luận văn thạc sĩ về một lớp môđun tổng quát hóa của môđun mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG Chun ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn: TS Lê Đức Thoang download by : skknchat@gmail.com i Lời Cam Đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, tài liệu tham khảo nêu rõ ràng Quy Nhơn, ngày tháng năm 2019 Học viên Phạm Thị Thúy Hằng download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục Lời Cam Đoan Bảng ký hiệu i iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số lớp môđun vành 1.1.1 Một số lớp môđun 1.1.2 Một số lớp vành 12 1.1.3 Môđun vành mở rộng 15 Một số kết liên quan 17 MÔĐUN NCS 20 2.1 Định nghĩa ví dụ 20 2.2 Một số tính chất 22 TÍNH NCS CỦA MƠĐUN 32 KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong iii Bảng ký hiệu MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R A⊆B : A môđun B A⊂B : A môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M : A môđun đối cốt yếu môđun M n L Mi : Tổng trực tiếp họ mơđun Mi Ri : Tích trực tiếp vành Ri i=1 Q Soc(MR ) : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) J = J(R) : Căn Jacobson môđun R ann(m) : Linh hóa tử phần tử m r(X), (l(X)) : Linh hóa tử phải, (trái) X End(MR ) : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong MỞ ĐẦU • Lí chọn đề tài: Cùng với phát triển tốn học đại, lý thuyết mơđun nhà toán học quan tâm sâu sắc đạt nhiều kết Những kết điều kiện CS tác động nhiều để người nghiên cứu thêm môđun CS vành nên chọn nghiên cứu đề tài “Về lớp mơđun tổng qt hóa mơđun mở rộng” • Lịch sử vấn đề: Mơđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng môđun nội xạ có lớp mơđun quan trọng mơđun CS (mở rộng hay C1) Các định nghĩa CS khởi nguồn từ cơng trình nghiên cứu John von Neumann liên quan đến cố gắng ơng để mơ hình lượng tử học thơng qua hình học liên tục Điều kiện CS trình bày [2] Tính chất môđun thu hút nhiều nhà lý thuyết vành hai mươi năm sau [5] [13] sách chuyên khảo môđun CS tính chất liên quan mơđun Trong [7] [8], hai giả thiết tiếng đặc trưng vành QF giả thiết CF giả thiết luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong F GF , chứng minh R vành CS phải Những kết khuyến khích nhiều quan tâm người để nghiên cứu thêm môđun CS vành Cho C (M ), D(M ) S (M ) tập tất mơđun đóng, tập tất hạng tử trực tiếp tập tất môđun đối cốt yếu R-mơđun M Khi M môđun CS nghĩa C (M ) = D(M ) Tính chất cho ta thấy C (M ) ∩ S (M ) = {0} tức mơđun đóng khơng tầm thường M khơng mơđun đối cốt yếu Các mơđun cịn gọi môđun N CS Khái niệm lần trình bày [15] cho thấy giả thuyết Faith-Menal R môđun N CS Và tên "N CS " GS.D.V.Huynh đưa tác giả đến thăm ông ta trung tâm lý thuyết vành năm 2009 2010 Trong Mathematical Review (MR2282113) [15], Faith khuyến khích số cơng việc thực dựa theo điều kiện N CS Môđun N CS vành N CS vấn đề nhiều nhà tốn học quan tâm nên tơi đọc hiểu tiếp cận nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu: Khảo sát môđun vành N CS mối liên quan với lớp mơđun CS • Đối tượng nghiên cứu: Mơđun N CS vành N CS • Phương pháp nghiên cứu: Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu, đọc sách, báo có nội dung liên luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong quan đến đề tài nghiên cứu Sau tổng hợp, trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn • Đóng góp luận văn: Luận văn góp phần làm phong phú tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mơđun nói chung mơđun N CS nói riêng Ngồi ra, luận văn khảo sát số đặc trưng vành N CS qua khái niệm • Kết cấu luận văn: Luận văn bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun N CS Chương 3: Tính N CS mơđun Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng sau đại học, Khoa Tốn - Thống kê học q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để chúng tơi hồn thành tốt khóa học luận văn luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy giáo đọc giả để luận văn hoàn thiện luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, vành R giả thiết vành có đơn vị 6= tất R-môđun môđun unita Để thuận tiện, chúng tơi nói mơđun thay cho mơđun phải ký hiệu M thay cho ký hiệu MR Khi cần thiết, rõ M môđun phải hay trái Những khái niệm môđun luận văn trình bày cho R-mơđun phải (hoặc trái), khái niệm cho phía cịn lại hồn tồn tương tự Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại kiến thức cần thiết cho việc chứng minh chương sau Trước hết, trình bày khái niệm số kết quen thuộc lý thuyết vành môđun 1.1 1.1.1 Một số lớp môđun vành Một số lớp môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M N ⊆ M Môđun N gọi cốt yếu M N ∩ K 6= với môđun khác không K M , ký hiệu N ⊆ess M Môđun N M gọi hạng tử trực luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 31 Phần cuối chương, chứng minh M mơđun nâng M N CS M CS Định lý 2.2.18 Cho R vành cho M R-môđun Nếu M môđun nâng mơđun N CS M mơđun CS Chứng minh Giả sử K môđun khác khơng M Vì M môđun nâng nên tồn khai triển M = M1 ⊕ M2 cho M1 ⊆ K K ∩ M2 ⊆ess M Như vậy, K = M1 ⊕ (K ∩ M2 ) Với K ∩ M2 mơđun đóng K , theo Bổ đề 2.2.4, K ∩ M2 mơđun đóng M Vì M N CS K ∩ M2 ⊆ess M nên K ∩ M2 = Vì K = M1 hạng tử trực tiếp M Như M môđun CS Theo Mệnh đề 1.2.3, R vành nửa hồn chỉnh RR (R R) mơđun nâng Vì chúng tơi có hệ sau Hệ 2.2.19 Nếu R vành nửa hoàn chỉnh R N CS phải R CS phải luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 32 Chương TÍNH NCS CỦA MƠĐUN Chương trình bày số kết đặc trưng vành N CS tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [3], [4], [5], [11] [14] Theo Ví dụ 2.1.2, chúng tơi có ví dụ sau Ví dụ 3.0.1 Mọi vành nửa nguyên thủy vành N CS Vì vành qui von Neumann N CS Nhắc lại rằng, vành R gọi Kasch phải R-mơđun phải đơn nhúng RR , tương tự, iđêan phải cực đại R linh hóa tử phải Phía bên trái định nghĩa tương tự Bổ đề 3.0.2 Cho R vành nửa hoàn chỉnh, Kasch trái Min-CS trái Khi điều sau đúng: (a) Sl ⊆ess R R Soc(Re) đơn cốt yếu Re với lũy đẳng địa phương e ∈ R; (b) R Kasch phải Sl ⊆ Sr ; (c) Nếu {e1 , , en } sở lũy đẳng địa phương R {Soc(Re1 ), , Soc(Ren )} luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 33 tập đầy đủ biểu diễn phân biệt R-môđun trái đơn Định lý 3.0.3 R vành CS trái Kasch phải R vành liên tục nửa hoàn chỉnh với Sr ⊆ess R R Bổ đề 3.0.4 Cho R vành nửa hoàn chỉnh, vành liên tục trái giả sử Sl ⊆ess R R Khi điều sau đúng: (a) Zr ⊆ J = Zl ; (b) Sl ⊆ Sr ; (c) Soc(Re) đơn cốt yếu Re với địa phương e2 = e ∈ R; (d) R vành Kasch trái phải; (e) Soc(Re) 6= với địa phương e2 = e ∈ R Hệ 3.0.5 Cho R vành điều sau tương đương: (a) R CS trái, vành Kasch trái phải; (b) R vành liên tục nửa hoàn chỉnh trái với đế trái cốt yếu Chứng minh (a) ⇒ (b): Cho trước (a),theo Định lý 3.0.3 R nửa hồn chỉnh liên tục trái Vì R Kasch trái nên từ Bổ đề 3.0.2 ta có Sl ⊆ess R R (b) ⇒ (a): Có từ (d) Bổ đề 3.0.4 Mệnh đề 3.0.6 Cho R vành Khi R Kasch trái R vành C2 phải Zr ⊆ J luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 34 Chứng minh Giả sử R Kasch trái Nếu aR đẳng cấu với hạng tử trực R, a ∈ R, điều cho thấy Ra ⊆⊕ R R (khi a phần tử qui, aR ⊆⊕ RR ) Ta có aR xạ ảnh, đặt r(a) = (1 − e)R e2 = e Khi a = ae, Ra ⊆ Re ta khẳng định Ra = Re Ngược lại aR không đẳng cấu với hạng tử R, cho Ra ⊆ M ⊆max Re Theo giả thiết R Kasch trái nên có σ : Re/M → R R đơn ánh viết c = (e + M )σ Khi ec = c (vì ae = a ∈ M ) c ∈ r(a) = (1 − e)R Vì σ đơn ánh nên c = ec = e ∈ M Điều mâu thuẫn nên Ra = Re Bây giả sử R vành C2 phải cho a ∈ Zr Ta có r(a) ∩ r(1 − a) = nên r(1 − a) = (1 − a)R ∼ = R Theo giả thiết (1 − a)R ⊆⊕ R nên R(1 − a) ⊆⊕ R, ta có R(1 − a) = Rg, g = g Vì − g ∈ r(1 − a) = 0, R(1 − a) = R, a ∈ Zr Vậy Zr ⊆ J Ví dụ 3.0.7 Một vành N CS trái không thiết N CS phải, N CS phải liên tục trái artin hai bên Chứng minh Theo [[5], Ví dụ 18.27 (2)], vành liên tục trái artin hai bên không liên tục phải Dễ hiểu R N CS trái Ta chứng tỏ R không N CS phải Giả sử R N CS phải, theo Hệ 2.2.19 R CS phải Như vậy, theo Hệ 3.0.5, R Kasch hai bên Vì vành Kasch trái C2 phải (thấy Mệnh đề 3.0.6) nên R C2 phải Do R liên tục phải Điều không xảy Vậy R không N CS phải Mệnh đề 3.0.8 Một tích trực tiếp vành R = Q phải Ri N CS phải với i ∈ I luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com i∈I Ri N CS luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 35 Chứng minh Cho πi ιi (i ∈ I ), phép chiếu lên thành phần thứ i phép nhúng tắc lên thành phần thứ i (Z⇒) Với Ri , giả sử Ti iđêan phải đóng khác khơng Ri Đầu tiên, ta chứng tỏ T = ιi (Ti ) iđêan phải đóng R Ngược lại, có iđêan K R cho T chứa thực K T ⊆ess K Nếu j 6= i T ⊆ess K dẫn đến πj (K) = Như vậy, K = ιi πi (K) Từ T chứa thực K T ⊆ess K nên Ti chứa thực πi (K) Ti ⊆ess πi (K) Điều khơng xảy ra, Ti iđêan phải đóng Ri Vì T iđêan phải đóng khác khơng R Vì R N CS phải nên T khơng đối cốt yếu Vì tồn iđêan phải thực L R cho T + L = R Điều dễ thấy πi (L) iđêan phải thực Ri cho Ti + πi (L) = Ri Như vậy, Ti không iđêan đối cốt yếu Ri Do đó, Ri N CS phải (⇐\) Giả sử T iđêan phải đóng khác khơng R Tập Q Ti = πi (T ), i ∈ I Điều dễ thấy T = i∈I Ti Vì T iđêan phải đóng khác khơng R, dễ hiểu với i ∈ I , Ti iđêan phải đóng Ri Với T 6= 0, tồn i ∈ I cho Ti iđêan phải đóng khác khơng Ri Vì Ri N CS phải nên có iđêan phải riêng Ki Q Ri cho Ti + Ki = Ri Tập Ki = Ri với i 6= j K = i∈I Ki Khi K iđêan phải thực R cho T = K + R Do đó, T khơng iđêan phải đối cốt yếu R Vì R N CS phải Bổ đề 3.0.9 Cho R vành cho e2 = e ∈ R cho ReR = R Nếu T iđêan phải đóng khác khơng eRe T R iđêan phải đóng khác khơng R Chứng minh Cho K iđêan phải đóng R cho T R ⊆ess K Ta luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 36 cần chứng tỏ K = T R Vì T ⊆ eRe nên T R ⊆ess eK Đầu tiên, ta chứng tỏ T ⊆ess eKeRe = eKReRe = eKRe = eKe Vì ReR = R, tồn , bi ∈ R, i = 1, 2, , n, cho n X ebi = i=1 Giả sử 6= eke ∈ eKe, k ∈ K Vì T R ⊆ess eK , tồn r ∈ R cho 6= eker ∈ T R Khi tồn i0 cho 6= ekerai0 e ∈ T Re = T Như vậy, T ⊆ess eKeRe Từ T iđêan phải đóng eRe, ta có T = eKeRe = eKe Do đó, T R = eKeR = eKReR = eKR = eK Với eK = T R, chứa K , ta có K = eK ⊕ (1 − e)K Vì eK = T R ⊆ess K nên (1 − e)K = Vậy K = eK = T R Trước đến với Định lí 3.0.11 chúng tơi trình bày định lí sau Định lý 3.0.10 Cho e lũy đẳng R J = radR Khi rad(eRe) = J ∩ (eRe) = eJe Ngoài ra, eRe/rad(eRe) ∼ e, = e¯R¯ e¯ ảnh e R = R/J Chứng minh Với kết luận đầu tiên, đủ để chứng minh ba kéo theo sau đây: luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 37 (a) r ∈ rad(eRe) ⇒ r ∈ J (b) r ∈ J ∩ (eRe) ⇒ r ∈ eJe (c) r ∈ eJe ⇒ rad(eRe) Với (a), đủ thấy với y ∈ R, − yr có nghịch đảo trái R Đầu tiên, eRe, ta tìm b ∈ eRe, cho b(e − eye · r) = e, b(1 − yr) = e Như vậy, yrb(1 − yr) = yre = yr Thêm vào (1 − yr), ta (1 + yrb)(1 − yr) = Vậy khẳng định (a) chứng minh Với (b), cần ý với r ∈ J ∩ eRe, ta có r = ere ∈ eJe Với (c), đủ thấy với y ∈ eRe, e − yr có nghịch đảo trái eRe Vì r ∈ eJe ⊆ J , tồn lại x ∈ R cho x(1 − yr) = Nhưng đó, e = ex(1 − yr)e = ex(e − yr) = exe · (e − yr), exe ∈ eRe nghịch đảo trái với e − yr Để hồn thành chứng minh, ta cần tính eRe/eJe Xét ánh xạ tự nhiên eRe → e¯R¯ e từ ere đến e¯r¯e¯ Ánh xạ xác định đồng cấu vành triệt tiêu eJe, cảm sinh tồn cấu eRe/eJe → e¯R¯ e Đó đẳng cấu, e¯r¯e¯ = ere ∈ J ∩ eRe = eJe Định lý 3.0.11 Cho R vành cho e2 = e ∈ R cho ReR = R Nếu R N CS phải eRe N CS phải luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 38 Chứng minh Cho S = eRe cho T iđêan phải đóng khác không S Theo Bổ đề 3.0.9, T R iđêan phải đóng khác khơng R Vì R N CS phải nên T R khơng iđêan phải đối cốt yếu R Tiếp theo, ta chứng tỏ T không iđêan phải đối cốt yếu S Nếu T iđêan phải đối cốt yếu S T ⊆ J(S) = eJ(R)e (thấy Định lí 3.0.10) Vì J(R) iđêan R nên T R ⊆ J(R) Điều cho thấy T R iđêan phải đối cốt yếu R Điều mâu thuẫn Vì T khơng thể iđêan phải đối cốt yếu R Như vậy, S N CS phải Hệ 3.0.12 Nếu R vành Kasch trái R vành C2 phải mạnh Ví dụ 3.0.13 Cho F trường giả sử a 7→ a ¯ phép đẳng cấu F → F ⊆ F , trường F 6= F Cho R không gian véctơ trái với sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = ta = a ¯t với a ∈ F Khi R F -đại số Do điều sau đúng: (a) R địa phương, R/J ∼ = F J = 0; (b) J = Rt = F t iđêan trái thực R; (c) R nội xạ đơn phải không nội xạ đơn trái; (d) X 7→ Xt đẳng cấu dàn từ F -không gian phải X F đến dàn iđêan phải Xt R chứa J ; (e) R artin trái điều sau tương đương: luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 39 (1) R artin phải; (2) R noether; (3) R phải hữu hạn chiều; (4) FF hữu hạn chiều Hơn nữa, p số nguyên tố F = Zp x trường dạng hữu tỷ Zp ánh xạ ω 7→ ω p đẳng cấu F → F , F = {ω p | ω ∈ F } dim(F F ) = p Ví dụ sau cho thấy vành ma trận vành N CS trái N CS trái, N CS trái vành artin trái CS trái Ví dụ 3.0.14 (Bjăork) Cho F l mt trng v gi s rng a 7→ a ¯ phép đẳng cấu F → F ⊆ F , trường F 6= F Cho R không gian véctơ trái với sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = ta = a ¯t với a ∈ F Khi R F -đại số Do R N CS trái, Mn (R) không N CS trái với n > Chứng minh Theo Ví dụ 3.0.13, R có ba iđêan trái R nội xạ đơn phải khơng nội xạ đơn trái Nó dễ hiểu R N CS trái Vì R artin trái nội xạ đơn phải, R tối tiểu đầy đủ phải Nhắc lại rằng, vành R gọi tối tiểu đầy đủ phải nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn phải Soc(eR) 6= với lũy đẳng địa phương e ∈ R Theo Định lí 1.2.2, R Kasch trái phải Giả sử Mn (R) N CS trái với n > Vì R nửa hồn chỉnh nên theo Mệnh đề 3.0.17 bên ta có Mn (R) CS trái Khi R Kasch phải, theo Hệ 3.0.12 ta có R vành C2 trái mạnh Điều nghĩa Mk (R) C2 trái, k > luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 40 Vì Mn (R) liên tục trái Theo Định lý 1.2.1 R tự nội xạ trái Điều không xảy Vậy Mn (R) không N CS trái với n > Chúng tơi sử dụng kí hiệu Mn×1 (R) tập tất ma trận cột cỡ n × R Mệnh đề 3.0.15 Cho R vành cho n > Khi Mn (R) N CS phải Mn×1 (R) N CS R-môđun phải Chứng minh Ta chứng minh kết với n = 2, khác chứng minh tương tự Với iđêan phải T M2 (R), T có từ {[αβ] | α, β ∈ K}, K mơđun M2×1 (R) T iđêan phải đóng (đối cốt yếu) M2 (R) K Rmơđun đóng (đối cốt yếu) M2×1 (R) Vì M2 (R) N CS phải M2×1 (R) N CS R-môđun phải Mệnh đề 3.0.16 Cho R vành cho Λ tập vô hạn Khi (Λ) CFMΛ (R) N CS phải (tương ứng, CS ) RR N CS (tương ứng, CS ) Mệnh đề 3.0.17 Cho R vành nửa hồn chỉnh cho n > Khi Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải Chứng minh R nửa hồn chỉnh, theo Mệnh đề 1.2.3, RR mơđun nâng Vì tính chất nửa hồn chỉnh bất biến Morita vành nên Mn (R) nửa hoàn chỉnh với n > Khi đó, theo Hệ 2.2.19 Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải Hệ 3.0.18 Nếu R nửa hoàn chỉnh N CS phải RR có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 41 Chứng minh Theo Mệnh đề 3.0.17, R CS phải Vì R nửa hoàn chỉnh nên tồn lũy đẳng địa phương e1 , e2 , , en R cho R= n M ei R i=1 Ta chứng tỏ với lũy đẳng địa phương e R eR Khi số chiều Goldie (hay chiều đều) RR n Nếu eR khơng có mơđun khác khơng T1 , T2 khơng phụ thuộc Vì R CS phải nên T1 cốt yếu hạng tử trực tiếp eR Khi e địa phương T1 cốt yếu eR Điều mâu thuẫn Vậy eR Mệnh đề 3.0.19 Cho R vành hoàn chỉnh phải cho Λ tập vơ hạn Khi phát biểu sau tương đương: (Λ) (a) RR N CS ; (Λ) (b) RR CS ; (c) CFMΛ (R) N CS phải; (d) CFMΛ (R) CS phải (Λ) Chứng minh Vì R hồn chỉnh phải nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta có RR mơđun nâng Theo Định lí 2.2.18, (a) ⇔ (b) Theo Mệnh đề 3.0.16, (a) ⇔ (c) (b) ⇔ (d) Cuối cùng, chúng tơi có mơ tả vành Bổ đề 3.0.20 Một vành R nửa hoàn chỉnh P P −CS phải đếm CS phải, (N) R hoàn chỉnh phải RR CS -đều Nhắc lại rằng, vành R gọi P đếm N CS phải tổng trực tiếp đếm R môđun N CS luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 42 R gọi P −CS tổng trực tiếp RR môđun CS Định lý 3.0.21 Một vành R hoàn chỉnh phải P phải R −CS phải P đếm N CS Chứng minh Theo Bổ đề 3.0.20, ta cần chứng minh điều kiện cần Vì P R hồn chỉnh phải đếm N CS phải, Theo Mệnh đề 3.0.19, R P P đếm CS phải Khi theo Bổ đề 3.0.20, R −CS phải Nhận xét 3.0.22 Một vành P −N CS phải không thiết luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com P −CS luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 43 KẾT LUẬN Trong luận văn thực cơng việc sau Trình bày kiến thức số lớp môđun số lớp vành quan trọng Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết liên quan đến môđun N CS tài liệu tham khảo Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết đặc trưng vành N CS luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson F W, Fuller K R Rings and Categories Modules Grad Texts in Math, Vol 13 New York: Springer-Verlag, 1992 [2] Chatters A W, Hajarnavis C R Rings in which every complement right ideal is a direct summand Q J Math, 1997, 28: 61-80 [3] Chen J L, Li W X On artiness of right CF rings Comm Algebra, 2002, 32(11): 4485-4494 [4] Clark J, Lomp C, Vanaja N, Wisbauer R Lifing Modules: Supplements and Projectivity in Modules Theory Font Math Basel: Birkhăauser Verlag, 2006 [5] Dung N V, Huynh D V, Smith P F, Wisbauer R Extending Modules Pitman Research Notes Math Ser, 313 Essex: Longman Scientific Technical, 1994 [6] Faith C, Huynh D V When self-injective rings are QF: a report on a problem J Algebra Appl, 2002, 1(1): 75-105 [7] Gómez Pardo J L, Guil Asensio P A Essential embedding of cyclic modules in projectivers Trans Amer math Soc, 1997, 349(11): 43434353 luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong luan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rongluan.van.thac.si.ve.mot.lop.modun.tong.quat.hoa.cua.modun.mo.rong