Thông tin tài liệu
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình Tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong dạy học mơn Tốn, phương pháp tư học sinh phần lớn hình thành rèn luyện q trình giải tốn, thơng qua hoạt động học sinh hoạt động tích cực để tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh tri thức Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ toán tốn quen thuộc, tốn “khó” trở tốn “dễ”, biết cách “xử lí” tình có vấn đề tình đơn giản điều cần thiết thiết thực, yếu tố then chốt để cao chất lượng mơn tốn kì thi tốt nghiệp THPTQG trường Kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia năm có ý nghĩa quan trọng với học sinh lớp 12, kết kì thi khơng sử dụng để xét công nhận tốt nghiệp mà kết sử dụng để xét tuyển vào trường đại học Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia mơn tốn gồm nhiều mảng kiến thức, trải rộng nhiều chương Trong , tốn ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng đề thi kỳ thi TN THPT Bộ giáo dục Đào tạo đề cập, khai thác mức độ khác nhau, dạng tiếp cận khác gây không khó khăn cho học sinh q trình giải toán Đặc biệt từ Bộ GD ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Tốn, địi hỏi học sinh khơng phải có kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có cách tiếp cận, phương pháp phù hợp để giải toán cách nhanh Với lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Nâng cao chất lượng mơn tốn kì thi tốt nghiệp THPTQG trường THPT Cẩm Thủy cách dạy học gợi mở hướng học sinh giải lớp tập ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021– 2022 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài phát triển lực tư học sinh , quy lạ quen thông qua lớp tốn ứng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hình vẽ nhằm rèn luyện kỹ tốn học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính toán, lực tự học lực giải tình skkn thực tiễn Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học Kỹ vận dụng kiến thức tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp toán ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số chương trình học lớp 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh, giúp học sinh quy lạ quen nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn trường THPT Cẩm Thủy kì thi tốt nghiệp THPTQG 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập giải tích- Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh, đề thi thử , đề minh họa đề thi TN THPT năm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dưới lãnh đạo Đảng, đất nước ta ngày tiến nhanh đường đổi mới, hội nhập vào xu phát triển chung giới Đảng ta chủ trương phát triển tất mặt, trọng vào việc đào tạo người Đảng ta xác định: Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Giúp học sinh có nhìn phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải tốn, giúp em có tự tin gặp dạng toán đồng thời giúp học sinh phát triển tư để nâng chất lượng mơn tốn kì thi tốt nghiệp THPTQG 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Cẩm thủy trường miền núi, có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy: Kỹ giải tốn học sinh chậm; khả phát vấn đề nảy sinh sở có, khả quy lạ quen cịn nhiều hạn chế Do học sinh gặp nhiều lúng túng, sai lầm gặp tốn có thay đổi dạng Đặc biệt năm dạy lớp mũi nhọn có học sinh ơn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia thân tơi thấy kể học sinh giỏi sai lầm câu nhất, học sinh tốp sau lớp thường khó tư định hình tốn vận dụng vận dụng cao phần kiến thức có phần ứng dụng tích phân 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Học sinh cần nắm kiến thức ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng Để học tốt phần học sinh cần nắm vững kiến thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong A, Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn (C1 ) : y f ( x ) (C2 ) : Ox : y x a, x b ( a b ) ( hàm số b liên tục đoạn ) cho công thức S f ( x) dx a (C1 ) : y f ( x) (C2 ) : y g ( x ) B, Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn x a, x b (a b) hàm số skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang b S f ( x) g ( x) dx liên tục đoạn cho cơng thức a Việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng rộng, sáng kiến tập trung hướng dẫn gợi mở để hướng học sinh nhận dạng, quy lạ quen tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số có sẵn hình vẽ 2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng tập vận dụng giải tập liên quan 2.3.2.1 Dạng tập để học sinh nhận biết làm quen: y f x Dạng 1: Cho hình phẳng giới hạn hàm số hình vẽ Dựa vào kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân học sinh nhận dạng cơng thức tính diện tích hình phẳng Bài Tập 1.1: (Mã đề 102 để thức năm 2019) Cho hàm số y f x liên tục y f x , y 0, x 1 Gọi x5 S diện tích hình phẳng giới hạn đường (như hình vẽ bên) skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Mệnh đề sau đúng? A S f ( x)dx f ( x )dx 1 1 S B S 1 f ( x)dx f ( x)dx 1 f ( x)dx f ( x)dx S f ( x)dx f ( x)dx 1 1 C D Phân tích: Dạng giáo viên hướng cho học sinh liên tưởng đến dạng phần tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn (C1 ) : y f ( x ) (C2 ) : Ox : y x a , x b ( a b) ( hàm số liên tục đoạn ) cho b công thức S f ( x) dx a Tuy nhiên dạng toán phá dấu giá truyệt đối mà giá trị hàm số mang nhiều dấu ta cần tách tích phân thành đoạn tương ứng với phần hình phẳng sử dụng tính chất: Ta có hàm số với Và tính chất : với Nếu hàm số liên tục đoạn liên tục đoạn ( ) skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng giới hạn đường x5 gồm hai phần diện tích : Phần diện tích hình phẳng y f x , y 0, x 1 và Trên ta thấy Trên ta thấy y f x , y 0, x 1 giới hạn đường phần diện tích hình phẳng giới hạn đường với nên với nên nên nên Vậy ta có phương pháp giải sau: Ta có: Qua ví dụ trên, giáo viên định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn + Quan sát hình vẽ để ý: Diện tích hình phẳng đề cho gồm phần + Phần nằm trục hồnh diện tích giới hạn hàm số đoạn tích phân hàm số đoạn đoạn ln Phần nằm trục hồnh diện tích giới hạn hàm số đoạn trừ tích phân hàm số đoạn đoạn Lựa chọn phương án trả lời ứng với suy luận Giáo viên ý cho học sinh dạng toán học sinh thường hay nhầm lẫn nhận dạng diện tích theo hình vẽ diện tích hình phẳng đoạn tích phân đoạn Hoặc tùy tiện bỏ trị tuyệt đối tích phân ngồi mà khơng cần biết dấu tích phân Các tập tương tự Bài Tập 1.2 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Hình phẳng giới hạn y f x đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x a , x b hình (phần gạch sọc) có diện tích S skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang A C c b a c f x dx f x dx c b a c f x dx f x dx c b a c B f x dx f x dx D f x dx f x dx c b a c Bài Tập 1.3 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số y f x A Diện tích S hình phẳng (phần tơ đậm hình vẽ) S f x dx f x dx B C S f x dx D 1 S f x dx f x dx S f x dx f x dx Bài Tập 1.4 (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm) tính theo cơng thức sau đây? A S 2 C S f ( x)dx B S f ( x)dx f ( x)dx 2 2 S D 2 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x )dx y f x Dạng 2: Cho hình phẳng giới hạn hàm số hình vẽ Dựa vào kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân học sinh nhận dạng cơng thức tính diện tích hình phẳng Bài Tập 2.1: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên 2 x A 2 x C 1 1 x dx x dx B 2x D 2x 1 1 x dx x dx Phân tích lựa chọn đáp án: Giáo viên gợi cho học sinh nhận dạng dạng toán thuộc dạng thứ hai phần ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (C1 ) : y f ( x ) (C2 ) : y g ( x ) x a , x b ( a b) b S f ( x) g ( x ) dx a Hình phẳng ( H ) giới hạn diện tích Tuy nhiên toán học sinh cần biết cách phá trị tuyệt đối công thức Do đoạn hàm số nằm đồ thị hàm số nên giá trị hàm số lớn giá trị hàm số tích hình phẳng gạch chéo hình nên diện 2 1 x x x dx 1 2 x x dx 2 Vì học sinh chọn nhanh đáp án A skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Phần giáo viên cần lưu ý học sinh tránh sai lầm mắc bẫy người đề hàm số có phần đồ thị nằm viết nên học sinh không quan sát kĩ dễ chọn nhầm hàm số dẫn đên đáp án sai lầm Áp dụng bước tư giáo viên cho học sinh cố tập tương tự: Bài Tập 1.2 Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A 2 x dx 1 B x dx 1 C 2 2 x x dx D 1 2x x dx 1 Bài Tập 1.3 (Chuyên KHTN 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A 2x x dx 1 C 2 x 1 2 x dx B 2x x dx 1 D 2 x 1 x dx 2.3.2.2 Giới thiệu tốn với tư cách tình gợi vấn đề vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả kích thích hoạt động tích cực học sinh; từ skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn Tình gợi vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết có khả vượt qua khơng phải tức khắc làm nhờ quy tắc có tính chất thuật tốn mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, địi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động điều chỉnh kiến thức sẵn có Bài tốn đưa cần làm cho học sinh thấy rõ chưa có lời giải có số kiến thức, kỹ liên quan đến vấn đề đặt em học sinh tin tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư giải y f x Dạng 3: Cho hình phẳng giới hạn hàm số hình vẽ Dựa vào kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân học sinh nhận dạng cơng thức tính diện tích hình phẳng nhiên phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa dạng quen thuộc Bài tập 3.1: ( Đề thi thử trường THPT Cẩm Thủy năm 2021) Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ diện tích hai phần A, B Giá trị A B C D Phân Tích: Giáo viên gợi mở cho học sinh thấy khác biệt dạng với dạng Giúp học sinh tìm câu trả lời câu hỏi : Vấn đề đặt đưa dạng toán dạng Đối với toán phải thêm bước biến đổi cách đặt ẩn phụ để đưa dạng Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang +) Xét Đặt +) Đổi cận Qua ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn 3: + Đặt ẩn phụ để đưa dạng + Liên hệ tích phân đến phần diện tích hình phẳng đề cho + Tách tích phân theo khoảng đề Liên hệ với dạng để tính tích phân qua diện tích Bài tập 3.2: ( Đề thi thử năm 2020-2021 sở giáo dục Phú Thọ) Cho hàm số f x A , B liên tục có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích phần lần lượt Tích phân A cos x f 5sin x 1 dx C B D 2 Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: 10 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Theo giả thiết ta có f x dx 1 f x dx 7 suy f x dx 4 1 Đặt t 5sin x dt 5cos x dx Với cos x f 5sin x 1 dx Khi 4 1 f t dt f x dx 1 1 có đồ thị Bài tập 3.3 ( THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số hình vẽ gọi A ; B hai hình phẳng gạch hình bên có diện tích 14 y f x Giá trị I f 3x 1 dx 1 19 B A bằng: C 27 D Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: I f 3x 1 dx 1 Xét Với x 1 t 2 dx dt Đặt 3x t x t 1 I 2 1 1 1 f t dt f x dx f x dx f x dx S A S B 3 2 2 Dạng 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm số nhiên phải xác định hai hàm số tìm diện tích Bài tập 4.1: Mã 101 2018) Cho hai hàm số g x dx ex a, b, c, d , e Biết đồ thị hàm số y g x cắt f x ax3 bx cx y f x 11 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích A B C D Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: Đối với dạng toán giáo viên gợi mở cho học sinh trả lời câu hỏi: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tìm yếu tố trước: Dĩ nhiên tìm hàm số đề cho Tuy nhiên dạng tốn khó kì thi tốt nghiệp THPTQG địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp hàm số, tích phân Biết nhận dạng nhanh có kĩ tính tốn nhanh xác Khi dạy dạng giáo viên cần hướng dẫn từ từ cẩn thận cho học sinh, tránh làm cho học sinh sợ gặp dạng tương tự - Thường dạng cần dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm quan sát hồnh độ giao điểm hình vẽ để tìm mối liên hệ chúng Cách 1: Xét phương trình 12 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 27 a b d c e a b d c e a b d c e có nghiệm 3 ; 1 ; nên suy b d a 1 3 f x g x x3 x2 x c e 2 2 Vậy Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích S 1 3 1 f x g x dx g x f x dx 1 3 3 1 1 S x x x dx x x x dx 2 2 2 2 3 1 Hoặc dạng học sinh quan sát hình vẽ hệ số bậc cao mà phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số có thiết lập dựa vào thơng tin hình vẽ, sử dụng hệ số tự tìm hệ số a mà khơng cần tìm cơng thức hàm số Cách 2: Ta có: Suy f x g x a x 3 x 1 x 1 a x 3 x 1 x 1 ax b d x c d x 3 1 3a a f x g x x 3 x 1 x 1 2 Do đó: Xét hệ số tự suy ra: Diện tích bằng: S 1 3 1 f x g x dx g x f x dx 1 1 S x 3 x 1 x 1 dx x x 1 x 1 dx 3 1 4 13 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Qua ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn 4: Cách 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm + Dựa vào hồnh độ điểm cắt hình để vào phương trình hồnh độ giao điểm giải hệ tìm hàm số + Tính diện tích qua tích phân theo dạng Nhận xét: Việc rèn luyện giải tốn có tính chất quan trọng, việc rèn luyện khả tìm phương pháp, lời giải tốn khâu có tính chất định tồn cơng việc rèn luyện giải tốn Do vậy, dạy học sinh giải tốn, giáo viên ngồi việc cung cấp lời giải toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư tìm đường hợp lý để giải tốn.Trong q trình giải tốn cụ thể đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ để tìm lời giải tốn Bài tập 4.2: (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x xác định liên tục đoạn 5;3 Biết diện tích hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn đồ f x thị hàm số đường parabol y g x ax bx c m, n, p y y=g(x) S1 -1 -5 S3 -2 O S2 x y=f(x) f x dx Tích phân 5 A m n p 208 45 B mn p 208 45 C mn p 208 45 D m n p 208 45 Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: 14 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang S1 S2 S3 2 2 5 f x g x dx g x f x dx 2 2 5 5 5 0 f x dx g x dx g x dx f x dx 2 2 2 2 3 5 0 f x dx S1 2 g x dx 5 f x dx 2 g x dx S Do vậy: f x dx S 5 2 f x g x dx f x dx g x dx f x dx S g x dx S S g x dx 5 Từ đồ thị ta thấy g x dx 5 số dương Mà đáp án có B phù hợp Chú ý: Có thể tính Từ đồ thị hàm số g x dx 5 y g x sau: 5;2 , 2;0 , 0;0 ta thấy qua điểm nên ta có: 25a 5b c 2 4a 2b c a , b , c 15 15 c 3 208 2 5 g x dx 5 15 x 15 x dx 45 Do Bài tập 4.3: (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số f ( x) ax bx cx g ( x ) mx nx có đồ thị hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số (phần gạch chéo hình vẽ) A 37 B 12 37 C D Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: 15 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Phương trình hồnh độ giao điểm: ax bx cx mx nx ax (b m) x (c n) x Đặt h( x) ax (b m) x (c n) x Vì h( x) có nghiệm x 2, x 1, x nên h( x) a( x 1)( x 1)( x 2) a( x 1)( x 2) Mà ta có h(0) 2a a Suy h( x ) 2( x 1)( x 2) Vậy diện tích hình phẳng S h( x ) dx 1 2( x 1)( x 2) dx 1 37 Bài tập 4.4 : (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hai hàm số f x ax bx cx 2 g x dx ex (a, b, c, d , e ) Biết đồ thị hàm số y f x y g x cắt điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích B A D C Phân tích đưa lời giải lựa chọn đáp án: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị ax bx cx Do đồ thị hàm số 3 ; y f x y g x dx ex ax b d x c e x * 2 y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 1 ; nên phương trình * có ba nghiệm x 3 ; x 1 ; x Khi ta có hệ phương trình 16 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 3 27 a b d c e b d a a b d c e 2 1 a b d c e c e f x g x 3 x x x 2 2 Suy Vậy hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho có diện tích là: S 1 1 3 1 f x g x dx g x f x dx 3 3 1 1 x x x dx x x x dx 2 2 2 2 22 3 1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 trường THPT Cẩm thủy năm học 2019-2020, áp dụng đề tài giúp em cảm thấy tự tin say mê việc học tốn, có tinh thần tìm tịi học hỏi dạng tốn khó liên quan đến ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số Sáng kiến cập nhật thêm toán đề thi thử năm 2020-2021 2021-2022 Bản thân thấy đề trường có thay đổi phương pháp khơng thay đổi, cần tinh ý học sinh sử dụng cho toán năm Kết kỳ thi thử TN THPT mà em tham gia thi, em giải nhanh gọn xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm kỳ thi TN THPT - Khi thực giảng dạy lớp, lớp thực nghiệm 12A2 ; 12A5 lớp đối chứng 12A3, 12A10 việc vận phương pháp, tổ chức tiết dạy chất lượng có khác rõ rệt Các lớp thực nghiệm có ưu hẳn việc tổ chức hoạt động đạt hiệu cao Kết điểm kiểm tra: Kết chấm kiểm tra ơn tập phần học sinh có chênh lệch, thể qua bảng số liệu sau: BẢNG TỔNG HỢP ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HS Điểm 17 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Lớp Sĩ Yếu Trung bình Lớp 12A2 số 40 SL 10 % 25 SL 22 % 55 SL % 20 SL % Đối chứng Lớp Thực nghiệ m 12A5 Tổng số 12A3 12A10 36 76 48 45 19 25 25 8.8 20 42 14 18 55,5 55,2 29,1 40 15 24 18 19,5 19,8 50 40 0 0 18.9 11.2 Tổng số 93 5.4 32 34.5 42 45 14 15.1 Ghi chú: Tổng hợp kết theo nhóm lớp : Khá SL – Số lượng Điểm (%) Nhóm lớp Yếu Trung bình Khá Đối chứng 25 55,2 19,8 Thực nghiệm 5.4 34.5 45.0 Thể kết biểu đồ sau: % 60 Giỏi 15.1 55.2 50 45 40 30 Giỏi 34.5 25 19.8 20 10 15.1 5.4 0 Yếu Trung bình Nhóm Đối chứng Khá Giỏi Nhóm thực nghiệm Mức điểm Biểu đồ : KẾT QUẢ ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HAI NHÓM LỚP - So sánh kết quả, nhận xét Từ bảng số liệu biểu đồ ta thấy: 18 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm yếu cao (25%), tỉ lệ HS đạt điểm trung bình trở lên 55,2% điểm thấp, đạt 19,8% khơng học sinh đạt điểm giỏi Lớp thực nghiệm: Tỉ lệ HS có điểm yếu thấp (5,4%), tỉ lệ HS đạt điểm trung bình trở lên 94,6%, tỉ lệ điểm khá, giỏi cao (45,0% điểm 15,1% điểm giỏi) Từ kết so sánh cho thấy việc chia dạng phần kiến thức ôn thi Tốt nghiệp THPTQG cần thiết hiệu Tùy nhóm đối tượng để q trình ơn luyện giáo viên chọn dạy đến dạng cách tiếp cận hợp lí KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận - Qua trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12, đề tài giúp cho em thêm tự tin say mê việc giải tốn tích phân đặc biệt phát xu hướng câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao ứng dụng tích phân đề thi TN THPT năm gần - Trong phạm vi SKKN dạng toán rộng nhiều hướng phát triển nên tơi tập trung vào khai thác bốn dạng tốn, tiếp tục nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng tốn hồn thiện cho đề tài - Trên kinh nghiệm thực tế qua trình giảng dạy nhiều năm rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Do kinh nghiệm chưa nhiều cộng với hạn chế thời gian yếu tố khách quan đưa lại; khả thân có hạn nên tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót định việc thực trình bày SKKN Rất mong Hội đồng Khoa học ngành Giáo dục tỉnh Thanh hoá quan tâm giúp đỡ để rút kinh nghiệm thực tốt công tác viết SKKN năm học 3.2 Kiến nghị - Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến đề tài nghiên cứu có chất lượng áp dụng rộng rãi trường Nhà trường tổ mơn nên có kế hoạch tổ chức buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất lượng giảng dạy 19 skkn Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Skkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangSkkn.nang.cao.chat.luong.mon.toan.trong.ki.thi.tot.nghiep.thptqg.bang.cach.day.hoc.goi.mo.huong.hoc.sinh.giai.quyet.lop.bai.tap.ve.ung.dung.cua.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang
Ngày đăng: 01/01/2024, 13:35
Xem thêm:
