skkn mới nhất skkn kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG .1 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn THPT, phần đại số mà cụ thể chủ đề số phức, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số Trong chủ đề này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa; lấy môđun, … số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức với điểm mặt phẳng tọa độ , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với "gần gũi" Hơn nữa, nhiều tốn số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán cực trị số phức Hơn nữa, với tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn đại số nói chung số phức nói riêng sang tốn hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lúng túng, việc giải tốn số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Trước vấn đề tơi thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân loại tập loại tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Bài tốn cực trị số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số, … Qua nội dung này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ tốn đại số sang hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục tiêu trên, nội dung này, tập trung giải tốn theo hướng hình học, không đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số (đơn vị ảo): b) Số phức: Biểu thức ( ) gọi số phức gọi phần thực, gọi phần ảo c) Với số phức , giá trị biểu thức gọi môđun Kí hiệu: Như , skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich d) Với số phức Số phức phức liên hợp số phức Kí hiệu Như e) Với số phức Xác định điểm tọa độ Điểm gọi biểu diễn hình học số phức Để cho thuận tiện nội dung tơi kí hiệu để điểm biểu diễn cho số phức 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức gọi số mặt phẳng hay đơn giản + Phép cộng: + Phép trừ: + Phép nhân: + Phép chia: với 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc + Với + Với + Với hai số phức khác cho trước tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức đường trung trực đoạn + Với , tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức đường trịn tâm bán kính 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, đa số em học sinh lúng túng việc giải toán liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có hệ thống tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để em làm tốt tập thuộc dạng Vì vậy, thân viết sáng kiến kinh nghiệm cho mình: "Kinh nghiệm giải số tốn cực trị số phức phương pháp hình học giải tích" 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề BÀI TOÁN 1: Cho số phức tập hợp số phức thỏa mãn hệ thức : a) Tìm giá trị nhỏ b) Tìm Nhận xét: + Gọi + Từ đẳng thức để nhỏ suy ra, thuộc trung trực đoạn skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Bài toán trở thành: a) Tìm giá trị nhỏ với b) Tìm cho nhỏ Định hướng: Ta thấy, với điểm , hình chiếu lên Do đó, Và để nhỏ với hình chiếu lên Phương pháp giải Từ hệ thức , suy phương trình đường thẳng + Với câu a), ta tính khoảng cách , kết luận + Với câu b) • Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc với (hoặc song song với ) • Giải hệ gồm hai phương trình: suy nghiệm Kết luận, số phức cần tìm Đặc biệt: tức tìm số phức cho mơđun nhỏ Ví dụ 1.1 Trong tất số phức trị nhỏ môđun A B thỏa mãn C Tìm giá D Lời giải Chọn A Đặt Ta có: Khoảng cách từ Vậy đến Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức thỏa mãn hệ thức tìm giá trị nhỏ , skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich A B C D Lời giải Chọn C Đặt Ta có : , Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức , biết A B thỏa mãn hệ thức nhỏ Tính C D Lời giải Chọn A Đặt Từ ta , hệ thức Đặt Gọi , đường thẳng qua vng góc với hay Xét hệ phương trình Vậy hình chiếu vng góc lên skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Từ nhỏ Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN 2: Cho số phức thỏa mãn hệ thức , cho trước a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) , số phức cho trước b) Tìm số phức để đạt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét : + Đặt + Từ đẳng thức suy thuộc đường tròn tâm , bán kính Bài tốn trở thành : a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) với b) Tìm + Gọi cho lớn (nhỏ nhất) giao điểm đường thẳng ta ln có với điểm Do Phương pháp giải a) b) Tìm + Từ hệ thức Suy phương trình đường trịn + Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm + Giải hệ phương trình gồm phương trình , suy nghiệm + Thử lại để thích hợp từ hai Ví dụ 2.1 Trong tất số phức A B thỏa mãn hệ thức C Lời giải Tìm D Chọn A skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Đặt Từ hệ thức Vậy Suy đường trịn bán kính Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.2 Trong tất số phức thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn A Ta có: với đường thỏa mãn hệ thức suy thuộc trịn bán kính Vậy Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.3 Trong tất số phức thỏa mãn biết đạt giá trị nhỏ Tính A B C D Lời giải Chọn A Ta có: Đường thẳng hay Xét hệ skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Với Vậy Với Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.4 Cho số phức thỏa mã hệ thức Biết lớn Tìm phần ảo A B C D Lời giải Chọn A Đặt Từ hệ thức Đường thẳng phương trình Giao qua tâm nghiệm có hệ • Với • Với Vậy lớn , phần ảo số phức thỏa mãn u cầu tốn Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án BÀI TỐN Cho số phức thỏa mãn hệ thức Với số phức a) Tìm giá trị nhỏ Với số phức cho trước b) Tìm số phức để nhỏ Nhận xét: - Đặt - Từ hệ thức Suy ra, thuộc đường thẳng Dẫn đến tốn: Tìm nhỏ skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich khác phía so với phía so với Ta thấy rằng: + Nếu nằm hai phía so với với điểm Vậy nhỏ thẳng hàng hay + Nếu nằm phía so với gọi điểm đối xứng với qua Khi đó, với điểm Phương pháp giải - Từ hệ thức Suy phương trình đường thẳng - Thay tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra xem nằm phía hay khác phía so với: * Nếu phía với + + Để tìm ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Giải hệ gồm phương trình phương trình Nghiệm suy số phức cần tìm * Nếu khác phía với viết phương trình đường thẳng qua vng góc với Giải hệ phương trình gồm phương trình phương trình suy nghiệm tọa độ điểm trung điểm Từ tọa độ cơng thức tính tọa độ trung điểm suya tọa độ + với + Để tìm ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Giải hệ gồm phương trình phương trình Nghiệm suy số phức cần tìm Ví dụ 3.1 Cho số phức thỏa hệ thức Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C D Lời giải Chọn B skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Đặt Từ hệ thức suy Đặt Thay A vào phương trình , ta Thay vào phương trình Vậy phía với , ta nằm Gọi vng góc với đường thẳng qua Gọi tọa độ nghiệm hay hệ: Gọi điểm đối xứng với qua trung điểm Suy nên Nhận xét: Nếu ta biểu diễn toán giấy có ta chọn đáp án phù hợp với đáp án đưa Đáp án Dựa vào hình minh họa: nên chọn đáp án B Ví dụ 3.2 Cho số phức số phức thỏa mãn hệ thức biết Tìm phần thực đạt giá trị nhỏ A B C D Lời giải Chọn D Đặt Từ hệ thức , ta được: Đặt , Đường khác phía so với thẳng Tọa độ giao điểm nghiệm hệ skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Vậy, phần thực số phức thỏa mãn u cầu tốn Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 3.3 (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Xét số phức , thỏa mãn Tính A đạt giá trị lớn B C Lời giải Chọn A Đặt Từ hệ D thức , ta Đặt , , trung điểm Theo lí thuyết trên, ta thấy lớn Đường thẳng qua vng góc với lớn , có phương trình Xét hệ phương trình Ta Tức (như nói trên) Vậy BÀI TỐN Cho số phức thỏa mãn hệ thức , Chọn điểm a) Giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm số phức để Tìm đạt giá trị lớn Ở , , , số phức cho trước Nhận xét - Đặt , , skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 10 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich - Từ hệ thức tìm cho - Gọi trung điểm Suy thuộc đường thẳng Dẫn đến toán nhỏ Khi với điểm , ta có: suy Do , giá cố định nên khơng đổi, , hình chiếu trị nhỏ nhỏ lên đường thẳng nhỏ Khi Phương pháp giải - Từ Suy phương trình đường thẳng - Tìm trung điểm đoạn thẳng + Với câu a): Tính khoảng cách từ đến , độ dài đoạn thẳng Kết luận + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng qua vng góc với Nghiệm , hệ hai phương trình phần thực phần ảo Ví dụ 4.1 Cho số phức thỏa hệ thức Tìm giá trị nhỏ A B C D Lời giải Chọn A Đặt Ta Đặt điểm đến Từ , gọi trung Khoảng cách từ , Vậy Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 11 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Ví dụ 4.2 Cho số phức cho A thỏa hệ thức đạt giá trị nhỏ B C Lời giải Chọn B Đặt Từ Đặt , điểm Đường thẳng qua hệ Ta D thức hay Xét hệ phương trình Vậy số phức thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 4.3 Cho số phức thỏa mãn hệ thức thỏa mãn biểu thức A Gọi trung vng góc với có phương trình phức Tìm số phức B Biết số đạt giá trị nhỏ Giá trị C Lời giải D Chọn A Đặt Từ hệ thức ta skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 12 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Đặt Đường thẳng qua trung điểm AB vng góc với có phương trình Xét hệ phương trình BÀI TỐN Cho số phức Vậy thỏa mãn hệ thức a) Tìm giá trị lớn b) Tìm để đạt giá trị lớn Lời giải Nhận xét phân tích Đặt Từ suy Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng lớn Tính giá trị - Với +) Nếu cho trước điểm cho phía so với khác phía so với cố định phía so với với điểm , ta ln có Dấu xảy thẳng hàng hay +) Nếu khác phía so với , gọi điểm đối xứng với qua với điểm , ta ln có Dấu xảy thẳng hàng hay Phương pháp giải Từ hệ thức suy phương trình đường thẳng Thay tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra xem phía hay khác phía so với +) Nếu phía so với Với câu a) giá trị lớn Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng Giải hệ gồm phương trình đường thẳng ta nghiệm phần thực phần ảo +) Nếu khác phía so với - Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc với Giải hệ phương trình gồm phương trình , ta nghiệm tọa độ điểm skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 13 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich - Lấy điểm cho trung điểm Với câu a) giá trị lớn Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng Giải hệ gồm phương trình đường thẳng ta nghiệm phần thực phần ảo Ví dụ 5.1 Cho số phức thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị lớn biểu thức A B C Lời giải D Chọn A Đặt Từ hệ thức , ta Thay tọa độ điểm vào phương trình , ta Thay tọa độ điểm vào phương trình , ta Suy phía so với Theo phần lý thuyết trên, ta giá trị lớn Ví dụ 5.2 Cho số phức thỏa mãn hệ thức thỏa mãn A Biết rằng, số phức đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức B C Lời giải Chọn A Đặt Từ hệ thức Thay tọa độ điểm vào phương trình D ta được: ta skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 14 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Thay tọa độ điểm vào phương trình ta Vậy hai điểm khác phía so với Theo phần lý thuyết Gọi điểm đối xứng qua đường thẳng Đường thẳng hay Giao điểm Vậy số nghiệm hệ phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nên Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN Cho số phức thỏa mãn hệ thức a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm số phức để đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: - Đặt - Từ Suy Dẫn đến tốn: Với Tìm giá trị - Gọi đường trịn cố định Tìm trung điểm tâm bán kính để Ta có nhỏ suy Do + + cố định nên không đổi Vậy nhỏ nhỏ nhỏ nhỏ và skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 15 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Phương pháp giải - Từ hệ thức bán kính - Tìm tọa độ trung điểm Suy phương trình đường trịn đoạn - Nếu u cầu tìm , tâm - Nếu yêu cầu tìm viết phương trình đường thẳng Giải hệ gồm phương trình đường thẳng , suy hai nghiệm hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị lớn Ví dụ 6.1 Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức là: A B C D Lời giải Chọn A Đặt Từ hệ thức suy thuộc đường tròn tâm , bán kính Đặt Gọi trung điểm , Theo lý thuyết thì: • Giá trị nhỏ skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 16 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich • Giá trị lớn Ví dụ 6.2 Trong tất số phức cho A Chọn A Đặt thỏa mãn nhỏ C Lời giải B Từ hệ thức , Gọi , bán kính trung điểm Giải ta được: Với Với D thuộc đường tròn Đường thẳng nghiệm hệ hay Tọa độ giao điểm Suy ra, điểm Tâm Đặt , tìm số phức thì với với skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 17 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Theo phần lý thuyết trên, Vậy số phức cần tìm BÀI TỐN Cho hai số phức Trong nhỏ Nhận xét: - Đặt Từ hệ thức nhỏ thỏa mãn hệ thức , số phức cho trước, tìm giá trị , Suy ra, thuộc đường tròn Suy ra, thuộc đường thẳng Từ hệ thức Dẫn đến tốn: Tìm điểm , cho nhỏ + Trường hợp giá trị nhỏ + Trường hợp giá trị nhỏ Lời giải - Từ hệ thức Suy ra, đường trịn , tâm , bán kính - Từ hệ thức Suy ra, đường thẳng - Tính khoảng cách từ đến + Nếu giá trị nhỏ + Nếu giá trị nhỏ hình chiếu lên , đường thẳng qua vng góc với điểm nằm ) , , (Chú ý: chọn skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Ví dụ 7.1 Cho số phức , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức số số sau A B C D Lời giải Chọn D Đặt , Từ hệ thức tâm , suy , bán kính thuộc đường trịn , suy đến biểu thức với Từ hệ thức Khoảng cách từ gần thuộc đường thẳng Vậy, giá trị nhỏ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết thu sau lần kiểm tra học sinh khá, giỏi lớp 12A2 trường sau Dưới trung Trung Khá Giỏi Thời gian bình bình Lần 10/42 24/42 5/42 3/42 Lần 14/42 18/42 10/42 Nhanh skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 19 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Sau áp dụng tơi cảm thấy hài lịng với kết trên, đa số em hiểu giải tốt vấn đề III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm tương đối thể đầy đủ số dạng toán liên quan đến cực trị số phức Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải dạng tập liên quan đến đồ số phức từ đạt kết cao kỳ thi tới 3.2 Kiến nghị Với sáng kiến kinh nghiệm muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp số kinh nghiệm mà thân tích lũy nhiều năm giảng dạy Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm quý thầy cô giảng dạy lồng ghép sử dụng vào giảng mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Minh Thế skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich Trang 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich skkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tichskkn.moi.nhat.skkn.kinh.nghiem.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc.giai.tich