THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU TÍN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU TÍN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU 1 Hàm cộng tính song cộng tính 1.1 Hàm cộng tính liên tục 1.2 Hàm cộng tính gián đoạn 1.3 Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính 10 1.4 Hàm cộng tính mặt phẳng thực phức 11 1.5 Hàm song cộng tính 16 Định lý giá trị trung bình Lagrange phương trình hàm liên quan 20 2.1 Định lý giá trị trung bình 20 2.2 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange 22 2.3 Phương trình hàm sinh định lý Lagrange 29 Một số toán lời giải 3.1 49 Một số phương trình hàm liên quan Định lý giá trị trung bình Lagrange 49 3.2 Một số phương trình hàm liên quan khác 57 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) download by : skknchat@gmail.com 62 MỞ ĐẦU Định lý giá trị trung bình định lý quan trọng có nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, Định lý giá trị trung bình ứng dụng khai thác nhiều kì thi Olympic chọn học sinh giỏi, chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm, Tuy nhiên vấn đề phương trình hàm sinh định lý giá trị trung bình chưa đề cập đến hầu hết sách tham khảo phổ thông Trong chương trình tốn học phổ thơng, phương trình hàm chuyên đề quan trọng chương trình chuyên Toán bậc THPT sử dụng nhiều kì thi học sinh giỏi cấp, Olympic khu vực, Olympic Quốc tế([1, 2]) Đó tốn khó mẻ học sinh, đòi hỏi học sinh có tư cao cách tiếp cận sáng tạo Trong thực tiễn, phương trình hàm ứng dụng ln chun đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc học phổ thông, đồng thời phát ứng dụng đa dạng lm đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Lấy ý tưởng từ Định lý giá trị trung bình Lagrange giá trị trung bình x+y cho trước, ta có tốn xuất nhiều giáo trình Giải tích bậc đại học, là: tìm hàm số khả vi f : R → R cho c = f (x) − f (y) x+y = f 0( ), x−y ∀x, y ∈ R, x 6= y (1) Lời giải cho toán hàm số f (x) = ax2 + bx + c, với a, b, c ∈ R Tổng quát ta có tốn, tìm hàm số khả vi f : R → R cho f (x) − f (y) = f (sx + ty), x−y ∀x, y ∈ R, x 6= y, s, t ∈ R cho trước download by : skknchat@gmail.com (2) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange Mục tiêu luận văn nghiên cứu phương trình hàm (2), tức nghiên cứu phương tình hàm sinh định lý giá trị trung bình Lagrange, số tập áp dụng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày số kiến thức sở liên quan đến nội dung luận văn Chương trình bày phương tình hàm sinh định lý giá trị trung bình Lagrange số vấn đề liên quan Một số tập áp dụng trình bày Chương Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy Lương Đăng Kỳ Thầy người cổ vũ, động viên q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn q thầy Khoa Tốn - Thống kê, Phịng Sau đại học Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Cuối tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè ủng hộ, giúp đỡ mặt suốt thời gian học thạc sĩ hồn thành luận văn Mặc dù tơi cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Hữu Tín luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange Chương Hàm cộng tính song cộng tính Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số kiến thức hàm cộng liên tục, hàm cộng tính gián đoạn, vài tiêu chuẩn khác cho hàm cộng tính, hàm cộng tính mặt phẳng phức cuối giới thiệu hàm song cộng tính Tài liệu sử dụng cho chương [6] 1.1 Hàm cộng tính liên tục Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Định nghĩa 1.2 Hàm f : R → R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = mx (∀x ∈ R) với m số tùy ý Các ví dụ hàm cộng tính dễ hiểu hàm tuyến tính Vậy câu hỏi đặt có hàm cộng tính khác hay khơng? Câu trả lời có hàm cộng tính liên tục tuyến tính Đây kết chứng minh Cauchy vào năm 1821 Định lý 1.1 Cho hàm f : R → R hàm cộng tính liên tục Khi f hàm tuyến tính hay f (x) = mx với m số luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange Chứng minh Đầu tiên, ta viết lại x kết hợp với (1.1), ta Z f (x) = f (x)dy 1 Z = f (x + y) − f (y) dy x+1 Z Z f (u)du − = x f (y)dy, u = x + y Do f liên tục, ta có f (x) = f (1 + x) − f (x) (1.2) Từ tính cộng tính f , ta có f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3) Từ (1.2) (1.3), ta có f (x) = m, m = f (1) Từ suy f (x) = mx + c, (1.4) c số Từ (1.4) (1.1) cho x = ta thu c = 2c c = Vậy f (x) = mx Từ Định lí 1.1, sử dụng tính liên tục f để kết luận f khả tích Tính khả tích f bắt buộc hàm cộng tính f tuyến tính Do hàm cộng tính khả tích tuyến tính Định nghĩa 1.3 Hàm f : R → R gọi khả tích địa phương khả tích khoảng hữu hạn Chú ý 1.1.1 Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương tuyến tính Chứng minh Chúng ta chứng minh điều cách sử dụng đối số đưa Shapiro (1973) Giả sử f hàm cộng tính khả tích địa phương Do đó, f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Từ tính khả tích địa phương f , ta có Z yf (x) = y f (x)dz luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange y Z f (x + z) − f (z) dz = Z0 x+y y Z f (u)du − = f (z)dz x Z x+y x Z f (u)du − = y Z f (u)du − f (u)du Vai trò x y vế phải nhau, ta có yf (x) = xf (y) với x, y ∈ R Từ đó, với x 6= 0, ta thu f (x) = m, x với m số Suy f (x) = mx, ∀x ∈ R\{0}.Và f hàm cộng tính nên ta có f (0) = Cùng với điều kiện này, ta có f (x) = mx, ∀x ∈ R Để làm rõ hàm cộng tính, bắt đầu với định nghĩa sau Định nghĩa 1.4 Hàm f : R → R gọi hữu tỉ f (rx) = rf (x) (1.5) với x ∈ R số hữu tỉ r Định lý sau cho ta thấy hàm cộng tính hữu tỉ Định lý 1.2 Cho f : R → R hàm cộng tính Khi f hữu tỉ Hơn nữa, f tuyến tính tập số hữu tỉ Q Chứng minh Cho x = = y (1.1) ta có, f (0) = f (0) + f (0) từ suy f (0) = (1.6) Thay y = −x (1.1) sử dụng (1.6), ta thấy f hàm lẻ R, hay f (−x) = −f (x) (1.7) với x ∈ R Chúng ta hàm cộng tính x = hàm lẻ Tiếp theo, chứng ta chứng minh hàm cộng tính hữu tỉ Với x ta có, f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange Từ f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 3f (x); tổng quát, ta có f (nx) = nf (x) (1.8) với số nguyên dương n Nếu n số nguyên âm −n số nguyên dương từ (1.8) (1.7), ta có f (nx) = f (−(−n)x) = −f ((−n)x) = −(−n)f (x) = nf (x) Từ ta có, f (nx) = nf (x) với số nguyên n x ∈ R Tiếp theo, cho r số hữu tỉ Ta có r= k l k số nguyên l số tự nhiên Hơn nữa, kx = l(rx) Sử dụng tính nguyên f , ta kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx) suy k f (x) = rf (x) l Do đó, f hữu tỉ Hơn nữa, cho x = phương trình f (rx) = định nghĩa m = f (1), ta thấy f (r) = mr với số hữu tỉ r ∈ Q Vì f tuyến tính tập số hữu tỉ chứng minh hồn thành Định lý 1.3 Nếu hàm cộng tính liên tục điểm liên tục nơi Chứng minh Cho f hàm liên tục t x điểm Vì vậy, ta có lim f (y) = f (t) Tiếp theo, ta chứng f liên tục x Xét y→t lim f (y) = lim f (y − x + t + x − t) y→x y→x = lim f (y − x + t) + f (x − t) y→x = lim y−x+t→t f (y − x + t) + f (x − t) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange = f (t) + f (x − t) = f (t) + f (x) − f (t) = f (x) Điều chứng tỏ f liên tục x tính x, f liên tục nơi 1.2 Hàm cộng tính gián đoạn Định nghĩa 1.5 Đồ thị hàm số f : R → R tập G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)} Dễ thấy đồ thị G hàm số f : R → R tập R2 Định lý 1.4 Đồ thị hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật khắp nơi R2 Chứng minh Đồ thị G hàm f cho G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)} Chọn x1 ∈ R, x1 6= Từ f hàm cộng tính phi tuyến, với số m, tồn x2 ∈ R, x2 6= cho không viết m = f (x1 ) x1 f (x1 ) f (x2 ) 6= , x1 x2 cho x1 = x, ta có f (x) = mx, ∀x 6= 0, từ f (0) = điều ngụ ý f hàm tuyến tính trái với giả thiết f hàm phi tuyến Từ luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 37 Do (2.46) h(u) = αu + a, với số thực u 6= (ở a = h(0)) Để ý phương trình (2.46) với trường hợp u = Sử dụng phương trình (2.46) vào phương trình (2.26), ta f (x) − g(y) = (x − y)(αtx + αty + a), x 6= y Do đó, thu nghiệm f (x) = g(x) = αtx2 + ax + b vàh(y) = αy + a, (2.47) α, a, b số Trường hợp 3.2 Giả sử s = −t Khi phương trình (2.39) trở thành xh(x) + yh(y) + (b − c)t = (x + y)h(x + y), Đặt A(x) = ∀x, y ∈ R\{0}, x 6= y xh(x) + (b − c)t x 6= (2.48) (2.49) x = 0 Khi đó, phương trình (2.49), phương trình (2.48) trở thành A(x) + A(y) = A(x + y), ∀x, y, x + y ∈ R\{0} (2.50) Tiếp theo, ta cần chứng minh hàm A phương trình (2.50) hàm cộng tính tập số thực Như vậy, ta cần chứng minh A(x) + A(−x) = A(0) = hay xh(x) − xh(−x) + 2(b − c)t = (2.51) Thay y −y phương trình (2.48), ta xh(x) − yh(−y) + (b − c)t = (x − y)h(x − y) (2.52) Trừ phương trình (2.52) cho phương trình (2.48) vế theo vế, ta yh(y) + yh(−y) = (x + y)h(x + y) − (x − y)h(x − y) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.53) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 38 Khi đó, sử dụng phương trình (2.49), ta A(y) − A(−y) = A(x + y) − A(x − y), ∀x, y, x + y, x − y ∈ R\{0} (2.54) Thay x −x phương trình (2.53), ta A(y) − A(−y) = A(−x + y) − A(−x − y) (2.55) Từ phương trình (2.54) (2.55), ta có A(x + y) + A(−(x + y)) = A(x − y) + A(−(x − y)) (2.56) Đặt u = x + y v = x − y Thay vào phương trình (2.56), ta A(u) + A(−u) = A(v) + A(−v), ∀u, v, u + v, u − v ∈ R\{0} (2.57) Do (2.58) A(u) + A(−u) = γ với số thực u 6= (ở γ số) Sử dụng phương trình (2.49) vào (2.58), ta xh(x) − xh(−x) + 2(b − c)t = γ, ∀x ∈ R\{0} (2.59) Từ phương trình (2.26) với s = −t, ta có f (x) − g(y) = (x − y)h(−(x − y)t) (2.60) Thay đổi vai trò x y , ta f (y) − g(x) = −(x − y)h((x − y)t) (2.61) Cộng phương trình (2.61) phương trình (2.60) vế theo vế sử dụng phương trình (2.59), ta có f (x) − g(y) + f (y) − g(x) = −(x − y)h((x − y)t) + (x − y)h(−(x − y)t) γ = − + 2(b − c) t (2.62) Sử dụng phương trình (2.36) phương trình (2.49), ta A(tx) = t[g(x) − c] (x 6= 0) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.63) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 39 Tương tự, sử dụng phương trình (2.37) phương trình (2.49), ta A(−tx) = −t[f (x) − b] (x 6= 0) (2.64) Lấy phương trình (2.63) trừ cho phương trình (2.65), ta A(−tx) + A(tx) +b−c t γ = − + b − c t f (x) − g(x) = − (2.65) Do đó, từ trên, ta có γ f (x) − g(x) + f (y) − g(y) = −2 + 2(b − c) t (2.66) Đối chiếu phương trình (2.62) với phương trình (2.66), ta suy γ = Do phương trình (2.58) trở thành (2.67) A(x) + A(−x) = 0, với số thực x khác khơng Thậm chí phương trình với trường hợp x = cách định nghĩa A Do đó, ta suy A hàm cộng tính tập số thực Từ phương trình (2.49), (2.36), (2.37), ta có A(tx) +b t f (x) = g(y) = h(y) = A(ty) t +c A(y) (c−b)t y + y , (2.68) b c số Trường hợp 3.3 Giả sử s2 6= t2 , s 6= ±t Thay đổi vai trò x y phương trình (2.39), ta x y h(y) − h(x) + c − b = s t x s − x h(x + y) t (2.69) với số thực khác không x y thỏa mãn ty 6= sx Lấy phương trình (2.69) trừ cho phương trình (2.39) sử dụng s + t 6= 0, ta xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y), (2.70) giống với phương trình (2.41) Do h(x) = ax + b, luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.71) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 40 a, b số Sử dụng phương trình (2.71) vào phương trình (2.69), ta 1 − αxy s t =b−c (2.72) với số thực khác không x y thỏa mãn tx 6= sy ty 6= sx Từ s 6= t, ta suy α = b = c Do đó, phương trình (2.71) trở thành (2.73) h(x) = b Từ phương trình (2.72), (2.36) (2.37), thu nghiệm nêu định lý Hệ 2.2 Các hàm số φ, f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = φ(sx + ty) x−y với x, y ∈ R, x 6= y ax + b ax + c ax + c s = = t s = 0, t 6= s 6= 0, t = f (x) = αtx2 + ax + b A(tx) +b t βx + b a a nếu s = t 6= s = −t 6= s2 6= t2 s=0=t s = 0, t 6= s 6= 0, t = φ(y) = αy + a s = t 6= A(y) s = −t 6= 0, y 6= y β s2 = t2 , A : R → R hàm cộng tính a, b, c, α, β số thực luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 41 Chứng minh Chiều đảo hệ chứng minh cách trực tiếp Ta cần chứng minh chiều thuận hệ Ta xét trường hợp s t Đầu tiên ta xét trường hợp s = −t 6= Từ Định lý 2.5, ta suy f (x) = A(tx) A(tx) +b= + c, t t φ= ∀x ∈ R A(y) + (c−b)t y 6= d y = 0, y y (2.74) (2.75) b, c, d số A : R → R hàm cộng tính Từ phương trình (2.74), ta suy b = c Do đó, phương trình (2.75) trở thành A(y) y 6= y φ= d (2.76) y = Các trường hợp lại ta thu trực tiếp từ trường hợp Định lý 2.5 Hệ 2.3 Hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình f (sx + ty) = f (y) − f (x) y−x với x, y ∈ R, x 6= y ax2 + bx + c s = f (x) = bx + c (2.77) =t trường hợp khác, a, b, c số thực Chứng minh Trường hợp s = t 6= Từ Hệ 2.2 ta có f (x) = αtx2 + ax + b, α, a, b số Nếu s = t = nêu hệ Giả sử 6= s = t 6= 2 ∀x ∈ R (2.78) ta có nghiệm có dạng Từ phương trình (2.78) ta có f (x) = 2αtx + a luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.79) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 42 Thay (2.78) (2.79) vào phương trình (2.77), ta t(2t − 1)α(x + y) = 0, ∀x, y ∈ R, x 6= y Bởi 6= s = t 6= 21 , ta suy α = ta có ∀x ∈ R f (x) = ax + b, Từ đó, ta thu nghiệm có dạng nêu hệ cho trường hợp Trường hợp s = −t 6= Từ Hệ 2.2, ta có f (x) = A(tx) + b, t x ∈ R, A : R → R hàm cộng tính b số Cho x = y = (2.80) t phương trình (2.77), ta suy f (x) khả vi x = f liên tục x = Điều kết hợp với phương trình (2.80), ta suy A(x) liên tục x = t Hơn nữa, A hàm cộng tính A(x) = ax, ∀x ∈ R, (2.81) a số Thay phương trình (2.81) vào phương trình (2.80) ta f (x) = ax + b, ∀x ∈ R Do đó, ta thu nghiệm nêu hệ cho trường hợp Trường hợp st = st 6= s2 6= t2 Trường hợp suy trực tiếp từ Hệ 2.2 Tiếp theo, ta phát triển toán nêu Định lý 2.3 theo hướng mở rộng biến có mặt phương trình (2.12) Bailey (1992) mở rộng kết Aczél Haruki thiết lập định lý Định lý 2.6 Nếu f hàm khả vi R thỏa mãn phương trình hàm f [x, y, z] = h(x + y + z), (2.82) với x, y, z số thực đơi khác Khi f đa thức bậc không vượt ba h đa thức có bậc khơng vượt q luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 43 Chứng minh Sử dụng định nghĩa tỷ sai phân ta suy f [x, y, z] = f (x)(y − z) + f (y)(z − x) + f (z)(x − y) , (x − y)(y − z)(x − z) đó, từ (2.82) ta suy f (x)(y − z) + f (y)(z − x) + f (z)(x − y) = (x − y)(y − z)(x − z)h(x + y + z) (2.83) Nếu hàm f thỏa mãn phương trình (2.83) f + d thỏa, d số Khơng tính tổng qt ta giả sử f (0) = 0, đó, cho z = phương trình (2.83), ta yf (x) − xf (y) = xy(x − y)h(x + y) (2.84) với số thực x, y khác không thỏa x 6= y Khi đó, phương trình (2.84) viết lại sau f (x) f (y) − = (x − y)h(x + y) x y (2.85) Theo giả thiết, ta có f hàm khả vi, ta cần chứng minh h hàm liên tục R Thật vậy, thay x u − y phương trình (2.85), ta i h f (u − 1) − f (1) (2.86) h(u) = u−2 u−1 với số thực u khác Ở đây, ta thấy vế phải (2.86) hàm xác định liên tục khoảng (−∞, 1), (1, 2) (2, +∞) Do đó, h hàm số liên tục khoảng (−∞, 1), (1, 2) (2, +∞) Bằng cách tương tự, thay x u + y −1 phương trình (2.86), ta f (u + 1) + f (−1) u+2 u+1 với số thực u khác −1 −2 Vì vế phải (2.3) xác định liên tục h h(u) = i nên h hàm số liên tục Như vậy, h hàm số liên tục R Vì f hàm khả vi h hàm liên tục, đó, phương trình (2.85), ta cho y dần đến ta thu f (0) − f (x) = −xh(x) x Do đó, ta xét q(x) = f (x) x 6= f (0) x = x luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.87) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 44 ta có f (x) = xq(x) với x từ phườn trình (2.85), ta có q(y) − q(x) = (y − x)h(x + y) Bởi Định lý 2.3, ta có q(x) = ax2 + bx + c f (x) = ax3 + bx2 + cx Nếu không giả sử f (0) = ta f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, d = f (0) Định lý chứng minh Năm 1992, Bailey đặt câu hỏi liệu hàm liên tục (hoặc khả vi) f thỏa mãn phương trình f [x1 , x2 , , xn ] = g(x1 + x2 + · · · + xn ) (2.88) đa thức có bậc khơng n Sử dụng vài kỹ thuật Kannappan Sahoo (1995) giải toán Bailey Đầu tiên, ta giải toán Bailey với trường hợp n = Định lý 2.7 Cho f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f [x1 , x2 , x3 ] = g(x1 + x2 + x3 ) (2.89) với số thực x1 , x2 , x3 thỏa x1 6= x2 , x2 6= x3 , x3 6= x1 Khi f đa thức có bậc khơng vượt q ba g đa thức có bậc khơng vượt q Chứng minh Nếu f (x) nghiệm phương trình (2.89) f (x) + a0 + a1 x thỏa Và khơng tính tổng qt ta giả sử f (0) = f (α) = 0, với α số thực khác Chú ý có nhiều lựa chọn cho số α.Đầu tiên, thay (x1 , x2 , x3 ) (x, 0, α) (2.89) ta f (x) = −x(α − x)g(x + α), x 6= 0, α (2.90) Tiếp theo, ta thay (x1 , x2 , x3 ) (x, 0, y) (2.89) ta f (x) f (y) − = g(x + y) x(x − y) y(x − y) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.91) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 45 với x, y 6= x 6= y Xét f (x) , x ∀x ∈ R\{0} (2.92) q(x) − q(y) = (x − y)g(x + y) (2.93) q(x) = Khi (2.91) trở thành với x, y ∈ R x 6= y Để ý (2.93) với x = y Bây ta xét phương trình q(x) − q(y) = (x − y)g(x + y) với x, y ∈ R\{0} Thay y = −x (2.93) , ta q(x) − q(−x) = 2xg(0), ∀x 6= (2.94) Tiếp theo, thay y = −y (2.93) ta q(x) − q(−y) = (x + y)g(x − y) (2.95) với x, y ∈ R\{0} Lấy (2.95) trừ (2.93) vế theo vế sử dụng (2.94), ta (x + y)[g(x − y) − g(0)] = (x − y)[g(x + y) − g(0)], ∀x, y ∈ R\{0} (2.96) Với số thực u, v cho u 6= ±v , (2.96) cho x= u+v y= u−v ta u[g(v) − g(0)] = v[g(u) − g(0)] ∀u 6= ±v (2.97) Do cho u = u1 , ta g(v) = a1 v + b1 , v ∈ R\{u1 , −u1 } (2.98) v ∈ R\{u2 , −u2 } (2.99) Ta lại cho u = u2 , ta g(v) = a2 v + b2 , luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 46 Vì hai {u1 , −u1 } {u2 , −u2 } khơng trùng nhau, ta có g(v) = av + b, (2.100) v R Bây sử dụng (2.100) vào (2.91), ta f (x) = (x2 − xα)g(x + α) = (x2 − xα)[a(x + α) + b] = ax3 + bx2 + cx c = −aα2 − bα Nếu bỏ giả thiết f (0) = 0, ta có f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, ∀x 6= 0, α (2.101) Từ (2.101) f (0) = 0, f (α) = 0, ta có f đa thức có bậc khơng vượt ba với x ∈ R Chứng minh hồn thành Giờ đây, ta tìm nghiệm tốn (2.88) mà không thêm giả thiết hàm f g Bổ đề sau cần thiết để giải toán Bailey trường hợp tổng quát Bổ đề 2.5 Cho S tập hữu hạn R tập đối xứng, tức −S = S Cho f, g : R → R hàm số thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)g(x + y), ∀x, y ∈ R\S (2.102) Khi f (x) = ax2 + bx + c g(y) = ay + b (2.103) với x ∈ R\S y ∈ R, a, b, c số Chứng minh Thay y = −x (2.102), ta thu f (x) − f (−x) = 2xg(0), x ∈ R\S (2.104) Ta lại thay y = −y (2.102), ta f (x) − f (−y) = (x + y)g(x − y), x, y ∈ R\S (2.105) Lấy (2.105) trừ cho (2.103) sử dụng (2.104) ta (x + y)(g(x − y) − g(0)) = (x − y)(g(x + y) − g(0)), ∀x, y ∈ R\S luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.106) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 47 Với số thực u 6= Cho v ∈ R cho u+v ∈ / S đặt x = u+v y = u−v Khi x + y = u x − y = v sử dụng (2.106) ta u(g(v) − g(0)) = v(g(u) − g(0)), ∀v ∈ R\(2S ± u), (2.107) 2S ± u kí hiệu cho tập {2s + u|s ∈ S} ∪ {2s − u|s ∈ S} Với u cố định, phương trình (2.107) tuyến tính theo v , có dạng av + b, ngoại trừ tập 2S ± u.Để kết luận g tuyến tính tập số thực, ta cần ý rằng, lấy hai giá trị u khác thích hợp, tập đặc biệt có liên quan rời g(v) = av + b với số thực v với số Thế hàm g vào phương tình (2.102), ta f (x) − ax2 − bx = f (y) − ay − by, ∀x, y ∈ R\S (2.108) Chọn giá trị y thỏa mãn y ∈ R phương trình (2.108), ta f (x) = ax2 + bx + c, với x ∈ R\S , c số Điều hoàn thành chứng minh bổ đề Định lý sau giải trọn vẹn câu hỏi mà Bailey đưa cho phương trình (2.88) Định lý 2.8 Cho f, g : R → R hàm số thỏa mãn phương trình (2.88) với x1 , x2 , , xn ∈ R phân biệt, nghĩa xj 6= xj (i 6= j; i, j = 1, 2, , n) Khi f đa thức có bậc khơng vượt q n g đa thức có bậc khơng vượt Chứng minh Ta dễ dàng thấy f nghiệm (2.88) f (x) + n−2 X k=0 thỏa Vì ta giả sử f (0) = = f (y1 ) = f (y2 ) = · · · = f (yn−2 ) với y1 , y2 , , yn−2 số thực phân biệt khác không Rõ ràng có nhiều lựa chọn cho 0, y1 , y2 , , yn−2 Thế số (x, 0, y1 , y2 , , yn−2 ) (x, 0, y, y1 , y2 , , yn−3 ) vào phương trình (2.88), ta f (x) = −x(y1 − x) · · · (yn−2 − x)g x + n−2 X yk k=1 luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (2.109) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 48 n−3 X f (x) f (y) yk − = g x+y+ x(x − y)(y1 − x) · · · (yn−3 − x) y(x − y)(y1 − y) · · · (yn−3 − y) k=1 x 6= y x, y 6= 0, y1 , , yn−2 Bây giờ, ta viết lại phương trình thành l(x) − l(y) = (x − y)g x + y + n−3 X yk , (2.110) k=1 l(x) = f (x) x(y1 −x)···(yn−3 −x) với x, y 6= 0, y1 , , yn−3 Khi Bổ đề 2.5 cách chọn x, y 6= 0, y1 , y2 , , yn−3 bất kì, g tuyến tính (và l(x) hàm bậc hai) Do từ (2.109), f đa thức có bậc khơng q n Chứng minh hồn thành luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange Chương Một số toán lời giải Trong chương này, chúng tơi giới thiệu trình bày số tốn phương trình hàm liên quan đến định lý giá trị trung bình Lagrange số phương trình hàm liên quan khác Tài liệu sử dụng chương [1, 2, 7] 3.1 Một số phương trình hàm liên quan Định lý giá trị trung bình Lagrange Bài tốn 3.1 ([2]) Tìm hàm f (x), g(x) xác định R cho f (x) − f (y) = (x + y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (3.1) Lời giải Thay y = x vào (3.1), ta f (−x) = f (x), ∀x ∈ R (3.2) Tiếp theo, ta thay x = x + 1, y = x vào (3.1) sử dụng (3.2), ta f (x + 1) − f (x) = 2(x + 1)g(1), f (x + 1) − f (x) = g(2x + 1), ∀x ∈ R ∀x ∈ R Từ (3.3) (3.4), ta có g(2x + 1) = g(1)(2x + 1), ∀x ∈ R Suy g(x) = ax với a = g(1), a ∈ R 49 luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (3.3) (3.4) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 50 Thay y = vào (3.1), sử dụng kết hàm g vừa tìm được, ta f (x) − f (0) = xg(x), ∀x ∈ R Suy f (x) = ax2 + b với b = f (0) Thử lại thấy thỏa Vậy f (x) = ax2 + bx, g(x) = ax hàm cần tìm với a, b ∈ R tùy ý Cách Thay y = −y (3.1) sử dụng (3.2),ta f (x) − f (y) = (x − y)g(x + y), ∀x, y ∈ R Áp dụng Định lý 2.3, ta f (x) = ax2 + b + c, g(x) = ax + b, ∀x ∈ R, a, b, c số thực Thay hàm f (x), g(x) vừa tìm vào (3.1), ta suy b = Do đó, f (x) = ax2 + c, g(x) = ax, ∀x ∈ R Thử lại thấy Vậy f (x) = ax2 + c, g(x) = ax hàm cần tìm với a, c ∈ R tùy ý Bài tốn 3.2 (Đề thi thức Olympic 30/4/2012) Tìm tất cặp hàm số f (x), g(x) : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau f (0) = g(0) = 1, g(1) = 2; f (x) − f (y) = (x − y)g(x + y), ∀x, y ∈ R (3.5) Lời giải Thay y = −x vào (3.5) sử dụng g(0) = 1, ta f (x) − f (−x) = 2x, ∀x ∈ R (3.6) Tiếp theo ta thay x = x + 1, y = x vào (3.5) , ta f (x + 1) − f (x) = g(2x + 1), ∀x ∈ R luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com (3.7) luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange 51 Trong (3.5), ta thay x x + y −x, ta f (x + 1) − f (−x) = 2(2x + 1), ∀x ∈ R (3.8) Lấy (3.8) trừ cho (3.7) vế theo vế ta ∀x ∈ R g(2x + 1) = 2x + + 1, hay g(x) = x + 1, ∀x ∈ R (3.9) Thay y = vào (3.5), ta có f (x) − = xg(x), ∀x ∈ R Kết hợp g(x) vừa tìm được, ta có f (x) = x2 + x + 1, ∀x ∈ R Thử lại thấy thỏa Vậy f (x) = x2 + x + 1, g(x) = x + ∀x ∈ R hàm cần tìm Nhận xét 3.1 Ta thấy toán dạng Định lý 2.3 trình bày Chương sử dụng kết Định lý 2.3, ta dễ dàng có f (x) = ax2 + bx + c g(x) = ax + b Kết hợp với điều kiện đề cho, ta dễ dàng suy b = c = 1, ta lại có thay x = 1, y = (3.5) ta f (1) = 1, suy a = Vậy f (x) = x2 + x + 1, g(x) = x + 1, ∀x ∈ R hàm cần tìm Bài tốn 3.3 (Irish, 1995) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn xf (x) − yf (y) = (x − y)g(x + y), ∀x, y ∈ R (3.10) Lời giải Ta thấy f nghiệm (3.10) f + b nghiệm Do đó, khơng tính tổng qt, ta giả sử f (0) = luan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrangeluan.van.thac.si.mot.so.phuong.trinh.ham.lien.quan.den.dinh.ly.gia.tri.trung.binh.largrange download by : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 03/01/2024, 06:58
Xem thêm: