tóm tắt luận án tiến sĩ một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bộ Giáo dục Đào tạo Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Ngân Một số lớp hệ phương trình cặp ứng dụng Chuyên ngành: Mà số: Toán Giải tích 62 46 01 02 TËp thĨ h­íng dÉn khoa häc: TS Nguyễn Văn Ngọc PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Thái Nguyên, 2013 i Mở đầu Phương trình cặp (dual equations) hệ phương trình cặp (systems of dual equations) xuất giải toán biên hỗn hợp vật lý toán cách sử dụng biến đổi tích phân thích hợp Nhiều toán lý thuyết đàn hồi, toán vết nứt, toán tiếp xúc, đưa đến giải phương trình cặp khác Hiện kết định tính phương trình cặp khiêm tốn, tính giải hệ phương trình cặp chưa nghiên cứu Việc nghiên cứu hệ phương trình cặp mở rộng phạm vi áp dụng cho phương trình cặp việc giải toán biên hỗn hợp vật lý toán Vì việc nghiên cứu hệ phương trình cặp cần thiết có tính thời Trong số phương pháp giải tích giải toán biên hỗn hợp vật lý toán phương pháp phương trình cặp tổng quát linh hoạt Những công trình móng phương pháp công trình nhà toán học Beltrami E, Boussinesq J Abramov V M Sự phát triển phương pháp đà dựa công trình sau cña Tranter C., Cooke J., Sneddon I., Ufliand Ia S., Babloian A A., Valov G N., Mandal B N., Aleksandrov B M., Phương trình cặp tổng quát phát biểu sau: Giả sử J khoảng hữu hạn hay vô hạn trục thực R T biến đổi tích phân J với biến đổi ngược T Ký hiệu v b() T - biến đổi hàm v(x) Phương trình cặp tích phân phép biến đổi tích phân T có dạng ( pT [A()b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω, −1 p0 u(x) = g(x), (1) x ∈ Ω0 , u b(ξ) = A2 ()b v (), , hệ khoảng không giao J, cho = J, p p toán tử hạn chế tương ứng , hµm A(ξ) = A1 (ξ) , víi A1 (ξ) vµ A2 () hàm đà biết A() gọi biểu trưng A2 () (symbol) toán tử (giả vi ph©n): Au := T −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) NhËn xÐt 0 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung phương trình cặp (1) xem toán Dirichlet với phương trình giả vi phân đối Au = f (x) Trong khoảng 50 năm qua đà xuất nhiều nghiên cứu phương pháp khác để giải phương trình cặp tích phân phương trình cặp chuỗi phép biến đổi tích phân khác Những phương pháp nhìn chung mang tính hình thức, tức chưa xét đến tính giải phương trình cặp, chưa có đảm bảo toán học chặt chẽ biến đổi Tuy nhiên, phương pháp đà thúc đẩy phát triển mạnh mẽ lý thuyết phương trình cặp biến đổi tích phân khác Xét phương trình (1) với T phép biến đổi Fourier, Eswaran (1990) p đà đề xuất phương pháp tìm nghiệm phương trình víi A(ξ) = ξ − k , Ω = (−1, 1), g(x) = gỈp lý thut nhiễu xạ (difraction) sóng điện từ Sneddon I S (1966) số tác giả nghiên cứu phương trình cặp tích phân với hạch lượng giác thường gặp toán vết nứt tiếp xúc lý thuyết đàn hồi hai chiều Số lượng nghiên cứu tính giải phương trình cặp so với nghiên cứu phương pháp tìm lời giải hình thức phương trình khiêm tốn Các phương pháp sử dụng nghiên cứu tính giải phương trình cặp tích phân chuỗi phân thành nhóm tiếp cận sau đây: - Cách tiếp cận giải tích giải tích hàm - Cách tiếp cận hàm suy rộng - Cách tiếp cận toán tử giả vi phân hàm suy rộng không gian Sobolev phương trình tích phân Năm 1975, Walton J R vËn dơng tiÕp cËn hµm suy réng Zemanian, xÐt tÝnh nghiệm phương trình cặp dạng Titchmarsh Sau đó, cách tiếp cận nhiều tác giả vận dụng nghiên cứu phương trình cặp Năm 2000 Ciaurri O'., Gaidalupe Jose' J., Pere'z Mario vµ Varona Juan L đà xét tính giải phương trình không gian Lebesgue Năm 1986, Nguyễn Văn Ngọc Popov G Ya đà xét tính giải phương trình cặp vi-tích phân với nhân lượng giác hệ khoảng Năm 1988, Nguyễn Văn Ngọc đà vận dụng tiếp cận toán tử giả vi phân để xét tính giải phương trình cặp tích phân Fourier không gian Sobolev thích hợp Năm 2009, Nguyễn Văn Ngọc đà đưa cách giải phương trình cặp tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung ®èi víi biÕn ®ỉi Fourier víi biĨu tr­ng tăng cấp p N sau đây: ( F [|ξ|p A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b) (2) u b(ξ) ∈ S ∩ C (R) hàm cần tìm, f (x) hàm ®· cho thuéc kh«ng gian Sobolev H −p/2 (a, b), A() hàm đà biết Những kết gần Nguyễn Văn Ngọc Nguyễn Thị Ngân dành cho việc nghiên cứu tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier ( pF [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω, p0 F −1 [b u(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω0 = R \ , (3) b hàm vectơ cần tìm, khoảng hữu hạn trục thực, u f , g hàm vectơ đà cho, A() ma trận vuông xác định gọi biểu trưng( symbol) hệ phương trình cặp (3), p p0 toán tử hạn chế Luận án gồm phần Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương dành cho việc trình bày lý thuyết chung hệ n- phương trình cặp tích phân Fourier hệ khoảng không giao trục thực Trong Mục 1.1-1.3 trình bày số kiến thức bổ trợ: biến đổi Fourier hàm giảm nhanh hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev cấp thực Mục 1.4 trình bày không gian Sobolev vect¬ H~s (R), H~s◦ (Ω), H~s◦,◦ (Ω), H~s () Chứng minh đẳng cấu không gian H~s (R) với không gian (H~s (R)) không gian đối ngẫu H~s (R) ( Định lý 1.8) Tương tự, chứng minh định lý dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian H~s () (Định lý 1.9) Mục 1.5 dành cho việc nghiên cứu toán tử giả vi phân vectơ dạng (Au)(x) := F [A()b u()](x) Ma trận A() gọi biểu trưng (symbol) toán tử giả vi phân A Dựa nhiều toán cụ thể, chúng ~ ~ đà định nghĩa lớp biểu trưng: (R), + (R), ~ (R) ( Định nghĩa 1.11) Mục 1.6 dành cho việc nghiên cứu tính giải hệ phương trình cặp tích phân (3) với giả thiết sau ( A(ξ) ∈ Σα◦~ (R), A(ξ) lµ ma trËn xác định dương với R, f (x) ∈ H−~α/2 (Ω), g(x) ∈ Hα~ /2 (Ω0 ), tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (4) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung ẩn hàm b () tìm dạng u b () = F [u](), u H~ /2 (R) u Chương dành cho việc trình bày số lớp hệ phương trình cặp tích phân số toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà song điều hoà miền hình dải Mục 2.1 xét hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng cấp gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà miền hình dải gặp lớp vị Chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân không gian Sobolev hàm suy rộng (Định lý 2.1 Định lý 2.2) (Mục 2.1.3) Trong Mục 2.1.4 sử dụng phương pháp biểu diễn hàm um (x), m = 1, qua hàm phơ trỵ thÝch hỵp um (x) = Z b vm (t)sign(x−t)dt, vm ∈ L2ρ (a, b) ⊂ H◦−1/2 (a, b), m = 1, 2, a đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy.Vận dụng phương pháp đa thức trực giao để đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Chứng minh Định lý 2.6 hệ vô hạn phương trình đại sè tun tÝnh cã nhÊt nghiƯm thc kh«ng gian `2 (Mục 2.1.5) Mục 2.2 trình bày hệ phương trình cặp tích phân gặp toán biên hỗn hợp dải đàn hồi Bằng cách biểu diễn đại lượng chuyển vị ứng suất qua hai hàm điều hoà, toán đưa hệ phương trình cặp hai phương trình vết chuyển vị biên với biểu trưng tăng cấp hệ phương trình cặp đà gặp Mục 2.1, biểu trưng có cấu trúc phức tạp nhiều Mục 2.3 dành cho việc nghiên cứu hệ phương trình với biểu trưng giảm cấp một, trình bày hệ phương trình cặp tích phân gặp toán biên hỗn hợp phương trình song điều hoà Mục 2.4 dành cho việc nghiên cứu hệ phương trình với biểu trưng tăng -giảm cấp một, trình bày hệ phương trình cặp tích phân gặp toán biên hỗn hợp thứ hai phương trình điều hoà Chương 3, thực việc giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà Mục 2.1 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung Chương Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát Chương trình bày lý thuyết chung hệ n-phương trình cặp tích phân Fourier hệ khoảng không giao trục thực Các hệ phương trình khái quát hoá nhiều hệ phương trình cặp gặp toán biên hỗn hợp vật lý toán, số toán trình bày Chương 1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Mục trình bày số khái niệm kết biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.2 S Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm Mục trình bày số khái niệm kết biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.3 S Các không gian Sobolev Mục trình bày số khái niệm kết không gian Sobolev cấp thực s H s (R), H◦s (Ω), H◦,◦ (Ω), H s (Ω) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 1.4 Các không gian Sobolev vectơ 1.4.1 Khái niệm Giả sử X không gian tô p« tun tÝnh Ta ký hiƯu tÝch trùc tiÕp cđa n không gian X X n Tô pô X n tô pô thông thường tích trực tiếp Ta dùng chữ in đậm để ký hiệu hàm vectơ ma trận Ký hiệu u vectơ cã d¹ng u = (u1 , u2 , , un ), vµ S n = S × S × S Sn = S × S × S, s s u, v ∈ (S0 )n Gi¶ sư H sj (R), H◦ j (Ω), H◦,◦j (Ω), H sj () không gian Sobolev, j = 1, 2, , n; Ω lµ mét tập mở R Cho vectơ hàm Ta đặt ~s = (s1 , s2 , , sn )T , H~s (R) = H s1 (R) × H s2 (R) × × H sn (R), H~◦s (Ω) = H◦s1 (Ω) × H◦s2 (Ω) × × H◦sn (Ω), s s1 s1 sn H~◦,◦ (Ω) = H◦,◦ (Ω) × H◦,◦ (Ω) × × H◦,◦ (Ω), H~s (Ω) = H s1 (Ω) × H s1 (Ω) × × H sn () Tích vô hướng chuẩn (u, v)~s = n X H~s H~s () xác định công thức ||u||~s = (uj , vj )sj , j=1 n X ||uj ||2sj 1/2 (1.1) , j=1 s (uj , vj )sj vµ ||uj ||sj lµ tÝch vô hướng chuẩn H sj , H j () Chuẩn H~s () xác định công thøc ®ã ||u||H~s (Ω) := n X ||uj ||2H sj (Ω) 1/2 (1.2) j=1 1.4.2 PhiÕm hµm tuyÕn tính liên tục ~s Giả sử (H (R)) không gian đối ngẫu không gian H~s (R) Khi (H~s (R)) đẳng cấu với H~s (R) Ngoài giá trị phiếm ~s ~s hàm f H (R) phần tử u H (R) cho công thức Định lý 1.8 (f , u) = n Z X j=1 ∞ uj (ξ)dξ, fbj (ξ)b −∞ tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (1.3) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung ®ã u bj (ξ) = F [uj ](ξ), fbj (ξ) = F [fj ](ξ) Ω ⊂ R, u = (u1 , u2 , , un )T ∈ H~s (Ω), f ∈ H−~s (Ω) T vµ `f = (`1 f1 , `2 f2 , , `n fn ) lµ mét thác triển f từ vào R thuộc H~s (R) Khi công thức n Z X `d uj (ξ)dξ (1.4) [f , u] := (`f , u)◦ := j fj ()b Định lý 1.9 Giả sử j=1 `f Do công thức xác định ~s phiếm hàm tuyến tính liên tục H () Hơn nữa, phiếm hàm ~s ~s tuyến tính liên tục (u) H () tồn phần tö f ∈ H (Ω) cho Φ(u) = [f , u] |||| = ||f ||H~s () không phụ thuộc vào cách chọn thác triển 1.5 Toán tử giả vi phân vectơ 1.5.1 Khái niệm Định nghĩa 1.10 Giả sử b () = F [u]() Toán tử A() ~ (R), u H~s , u A xác định công thức : (Au)(x) := F [A(ξ)b u(ξ)](x), x ∈ Rn , (1.5) = ||aij (ξ)||n×n ma trận vuông cấp n, u = (u1 , u2 , , un )T b (ξ) := F [u]() = vectơ chuyển vị vectơ dßng (u1 , u2 , , un ), vµ u T (F [u1 ], F [u2 ], , F [un ]) gọi toán tử giả vi phân vectơ ma trận A() gọi biểu trưng toán tử giả vi phân vectơ A A() A() = ||aij ()||nìn , R ma trận vuông cấp n, aij () hàm số liên tục R, αj ∈ R, (i = 1, 2, , n), α ~ = (α1 , α2 , , αn )T Ta nãi r»ng ma trận vuông A() = ||aij ()||nìn , ~ thuộc lớp (R) Định nghĩa 1.11 Giả sử aii (ξ) ∈ σ αi (R), aij (ξ) ∈ σ βij (R), βij ≤ (αi + αj ), (1.6) ~ A(ξ) thuéc líp Σα+ (R), nÕu ma trËn A(ξ) ∈ Σα~ (R) lµ ma trËn Hermite, nghÜa lµ (A(ξ))T = A(), thoả mÃn điều kiện ma trận T w Aw ≥ C1 n X (1 + |ξ|)αj |wj |2 , w = (w1 , w2 , , wn )T ∈ Cn , j=1 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (1.7) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung C1 số dương w liên hợp phức w Cuối cùng, ma ~ trận A(ξ) ∈ Σα (R) thc vµo líp Σα◦~ (R), nÕu RewT Aw 0, ra, 1.5.2 w = (w1 , w2 , , wn )T ∈ Cn , (1.8) RewT Aw = chØ số điểm hữu hạn trục thực Chuẩn tích vô hướng tương đương ~ A() = A+ () thuộc vào lớp + (R) Khi ~ /2 tích vô hướng chuẩn H (R) xác định công thức : Z ∞ F [vT ](ξ)A+ (ξ)F [u](ξ)dξ, (1.9) (u, v)A+ ,~α/2 = Giả sử ma trận Mệnh đề 1.5 ||u||A+ ,~α/2 = Z ∞ F [uT ](ξ)A + (ξ)F [u](ξ)dξ 1/2 , (1.10) −∞ t­¬ng øng 1.5.3 Nhóng compact Ω khoảng hệ khoảng bị chặn ~s ~s~ Khi phép nhúng từ H () vào H () hoàn toàn liên tục, T ~ = (1 , ε2 , , εn ) > 0(⇔ εj > 0, j = 1, 2, , n) Giả sử Mệnh đề 1.7 1.6 R Tính giải hệ phương trình cặp 1.6.1 Định lý Trong mục này, trình bày tính giải hệ phương trình cặp có dạng sau ( pF [A()b u()](x) = f (x), p0 F −1 [b u(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω, x ∈ Ω0 := R \ Ω, (1.11) b () khoảng hệ khoảng không giao R, u = (b u1 (ξ), u b2 (ξ), , u bn ())T hàm vectơ cần tìm, f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fn (x))T ∈ (D0 (Ω))n , g(x) = (g1 (x), g2 (x), , gn (x))T ∈ (D0 (Ω0 ))n tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung hàm vectơ cột xác định tương ứng, A() = ||aij ()||nìn ma trận vuông cấp n gọi biểu trưng hệ phương trình cặp (1.11); p p toán tử hạn chế tương ứng Chúng ta xét hệ phương trình cặp (1.11) với điều kiện sau ( A() ~ (R), A() ma trận xác định dương với R, f (x) H−~α/2 (Ω), g(x) ∈ Hα~ /2 (Ω0 ), (1.12) vµ tìm ~ /2 b () dạng u b (ξ) = F [u](ξ), ®ã u ∈ H u Định lý 1.10 (R) (Sự nghiệm) Giả sử giả thiết (1.12) thoả mÃn Khi nghiệm u H~ /2 (R) (1.11) tồn tại, hệ phương trình cặp 1.6.2 Định lý tồn Bổ đề 1.1 Hệ phương trình cặp (1.11) tương đương với hệ phương trình cặp sau g()](x), x ∈ Ω, pF −1 [A(ξ)b v(ξ)](x) = f (x) − pF −1 [A(ξ)`c ®ã α ~ /2 v = F −1 [ˆ v] ∈ H◦ (Ω) tho¶ m·n v + `0 g = u ∈ Hα~ /2 (R) (` g (1.13) thác triển tuỳ ý hàm vectơ Biểu diễn g từ (1.14) vào R) g(ξ)](x), ta viÕt (1.13) d­íi d¹ng h(x) = f (x) − pF −1 [A(ξ)`c sau (Av)(x) = h(x), (1.15) x ∈ Ω Tr­êng hỵp A(ξ) ∈ Σα+~ (R) h ∈ H−~α/2 (Ω), A(ξ) = A+ (ξ) ∈ α ~ /2 ~ + (R) Khi hệ phương trình cặp (1.15) có nghiệm v H () Định lý 1.11 (Sự tồn nghiệm) Giả sử Ta có kÕt qu¶ sau ||u||A,~α/2 ≤ C(||f ||H−~α/2 (Ω) + ||g||Hα~ /2 (0 ) ), (1.16) C số dương Định lý 1.12 (Sự tồn nghiƯm) Gi¶ sư α ~ /2 A(ξ) ∈ Σ+ (R), f ∈ H−~α/2 (Ω), g ∈ H−~α/2 (Ω0 ) Khi hệ phương trình cặp (1.11) u = F [ u] H~ /2 (R) thoả mÃn ước lượng (1.16) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung cã nhÊt nghiƯm tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 10 Tr­êng hỵp A() ~ (R) Trong mục này, giả thiết ma trận vuông A+ () tập bị chặn R tồn A(), cho ~ (R) cïng cÊp víi ma trËn Σα+ ~ B(ξ) := A(ξ) − A+ (ξ) ∈ Σα~ −β (R), (1.17) β~ = (β1 , β2 , , βn )T ∈ Rn , βj > (j = 1, 2, , n) Định lý 1.13 (Sự tồn nghiệm) Giả sử tập bị chặn R Nếu ~ /2 hàm vectơ f ∈ H (Ω), g ∈ Hα~ /2 (Ω0 ) điều kiện (1.12) (1.17) thoả mÃn hệ phương trình cặp (1.11) có nhÊt nghiÖm u = F −1 [ˆ u] ∈ Hα~ /2 (R) ã Kết luận Chương Kết Ch­¬ng bao gåm: H~s (R), H~s◦ (Ω), H~s◦,◦ (Ω), H~s () Chứng minh đẳng cấu không gian H~s (R) với không gian (H~s (R)) không gian đối ngẫu H~s (R) (Định lý 1.8) Chứng minh dạng tổng quát phiếm hàm tuyến liên tục không gian H~s () (Định - Xây dựng số không gian Sobolev vectơ lý 1.9) - Đưa định nghĩa toán tử giả vi phân vectơ dạng F ~ [A()b u()](x) Định nghĩa lớp cđa biĨu tr­ng: Σ (Au)(x) := ~ (R), Σα+ (R), ~ (R) - Chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát không gian hàm thích hợp tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung Chương Hệ phương trình cặp số toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà song điều hoà miền hình dải Trong chương này, xét số toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà song điều hoà miền hình dải Bằng cách sử dụng biến đổi tích phân Fourier theo biến x, toán biên hỗn hợp đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier tương ứng Chương tổng hợp kết công bố tạp chí Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái nguyên, Vietnam Journal of Mathematics, Acta Mathematica Vietnamica selected lectures of the kỷ yếu Hội thảo quèc tÕ "Based on the 17th International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications" 2.1 Bàitoánbiênhỗnhợpthứnhấtđốivớiphươngtrìnhđiềuhoà Trong mục này, xét hệ phương trình cặp với biểu trưng tăng cấp gặp toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà miền hình dải 2.1.1 Phát biểu toán Xét toán sau: Tìm nghiệm phương trình điều hoà + = 0, ∂x2 ∂y (−∞ < x < ∞, < y < h) 11 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (2.1) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 12 với điều kiện biên (x, 0) = f (x), x ∈ (a, b), ∂y  Φ(x, 0) = 0, x ∈ R \ (a, b),   ∂Φ(x, h) = f (x), x ∈ (a, b), ∂y ,  Φ(x, h) = 0, x ∈ R \ (a, b), (2.2) ®ã f1 , f2 hàm đà cho 2.1.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Ta giải toán (2.1)-(2.2) phương pháp biến đổi Fourier Ta biến đổi hệ phương trình cặp tích phân ẩn hµm u b1 (ξ), u b2 (ξ) : ( F −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), (2.3) b (ξ) = F [u](ξ) = (F [u1 (x)], F [u2 (x)])T (ξ), = (f1 (x), f2 (x))T , u u1 (x) = Φ(x, 0), u2 (x) = Φ(x, h),   |ξ| cosh(|ξ|h) |ξ| −  sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)    A(ξ) =  |ξ| cosh(|ξ|h)  |ξ| − sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) ®ã f (x) 2.1.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.3) Hệ phương trình cặp tích phân (2.3) viết d­íi d¹ng ( pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), −1 p F [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), (2.4) p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, b) R \ (a, b) Đặt ~ = (1, 1)T ®ã u∈ (Sù nhÊt nghiƯm) Gi¶ sư f ∈ H−~α/2 (a, b) Khi ®ã nghiƯm α ~ /2 H◦ (a, b) cđa hƯ phương trình (2.4) tồn tại, Định lý 2.1 f ∈ H−~α/2 (a, b) α ~ /2 (2.4) cã nhÊt nghiÖm u ∈ H◦ (a, b) Định lý 2.2 (Sự tồn nghiệm) Nếu tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung hệ phương trình tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 13 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy Định lý 2.4 Hệ phương trình cặp tích phân (2.3) (b u1 (), u b2 ()) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy sau (a, b) : Z Z b Z b  b v1 (t)dt   + v1 (t)`11 (x − t)dt + v2 (t)`12 (x − t)dt = −if1 (x),    πi Za x − t a a Z b Z b b v2 (t)dt + v1 (t)`21 (x − t)dt + v2 (t)`22 (x − t)dt = −if2 (x),    πi a x − t a a    v (t) ∈ L2 (a, b), m = 1, 2; a < x < b, m ρ (2.5) víi ®iỊu kiƯn vm ∈ O1 (a, b), nghÜa lµ Z b vm (x)dx = 0, (2.6) (m = 1, 2), a ®ã um (x) = Z b vm (t)sign(x − t)dt, (2.7) x ∈ R, (m = 1, 2), a Z −i ∞ e−ξh `11 (x) = `22 (x) = sin(ξx)dξ, π sinh(ξh) Z i ∞ sin(ξx) `12 (x) = `21 (x) = dξ sinh(h) 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Đặt X vm (t) = (m) m (t) , khai triển hàm m (t) thành chuỗi m (t) = (t) (m) Aj Tj [(t)], Aj (m) }j=1 sè ch­a biÕt vµ ta cã {Aj ∈ j=1 `2 (m = 1, 2) Thế hàm m (t) vào hệ phương trình tích phân kỳ dị, hoán tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 14 vị thứ tự lấy tích phân tổng, sử dơng tÝnh chÊt trùc giao cđa ®a thøc Chebuyshev Uj ta thu hệ vô hạn phương trình đại sè tuyÕn tÝnh ∞ −(b − a) (m) X X (k) (mk) Aj Cnj = Fn(m) , An+1 + 4i j=1 (m = 1, 2), (n = 0, 1, 2, ), k=1 (2.8) ®ã (mk) Cnj b Z = ρ(x)Un [η(x)]dx a Fn(m) b Z a Z = −i Tj [η(t)] lmk (x − t)dt, ρ(t) (2.9) b ρ(x)Un [η(x)]fm (x)dx, (m = 1, 2), (n = 0, 1, 2, ) a (2.10) (1) Ta ký hiÖu (2) X2n−1 = An , X2n = An , (n = 1, 2, 3, ), 4i 4i E2n+1 = − Fn(1) , E2n+2 = − F (2) , (n = 0, 1, 2, ), b−a b−a n 4i 4i (11) (12) C2n−1,2j+1 = − Cnj , C2n,2j+1 = − Cnj , b−a b−a 4i 4i (21) (22) C2n−1,2j+2 = − Cnj , C2n,2j+2 = − Cnj b−a b−a (2.11) (2.12) (2.13) Khi ta biến đổi hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Xn + X Cn,j Xj = En (n = 1, 2, ) (2.14) j=1 f1 (x) f2 (x) hàm đà cho, giả thiết {En } n=1 xác ®Þnh bëi (2.10), (2.11) thc `2 Khi ®ã hƯ vô hạn phương trình đại số tuyến tính (2.14) cã nhÊt nghiÖm {Xn }n=1 ∈ `2 Hệ phương trình Định lý 2.6 Giả sử hệ phương trình tựa hoàn toàn qui 2.2 Bài toán biên hỗn hợp dải đàn hồi 2.2.1 Phát biểu toán Xét toán biên hỗn hợp sau đây: Tìm hai hàm điều hoà (x, y) (x, y) thoả mÃn hai phương trình điều hoà 2Φ ∂ 2Φ + = 0, ∂x2 ∂y ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + = 0, ∂x2 ∂y (−∞ < x < ∞, < y < h) (2.15) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 15 với điều kiện biên (2.16) xy (x, h) = τ0 (x), σy (x, h) = σ0 (x), −∞ < x < ∞, ( τxy (x, 0) = σy (x, 0) = 0, x ∈ (a, b), u(x, 0) = v(x, 0) = 0, x ∈ R \ (a, b), (2.17) hàm (x), (x) hàm đà cho, u(x, y), v(x, y) hàm chuyển vị, y (x, y), xy (x, y) ứng suất tiếp tuyến, môđun biến dạng rắn, tỷ số Poisson (à 2.2.2 > 0, < < 1/2) Đưa hệ phương trình cặp tích phân Ta biến đổi hệ phương trình cặp tích phân ẩn hàm u b1 (), u b2 (ξ) ( F −1 [|ξ|A0 (ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ Ω0 = R \ (a, b), (2.18) ®ã b (ξ) = F [u(x)](ξ) = u1 (x) = 2µu(x, 0), u2 (x) = 2µv(x, 0), u (F [u1 (x)], F [u2 (x)])T (ξ), f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , f1 (x), f2 (x) lµ hàm đà biết phụ thuộc tuyến tính vào biến đổi Fourier hàm (x) (x)   a11 (ξ) isign(ξ).a12 (ξ) , A0 (ξ) =  −isign(ξ).a21 (ξ) a22 (ξ) víi 2(1 − ν)[cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) + |ξ|h] , 4(1 − ν)2 + |ξ|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) (1 − 2ν) sinh2 (|ξ|h) + |ξ|2 h2 a21 (ξ) = a12 (ξ) = , 4(1 − ν)2 + |ξ|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) 2(1 − ν)[cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) − |ξ|h] a22 (ξ) = 4(1 − ν)2 + |ξ|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) a11 (ξ) = 2.2.3 TÝnh gi¶i hệ phương trình cặp tích phân (2.18) Hệ phương trình tích phân (2.18) viết lại dạng sau ( pF −1 [|ξ|A0 (ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), p0 F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (2.19) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 16 p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, b) R \ (a, b) ~ /2 Định lý 2.7 (Sự nghiệm) Giả sư f ∈ H (a, b) Khi ®ã nghiƯm α ~ /2 u ∈ H◦ (a, b) cđa hƯ ph­¬ng trình (2.19) tồn tại, Định lý 2.8 (Sự tồn nghiệm) Giả sử hàm số (x) (x) cho T ~ /2 tr­íc cho hµm f (x) = (f1 (x), f2 (x)) thuộc vào không gian H (a, b), T ~ = (1, 1) Khi hệ phương trình cặp tích phân (2.19) có nghiệm ~ /2 u = F −1 [b u] ∈ H◦ (a, b), nghĩa u(x, 0) H1/2 (a, b), v(x, 0) ∈ H◦1/2 (a, b), ®ã 2.2.4 u(x, 0) v(x, 0) chuyển vị ngang dọc trục y = Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy Mục trình bày tương tự Mục 2.1.4 2.2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Mục trình bày tương tự Mục 2.1.5 2.3 Bài toán biên hỗn hợp phương trình song điều hoà Trong mục này, xét hệ phương trình cặp với biểu trưng giảm cấp gặp toán biên hỗn hợp phương trình song điều hoà miền hình dải 2.3.1 Phát biểu toán Xét toán biên hỗn hợp sau đây: Tìm hàm (x, y) thoả mÃn phương trình song điều hoà (x, y) = 4Φ ∂ 4Φ + + =0 ∂x4 ∂x2 ∂y y (2.20) với điều kiện biên Φy=0 = r1 (x), x ∈ R, Φy=h = r2 (x), x ∈ R, tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (2.21) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 17   ∂Φ = f1 (x), x ∈ (−a, a), ∂y y=0 M [Φ] = 0, x ∈ R \ (−a, a), y=0 ®ã M [Φ] = M [Φ](x, y) = 2.3.2   ∂Φ = f2 (x), x ∈ (−a, a), ∂y y=h , M [Φ] = 0, x ∈ R \ (−a, a), y=h (2.22) ∂ 2Φ ∂ 2Φ + ν , < ν < ∂y x2 (2.23) Đưa hệ phương trình cặp tích phân Ta biến đổi hệ phương trình cặp tích phân ẩn hàm u b1 (), u b2 (ξ) ( F −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = e f (x), x ∈ (−a, a), F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (−a, a), (2.24) b (ξ) = F [u(x)](ξ), ®ã u1 (x) = M [Φ](x, 0), u2 (x) = M [Φ](x, h), u T e e e f (x) = (f1 (x), f2 (x)) , fe1 (x) = −f1 (x) − F −1 [a1 (ξ)b r1 (ξ)](x) + F −1 [a2 (ξ)b r2 (ξ)](x), (2.25) fe2 (x) = f2 (x) + F −1 [a2 (ξ)b r1 (ξ)](x) − F −1 [a1 (ξ)b r2 (ξ)](x), (2.26)   sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h |ξ|h cosh(|ξ|h) − sinh(|ξ|h) 2   2|ξ| sinh (|ξ|h) 2|ξ| sinh (|ξ|h)   A(ξ) =  |ξ|h cosh(|ξ|h) − sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h  2|ξ| sinh2 (|ξ|h) 2.3.3 2|ξ| sinh2 (|ξ|h) Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.24) Hệ phương trình cặp tích phân (2.24) viết l¹i d­íi d¹ng ( pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = e f (x), x ∈ (−a, a), p0 u := p0 F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, a) (2.27) p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, a) R \ (a, a) Ta có khẳng định sau r1 (x) vµ r2 (x) ∈ H (R), f1 (x) vµ f2 (x) ∈ H (−a, a), e f (x) ∈ H−~α/2 (−a, a), α ~ = (−1, −1)T tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (2.28) (2.29) : tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 18 Định lý 2.13 (Sự nghiệm) Giả sử điều kiện (2.29) thoả mÃn Khi nghiệm ~ /2 u H (a, a) hệ phương trình (2.27) tồn tại, Định lý 2.14 (Sự tồn nghiệm) Giả sử giả thiết (2.28) thoả mÃn u= Khi hệ phương trình cặp tÝch ph©n α ~ /2 F −1 [b u] ∈ H◦ (−a, a) 2.3.4 (2.27) cã nhÊt nghiƯm §­a hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân nhân logarithm Bây ta viết hệ phương trình (2.24) dạng i h X   −1 amn (ξ) u bn (ξ) (x) = fem (x), x ∈ (−a, a), F |ξ| n=1   um (x) = F −1 [b um ](x) = 0, x ∈ R \ (−a, a), (m = 1, 2), (2.30) ®ã a∗11 (ξ) = a∗22 (ξ) = |ξ|a11 (ξ), a∗12 (ξ) = a∗21 (ξ) = |ξ|a12 (), fem (x), m = 1, 2, xác định công thức (2.25) (2.26) (2.30) (b u1 (), u b2 ()) tương đương với hệ phương trình tích phân nhân logarithm sau (a, a) :  Z Z a a X    ln um (t)k1m (x − t)dt = fe1 (x), u1 (t)dt +   2π x−y −a m=1 −a Z Z a a X    ln um (t)k2m (x − t)dt = fe2 (x), m = 1,  u2 (t)dt + xy Định lý 2.16 a Hệ phương trình cặp tích phân m=1 a Z a∗12 (ξ) ®ã k12 (x) = k21 (x) = cos(ξx)dξ, π ξ Z ∞ ∗ πx 2a11 (ξ) − tanh(ξh) knn (x) = ln x coth + cos(ξx)dξ, n = 1, 2π 4h 2π 2.3.5 Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Mục trình bày tương tự Mục 2.1.5 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 19 2.4 Bài toán biên hỗn hợp thứ hai phương trình điều hoà Trong mục này, xét hệ phương trình cặp với biểu trưng tăng - giảm cấp gặp toán biên hỗn hợp thứ hai phương trình điều hoà miền hình dải 2.4.1 Phát biểu toán Tìm nghiệm phương trình điều hoà + = 0, ∂x2 ∂y (−∞ < x < ∞, < y < h) (2.31) với điều kiện biên  −Φ(x, 0) = f1 (x), x ∈ (a, b), ∂Φ  (x, 0) = 0, x ∈ R \ (a, b), ∂y   ∂Φ (x, h) = f (x), x ∈ (a, b), ∂y ,  Φ(x, h) = 0, x ∈ R \ (a, b), (2.32) f1 , f2 hàm đà cho 2.4.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Ta biến đổi hệ phương trình cặp tích phân ẩn hàm u b1 (), u b2 () ( F −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), ®ã f (x) 2.4.3 (2.33) b (ξ) = F [u](ξ) = (F [u1 (x)], F [u2 (x)])T , = (f1 (x), f2 (x))T , u   tanh(|ξ|h) −  |ξ| cosh(|ξ|h)    A(ξ) =   |ξ| tanh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) TÝnh giải hệ phương trình cặp tích phân (2.33) Hệ phương trình cặp tích phân (2.33) viết lại dạng sau đây: ( pF [A()b u()](x) = f (x), x ∈ (a, b), p0 F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (2.34) : tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 20 p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, b) R \ (a, b) ~ /2 Định lý 2.19 (Sự nhÊt nghiƯm) Gi¶ sư f ∈ H (a, b) Khi ®ã nghiÖm α ~ /2 u ∈ H◦ (a, b), ~ = (1, 1)T hệ phương trình cặp tích phân (2.34) tồn tại, nhÊt f ∈ H−~α/2 (a, b) th× α ~ /2 ~ = (−1, 1)T (2.34) cã nhÊt nghiÖm u H (a, b), Định lý 2.20 2.4.4 (Sự tồn nghiệm) Nếu hệ phương trình Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy dv1 (x) 1/2 , v1 ∈ H◦ (a, b) ∩ L2ρ−1 (a, b) vµ dx 1Rb −1/2 v2 (t)sign(x − t)dt, v2 ∈ L2ρ (a, b) ⊂ H◦ (a, b) chóng ta u2 (x) = a B»ng c¸ch biĨu diƠn u1 (x) = biÕn đổi hệ phương trình (2.33) hệ phương trình tích phân kỳ dị Cauchy (a, b) tương tự Mục 2.1.4 2.4.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Mục trình bày tương tự Mục 2.1.5 ã Kết luận Chương Kết Chương bao gồm: Xét số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier, xuất giải toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà phương trình song điều hoà miền hình dải phương pháp biến đổi Fourier Các bước nghiên cứu gồm: - Đưa toán biên hỗn hợp hệ phương trình cặp tích phân Fourier tương ứng, chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân không gian Sobolev thích hợp hàm suy rộng - Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy nhân logarithm - Đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Chứng minh hệ phương trình có nghiệm `2 chúng hệ tựa hoàn toàn qui tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung Chương Giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier Trong chương này, thực giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà Mục 2.1 3.1 Đưahệphươngtrìnhtíchphânkỳdịvềdạngkhôngthứnguyên Ta biến đổi hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (2.5) hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên sau đây: Z ∗ Z  X  vm (τ ) ∗ ∗ 1 dτ + Kmk (y − τ )vk∗ (τ )dτ = fm (y), π −1 y − τ −1 k=1    −1 < y < 1, m = 1, 2, ®ã λ ∗ ∗ K11 (y − τ ) = K22 (y − τ ) = π ∞ Z e−z sin[zλ(y − τ )]dz, sinh z −λ ∞ − τ) = − τ) = sin[zλ(y − τ )]dz, π sinh z 2x − b − a 2t − b − a b−a y= , τ= , z = ξh, λ = b−a b−a 2h ∗ K12 (y Z ∗ K21 (y 21 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung (3.1) tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 22 3.2 Tính gần nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị 3.2.1 Tính gần ma trận hạch hệ phương trình tích phân kỳ dị Bằng cách sử dụng công thức cầu phương Chebyshev-Laguerre, tính gần ma trËn h¹ch ∗ ∗ K11 (y − τ ) K12 (y ) hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.5) 3.2.2 Tính nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị Trong mục này, thực giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên (3.1) với hàm K11 (y ) K12 (y ) tính trường hợp n = 4, vế phải đa thức bậc Tính nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.5) Bài toán Tìm nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên (3.1) với điều kiện Z 1 Các hàm v1 ( )d Z = 0, −1 v2∗ (τ )dτ = (3.2) ∗ ∗ K11 (y − τ ) vµ K12 (y − ) tính trường hợp n = 4, f1∗ (y) = a0 + a1 y + a2 y + a3 y + a4 y + a5 y , f2∗ (y) = b0 + b1 y + b2 y + b3 y + b4 y + b5 y đa thøc víi hƯ sè thùc {aj }5j=0 , {bj }5j=0 cho trước Lời giải Sử dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm chuỗi đa thức trực giao đưa hệ phương trình đại số tuyến tính, sau "chặt cụt" đến N = (có so sánh kết tính toán với N = 7) trường hợp = 10 ta tính nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.5) Do khuôn khổ có hạn Tóm tắt luận án, xin trình bày phần nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị trường hợp cho đa thức bậc năm giá trị cụ thể {a0 = 1, a1 = −2, a2 = 1, a3 = 0, a4 = −1, a5 = 1} vµ {b0 = 2, b1 = 1, b2 = −1, b3 = 4, b4 = 1, b5 = 2} nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị trường hợp h i ∗ v1,6 (τ ) = √ − 0.92651 − 0.6436588τ + 2.10293τ − τ2 h i −√ 1.4994616τ − 0.50012τ − 0.999992τ + 1.000000τ − τ2 tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung 23 vµ h i ∗ 0.896727 − 2.3814487τ + 0.706384τ v2,6 (τ ) = √ − τ2 h i +√ + 1.500006τ − 4.999784τ + 1.0000048τ + 1.000000τ − τ2 3.2.3 VÒ tốc độ hội tụ Trong mục này, trình bày tốc độ hội tụ nghiệm gần vm,N (x) đến nghiệm xác vm (x), m = 1, hệ phương trình tích phân kỳ dị:     πi b Z a vm (t)dt X + x−t Z b vk (t)`mk (x − t)dt = −ifm (x), a k=1    vm (t) ∈ L2 (a, b), m = 1, 2; ρ (3.3) a < x < b, ®ã −i `11 (x) = `22 (x) = π Z ∞ e−ξh sin(ξx)dξ, sinh(ξh) i `12 (x) = `21 (x) = π Z ∞ sin(ξx) dξ sinh(ξh) §èi víi hƯ phương trình tích phân kỳ dị (3.3) ta có mệnh ®Ị sau ®©y vỊ tèc ®é héi tơ : MƯnh đề 3.3 đoạn Nếu hàm fm (x) có đạo hàm (k) fm (x) liên tục đến cấp k [a, b] th× ||vm − vm,N ||2L2ρ = ||φm (t) − φm,N (t)||2L2−1 ρ =O  N 2k−1  , m = 1, ã Kết luận Chương Thực việc giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà Mục 2.1 với bước sau đây: - Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên - Thực giải gần hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính đà "chặt cụt" đến N = N = 7, sau tìm nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị - Trình bày đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm gần đến nghiệm xác hệ phương trình tích phân kỳ dị tương ứng với hệ phương trình cặp tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung tom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dungtom.tat.luan.an.tien.si.mot.so.lop.he.phuong.trinh.cap.va.ung.dung