Trang 1 GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm HAI PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM I.. PHƢƠNG PHÁP THẾ THEO HẰNG ĐẲNG THỨC 1.. Phƣơng p
GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai HAI PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM I PHƢƠNG PHÁP THẾ THEO HẰNG ĐẲNG THỨC Phƣơng pháp giải + Sử dụng biểu thức thích hợp để tính biểu thức theo hai cách khác dựa theo giả thiết + Từ phương trình thứ ta suy hàm cần tìm.Hoặc suy giá trị cần tìm Các bƣớc thực + Chỉ hàm số cộng tính + Thế cách thích hợp theo hai hướng Một số ví dụ Bài 1: Tìm hàm f : thỏa mãn: f x y xf x f y x, y Giải Giả sử hàm f(x) hàm thỏa mãn đề Thay x= y = ta có f(0) = x Thay y= ta có: f x2 xf x Suy ra: f x2 y f x2 f y x, y Cho x= ta có: f y f y y nên f hàm lẻ 2 Thay y –y nên ta có f x y f x f y x, y Do hàm hàm lẻ nên ta được: f x y f x f y Ta xét: f ( x 1 ) x 1 f x 1 x 1 f ( x) f (1) x, y x Mặt khác: f ( x 1 ) f ( x2 x 1) f ( x ) f (2 x) f (1) xf x f x f (1) x Suy ra: x 1 f ( x) f (1) xf x f x f (1) Khai triển rút gọn ta được: f x f 1 x x x x Đặt a= f(1) f x a.x Thử lại thấy thỏa mãn Bài 2: Tìm hàm f : thỏa mãn: f x3 y x f x y f y x, y Giải (Giống 1) Chỉ f(kx) = k.f(x) x , k 3 Thay x x+1 y x-1 tính f x 1 x 1 theo hai cách Tìm f(x) = f(1).x Chuyên đề Học sinh giỏi Phƣơng trình hàm skkn GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Bài 3: Tìm hàm f : f(x+1) =f(x)+1 f(x2) = [f(x)]2 thỏa mãn: (1) x (2) x Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Thay x= vào (2) ta được: f(0 )= f(0) = Nếu f(0) =1 thì: Thay x= vào (1) ta f(1) = Lại thay x=1 vào (2) f(1) = f(1) = 1.mâu thuẫn Vậy f(0) = Từ (1) suy ra: f(n) = n n Với n , r ta có f(n+r) =f(1+n-1+r)=1+f(n-1+r) =2+f(n-2+r) =n+ f(r) Suy ra: f(n+r) = n+ f(r) n , n , r Ta phải tính f(r) r Gọi r p xét f (r q)2 f (r q) q f r q 2qf r f r q Mật khác: f (r q)2 f r 2r.q q f r p q f r p q 2 Từ suy ra: f r p q q 2qf r f r p r , r q Vậy f(x) = x , x Hay: f r Thử lại thấy thỏa mãn Nhận xét: + Mấu chốt phương pháp phải hàm số cộng tính R + Trong nhiều trường hợp không cộng tính mà phải cộng tính tập tập R sau suy cộng tính R Bài 4: Tìm hàm f :RR f x y xf x yf y , x, y R (1) Giải: Cho x = , y = suy : f x2 xf x ; f y yf y , x, y R Do phương trình trở thành: f x y f x f y2 , x, y R Suy ra: f(x+y) = f(x)+ f(y) , x, y Thay y - y vào ta (1) có f x2 y xf x -yf -y , x, y R Suy – y f(-y) = y f(y) Chuyên đề Học sinh giỏi (2) Phƣơng trình hàm skkn Skkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Skkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.hamSkkn.chuyen.de.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham GV: Đặng Ngọc Cƣờng Trƣờng THPT chuyên Lào Cai Suy f( -x) =- f(x) nên hàm số hàm số lẻ Nên x 0; y ta có f f x y f x ( y) f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) Hay f(x) = f(x-y) +f(y) Hay f(x-y +y) =f(x- y) +f(y) nên f(x+ y) = f(x) +f(y) , x 0; y Với x 0; y ta có: f ( x y) f ( x y) ( f ( x) f ( y)) ( f ( x) f ( y)) f ( x) f ( y) Do f(x +y) =f(x)+ f(y) x, y R Từ tính f x 1 theo hai cách suy f(x) = ax Bài 5(USAMO -2000) Tìm tất hàm số f : R ->R thỏa mãn f x y xf x - yf y , x, y R Giải: Cho x = , y = suy : f x2 xf x ; f y yf y , x, y R Do phương trình trở thành: f x y f x f -y2 , x, y R Suy ra: f(x+y) = f(x)+ f(y) , x 0, y (3) Thay x - y vào ta (3) có f 0 f y +f y , y (2) Suy f(-y) = f (y), y