ba số hạng cuối lập thành cấp số nhân Tổng số hạng bên 4, tổng số hạng bên Tìm số Lời giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên theo tính chất trung bình cộng ta có b a c Mặt khác ta có đa c  2b b 4 c  b c a z Suy a Thay a z c  2b vào (3.7) ta 3b z  (3.7)  đ z 
3b Vì b, c, z lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân ta có c2  bz Thay c 
b vào phương trình ta có p2
bq2  bp6
3bq Rút gọn phương trình ta 2b2
5b  Phương trình có nghiệm b  b  0, Với nghiệm b khác nhau, ta nhận trường hợp giá trị a, b, c, z luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 38 1) b  z 
3b  a  3b
 c2
b0 2) b  0, z  4, a 
0, c  1, Vậy pa, b, c, z q  tp4, 2, 0, 0q, p
0, 5; 0, 5; 1, 5; 4, 5qu Ví dụ 3.17 ([2]) Dãy a1 , a2 , a3 có a1  19, a9 bình cộng n
số hạng đàu tiên Tìm a2  99 với n ¥ 3, an trung Lời giải Ta xét số hạng thứ n1 an
1  a1 a2 a2 n
2 Suy a1 Xét số hạng thứ n an
2 an
2  pn
2qan
1  a1 a2 n
a1n
2 ñ anpn
1q  pn
2qan
1 ñ anpn
1q  pn
1qan
1 ñ an  an
1, @n ¥ an an
1 an
1 Vậy từ số hạng thứ trở đi, tất số hạng dãy a9 a3  99 Áp dụng tính chất trung bình cộng cấp số cộng ta có a3 đ đ Vậy a2  99 Tức  a1 a2 99  19 a2 a2  2.99
 179  179 Ví dụ 3.18 ([2], MGU Entrance exam 2008) Các số nguyên x, y, z số hạng cấp só nhân 7x
3, y , 5z
số hạng cấp số cộng Tìm x, y, z luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 39 Lời giải Theo giả thiết tốn ta có  xz 7x
5z
y2  y2 Suy  7x 25z
2xz  7x 5z
xp2z
7q  5z
5z
x p2z
7q 10z
18 2x  p2z
7q 17 2x  p2z
7q xz đ đ đ đ đ Vì 17 số nguyên tố nên 2x số nguyên p2z
7q ước 17 Do p2z
7q nhận giá trị: 1; 17 Lần lượt xét trường hợp 1) p2z
7q  ñ z
 11; y  ?11.4  ?44  4; x  p5.4 2.4
7q 2) p2z
7q 
1 ñ z  3; x 
6; xz 
18   3) p2z
7q  17 ñ z  12; x  3; y  y 
6 (vô nghiệm) (vô nghiệm) (vô nghiệm) 4) p2z
7q 
17 ñ z 
5; x  2; xz 
1   (vô nghiệm) Vậy px; y; z q  tp3; 6; 12q, p3;
6; 12qu Ví dụ 3.19 ([2]) Có cặp thứ tự px, y q số ngun khơng âm để trung bình cộng x y lớn trung bình nhân x y đơn vị Lời giải ?xy  2 ? x y  xy px y
4q2  4xy x2
2xy y  8px y
2q px
yqpx
yq  2.2.2.px y
2q x ñ ñ ñ ñ y luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 40 Vì x; y số ngun khơng âm nên ta chia trường hợp sau 1) 2) 3) 4) $ &x $ &x
y 8 %x
y  x y
2 ñ% $ &x
y 4 %x
y  2.px $ &x ñ% y
2q  49 ñ' y
2q ' ' %y  41 $ ' x ' ' & $ &x
y 1 %x
y  8.px 4 y0 $ ' x ' ' & $ &x
y 2 %x
y  4.px 9 y1 25  16 ñ' y
2q ' ' %y  169 Trường hợp nghiệm khơng số ngun nên loại Vậy ta có cặp nghiệm px; yq  tp9; 1q, p4; 0qu Ví dụ 3.20 ([2]) Tính giới hạn sau xn
xÑ x n
lim Lời giải Giới hạn khơng thể tính trực tiếp x  mẫu số Ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân cho tử mẫu x x2 x x2 n  x x

1 xn
xn
1  x
1 xn Khi ta tính giới hạn sau xn
xÑ x n
lim Vậy n  lim p1p1 xx xx2 xxn
qp1qpxx

11q q  pn n.11q.1  pn n 1q , @n P N xn
xÑ x n
lim  n n luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 41 Ví dụ 3.21 ([2], Rivkin) Cho a P R số tự nhiên n, k thoả mãn a2 a an  p1 aqp1 a2 qp1 a4 q p1 a2 q k Tìm mối liên hệ n k Lời giải ñ ñ ñ a a2 an  p1 an
 p1 aqp1 a
1 an
 pa
1qp1 a
1a n Vì a  0; 1 nên n Vậy n  2k
2k
aqp1 a2 qp1 aqp1 a2 qp1 a4 q p1 a2 qp1 a4 q p1 k a2 k a2 q q a4 q p1 k a2 q  2k Ví dụ 3.22 ([2]) Có tồn hay khơng cấp số cộng gồm số ngun dương mà khơng có số hạng từ dãy biểu diễn dạng tổng hiệu số nguyên tố? Nếu có, cấp số cộng Lời giải Ta xét vài dãy với số hạng tổng quát sau 1) 6; 10; 14; 18; ; 4n 2) 11; 19; 27; 35; ; 8n 2; 3; 3) 47; 89; 131; 173; ; 42n 5; Dãy số thứ bao gồm số chẵn, nhiều hạng tử tổng hiệu số nguyên tố Ví dụ 10  14  17
Bất kì số chẵn tổng hiệu số chẵn số lẻ, mà đa phần số nguyên tố số lẻ (trừ số 2), tồn nhiều số chẵn viết dạng tổng hiệu số nguyên tố Vì ta dãy gồm số lẻ Dãy số thứ gồm số hạng lẻ, ta dễ dàng 19  17 27  19
Vậy để tồn dãy yêu cầu tón tất hạng tử dãy phải số lẻ Và số hạng dãy viết tổng hiệu số nguyên tố luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 42 hai số nguyên tố phải số nguyên tố chẵn Xét dãy thứ 3, giả sử hạng tử dãy viết dạng tổng số nguyên tố p1 , p2 : 42n ñ ñ ñ 42n 42n p2  p1 p2 52  p2  3p14n p2 1q Suy p2 số nguyên tố (mâu thuẫn với điều ta giả sử) Tương tự ta xét hạng tử dãy viết dạng hiệu số nguyên tố p1 , p2 : 42n ñ ñ ñ 42n 42n p1  p
p2  p1
 p1  7p6n 1q Do p1 số nguyên tố Vậy hạng tử dãy cấp số cộng an tổng hiệu số nguyên tố  42n phân tích thành Ví dụ 3.23 ([2]) Tìm tất tam giác vng mà độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Lời giải Giả sử tồn tam giác thỏa yêu cầu, gọi độ dài cạnh a; a d; a 2d, với d P N Theo định lí Pythagoras ta có:  pa 2 a
3ad
d  pa
dq2  p2dq2  a
d  2d a
d 
2d  ad a 
d a2 ñ ñ ñ ñ pa dq2 2dq2 Vì a độ dài cạnh d ¡ nên ta nhận nghiệm a  d Suy b  4d; c  5d, d P N Do có vơ số các giác vng thỏa u cầu tốn Ví dụ tam giác có có độ dài cạnh là: p3; 4; 5q, p6; 8; 10q, p9; 12; 15q luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung 43 Ví dụ 3.24 ([2]) Cho dãy số với u1  2, u2  8, u3  30, , un  4upn
1q
upn
2q, Chứng minh u2n
up n n  3, 4, 5, 1q.up n
1q  Lời giải Theo tính chất giao hốn với phép tốn nhân ta có:  un
1.4un đ unpun un
2q  un
1pun un
1q ñ u2n unun
2  un
1un u2n
1 ñ u2n
un
1un  u2n
1
unun
2  u2n
2
unun
3   u22
u3u1  82
30.2  un 4un
1 luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung Kết luận Luận văn đưa điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm • Chứng minh chi tiết số ví dụ, tốn áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân trình bày vắn tắt tài liệu tham khảo tiếng Anh • Chỉ số ứng dụng thực tế cấp số cộng, cấp số nhân vào sống • Sưu tầm đưa lời giải chi tiết cho số tốn kì thi học sinh giỏi, olympic toán học, 44 luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung luan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dungluan.van.thac.si.cac.dinh.ly.hoi.tu.cua.day.so.day.ham.va.ung.dung