luận văn thạc sĩ ứng dụng của bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy largrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ BẢO TOÀN ỨNG DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN Bình Định - Năm 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ BẢO TOÀN ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn khoa học TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Bình Định - Năm 2020 download by : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Lê Bảo Toàn download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q thầy giáo, giáo cơng tác khoa Tốn Thống Kê,q thầy,cơ giáo nhân viên cơng tác trường đại học Qui Nhơn, tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi xun suốt q trình học tập lớp Cao học khóa 21 Tơi chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, quí thầy giáo, giáo tồn thể anh,chị, em đồng nghiệp trường Trung Học Phổ Thông Nguyễn Trãi, Thị xã An Khê, Tỉnh Gia Lai, bạn gia đình, người luôn bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian hoc tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Lê Bảo Toàn download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange Mục lục Mở đầu 1 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ CÁC BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỔ HỢP 1.1 Công thức nội suy Lagange 1.2 Ý nghĩa hình học cơng thức nội suy Lagrange 1.3 Các đồng thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange Các biểu diễn tính tốn liên quan đến số tổ hợp 1.4.1 Biểu diễn tích qua số tổ hợp 1.4.2 Khai triển nhị thức Newton hệ 10 1.4 ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE 19 2.1 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nội suy Lagrange có yếu tố giải tích 19 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức tổ hợp vào tốn nội suy Lagrange có yếu tố hình học 45 Kết luận 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange Mở đầu Lý chọn đề tài Trong q trình tính toán, nhiều ta cần phải xác định giá trị hàm số f (x) điểm tùy ý cho trước, điều kiện cho biết số giá trị rời rạc hàm số đạo hàm hàm số đến cấp số điểm x1 , x2 , , xk cho trước Với trường hợp vậy, người ta thường tìm cách xây dựng hàm số P (x) dạng đơn giản hơn, thường đa thức đại số, thỏa mãn điều kiện cho Ngoài ra, giá trị x ∈ R mà x không trùng với x1 , x2 , , xk P (x) ≈ f (x) (xấp xỉ theo độ xác đó) Hàm số P (x) xây dựng theo cách vừa mô tả gọi hàm nội suy f (x) Các điểm x1 , x2 , , xk thường gọi nút nội suy Bài toán xây dựng hàm P(x) gọi toán nội suy Các toán nội suy vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích tốn học Chúng khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Các toán nội suy cổ điển Giải tích xuất cách kỷ, khởi đầu công trình khoa học nhà tốn học lỗi lạc Lagrange, Hermite, Newton, tìm thấy nhiều ứng dụng lý thuyết toán biên toán Vật lý Toán, Kỹ thuật Có thể kể đến số tốn nội suy cổ điển như: Bài toán nội suy Taylor, Bài toán nội suy Lagrange, Bài toán nội suy Newton, Bài toán nội suy Hermite, Trong toán nội suy, Bài tốn nội suy Lagrange có nhiều ứng dụng chương trình Tốn bậc Trung học phổ thơng, chủ yếu giả thiết tốn chưa có yếu tố đạo hàm, đặc biệt đạo hàm cấp cao Nhiều tốn khó đề thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Tốn quốc tế đơi giải cách thuân lợi nhờ vào ứng dụng Đa luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange thức nội suy Lagrange Trong Bài toán nội suy Lagrange thường xuất dạng tổng, chẳng hạng sau ! n P j=1 n P aj n Q i=1,i6=j x − xi xj − xi , Bài toán nội suy Lagrange; aj (x − xi )k−1 , Bài toán nội suy Taylor; (n − 1)! j=1 Do đó, toán nội suy cổ điển thường liên quan chặt chẽ đến đẳng thức tổ hợp, chẳng hạn đẳng thức sau n Q 1 = (−1)n−k k.Cnk ; k − i n! i=1,i6=k n Q (n + 1) − i = (−1)n−k Cnk−1 ; k − i i=1,i6=k n+1 P k Cn+2 bk = (1 + b)n+2 − bn+2 − 1; k=1  n (n + 1)! n  P (−1)n−k Cnk k n+1 = k=0 Điều đòi hỏi, trước nghiên cứu toán nội suy cổ điển, cần xác định đẳng thức tổ hợp cách có hệ thống Đây vấn đề cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp mà học viên chủ yếu giáo viên cấp Trung học phổ thông Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Bài toán nội suy Lagrange Từ đó, số kiến thức chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng soi sáng qua lăng kính Tốn cao cấp Luận văn đề cập đến ứng dụng lý thuyết nghiên cứu vào việc giải đề xuất số tốn khó cấp Trung học phổ thông, đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Toán quốc tế Nội dung luận văn nghiên cứu tiếp nối nội dung tài liệu [1] Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các đẳng thức tổ hợp Bài toán nội suy Lagrange Phạm vi nghiên cứu: Toán cao cấp (chủ yếu thuộc lĩnh vực Giải tích) ứng dụng vào chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tổng hợp số nội dung từ tài liệu hình thành luận văn, hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn có ý nghĩa khoa học áp dụng kiến thức toán cao cấp để thiết lập tốn dãy số phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngoài nội dung quy định cấu trúc luận văn Thạc sĩ, nội dung luân văn chia thành hai chương: Chương Công thức nội suy Lagrange biểu diễn liên quan đến số tổ hợp Chương trình bày ngắn gọn Cơng thức nội suy Lagrange, ý nghĩa hình học Công thức nội suy Lagrange đồng thức cảm sinh từ Công thức nội suy Lagrange Đồng thời chương giới thiệu biểu diễn tích qua số tổ hợp khai triển nhị thức Newton Chương Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nội suy Lagrange Chương trình bày ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nội suy Lagrange có yếu tố Giải tích Hình học đề cập cách giải số tốn khó cấp Trung học phổ thông, đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Toán quốc tế luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange Chương CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ CÁC BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỔ HỢP 1.1 Công thức nội suy Lagange Nội dung mục tham khảo [3] Định lý 1.1 Cho n số x1 , x2 , , xn phân biệt n số a1 , a2 , , an tùy ý Thế tồn đa thức P (x) với bậc không n − 1, thỏa mãn P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, , n (1.1) Đa thức có dạng n P j=1 n Q aj i=1,i6=j x − xi xj − x i ! (1.2) Đa thức (1.2) gọi đa thức nội suy Lagrange công thức nội suy Lagrange Các số x1 , x2 , , xn gọi nút nội suy - Với n = 2, đa thức P (x) = a1 x − x2 x − x1 + a2 x1 − x2 x2 − x1 (1.3) Ký hiệu deg P (x) bậc P (x) Thế deg P (x) ≤ P (x1 ) = a1 ; P (x2 ) = a2 - Với n = 3, đa thức P (x) = a1 (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x3 ) (x − x1 ) + a2 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x3 ) (x2 − x1 ) +a3 (x − x1 ) (x − x2 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com (1.4) luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange Rõ ràng deg P (x) ≤ P (x1 ) = a1 ; P (x2 ) = a2 ; P (x3 ) = a3 Hệ 1.2 Cho n số x1 , x2 , , xn phân biệt Thế đa thức P (x) với bậc không n − 1, viết dạng P (x) = n P n Q P (xj ) j=1 i=1,i6=j ! x − xi xj − xi (1.5) Nhận xét Vế phải (1.5) đa thức với bậc n − 1, hệ số số hạng xn−1 n P j=1 P (xj ) n Q (xj − xi ) i=1,i6=j 1.2 Ý nghĩa hình học công thức nội suy Lagrange Nội dung mục tham khảo [3] Các đa thức (1.3) (1.4) quen thuộc chương trình tốn phổ thơng Xét đa thức (1.4) chẳng hạn Giả sử rằng, mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (x1 ; y1 ) , B (x2 ; y2 ) , C (x3 ; y3 ), với x1 , x2 , x3 khác đơi Thế thì, theo (1.1) (1.2), tồn đường cong y = P (x), P (x) đa thức với deg P (x) ≤ 2, thỏa mãn: P (x1 ) = y1 (nghĩa đường cong qua điểm A) ; P (x2 ) = y2 (nghĩa đường cong qua điểm B) ; P (x3 ) = y3 (nghĩa đường cong qua điểm C) Hơn nữa, đường cong cịn có phương trình cụ thể y = P (x), P (x) có dạng (1.4) số aj yj ; j = 1, 2, - Với deg P (x) = 2, đồ thị hàm số y = P (x) parabol qua điểm A, B, C - Với deg P (x) = 1, đồ thị hàm số y = P (x) đường thẳng qua điểm A, B, C không phương với trục hoành - Với deg P (x) = 0, đồ thị hàm số y = P (x) đường thẳng qua điểm A, B, C phương với trục hoành luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com j=0 j=0 i=0, i6=j i=0, i6=j luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange 27 Lưu ý rằng, với số nguyên x0 < x1 < < xn , ta ln có |xj − xi | ≥ |j − i| , ∀i, j = 0, 1, , n Khi đó, Đẳng thức 1.2, ta có 1< n X j=0  n Y  n! 2n i=0, i6=j   n   X n! j = Cn |j − i| 2n n! j=0 n 1 X j = n Cn = n 2n = 1, 2 j=0 mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.10 (Iran - 2011) Cho số nguyên n ≥ đa thức f (x) = xn + an−2 xn−2 + an−3 xn−3 + + a1 x + a0 có hệ số số thực Chứng minh tồn k ∈ {1, 2, , n} cho |f (k)| ≥ n! Cnk Lời giải Giả sử với k ∈ {1, 2, , n}, ta có |f (k)| < n! Cnk Xét đa thức g (x) = f (x) − xn = an−2 xn−2 + an−3 xn−3 + + a1 x + a0 Ta có deg g ≤ n − Sử dụng Công thức nội suy Lagrange với mốc nội suy x1 = 1, x2 = 2, , xn = n, ta có g (x) = n X  n Y g (xk ) k=1 i=1, i6=k   n x − xi  X  = g (k) xk − xi k=1 n Y i=1, i6=k  x − i k−i Trong đẳng thức trên, hệ số xn−1 vế trái 0, hệ số xn−1 vế phải   n X n Y g (k) k=1 i=1, i6=k  k−i Vậy 0= n X k=1  g (k) n Y i=1, i6=k   = k−i n X k=1  (f (k) − k n ) n Y i=1, i6=k   k−i luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange 28 = n X  n Y (f (k) − k n ) k=1 i=1, i6=k   k−i Do đó, Đẳng thức 1.1, ta có  n  X n−k k n k.Cn 0= (f (k) − k ) (−1) n! k=1 n  n   X  X n−k k k n (−1)n−k k.Cnk = f (k) (−1) k.Cn − n! k=1 k=1 hay n  X ! n−k f (k) (−1) k.Cnk  = k=1 n  X  (−1)n−k Cnk k n+1 k=1 Bởi Đẳng thức 1.13, suy n  X k=1  n (n + 1)! f (k) (−1)n−k k.Cnk = Do  n n   X n! n (n + 1)! n (n + 1)! X  k k |f (k)| k.Cn < = k.Cn ≤ 2 Cnk k=1 = n! n X k = n! k=1 k=1 n (n + 1) n (n + 1)! = , 2 mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh Bài tốn 2.11 Giả sử n số nguyên dương cho trước P (x) đa thức với bậc không lớn 2n, thỏa mãn điều kiện |P (k)| ≤ 1, ∀k ∈ {−n, − (n − 1) , , 0, , n − 1, n} Chứng minh |P (x)| ≤ 4n Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), với bậc không lớn 2n, 2n + điểm nguyên khác đôi x−n = −n, x−(n−1) = − (n − 1) , , xk = k, , xn = n, Ta có P (x) = n X k=−n  P (xk ) n Y i=−n, i6=k  x − xi  = xk − x i n X k=−n  P (k) n Y i=−n, i6=k x − i k−i luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com  luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange 29 Do |P (x)| ≤ n X  n Y |P (k)| k=−n i=−n, i6=k  |x − i|  |k − i| Với k ∈ {−n, − (n − 1) , , 0, , n − 1, n}, ta có n Y |x − i| = |x − (−n)| |x − (− (n − 1))| |x − n| i=−n, i6=k ≤ |n − (−n)| |n − (− (n − 1))| |n − (n − 1)| = 2n (2n − 1) = (2n)!, ∀x ∈ [−n; n] Ngoài ra, với k ∈ {−n, − (n − 1) , , 0, , n − 1, n}, ta có n Y (k − i) = (k + n) (k + n − 1) (−1) (−2) (− (n − k)) i=−n, i6=k = (−1)n−k (n + k) ! (n − k) ! Vậy, với x ∈ [−n, n], ta có |P (x)| ≤ n X k=−n 2n 2n l=0 l=0 X (2n)! X (2n)! l = = C2n = 22n = 4n (n + k)! (n − k)! l! (2n − l)! Bài toán 2.12 Giả sử n số nguyên dương cho trước Xác định tất đa thức P (x) có bậc nhỏ n thỏa mãn điều kiện n X (−1)n−k+1 P (k) Cnk = k=0 Lời giải Áp dụng Công thức nội suy Lagrange cho đa thức P (x), với bậc nhỏ n, n điểm nguyên khác đôi x0 = 0, x1 = 1, , xk = k, , xn−1 = n − 1, ta có P (x) = n−1 X k=0  P (xk ) n−1 Y i=0, i6=k  x − xi  = xk − x i n−1 X  P (k) k=0 n−1 Y i=0, i6=k  x − i k−i Suy P (n) = n−1 X k=0  P (k) n−1 Y i=0, i6=k  n − i k−i luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange 30 Hơn nữa, với k ∈ {0, 1, , n − 1}, Đẳng thức 1.4, ta có n−1 Y i=0,i6=k n−i = (−1)n−k−1 Cnk = (−1)n−k+1 Cnk k−i Do P (n) = n−1 X P (k) (−1)n−k+1 Cnk  k=0 hay n−1 X  P (k) (−1)n−k+1 Cnk − P (n) = k=0 Đẳng thức viết lại sau n−1 X  (−1)n−k+1 P (k) Cnk + (−1)n−n+1 P (n) Cnn = k=0 hay n  X  (−1)n−k+1 P (k) Cnk = k=0 Do đó, điều kiện tốn thỏa mãn Tóm lại, đa thức cần tìm có dạng P (x) = n−1 X  P (k) k=0 n−1 Y i=0, i6=k  x − i k−i P (0) , P (1) , , P (n − 1) giá trị tùy ý Bài toán 2.13 (IMO Shortlist - 1983) Giả sử (Fn )n≥1 dãy Fibonacci F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn (n ≥ 1) P (x) đa thức có bậc 990, thỏa mãn P (k) = Fk , k ∈ {992, 993, , 1982} Chứng minh P (1983) = F1983 − Lời giải Chú ý Fn có cơng thức tổng quát Fn = √ (αn − β n ) luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange 31 với n nguyên dương, √ √ 1+ 1− α= , β= 2 √ Dễ thấy α + β = 1, α − β = 5, αβ = −1 Áp dụng Công thức nội suy Lagrange với 991 mốc nội suy xk = k, k ∈ {992, 993, , 1982} , ta có ! x−i P (x) = P (xk ) k=992 i=992, i6=k k − i ! ! 1982 1982 1982 1982 P Q P Q x−i x−i = P (k) = Fk k=992 i=992, i6=k k − i k=992 i=992, i6=k k − i ! 1982 1982
P Q x−i √ αk − β k = k=992 i=992, i6=k k − i ! 1982
P Q 1982 x − i =√ αk − β k k=992 i=992, i6=k k − i 1982 P 1982 Q Do đó, Đẳng thức 1.4 Đẳng thức 1.7, ta có ! 1983 − i αk − β i=992, i6=k k − i ! 990
P Q 990 991 − i =√ αk+992 − β k+992 k=0 i=0, i6=k k − i  
P 990 k αk+992 − β k+992 (−1)990−k C991 =√ k=0 
P  k+992 990 k =√ α − β k+992 (−1)990 (−1)−k C991 k=0 
P  k+992 990 k =√ α − β k+992 (−1)−k C991 k=0 
P  k+992 990 k =√ α − β k+992 (−1)k C991 k=0  990  990 P  k+992 P  k+992 k k k k =√ α (−1) C991 − β (−1) C991 k=0 k=0   990 990 P k P k k k k k 992 992 =√ α α (−1) C991 − β β (−1) C991 5 k=0 k=0   990 990 P P k k k k 992 992 =√ α (−α) C991 − β (−β) C991 k=0 k=0      991 991 991 991 992 992 √ α (1 − α) − (−α) − β (1 − β) − (−β) = 5     = √15 α992 (1 − α)991 + α991 − β 992 (1 − β)991 + β 991 P 1982 P (1983) = √ k=992
k 1982 Q luan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrangeluan.van.thac.si.ung.dung.cua.bat.dang.thuc.to.hop.vao.bai.toan.noi.suy.largrange download by : skknchat@gmail.com