skkn mới nhất skkn rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân phần kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12 Để hồn thành tốt kiến thức phần thực không đơn giản Đặc biệt hàm dấu tính phân khơng phải hàm cụ thể Trong dạng tích phân ta thường gặp số dạng: hàm dấu tích phân hàm Để giải dạng toán ta sử dụng hai phương pháp tính tích phân quen thuộc hữu hiệu đổi biến số tích phân phần Tuy nhiên vận dụng hai phương pháp để giải tốt tốn tích phân hàm ẩn thực gây khơng khó khăn cho học sinh Do với chất dạng tốn lạ, địi hỏi suy luận cao, tư lơgic cộng với việc tính tốn nhanh thách thức học sinh lớp 12 Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư quy lạ quen cho học sinh lớp 12 thông qua lớp tốn tích phân hàm ẩn” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2018 – 2019 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hình thành cách tính nhanh, xác số dạng tốn tích phân hàm ẩn chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư quy lạ quen, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức phương pháp tính tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp tích phân đổi biến số tích phân phần - Chương III - Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần tích phân hàm ẩn trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng hai phương pháp tính tích phân quen download by : skknchat@gmail.com thuộc việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Nguyên hàm tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính tích phân đổi biến số phần Đây hai phương pháp nhất, giải nhiều tập ngun hàm tích phân quen thuộc Khơng số dạng tập tích phân “lạ” – dạng tích phân mà hàm dấu tích phân khơng phải hàm cụ thể mà hàm ẩn hai phương pháp cơng cụ hữu ích Vì vậy, tơi nhận thấy cần thiết rèn luyện phương pháp tư quy lạ quen, giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong q trình dạy học tơi nhận thấy điều để làm tốt, nhanh phần tích phân hàm ẩn cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích dạng tốn, biết quy lạ quen Nhưng thực tế điều lại điểm yếu không học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại làm dạng tích phân khó, lạ 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Ôn tập số kiến thức cần dùng cho học sinh - Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, hàm số hợp download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham - Tính chất nguyên hàm tích phân, đặc biệt - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tích phân phần - Công thức lượng giác - Đạo hàm hàm số lượng giác 2.3.2 Tìm hiểu tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn tích phân mà hàm dấu tích phân khơng phải biểu thức cụ thể mà … Ví dụ: , … 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng tích phân hàm ẩn phương pháp tư quy lạ quen Dạng 1: Sử dụng phép đổi biến tích phân Khi câu tích phân xuất biểu thức quan trọng giúp ta nghĩ đến phép đổi biến số Bài 1: Cho tích phân đề dấu hiệu Tính A B C D Đề thức mã 101– BGD – 2017 Phân tích: - Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân biểu thức cụ thể mà u cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân - Yếu tố quen: Sự xuất lạ lại gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận tích phân giả thiết từ cịn cận tích phân cần tính Vậy đặt Hướng dẫn: Đổi biến Đáp án D Bài 2: Cho hàm số A thỏa mãn B Tính C D skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Trích đề thi thử lần năm 2019 trường chuyên ĐH KHTN Hà Nội Phân tích: Sự xuất biến gợi ý quan trọng để ta nghĩ đến phép đổi Hướng dẫn: Đổi biến Đáp án A Bài 3: Cho tích phân A Tính theo B C tích phân D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa Phân tích: - Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân biểu thức cụ thể mà u cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân - Yếu tố quen: Sự xuất lạ lại gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận tích phân giả thiết từ cịn cận tích phân cần tính Vậy ta đặt Hướng dẫn: Đổi biến Đáp án C Bài 4: Cho hàm số hàm số chẵn liên tục Biết: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2018 trường chuyên ĐH Vinh Phân tích: - Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân khơng phải biểu thức cụ thể mà u cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân Mặt khác mẫu gây khó khăn cho việc tính tích phân Vậy để tính tích phân I cần khử mẫu skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham - Yếu tố quen: giả thiết cho hàm số chẵn liên tục nên gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận tích phân giả thiết từ cần tính Vậy ta đặt cịn cận tích phân Hướng dẫn: Ta có: Đổi biến: Đáp án B Bài 5: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa Phân tích: Sự xuất Hướng dẫn: Đổi biến nhắc đổi biến Ta có: Đáp án A Bài 6: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa Phân tích: skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham - Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho u cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân Cả giả thiết kết luận toán chứa hàm ẩn - Yếu tố quen: Sự xuất lạ từ giả thiết ta rút lại gợi ý quan trọng giúp ta việc đổi biến Hướng dẫn: Đổi biến: Ta có: Tính Đáp án C Bài 7: Biết hàm số hàm số chẵn và: Tính tích phân A B Phân tích: Sự xuất C D khiến nhiều em học sinh đổi biến gặp khó khăn Đây “bẫy” Để ý giả thiết cho hàm số chẵn nên đổi biến hợp lý phải Hướng dẫn: Đổi biến skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Đáp án B Bài 8: Cho hàm số liên tục Tính A B C D Trích đề thi thử năm 2019 trường THPT Hồng Hoa Thám - Hưng n Phân tích: Bài tốn xuất nhiều hàm ẩn hàm ẩn lại giúp ta nghĩ đến việc đổi biến nhiên Hướng dẫn: Xét tích phân , đổi biến Xét tích phân , đổi biến Xét tích phân , đổi biến Đáp án D Một số dạng thường gặp: Giả thiết cho tích phân Phương pháp: Đặt Giả thiết cho tích phân Tính biến đổi tích phân theo biến t Tính skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Phương pháp: Đặt biến đổi tích phân theo biến t để suy tích phân cần tính Giả thiết cho thể hàm số chẵn Tính Phương pháp: Đặt hàm cụ biến đổi tích phân theo biến t Giả thiết cho Tính Phương pháp: Đặt biến đổi tích phân hoặc theo biến t Giả thiết cho hai tích phân dạng: Tính Phương pháp: Đặt biến đổi hai tích phân theo biến Đặt: để suy tích phân cần tính theo hai tích phân Dạng 2: Sử dụng tích phân phần Khi câu tích phân xuất đạo hàm hàm dấu tích phân giúp ta nghĩ đến việc sử dụng cơng thức tính tích phân phần Bài 1: Cho hàm số phân liên tục , Tính tích A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái Phân tích: skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham - Yếu tố lạ: Sự xuất hàm ẩn đề - Yếu tố quen: u cầu tính tích phân có chứa hàm đến cơng thức tích phân phần lại gợi cho ta nghĩ Hướng dẫn: Đặt Ta có: Mà: Đáp án A Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn , Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Ngô Sỹ Liên - Bắc Giang Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất thừa số nhân với Từ nhận để sử dụng cơng thức tích phân phần Hướng dẫn: Đặt Đáp án A Bài 3: Cho hàm số thỏa mãn Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng Phân tích: Hàm dấu tích phân giả thiết xuất thừa số nhân với Từ nhận để sử dụng cơng thức tích phân phần skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Hướng dẫn: Đặt Ta có: Đáp án A Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn Tính: A B C D Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất thừa số nhân với Từ nhận để sử dụng cơng thức tích phân phần Hướng dẫn: Đặt Ta có: Đáp án D Bài 5: Cho hàm số thỏa mãn Biết: Tính A B C D Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất hai hàm ẩn phân tích - Yếu tố quen: Sự xuất dấu tích phân giả thiết thừa số nhân với giúp ta nghĩ đến cơng thức tích phân phân quen thuộc Hướng dẫn: Ta có: skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 10 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Đặt Khi đó: Đáp án B Bài 6: Cho hàm số nguyên hàm hàm số Biết A B đoạn Tính C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất hàm ẩn tích phân cần tính giả thiết hàm ẩn - Yếu tố quen: Ta có nên sử dụng cơng thức tích phân phần để biến đổi tích phân giả thiết tích phân cần tính Hướng dẫn: Cách1: Đặt Khi đó: Cách 2: Đặt Khi đó: Đáp án B Bài 7: Cho hàm số thỏa mãn skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 11 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Tính A B C D Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất - Yếu tố quen: gợi ý sử dụng cơng thức tích phân phần Hướng dẫn: Đặt Đáp án A Một số dạng thường gặp: Giả thiết cho tích phân Phương pháp: Đặt Tính biến đổi tích phân Giả thiết cho tích phân Phương pháp: Đặt Tính biến đổi tích phân để suy tích phân cần tính Giả thiết cho Phương pháp: Đặt Tính biết biến đổi tích phân theo tích phân Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai phương pháp tích phân phần đổi biến skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 12 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Khi câu tích phân xuất đạo hàm hàm dấu tích phân biểu thức giả thiết dấu hiệu giúp ta nghĩ đến việc dùng hai phương pháp đổi biến số tính tích phân phần Bài 1: Cho hàm số thỏa mãn có đạo hàm liên tục , Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2018 trường chuyên ĐH Vinh Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất thừa số nhân với Từ nhận để sử dụng cơng thức tích phân phần Mặt khác giả thiết cho gợi ý để ta sử dụng phương pháp đổi biến số Hướng dẫn: Đặt Đổi biến: Lại có: Suy ra: Đáp án B Bài 2: Cho hàm số Biết nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục A Tính B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 13 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Phân tích: Sự xuất tích phân phần phép đổi biến số nhắc sử dụng công thức Hướng dẫn: Đặt Ta có: Đổi biến: Suy ra: Đáp án C Bài 3: Cho hàm số A Tính B Phân tích: Sự xuất C D gợi ý để ta sử dụng công thức tích phân phần Tuy nhiên gợi cho ta tư để sử dụng tích phân liên kết thông qua phép đổi biến số Hướng dẫn: Đặt Ta có: Đổi biến , ta được: skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 14 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Đáp án D Một số dạng thường gặp: Giả thiết cho có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính Phương pháp: Đặt biến đổi tích phân Tiếp tục biến đổi tích phân cách đặt Giả thiết cho để suy kết có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính Phương pháp: Đặt biến đổi tích phân Tiếp tục biến đổi tích phân cách đặt để suy kết 2.3.4 Hệ thống tập tích phân hàm ẩn giúp học sinh rèn luyện Bài 1: Cho hàm số A thỏa mãn: B Tính C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa Bài 2: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: A B Bài 3: Cho hàm số A Tính C thỏa mãn B D Tính C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa (đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Phan Bội Châu - Nghệ An) skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 15 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Bài 4: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa Bài 5: Cho hàm số , hàm số chẵn liên tục A , thỏa mãn: Tính B Bài 6: Cho hàm số C D có đạo hàm liên tục , thỏa mãn: Tính A B Bài 7: Cho hàm số C D có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: Tính A B Bài 8: Cho hàm số C hàm lẻ liên tục A D Tính B biết: C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa Bài 9: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Tính A B Bài 10: Cho A C Khi B D C D skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 16 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Trích đề thi thử năm 2019 Sở Giáo Dục Hà Nội năm 2019 Bài 11: Cho hàm số liên tục thỏa mãn: Khi A B Bài 12: Cho hàm số bằng: C có đạo hàm liên tục Tính A D B và: theo C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa Bài 13: Cho hàm số liên tục và: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Nho Quan – Ninh Bình Bài 14: Cho hàm số có đạo hàm liên tục và: Tính A B C D Trích đề thi thử năm 2019 Sở GD Bắc Ninh Bài 15: Cho hàm số liên tục Giả sử ta có: Tính A B Bài 16: Cho hàm số C liên tục D thỏa mãn: Tính A B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường chuyên ĐH Vinh skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 17 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham Bài 17: Cho hàm số liên tục A thỏa mãn: Tính B C D Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Kinh Môn – Hải Dương Bài 18: Cho hàm số liên tục có đạo hàm thỏa mãn: Biết tích phân Trong phân số tối giản Tính A B C D Trích đề thi thử năm 2019 Sở Giáo Dục tỉnh Kiên Giang 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Thông qua việc đưa lớp tốn tích phân hàm ẩn đồng thời nêu dạng tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ biết cách áp dụng vào tốn cụ thể tơi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh độ xác cao Từ kết kiểm tra tốt rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D3 12D4 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt rõ rệt Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Số HS thực nghiệm 12D3 12D4 Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 43 11,63% 19 44,19% 16 37,21% 6,98% 43 18,61% 20 46,51% 14 32,56% 2,32% Kết kiểm tra lần Lớp 12D3 Số HS Điểm thực % nghiệm SL 43 0 Điểm 5-6 SL 10 % Điểm 7-8 SL 23,26% 23 Điểm 9-10 % SL % 53,49% 10 23,25% skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham download by : skknchat@gmail.com 18 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.phuong.phap.tu.duy.quy.la.ve.quen.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.mot.lop.cac.bai.toan.tich.phan.ham