(SKKN mới NHẤT) phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm 2017, kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan tốn cực trị hình học mặt phẳng trường số phức coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc Gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ Giáo dục & Đào tạo Sự đổi làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm u cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng tốn Trong q trình giảng dạy, ôn thi, làm đề kiểm tra, đề thi phát nhiều toán số phức xây dựng sở số tốn cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý tơi tổng hợp kinh nghiệm q trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng tốn điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THƠNG QUA LỚP CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt tốn cực trị hình học mặt phẳng trường số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Môđun số phức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com - Môđun số phức kí hiệu - Một số tính chất mơđun số phức: + Với số phức , ta có: + Với số phức , ta có: ; ; 2.1.2 Biểu diễn hình học số phức - Mặt phẳng phức có Ox trục thực Oy trục ảo - Mỗi số phức biểu diễn điểm M đó: + Môđun số phức z Khi + Hai điểm biểu diễn số phức z đối xứng qua trục thực - Gọi M điểm biểu diễn số phức ; N điểm biểu diễn số phức Khi đó: + ; + +Trung điểm I đoạn thẳng MN có tọa độ - Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có dạng: - Nếu số phức z thỏa mãn: tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R - Nếu giả thiết có ; a, c số cho trước tập hợp điểm biểu diễn số phức elip có độ dài trục lớn 2a - Nếu tốn khơng có dạng sử dụng tính chất mơđun số phức đưa dạng quen thuộc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học trước, trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh trình dạy học thân đồng nghiệp nội dung số phức mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao, thân thấy học sinh gặp trở ngại sau: - Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, nhiều thời gian - Có nhiều tốn tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm thấy khó khăn từ dẫn đến học sinh ngại làm tập - Có tốn học sinh khơng biết đâu, biến đổi mày mị, khơng có hướng cụ thể - Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho toán số phức làm theo phương pháp hình học TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Từ vấn đề trên, áp dụng vào trình dạy học năm học 2019 – 2020, tơi có số biện pháp khắc phục sau: - Ôn tập, rèn luyện kĩ tốn vectơ, tốn hình học phẳng thành thục - Xây dựng hệ thống toán gốc để áp dụng vào giải toán số phức - Hướng dẫn nhận dạng tốn sử dụng phương pháp hình học - Phân chia dạng toán xây dựng bước thực giải toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng Bài toán Cho đường thẳng d điểm M nằm ngồi d Tìm N thuộc d cho khoảng cách MN ngắn Hướng dẫn Gọi N hình chiếu điểm M d Gọi điểm thuộc d Xét tam giác vng , ta có: Vậy MN ngắn N hình chiếu M d hay b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Nhận dạng giả thiết cho để chuyển sang đối tượng hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ môđun với số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức cho + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết c Ví dụ minh họa: (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Ví dụ 1: Cho số phức có điểm biểu diễn nằm đường thằng Giá trị nhỏ là: A B Gợi ý: Gọi C D điểm biểu diễn số phức Đáp án A Ví dụ 2: Cho số phức là: A thỏa mãn B Gợi ý: Đặt C D Ta có Hay Khoảng cách từ O đến Ví dụ 3: Cho số phức Giá trị nhỏ Đáp án A thỏa điều kiện Giá trị nhỏ bằng: A B Gợi ý: Đặt C D Ta có Hay Vậy Với M(-1;1) Đáp án B Ví dụ 4: Cho số phức là: A B Gợi ý: thỏa mãn Giá trị nhỏ C D Bài toán trở thành: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Như tốn trở dạng giống ví dụ Bài toán Cho đường thẳng d điểm A, B Tìm M thuộc d cho MA + MB nhỏ trường hợp sau: TH1: A, B khác phiá so với d TH2: A, B phía so với đường thẳng d (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day a Hướng dẫn TH1: Lấy M’ thuộc d Ta có: Dấu “=” xảy A, M’, B thẳng hàng Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d TH2: Lấy A’ đối xứng với A qua d Lấy M’ thuộc d, đó: Dấu “=” xảy M’ giao điểm A’B đường thẳng d Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Nhận dạng giả thiết cho để chuyển sang đối tượng hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ môđun với số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại phát nhanh yếu tố hình học giả thiết kết luận, vẽ yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí với đường thẳng c Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho số phức z w thỏa mãn: ; Giá trị nhỏ là: A B C.2 D Hướng dẫn Khi ta có: (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Gọi M điểm biểu diễn số phức w M nằm đường trung trực AB với Phương trình đường trung trực AB là: nhỏ OM ngắn OM ngắn Đáp án A Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị nhỏ A là: B C D Hướng dẫn Đặt Gọi M điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm đường trung trực d AB , trung điểm Phương trình đường thẳng d : đạt GTNN OM ngắn nhất, : Đáp án D Ví dụ (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018) Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: GTNN biểu thức A là: B C Hướng dẫn Gọi M, A, B điểm biểu diễn số phức z; D (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Theo giả thiết ta có MA = MB, nên M thuộc đường trung trực AB Phương trình đường thẳng d đường trung trực AB là: Gọi điểm C, D điểm biểu diễn số phức Khi Nhận thấy C, D phía so với d nên theo toán P đạt giá trị nhỏ C’D ( C’ đối xứng với C qua d) Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0) Vậy Đáp án C Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm đoạn thẳng Điểm chạy đoạn thẳng cho độ dài đoạn nhỏ Khi tìm vị trí điểm tính độ dài a Hướng dẫn: Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Ta xét hai trường hợp:  Trường hợp 1: Điểm nằm đoạn I M A H B Dễ dàng thấy  Trường hợp 2: Điểm nằm đoạn I A M B H Dễ dàng thấy b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đoạn thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn môđun với số phức biết (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đoạn thẳng Điều kiện kiểu chủ yếu dựa vào tính chất: Điểm thuộc đoạn thẳng Tính chất viết theo ngơn ngữ số phức có số dạng sau: + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết Đây dạng suy biến Elip trình bày phần sở lý thuyết + Cho số phức thỏa mãn nhỏ với hai số phức biết Hoặc tạo quỹ tích điểm biểu diễn phần đường thẳng bị giới hạn miền đường tròn, elip + Cho số phức bị ràng buộc điều kiện để quỹ tích đường thẳng, điều kiện cịn lại c Ví dụ minh họa: Ví dụ 8: Xét số phức thỏa mãn Gọi , giá trị nhỏ giá trị lớn là: A C B Gợi ý: Gọi Giá trị biểu thức D điểm biểu diễn số phức , gọi giả thiết Quỹ tích điểm đoạn thẳng Gọi kiểm tra hình chiếu lên đường thẳng Vẽ hình trực quan dễ nằm đoạn Lại có: Đáp án D Ví dụ 9: Xét số phức thỏa mãn nhỏ Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn A Gọi Từ B Giá trị C Hướng dẫn điểm biểu diễn số phức , gọi là: D (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Ta có: , nghĩa quỹ tích điểm đoạn thẳng Gọi hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu lên đường thẳng đoạn Lại có: nhỏ Vẽ nằm Đáp án B Ví dụ 10: Xét số phức Giá trị nhỏ thẳng là: A Gọi thỏa mãn B C Hướng dẫn điểm biểu diễn số phức , , mà Lại có cắt D nên thuộc đường nên thuộc miền đường tròn hai điểm phân biệt nên quỹ tích điểm đoạn thẳng Gọi quan thấy hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng , vẽ hình trực nằm đoạn mà nên Đáp án B 2.3.2 Các tốn cực trị liên quan đến đường trịn Bài tốn Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn có tâm A Tìm vị trí điểm M, N cho OM ngắn ON dài Hướng dẫn Lấy điểm M thuộc đường tròn, ta thấy: Vậy Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường tròn, M nằm đoạn OA Vậy Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường trịn, M nằm ngồi đoạn OA Bài tốn Cho đường trịn có tâm A đường thẳng a.Tìm vị trí điểm M cho khoảng cách từ M đến ngắn b Tìm vị trí điểm N cho khoảng cách từ N đến dài Hướng dẫn (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day a - Nếu ngắn tức M giao điểm đường thẳng đường tròn - Nếu , gọi N’ điểm (C), K hình chiếu điểm A d ta ln có: Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm AK Vậy vị trí điểm M giao điểm đường thẳng AK đường tròn (C ), M nằm AK b Xét tam giác N’AK ta có: Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm AK Vậy vị trí điểm N giao điểm đường thẳng AK đường trịn (C ), N ngồi AK b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường trịn Bước 2: Tìm giá trị nhỏ mơđun với số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đường trịn Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết + Cho số phức thỏa mãn với hai số phức biết c Ví dụ minh họa: Ví dụ 11: (Tốn học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn: Khi có mơđun lớn là: A.20 B C D Hướng dẫn (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Thay vào giả thiết, ta có: Gọi M điểm biểu diễn số phức w M thuộc đường trịn Theo tốn Đáp án B Ví dụ 12: Xét số phức mãn: tâm thỏa mãn: số phức Giá trị nhỏ biểu thức A B C thỏa là: D Nhận xét: Từ giả thiết thứ ta thấy tập hợp điểm biểu diễn trịn nên khả sử dụng phương pháp hình học Hướng dẫn Gọi số phức đường Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức nằm đường thẳng Tập hợp điểm N biểu diễn số phức thỏa mãn trịn tâm Ta có nằm đường , P nhỏ MN ngắn MN ngắn Đáp án B Ví dụ 13:(Đề thi thử Sở Phú thọ lần – 2019) Giả sử z số phức thỏa mãn Giá trị lớn là: A B C D Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì nên tập hợp điểm M nằm đường tròn tâm Gọi A, B điểm biểu diễn số phức (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Vì nên Ta có: Vậy Đáp án D Ví dụ 14: Cho số phức Giá trị thỏa mãn là: A B C D Hướng dẫn Đặt với Từ Gọi diễn số phức quỹ tích Đặt trịn đường trịn tâm , bán kính Dễ thấy điểm nên điểm biểu nằm miền đường Đáp án C Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đường trịn có tâm bán kính khơng có điểm chung Điểm thay đổi đường trịn , điểm thay đổi đường thẳng Xác định vị trí hai điểm , để độ dài đoạn có giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn: I R M A H N b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn đường tròn, tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn đường thẳng (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Bước 2: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức , đường thẳng biểu diễn số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Khi học sinh nắm vững toán dễ dàng hình dung đường hình học để giải tốn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 15: Xét hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ là: A Gọi quỹ tích điểm B C D Hướng dẫn điểm biểu diễn hai số phức , suy quỹ tích điểm đường tròn trực quan dễ thấy Theo đường thẳng tâm có bán kính Vẽ hình khơng có điểm chung, mà nên Đáp án C Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn kính Đoạn đường kính Điểm trịn Xác định vị trí điểm để tổng độ dài đạt giá trị nhỏ tính giá trị có tâm bán thay đổi đường (với ) a Hướng dẫn: Ta có : M , dấu xảy A R I B b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường trịn Bước 2: Chuyển yêu cầu đề yếu tố hình học (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Tìm giá trị nhỏ mô-đun với hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn biểu diễn số phức Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức là: A Gọi B C D Hướng dẫn điểm biễu diễn số phức Theo nên quỹ tích điểm đường trịn hình trực quan dễ thấy tâm bán kính Đặt , vẽ đường kính đường trịn Khi , dấu xảy Suy Đáp án B Bài tốn 8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn có tâm bán kính Đoạn cố định nhận điểm làm trung điểm Điểm thay đổi đường tròn Xác định vị trí điểm để tổng độ dài (với ) đạt giá trị lớn tính giá trị a Hướng dẫn: Theo công thức đường trung tuyến ta có: M A I B Lại có: , dấu xảy điểm đường , hay với đường trịn tâm bán kính giao b Cách tạo giải toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đường tròn Bước 2: Chuyển yêu cầu đề yếu tố hình học Tìm giá trị nhỏ mô-đun với hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng nhận tâm đường tròn biểu diễn số phức làm trung điểm Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn ; đồng thời hai số thực phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm bán kính đường trịn có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu c Ví dụ minh họa: Ví dụ 17: Cho số phức thỏa mãn là: A Gọi Giá trị lớn biểu thức B C D Hướng dẫn điểm biễu diễn số phức Theo điểm đường tròn hình trực quan dễ thấy nên quỹ tích tâm bán kính Đặt nhận làm trung điểm nên có: , vẽ ta Khi , dấu xảy đường tròn tâm giao điểm đường trịn bán kính Suy với Đáp án A Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn có tâm bán kính Điểm cố định nằm miền đường tròn; hai điểm thay đổi cho ba điểm thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm để tổng độ dài (với ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ a Hướng dẫn: (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Ta có tích tích điểm độ lớn phương với đường tròn , suy I Nên , M dấu xảy B hay đường trịn tâm A bán kính giao điểm với đường tròn b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc hai số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng đường tròn Chọn số phức có điểm biểu diễn nằm miền đường tròn biểu diễn Tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn thẳng hàng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ tổng mơđun Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích hai số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức thẳng hàng; đồng thời hai số thực số phức phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm bán kính đường trịn có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức thẳng hàng ta thường sử dụng c Ví dụ minh họa: Ví dụ 18: Cho hai số phức Giá trị nhỏ biểu thức A B thỏa mãn là: C Hướng dẫn D (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Gọi tròn tâm điểm biểu diễn hai số phức Theo , suy quỹ tích điểm quỹ tích điểm đường có bán kính Đặt điểm điểm , ta có thuộc đoạn nên theo cơng thức phương tích ta có , Lại có , dấu xảy giao điểm đường thẳng qua đường tròn Đáp án B 2.3.3 Các toán cực trị liên quan tới Elip Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ cho E-lip vng góc với có độ dài trục lớn , độ dài trục bé , tâm đối xứng ; điểm thay đổi Xác định vị trí điểm cho độ dài đoạn lớn nhất, nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn: B M A' I A B' b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích điểm biểu diễn đường Elip Bước 2: Tìm giá trị nhỏ mơđun với số phức có điểm biểu diễn tâm Elip Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn hai số phức Gọi đường Elip biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip; đồng thời số phức phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn tâm Elip c Ví dụ minh họa: Ví dụ 19: (Thi thử THPTQG Hồng Văn Thụ - 2019) Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức là: A.7 B 20 C 14 D 10 Nhận xét: Nhận dạng đặc điểm để sử dụng phương pháp hình học : , ta thấy có phương trình Elip Hướng dẫn Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức Gọi A, B, C, D điểm biểu diễn số phức Khi ta có: Tập hợp điểm M nằm hai Elip có tâm O trục lớn độ dài trục lớn 10 Điểm M, N nằm hai vị trí Vậy Đáp án D Ví dụ 20: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn là: A.7 B C D 10 Nhận xét: có hình thức giống phương trình Elip Vì ta cần biến đổi giả thiết Hướng dẫn Đặt , phương trình trở thành: Gọi M điểm biểu diễn số phức w, suy tập hợp điểm M thuộc Elip có tâm O, độ dài trục lớn (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day Vậy Đáp án C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy năm học 2019 – 2020 lớp 12E8 trường THPT Triệu Sơn Qua đó, so với lớp đối chứng 12E7 chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12E8 giải toán số phức linh hoạt học sinh lớp 12E7 cách rõ rệt: - Học sinh thành thạo tốn quỹ tích - Học sinh có nhiều cách giải khác cho toán số phức, tăng tính linh hoạt việc giải giả thiết phức tạp - Học sinh chủ động việc định hướng giải oán phức tạp Đối với thân, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy thấy hiệu ôn tập tốt Học sinh chủ động, tích cực việc phát vấn đề giúp cho tiết dạy có hiệu tốt Ngoài sáng kiến kinh nghiệm tổ chuyên môn đánh giá tốt, thiết thực đồng ý triển khai vận dụng năm học tới nhằm góp phần nâng cao tính chủ động, tích cực học sinh việc dạy học môn Toán Đồng thời sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia Trong năm học vừa qua thân tơi góp phần vào thành tích nhà trường công tác chuyên môn, cụ thể: +) Kết thi THPT Quốc Gia: Năm học 2017-2018 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện +) Kết thi học sinh giỏi: Năm học 2017-2018 xếp thứ 10 tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện Từ kết tơi khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn tồn khả thi áp dụng hiệu công tác giảng dạy KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Đề tài đúc rút từ kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, với học hỏi giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan, đề tài hoàn thành đạt kết trình dạy học + Đề tài nêu lên tính thiết thực sử dụng phương pháp hình học để giải toán cực trị số phức (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day (SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day(SKKN.moi.NHAT).phat.trien.nang.luc.tu.duy.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.lop.cac.bai.toan.cuc.tri.so.phuc.bang.phuong.phap.hinh.hoc nham.nang.cao.chat.luong.giang.day