Skkn chuyên đề giải phương tr̀nh hàm bằng phương pháp thế

Chuyên đề GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Phần MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Bài tốn phương trình hàm tốn thường xun có đề thi học sinh giỏi Trong chương trình dạy học tốn đội tuyển học sinh giỏi , phương trình hàm thường xuất với nhiều dạng toán khác nhau, phương pháp giải khác Có phương pháp có dấu hiệu áp dụng, có phương pháp phải dựa vào kinh nghiệm người giải Trong đó, phương pháp phương pháp khó để định hướng Trong chun đề này, tơi tập trung khai khác sử dụng phương pháp để giải số tốn phương trình hàm theo dạng tốn cụ thể nhằm giúp học sinh có thêm công cụ ,một phương pháp sử dụng giải dạng tốn Mục đích nghiên cứu: Chun đề nhằm hệ thống kiến thức hàm phương trình hàm, đặc biệt dùng phương pháp vào việc giải số dạng toán phương trình hàm Chun đề khơng có tính chất liệt kê mà mục đích muốn tìm hiểu sâu phương pháp có so sánh ưu điểm việc sử phương pháp áp dụng vào toán cụ thể cho hợp lý Chuyên đề tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia giúp học sinh có kiến thức tảng có thêm định hướng cho dạng tốn phương trình hàm Phần NỘI DUNG A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Các khái niệm hàm số I.1 Định nghĩa hàm số Cho D , D R , hàm số xác định D qui tắc cho tương ứng với phần tử x D số thực y D gọi tập xác định (hay miền xác định ) hàm số f Phần tử x D – gọi biến số độc lập hay biến số, hay đối số Số thực y tương ứng với biến số x gọi giá trị hàm số f, kí hiệu f(x) Khi ta viết : f: D R x y = f(x) Tập xác định (TXĐ) hàm số y= f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa Tập giá trị (TGT), hay miền giá trị (MGT) hàm số y = f(x) tập hợp tất giá trị f(x), x D Vậy T = gọi tập giá trị hàm số y= f(x) I.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn I.2.1.Hàm số chẵn 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D skkn Hàm số y = f(x) gọi hàm số chẵn D với x D ta có: 2).Đồ thị : Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng I.2.2 Hàm số lẻ 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D Hàm số y=f(x) gọi hàm số lẻ D với x D ta có: 2).Đồ thị : Đồ thị hàm số chẵn nhận gốc O làm tâm đối xứng I.2.3 Hàm số tuần hoàn 1).Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D Hàm số y=f(x) gọi hàm số tuần hoàn D với chu kỳ T, x D ta có: 2).Đồ thị : Để vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn ta cần vẽ chu kỳ I.3 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) Hàm số y = f(x) gọi đồng biến khoảng (a;b) với x1,x2 (a;b) ta có : x2 > x1 f(x2) > f(x1) Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến khoảng (a;b) với x1,x2 (a;b) ta có : x2 < x1 f(x2) < f(x1) 2) Đồ thị: +) Đồ thị hàm số đồng biến đường thẳng lên từ trái sang phải +) Đồ thị hàm số nghịch biến đường thẳng xuống từ trái sang phải I.4 Hàm số hợp Cho tập X, Y, Z tập tập số thực R, hàm số : f: X Y g: Y Z x y = f(x) y z = g(y) Hàm gof : X Z x z = gof(x) với f(X) Y , gọi hàm số hợp hàm số g f Biểu thức g[f(x)] giá trị hàm hợp gof x Vậy (gof)(x) = g[f(x)] Để xác định g[f(x)] ta coi f(x) biến g đâu có biến g ta thay biến f(x) I.5 Hàm số ngược 1).Định nghĩa Hàm số y = f(x) xác định đoạn [a;b], có miền giá trị đoạn [ ] , y [ ] ta tìm x [a;b] cho : f(x)=y ta -1 gọi phép tương ứng, x = f (y) hàm số ngược hàm số y=f(x) 2).Đồ thị: Đồ thị hàm số ngược x = f-1(y) đồ thị hàm số y = f(x) skkn Nhưng đổi ký hiệu x = f-1(y) thành y= f-1(x) đồ thị đối xứng với đồ thị y = f(x) qua đường phân giác thứ y = x I.6.Hàm số liên tục 1) Các định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) x0 (a;b) Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 f(x) = f(x0) Hàm số y = f(x) gọi liên tục bên phải x0 f(x) = f(x0) Hàm số y = f(x) gọi liên tục bên trái x0 f(x) = f(x0) Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng (a;b) liên tục phải a, liên tục trái b Chú ý:  f(x) = f(x0) Mọi dãy (xn) có xn = x0 f(xn) = f(x0)  Với mối số thực cho trước ln có dãy số hữu tỷ hội tụ số thực đó: r R, (qn) Q cho: qn r  Hàm số liên tục đoạn (khoảng đóng) bị chặn đoạn f: [a;b] R liên tục , M R để |f(x)| M, x [a;b] 2).Đồ thị: Đồ thị hàm số liên tục khoảng (a;b) đường liền khoảng I.7 Đạo hàm, nguyên hàm I.7.1.Đạo hàm : Các định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm x0 tồn giới hạn : ký hiệu : f’(xo) = Đạo hàm bên phải điểm x0, ký hiệu : f’(x0+) định nghĩa : f’(xo+)= Đạo hàm bên trái điểm x0, ký hiệu : f’(x0-) định nghĩa : f’(xo-)= + Nếu f’(x0 ),f(x0 ) tồn f’(x0+) = f’(x0-) f(x) có đạo hàm x0 lúc đó: f’(x0) = f’(x0+) = f’(x0-) Chú ý: Tại x0 hàm số f- khơng có đạo hàm nếu:  f’(x0+) f’(x0-) không tồn hai tồn khác  f – không liên tục x0 skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the I.7.2.Nguyên hàm Định nghĩa: Nếu F’(x) = f(x) F(x) gọi nguyên hàm f ký hiệu : F(x) = II ĐẶC TRƯNG HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP Để mô tả tranh mang tính định hướng , gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm tốn liên quan xét vài tính chất hàm tiêu biểu số dạng hàm số quen biết II.1 Hàm bậc : f(x) = ax+b có tính chất : f( ) = [f(x)+f(y)], x,y R II.2 Hàm tuyến tính : f(x) = ax (a 0) có tính chất : f(x+y) = f(x)+f(y), x,y R II.3 Hàm mũ : f(x) = ax ( 0< a 1) có tính chất : f(x+y) = f(x)f(y), x,y R II.4 Hàm logrit: f(x) = loga|x| ( 0< a 1) có tính chất : f(x.y) = f(x)+f(y), x,y R \ {0} II.5 Hàm luỹ thừa : f(x) = |x| có tính chất : f(x.y) = f(x)f(y) , x,y R \ {0} II.6 Hàm lượng giác: II.6.1 Hàm f(x) = sinx có tính chất : f(3x) = 3f(x) - 4[f(x)]3 , x R II.6.2 Hàm f(x) = cosx có tính chất : 1) f (2x) = 2[f(x)]2 – , x R 2).f(3x) = 4[f(x)]3 - 3f(x), x R 3) f(x+y)+f(x-y) = 2f(x).f(y), x,y II.6.3.Mối quan hệ hai hàm số : f(x) = sinx; g(x) = cosx II.6.4 Hàm số f(x) = tanx có tính chất : 1) f(2x) = , x (k 2) f(x+y) = , x+y II.6.5 Hàm số f(x) = cotx có tính chất : 1) f(2x) = , x 2) f(x+y) = , x+y II.7 Hàm số lương giác ngược (k Z) (k Z) Z) (k Z) skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the R Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the II.7.1 Hàm f(x) = arcsinx có tính chất f(x) +f(y) = f(x +y ), x,y II.7.2 Hàm g(x) = arccosx có tính chất [-1;1] g(x) +g(y) = g(xy), x,y II.7.3 Hàm h(x) = arctanx có tính chất [-1;1] h(x) +h(y) = h( ) x,y : xy II.7.4 Hàm p(x) = arccotx có tính chất p(x) +p(y) = p( ) x,y : x+y B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Trước nghiên cứu phương pháp để giải phương trình hàm ta vào xem xét số toán thường gặp liên quan đến hàm số, tiêu biểu toán liên quan đến hàm số hợp số toán đẳng thức hàm Ví dụ 1: 1-x x Cho f(x) = x –3 g(x)= x+1 x < Tìm g[f(x)] f[g(x)] Giải: Cách 1: 1- f(x) f(x) Ta có : g[f(x)]= f(x) +1 f(x) < 1-x2+3 x2-3 = x2-3+1 x2 –3< 4-x2 x (- ;- ] [ ;+ ) = x2-2 x (- ; ) Ta có : f[g(x)] = (g(x))2-3 (1-x)2 –3 x = skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the (1+x)2-3 x < x2-2x –2 x = x2+2x-2 x < Cách 2: Viết g(x) =1-|x| f[g(x)] = [g(x)]2 –3 =(1-|x|)2 –3 = x2-2|x| - g[f(x)] = 1-|f(x)|= 1- |x2-3| Ví dụ 2: Cho hàm số : fn(x) = xác định x 1,n số tự nhiên ,n với x 1, m, n số tự nhiên.m 1, n Chứng minh rằng: a) fn(x) b).fmn(x) = fm(fn(x)) (Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 12 – Lào Cai) Giải: Cách 1: a) Áp dụng bất đẳng thức si cho số có: không âm ta = =2 Từ suy fn(x) = (đpcm) b) Sử dụng khai triển hàm hợp bình thường ta có đpcm (nhưng cách dài) Ta sử dụng cách thứ 2: Cách 2: a) Đặt t = theo giả thiết x Nhận thấy ( )( fn(x) = tn + => t , với n suy fn(x) ) =1 suy : => tn = Áp dụng BĐT Cơsi ta có : (đpcm) dấu “=” xảy  t =1  x=1 b)Ta có fm[fn(x)] = = = skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the = Vì t2n + -2 =(tn – )2 : fm[fn(x)]= = = fmn(x) = Ví dụ 3: Cho f(x) = g(x) = Xác định f[g(x)] g[f(x)] Giải Ta có :  Nếu x *) f[g(x)] = = (1) từ (1) ta có: : f[g(x)] =  Nếu x1 từ (2) ta có : f[g(x)] = = = (4) skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the = x (3) Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the  Nếu x f(2m)+f(0) = 2f2(m) mà f(0) = f(2m) = 2.f2(m)-1 (đpcm) Ví dụ 6: Cho hàm số f(x)=loga (0 < a 1) a).Chứng minh : f(x) +f(y) = f( b).Tìm f(cosx) Giải a).Ta có f(x)+f(y) = loga Mặt khác : f( + loga Vậy f(x) +f(y) = f( ) = loga ) = loga (a0+a0) =1 suy ra: = loga = loga ) (Đpcm) b) f(cosx) = loga = loga = 2loga Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự ta chứng minh tính chât đặc trưng của hàm số sơ cấp mà ta đưa phần lý thuyết Ví dụ 7: Cho f(x) = ax+b (là hàm số bậc nhất) a).Tìm a,b f(-1)=2,f(2) =-3 b).CMR f[f(x)] hàm bậc c).CMR x = xn tạo thành cấp số cộng giá trị tương ứng yn = f(xn) tạo thành cấp số cộng Giải a) f(-1) =-a+b, f(2) =-2a+b ta có: -a+b = skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Đến sử dụng phương pháp đổi biến số g(x) = ax [với a = g(1)] 4) Trong (*) ta thay y= ta có : f(x)- f(0) = xg(x) = x.ax=ax2 f(x) = ax2+b [với b = f(0)] Thử lại ta dễ dàng thấy : f(x) = ax 2+b g(x) = ax hàm số thoả mãn yêu cầu toán Vậy f(x) = ax2+b g(x) = ax Ví dụ 18: Tìm hàm số f(x) xác định R thỏa mãn điều kiện sau: i) f(1) =1 ii) f(x+y) = f(x) +f(y) , x, y iii) x 0, f(x) = x2 f( ) Giải: Theo ii) f(x+y) = f(x) +f(y) , x, y Thay x = y= => f(0) = 2f(0) =>f(0) = Thay x=1,y=-1 => f(0) = f(1) + f(-1) =>f(1)+f(-1)=0 (vì f(0)=0) => f(-1) = -f(1) Theo i) f(1) = nên f(-1) =-1 Với x x từ i) ii) ta có: 1= f(1)= f( )= f( + f( )= f(1+ ) f( )= f(x+1) Khi (1) trở thành: ) = f( f(1+ )+ )+f( ) (1) Theo iii) ta có: f(x+1) =  x2f(1+ )+f(x+1) = (x+1)2  x2f(1)+x2 f( )+f(x)+f(1) = (x+1)2 skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the  x2+2f(x)+1 =x2+2x+1  f(x) = x Thử lại ta thấy f(x) thoả mãn yêu cầu toán Vậy f(x) = x, Ví dụ 19 : Tìm hàm số f: R x R t , t R thoả mãn điều kiện sau: 1) f(1) = 2) f(x+y) – f(x) – f(y) = 2xy 3) f( ) = , x Giải : Cho x = thay vào (2) f(x) = Đặt x = y = thay vào (2) ta : f(t) -2f( ) = Đặt x = y = (t Theo (3) -2 t (*) 0) thay vào (2) ta : f( ) – 2f( ) = f( ) = = , t f( )= , f( ) – 2f( ) = 8f( ) – f(t) = t2 , t 0.(**) Từ (*) (**) f(0) = ta có hệ phương trình : Giải hệ phương trình ta thu được: f(t) = t2 , t Thử lại thấy f(x) = x2 thoả mãn yêu cầu tốn skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the , Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Kết luận : f(x) = x2 hàm số cần tìm Ví dụ 20: Xác định hàm số : f: [0;+ ) [0;+ ) cho bất đẳng thức sau với số thực x,y,z bất kỳ: f(xy)+ f(xz) – f(x)f(yz) (*) (VMO- 1991) Giải: 1) Thay x=y=z=0 vào (*) ta có:f(0) – [f(0)]2 [f(0) - ]2 f(0) = Thay x=y=z=1 vào (*) ta có : f(1) – [f(1)]2 [f(1) - ]2 f(1) = 2) Thay x = 0, y=1 vào (*) ta có : f(0)[1-f(z)] 3) Thay y= z =1 vào (*) ta có : f(x)[1-f(1)] Từ (2), (3) ta có: f(x) = , x f(z) f(x) , , z x R C BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : x2.f(x) + f(1-x) = 2x –x4 (TH&TT) Giải: Thay x 1- x đẳng thức ta : (1-x)2f(1-x) + f(x) = 2(1-x)- (1-x)4 , x R Kết hợp với đẳng thức cho tốn ta có hệ phương trình: Từ (1) f(1-x) = 2x-x4-x2 f(x) Thay vào phương trình (2) ta : (1-x) ( 2x-x -x f(x))+f(x) = 2(1-x)- (1-x)4 f(x)(x2-x-1)(x2-x+1) =(1-x)(1+x3)(x2-x-1), x R f(x)(x2-x-1)(x2-x+1) =(1-x)(1+x)(x2-x+1)(x2-x-1), x R f(x)(x2-x-1)= (1-x2)(x2-x-1), x R skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Suy ra: f(x) = –x2 , x x1, x2 x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x2-x-1 = Theo định lý Viét ta có (*) Lần lượt thay x1, x2 vào đẳng thức kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: Từ f(x1) = y f(x2) = 2x1-x14-x12.y , với y R tuỳ ý Như : f(x) = (**)Trong x1,x2 hai nghiệm phương trình x2 – x-1 = Thử lại: Từ định nghĩa x1 , x2 theo hệ thức (*) dễ dàng kiểm tra thấy f(x) xác định hệ thức (**) thoả mãn yêu cầu toán Bài 2: Hãy xác định tất hàm số f(x) xác định tập hợp số thực R thoả mãn hệ thức: f(y-f(x)) = f(x2002- y) – 2001.y.f(x), với x,y R.(1) (VMO –2001-2002) Giải: Giả sử f(x) hàm số thoả mãn yêu cầu đề : Lần lượt thay y = f(x), y = x2002 vào hệ thức đề , ta : f(0) = f(x2002 – f(x)) - 2001.[f(x)] 2, x R (*) f(x2002-f(x)) = f(0) – 2001.x2002 f(x), x R (**) Công vế với vế đẳng thức ta : f(x)[f(x)+x2002] = , x R Từ suy ra, f hàm số thoả mãn yêu cầu đề : f(0) = (1) f(x) = - x2002 Bài 3: Tìm tất hàm số f : R R thoả mãn điều kiện : f( R \ {2} (1) (TH&TT) Giải : Giả sử f(x) hàm số thoả mãn yêu cầu toán : Thay x =1 vào (1) , ta f(1) = , xét x dạng f(1+ ) = 2f(x) - với Đặt x = t t ) = 2f(1+ ) –3 t 0, t 1, x =1+ = 1+ R\{0;1} (2) skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the (1) có Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Đặt g(t) = f(1+ ) –3, t R\{0;1} phương trình (2) tương đương với phương trình: g(t-1) = 2g(t) t R\{0;1}, Đặt h(t) = 2tg(t) phương trình (2) tương đương h(t-1) = h(t) , t R\{0;1} (3) Như ta có : f(x) = Với h(t) hàm số tuỳ ý xác định với (4) t R\{0;1} thoả mãn (3) g(t) = 2-t.h(t) Bài 4: Tìm tất hàm số f: R R thoả mãn điều kiện: x a) f(x) e với x R b) f(x+y) f(x).f(y) với x,y R (TH&TT) Giải: Ta có : f(x) ex > Với x = 0, y= f(0) = Đặt y = -x Khi x R thay vào b) f(0) f(x)f(-x) f(x)f(-x) x -x -x Theo a) f(x) e với x R f(-x) e f(x).e f(x) ex Kết hợp với a) ta có f(x) = ex , x R Thử lại : Thấy hàm số f(x) = ex thoả mãn yêu cầu Bài : Tìm tất hàm số f: R R cho: 2 f(x -y ) = xf(x)-yf(y) (*) với cặp số thực x y (OLIMPIC – Toán Hoa Kỳ) Giải: Trong hệ thức (*) thay x = y = ta có: f(0) =0 , Với x thay x -x ta có: -xf(-x) – yf(y) = f[(-x)2-y2] = f(x2-y2) =xf(x) –yf(y) f(-x) = -f(x) nên f(x) hàm số lẻ Do từ trở ta cần xét x , y Lấy y = thay vào (*) ta : f(x2) = xf(x), hàm số không phụ thuộc vào biến yf(y) = f(y2) (*) f(x2-y2) = f(x2) - f(y2) f(x2) = f(x2-y2) +f(y2) Vì với x tồn t cho : t2 = x Do hàm số không phụ thuộc vào biến số : nên từ f(x2) = f(x2-y2) +f(y2) f(x) = f(x-y) +f(y) (1) Bây (1) lấy x = 2t y = t ta có: f(2t) = f(t) (2) Lấy x = t+1 y = t thay vào (*) ta : f(2t+1) = (t+1)f(t+1) –tf(t) (3) Lấy x = 2t+1 y =1 thay vào (1) sử dụng kết (2) ta có: f(2t+1) = f(2t) +f(1) = 2f(t)+f(1) (4) Lấy x = t+1 y =1 thay vào (1) ta f(t+1) = f(t) +f(1) thay vào (3) ta có : skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the f(2t+1) = (t+1)[f(t)+f(1)] – tf(t) = f(t) +(t+1)f(1).(5) Từ (4) (5) dẫn đến : 2f(t)+f(1) = f(t) +(t+1)f(1) f(t) = tf(1) Với t , (6) Vì f(x) hàm số lẻ, nên f(-t) = -f(t) = -tf(1) với t Từ từ (6) rút : f(x) = kxvới số thực x, k = f(1) số Thử lại : Thấy hàm số f(x) = kx thoả mãn tất yêu cầu đề Kết luận : Vậy f(x) = kx Bài 6: Tìm tất hàm số f: Q Q thảo mãn : x, y Q (OLIMPIC 30-4) Giải:  Từ giả thiết cho y = ta có: f(x+1) = 2f(x)-f(x+1)+2 f(x+1) = f(x)+1, x Q Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được: f(x+n) =f(x)+n, x Q n Z (a)  Từ giả thiết cho y = x ta có: f(x2+x) = f2(x)- f(x+1)+2, x Q f(x2+x) = f2(x) - f(x)+1, x Q (b)  x Q đặt x = (p Z, q N\{0}) áp dụng b) ta có: f[ ] = f2( f[ ] = [f( ] +2p+q2+q = [f( f[ f2( )-f( )+1 +2p+q2+q = f2( 2p+2q = 2q.f( q.f( ) - f( )+1 )]2 -f( ) - q+1 (Theo a) )+q]2 - f( ) - q+1 (Theo a) )+2f( ).q +q2 - f( ) - q+1 (Theo (b)) ) ) = p+q f( ) = +1 (do q 0) Vậy f(x) = x=1, x Q Thử lại thấy hàm số f(x) = x+1, x Q thoả mãn đề Bài : Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1) = xy+2x+1, x,y R (Đề thi Vô địch toán) Giải: Thay y =-1 vào điều kiện đề ta có: f(-x)+f(x+1)+f(x) =x+1 Thay y = vào điều kiện đề thì: f(0)+f(x)+f(x+1) = 2x+1 skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the f(-x)-f(0) = -x đặt -x = t f(t)-f(0) = t f(t)-t = f(0), t R Vậy f(x) - x = f(0) , x R Viết lại: f(x) - x = f(0) - Đặt g(x) = f(x) - x g(x) = g(0), x R Từ giả thiết: f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1) = xy+2x+1 Ta có: [f(xy)-xy]+[f(x-y)-(x-y)]+f(x+y+1)-(x+y+1)] = g(xy)+g(x-y)+g(x+y+1) = 3.g(0) = g(0) = Thử lại thấy: f(x) = x , x R Kết luận: Hàm số cần tìm: f(x) = x , x R f(x) = x x R Bài 8: Cho hàm số f: R R thoả mãn: 1) f(x+y) =f(x)f(a-y)+f(y).f(a-x); x,y R, a hằmg số tuỳ ý 2) f(0) = Tính f( )=? (OLIMPIC 30-4) Giải:  Thay x = y = vào (1) ta có: f(0) = f(0).f(a)+f(0).f(a) f(a) = (3)  Thay y = vào (1) ta có: f(x) = f(x).f(a)+f(0).f(a-x) Kết hợp với (2) (3) f(x) = f(a-x) (4) Và f(y) = f(a-y) (5) Từ (1) (4) (5) ta : f(x+y) = 2.f(x).f(y) (*)  Thay y = a vào (1) ta có: f(x+a) = f(x).f(0)+f(a).f(a-x) Kết hợp (2); (3) (4) f(x+a) = f(x) (6)  Thay x -x vào (4) kết hợp với (6) ta được: f(-x) = f(a+x) =f(x) (7)  Thay y -y vào (1) ta : f(x-y) = f(x).f(a+y)+f(-y).f(a-x) Kết hợp với (4) (7) ta có : f(x-y) = 2.f(x).f(y); x, y R (**) Từ (*) (**) suy ra: f(x-y) = f(x+y) ; x,y R Cho x = y f(2x) = f(0) = , Vậy : f( x R hay f(x) = ; x R )= Nhận xét: Thực chất toán tốn tìm hàm số Câu hỏi cho dạng ẩn dạng gián tiếp thông qua tính giá trị biểu thức Rõ ràng toán này, ta xuất phát từ giả thiết toán biến đổi để làm xuất kết sở ta vận dụng kết để tìm hàm, việc khơng đơn giản, việc biến đổi để thu lượm kết lại dựa vào kết để tìm hàm, việc làm tương đối khó địi hỏi người giải tốn phải thành thạo có kỹ nhận dạng tốt giải triệt để tốn skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Bài 9: Tìm tất hàm thỏa mãn điều kiện: Giải Cho ta được: Thay ta được: Vậy ta có u cầu tốn hay Bài 10: Tìm hàm f Thử lại thấy hàm thỏa mãn thỏa mãn điều kiện: Giải: + Thay: : (1) + Thay: : (2) + Thay: : (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: , thử lại thấy KL: Bài 11 Xác định hàm thỏa mãn điều kiện: Giải Cho skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Cho Cho , Từ suy Vậy Thử lại thấy hàm thỏa mãn yêu cầu toán Bài 12 Tìm hàm số thỏa: Giải + Cho ta được: + Lại có Cùng với suy Bài 13: Cho hàm số thỏa mãn điều kiện: Chứng minh Giải Ta có từ giả thiết tốn ta có: Đặt Cho từ điều kiện tốn ta có: ta được: skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Lại có Cùng với suy yêu cầu toán Vậy , thử lại thấy hàm thỏa mãn Bài 14: Xác định tất cặp hàm điều kiện sau: thỏa mãn đồng thời (i): (ii): Giải Từ giả thiết (i), thay , ta có Suy Khi giả thiết (i) trở thành: hay Cho đặt Thay biểu thức , ta có và từ vào bất đẳng thức (ii) ta thu được: hay Điều kiện tương đương với: Vậy cặp hàm Thử lại thấy cặp hàm thỏa mãn yêu cầu toán Bài 15 : Các số dương p, q thỏa mãn điều kiện để tồn hàm số f: với tính chất: skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the (1) Giải: + Thay : suy ra: + Đặt : suy ra: + Tính : thử lại vào (1): suy ra: Thử lại thỏa KL: Bài 16: Tìm tất hàm số cho : Giải:  Tính + đặt , cho + cho : ta được: (2) (3) + thay : + thay (4) Ta có: (5) Từ (2), (3),(4) (5) Tính  Thay :  Thay Kiểm tra: : skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the   Giả sử:  Kết luận: mà Khi đó: D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm g[f(x)] f[g(x)] trường hợp sau: a) f(x) = ln(x-1) , g(x) = ex-1 1- x x>0 b) f(x) = g(x) = x2 –6 2003x+2 x c) f(x) = x2 +1, x g(x) = -1 x = Bài Cho f(n) tổng n số hạng cấp số cộng Chứng minh : f(n+3) – f(n+2)+3f(n+1)-f(n) = Bài 3: a) Cho f(x) = ax CMR xn tạo thành cấp số cộng yn=f(xn) lập thành cấp số nhân ngược lại b).Cho f(x) = lgx.CMR x=xn dương tạo thành cấp số nhân y n tạo thành cấp số cộng Bài 4: a).Cho f(x) = ax2+bx+c.Tìm a, b, c biết f(0) = 6, f(1)=5, f(2)=10 b).Cho f(x) = ax2+bx+5 Tìm a, biết f(x+1) –f(x) 8x+3 c).Cho f(x) = acos(bx+c) Tìm a, b, c f(x+1) –f(x) sinx Bài 5: a) Cho f(x) = CMR f(x)+f(y) = f( b) Cho g(x) = ln ) CMR g(x)+g(y) = g( ) c) Cho h(x) = arctgx(|x| < 1) CMR h(x)+h(y) = h( ) Bài 6: Cho f(x) = (1+21-2x)-1 Tính S = Bài 7: Cho f(x) hàm số liên tục [0;1] thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) Chứng minh : Luôn tồn c thuộc [0;1] cho: f(c) = f(c+ Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết : 1) a) f(x+1) = x2-3x+2 skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the ) Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the b) f( ) =x + c) f(x+ ( x>0) ) = x2+ ,x Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết : f( )= Bài 10: Tìm hàm số f(x) thỏa mãn: f(x- ) = x2+ ,x , x -2 x 2001 Bài 11 CMR hàm số xác định R Đều viết dạng hiệu hàm số chẵn hàm số lẻ xác định R Bài 12 CMR đạo hàm hàm số chẵn hàm số lẻ Đạo hàm hàm số lẻ hàm số chẵn Bài 13 Cho đồ thị hàm số : y= x3+ax2+bx+c Một đường thẳng cắt đồ thị nói điểm A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) thoả mãn |AB| =|BC| CMR: f(x2-x)+f(x2+x)=2y2 , x R Bài 14 Tìm hàm số biết: 2f(x)+3f(-x) =5x Bài 15 Tìm hàm số biết: (x-1)f(x)+f( )= x 0;x m/n , m,n = const Bài 16 Tìm hàm số biết: 2f( )-3 f( )= 1/2, x Bài 17 Tìm hàm số biết: f(x)+f( ) =kx, a 0, x a k= const Bài 18 Tìm hàm số biết: mf(x-1)+nf(1-x) = px Bài 19 Tìm hàm số f(x), g(x) xác định hệ sau đây: a) f(x+1) +2002xg(x+1) = 2003x skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the x 1, x - Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the f( )+g( ) = 2004x-1 b) f(3x-1)+g(6x-1) = mx f(x+1)+x2(2x+3) = nx2+p (trong a, n, p = const) c) f(2x-1)+g(1-x) = px+q f( ) = mx2+n (m, n, p, q = const) ) +2g( d) f(x+6)+2g(2x+15) = f( )+g(x+5) = hx+k ( p, q, k, h = const) Bài 20: Tìm hàm số f(x) xác định R thoả mãn : f(x)f(y)- xy= f(x) +f(y) –1 Bài 21: Tìm hàm số f(x) biết : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos2003y , x,y R Bài 22: Cho hàm số f(x) xác định R không đồng thời thoả mãn: Chứng minh rằng: a) f(1) = b) f(x) = x c) f(x) >0 với x Q x R d) f – hàm số tăng Bài 23: Cho hàm số f: (0;+ ) (0;+ ) Chứng minh hai khẳng định sau tương đương: a) f(xf(y)) = yf(x) , x,y > b) f(xy) = f(x).f(y) f(f(x)) = x Bài 24: Xác định hàm số f: [0;+ ] [0;+ ] thoả mãn điều kiện sau: a) f(xf(y)).f(y) = f(x+y) b) f(2) = skkn Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the Skkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.theSkkn.chuyen.de.giai.phuong.trÌ€nh.ham.bang.phuong.phap.the