Skkn các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Nếu đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng α thì gĩc giữa a và hình chiếu a’ củanĩ trên mặt phẳng α gọi là gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α.+ Định nghĩa 6: Gĩc giữa hai mặt phẳ

NỘI DUNG

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khi đó, hình chiếu vuông góc của A trên SC là điểm E Mặt phẳng (P) đi qua AE và vuông góc với (SAB) sẽ cắt SB tại điểm D Đường thẳng DE sẽ cắt BC tại điểm F, và ta có thể chứng minh rằng AF vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Từ (1) và (2) suy ra: b) Ta có:

Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Từ (3) và (4) suy ra: c) Ta thấy:

Trong mp(ADE) kẻ Vì

Từ (5) và (6) suy ra: hay d) Từ

Theo c) Từ (7) và (8) suy ra: AF  ( SAB )

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,

Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Chứng minh rằng:

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI AD Do đó, từ đó ta có:

1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1.2.1 Phương pháp : Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc có trong hình học phẳng 1.2.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

, AD*, AB=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông

+ Gọi I là trung điểm của AD Tứ giác ABCI là hình vuông Do đó, (*) Mặt khác, là tam giác vuông cân tại I nên: (*).

Từ (*) và (**) suy ra: hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra: hay ∆SCD vuông tại C

Xét hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, ta có điểm E đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC, từ đó suy ra các mối quan hệ về vị trí và tính chất hình học của các điểm và đoạn thẳng trong hình chóp.

Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.

Mà (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)

Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2 :

+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì nên chọn mp chứa MN và vuông góc với BD là mp(IMN))

+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song.

Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD Chứng minh rằng:

Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao điểm của

Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:

AB, BN=CP Suy ra, mà hay (1)

Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay

1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1.3.1 Phương pháp : Sử dụng định lý 3 1.3.2.Các ví dụ mẫu :

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng:

Giải:+ Ta có: (1) (giả thiết)

+ Mặt khác, (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)

+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên

Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,

, Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM Chứng minh rằng:

+ Xét tam giác vuông ABM có:

+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, Chứng minh rằng: a) b)

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA 

(ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên

Các đường thẳng SB, SC, SD có mối quan hệ vuông góc với các mặt phẳng SAB, SAD, SAC Mặt khác, AH và AK cùng vuông góc với SC, do đó 3 đường thẳng AH, AI, AK nằm trong cùng một mặt phẳng Từ đó suy ra HK vuông góc với SAC và cũng vuông góc với AI.

Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA 

(ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC.

Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Bieát: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC CMR: IJ

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều Gọi

I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC  (AID). b) Vẽ đường cao AH của AID Chứng minh: AH  (BCD).

Tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau cho phép chúng ta suy ra một số tính chất hình học quan trọng Trước hết, ta có thể chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng OAH, thể hiện qua mối quan hệ vuông góc giữa cạnh BC và mặt phẳng chứa điểm O, A và H Hơn nữa, H còn là trực tâm của tam giác ABC, bởi vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một hệ thống đường vuông góc đặc biệt, giúp xác định H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

11 skkn c) d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.

Bài tập 7 liên quan đến hình chóp SABCD với đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, trong khi SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng SCD, SJ vuông góc với mặt phẳng SAB Tiếp theo, gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ, chúng ta cần chứng minh rằng SH vuông góc với AC Cuối cùng, gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với một mặt phẳng nhất định.

Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, trong đó mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a Để chứng minh một số tính chất của hình chóp này, ta cần xác định vị trí của các điểm H và K, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD Qua việc phân tích hình chóp, ta có thể chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Đồng thời, ta cũng có thể chứng minh rằng AC vuông góc với SK và CK vuông góc với SD, thể hiện mối quan hệ vuông góc giữa các cạnh và mặt phẳng trong hình chóp.

Hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a, mặt bên SBC vuông tại B và mặt bên SCD vuông tại D có SD = a Để chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần phân tích các yếu tố hình học của hình chóp Đường thẳng qua A và vuông góc với AC sẽ cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J, và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABCD).

SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL.

Để chứng minh các yêu cầu trên, ta có thể thực hiện theo các bước sau: Trước hết, ta cần chứng minh rằng tam giác SDE vuông tại S, nghĩa là ∠SDE = 90° Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng SD vuông góc với CE, nghĩa là ∠SDC + ∠CDE = 90° Cuối cùng, ta cần chứng minh rằng tam giác SCD vuông, nghĩa là ∠SCD = 90°.

Bài tập 11 liên quan đến hình học không gian, trong đó có một số yêu cầu chứng minh và tính chất hình học Trước hết, ta có hình chiếu C' của điểm C trên đoạn thẳng MD và giao điểm H của AM và CC' Để chứng minh CC' vuông góc với mặt phẳng (MBD), ta cần sử dụng các tính chất của hình chiếu và góc vuông Ngoài ra, việc tìm hình chiếu K của điểm H trên đoạn thẳng AB cũng là một bước quan trọng trong việc chứng minh K là trực tâm của tam giác.

Để chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau, ta cần dựa vào tính chất của tam giác đều và điểm đối xứng Trước hết, ta thấy rằng điểm D là điểm đối xứng của A qua BC, do đó AD là đường phân giác góc của góc BAC Tiếp theo, ta lấy điểm S trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại D sao cho SD = a, điều này tạo thành một tam giác SAD cân tại S Từ đó, ta có thể chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau bằng cách sử dụng tính chất của tam giác cân và đường phân giác góc.

Trong hình tứ diện ABCD, với hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy (DBC), ta thực hiện các bước vẽ đường cao BE, DF của BCD và đường cao DK của ACD Từ đó, ta chứng minh được AB  (BCD) và hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) Tiếp theo, gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC, ta có thể chứng minh OH  (ADC).

Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA 

13 skkn a) Chứng minh (SAC)  (SBD). b) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC).

Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA  (ABCD) Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Tam giác ABC vuông tại A được mở rộng với việc vẽ BB' và CC' cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), tạo thành hình học không gian thú vị Trong đó, việc chứng minh hai hình bình hành ABB' và ACC' là hoàn toàn tương đồng về hình dạng và kích thước là một bước quan trọng Tiếp theo, việc xác định AH và AK là các đường cao của tam giác ABC và tam giác ABB'C tương ứng cho phép chúng ta phân tích sâu hơn về tính chất hình học của các mặt phẳng liên quan Cuối cùng, chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABB'C') cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK) là một kết quả quan trọng, cho thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các phần tử hình học trong không gian.

Bài tập 17 liên quan đến hình học không gian, đặc biệt là hình chóp Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b, gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC) Trên mặt phẳng (P), chọn điểm S di động sao cho SABC tạo thành hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là ∆ và φ.

Để chứng minh SH^2 = HI.HJ, ta có thể sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc trong tam giác Theo đó, hình chiếu vuông góc của một điểm lên một cạnh của tam giác sẽ chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng có tích bằng với bình phương của khoảng cách từ điểm đó đến cạnh Áp dụng tính chất này cho điểm S và tam giác ABC, ta có SH^2 = HI.HJ Để tìm giá trị lớn nhất của SH, ta cần tìm điều kiện để SH đạt giá trị cực đại Khi đó, giá trị của  cũng sẽ được xác định.

Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD). b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD).

Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

 (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD Đặt BM

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là khi đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAM) Từ đó, ta có thể suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y Ngoài ra, để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 30 độ, ta cần thỏa mãn điều kiện a(x + y) + xy = a^2.

Các dạng toán về góc

2.1.1 Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

Cách 1: Chọn hai đường thẳng cắt nhau, trong đó một đường thẳng song song với a và đường thẳng còn lại song song với b, được ký hiệu là (a, b) = (a’, b’) Điều này cho phép tạo ra một cặp đường thẳng mới cắt nhau và song song với cặp đường thẳng ban đầu.

Cách 2 là lựa chọn một điểm A trên đường thẳng a (hoặc b), sau đó chọn một đường thẳng qua A và song song với đường thẳng b (hoặc a), tạo thành cặp đường thẳng (a, b’) với b’ là đường thẳng mới cắt đường thẳng a và song song với b.

*) Chú ý: Các định lý hay sử dụng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?

Giải: Ta có: BC//AD và Do đó,

Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 60 0

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

AD, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Giải: Gọi I là trung điểm của BD Ta có:

Xét tam giác IMN có:

+ Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa hai đường thẳng IM và

IN nhờ vào giả thiết

+ Một số em đồng nhất là chưa chính xác mà Đến đây ta có thể giải quết theo hai hướng:

- Tính ra cụ thể góc rồi sau đó dựa vào giá trị của góc để kết luận về giá trị của góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Để tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’, ta cần phân tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Trước hết, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC, điều này cho phép ta xác định vị trí của A’ so với đáy ABC Với độ dài cạnh bên là 2a, ta có thể sử dụng các tính chất của hình lăng trụ và hình chiếu vuông góc để tìm góc giữa AA’ và B’C’.

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

+ Áp dụng cách 1 để giải bài toán này

+ Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dài của HB’ thông qua nhận xét A’H vuông góc với mp(A’B’C’)

2.2 Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.2.1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Tìm + Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P) +

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ,

H là trung điểm của AB, SH=HC, SA Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Vì nên tam giác SAH vuông tại A hay mà

Do đó, và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD) a H

+ Ta có: , Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng

Để tính sin của góc giữa SC và (SAB) cũng như AC và (SBC) trong hình chóp S.ABCD, chúng ta cần phân tích kỹ lưỡng các yếu tố hình học liên quan Đối với góc giữa SC và (SAB), ta có thể xác định bằng cách sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) và vectơ SC Tương tự, đối với góc giữa AC và (SBC), ta cũng xác định bằng cách sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC) và vectơ AC.

Giải: a) Ta có: và (vì

) do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB)

Theo a) nên hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC)

+ Xét tam giác vuông SAB có:

2.3 Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng

2.3.1.Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

+ Tìm giao tuyến + Trong (P) tìm a vuông góc với ∆, trong (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a,b cắt nhau tại I + ((P),(Q))=(a,b)

Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính

Công thức hình chiếu cho phép tính diện tích của hình chiếu dựa trên diện tích hình gốc và góc giữa hai mặt phẳng Cụ thể, nếu hình (H) có diện tích S và hình chiếu (H') của nó trên mặt phẳng (α) có diện tích S', với góc φ giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α), thì công thức hình chiếu sẽ cho chúng ta mối quan hệ giữa S và S' dựa trên góc φ.

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)

Do đó, + Xét tam giác vuông BCA’ có:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân

AB=a, , BB’=a, I là trung điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).

Ta có thể thấy rằng tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB'I lên mặt phẳng (ABC), với φ là góc giữa hai mặt phẳng này Theo công thức hình chiếu, ta có thể xác định mối quan hệ giữa hai tam giác này dựa trên góc φ và hình chiếu vuông góc của chúng.

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên

Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN?

Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 3

3 a Tính góc giữa SA và mp(ABC)

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC) b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA=SB=SC=SD=a Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD).

Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O và SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Để tính MN và SO, ta cần xác định vị trí của M và N M là trung điểm của cạnh SA và N là trung điểm của cạnh BC Theo tính chất của hình vuông, ta có thể tính được MN và SO Đối với phần b, để tính góc giữa MN và (SBD), ta cần xác định vị trí của MN và mặt phẳng (SBD), sau đó áp dụng các công thức tính góc trong không gian.

Bài tập 6: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a;

SA  (ABCD) và SA = a Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)

Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a,

AA  (ABC) Đường chéo BC của mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 30 0 a) Tính AA. b) Gọi N là trung điểm của cạnh BB Tính góc giữa MN và (BAC).

Lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AA  (ABC), trong đó đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a Đoạn MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc  Các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ có thể được tính theo a và  Hơn nữa, ta cũng chứng minh được rằng cos = sin, thể hiện mối quan hệ giữa các góc trong lăng trụ.

Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), ta cần xác định mối quan hệ giữa các cạnh và góc của hình chóp Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng góc giữa hai cạnh SAC và SBC Tương tự, để tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC), ta cần xác định mối quan hệ giữa các cạnh và góc của hình chóp, đặc biệt là giữa cạnh SEF và SBC.

Bài tập 10: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA

= a a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Bài tập 11: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)

Bài tập 12 liên quan đến hình thoi ABCD với các yếu tố quan trọng như tâm O, OB và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Để giải quyết bài tập này, chúng ta cần chứng minh hình vuông và mối quan hệ vuông góc giữa các mặt phẳng Cụ thể, chúng ta cần chứng minh hình vuông SAOB và mối quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) Cuối cùng, chúng ta cần tính toán góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để hoàn thành bài tập.

Các dạng toán về khoảng cách

3.1.1 Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

+ Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆

+ Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ( H   ) + MH = d(M,(P))

+ Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) + Chọn Lúc đó,

Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến mp(P).

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc α Tính theo a và α.

Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.

+ Kẻ mà nên Do đó,

+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , SA*, a) Tính b) Tính

Từ (1) và (2) ta có: hay

+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có:

Ta có: và Từ (*) và (**) suy ra:

Từ (1) và (2) ta có: hay

+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,

Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI AD Suy ra, mà hay (**)

+ Từ (*) và (**) ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra: hay

Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật,

Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của

AC và BD Tính d B A BD ( ',( ' ))

Giải: + Gọi O là giao điểm của

+ Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Mặt khác,

+ Xét tam giác vuông BCD có:

Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , là tam giác đều cạnh a, Tính

Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

+ Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

Từ (1) và (2) suy ra: hay

+ Xét tam giác SIJ có: Với:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=a,

CD*, , SD=a. a) Tính d D SBC ( ,( )) b) Tính d A SBC ( ,( ))

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ

+ Vì Tam giác BCD vuông tại B hay Mặt khác, vì

+ Xét tam giác vuông SBD có:

Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA:,

Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ

; trong mặt phẳng (SMN) kẻ Suy ra,

Xét tam giác vuông SMN có:

3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

3.2.1 Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’

+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’

+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung.

+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d

+ Khi đó với A là một điểm bất kỳ thuộc d

Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)).

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a Tính d AB CD ( , ) Giải:

+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.

+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên:

Mặt khác, nên tam giác AIB cân tại I Do đó,

+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, trong đó M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD Giao điểm của CN và DM được gọi là H.

Giải: + Trong mp(SCH) kẻ

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có

AM=DN, AD Từ đó ta có: hay

Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.

Xét tam giác vuông SHC ta có:

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, Tính

Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.

Ta có: (vì ABC A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và (vì ∆ABC là tam giác đều) nên

Từ (1), (2) suy ra: hay + Xét tam giác vuông CIJ có:

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng Tính

Giải: + Vì + Gọi O là giao điểm của AC và

BD I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Theo giả thiết ta có: Từ (1), (2) suy ra: hay

+ Xét tam giác SIJ có: Với: IJ=a,

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính

Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O là giao điểm của

AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM.

Theo giả thiết: Mặt khác ta có:

Từ (*), (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra:

+ Xét tam giác SMN có: với

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB*, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua M vuông góc với SB cắt SB tại điểm M và cắt mặt phẳng (SAC) tại điểm N Khi đó, ta có thể chứng minh được rằng MN là phân giác góc của góc ASB và MN cũng là đường cao của tam giác SBC.

SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính

Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó,

+ Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ + Theo giải thiết ta có:

Từ (*), (**) ta có: Từ (1), (2) ta có:

+ Xét tam giác vuông SAJ có:

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, các cạnh còn lại bằng Chứng minh:

Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB=a, AA’* Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính ( ,( )) d A IBC

Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA  3 , a SA  ( ABC AB ),  2 , a ABC   120 0 Tính ( ,( )) d A SBC

Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,

ABC BAD   , BA=a, AD*, SA  ( ABCD ) , SA a  2 Gọi H là hình chiếu của A trên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, đường cao SO=a Tính

Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA=a, Gọi M là trung điểm của BC Tính

Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, điểm E đối xứng với D qua trung điểm của SA Khi đó, M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SC, ta cần tìm các yếu tố liên quan đến hình chóp và điểm E.

AE và BC Chứng minh rằng: Tính

Để tìm độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng trong hình tứ diện OABC, ta thực hiện các bước sau Đầu tiên, ta dựng đoạn vuông góc chung của OA và BC, gọi là D Vì OA = OB = OC = a và I là trung điểm của BC, nên ta có thể tính độ dài OD và ID Tiếp theo, ta dựng đoạn vuông góc chung của AI và OC, gọi là E Với tính chất hình tứ diện đều, ta có thể xác định độ dài AE và OE.

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong hình chóp SABCD, ta cần xác định vị trí tương đối của chúng Đối với khoảng cách giữa SC và BD, ta có thể tính bằng cách tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BD, sau đó sử dụng tính chất hình vuông để tìm khoảng cách giữa SC và BD Tương tự, để tính khoảng cách giữa AC và SD, ta có thể tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SD, sau đó sử dụng tính chất hình vuông để tìm khoảng cách giữa AC và SD.

Tứ diện SABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) có các trực tâm H và K của tam giác ABC và SBC Ba đường thẳng AH, SK và BC đồng qui do đó chúng nằm trên một mặt phẳng Mặt phẳng (BHK) vuông góc với SC và mặt phẳng (SBC) vuông góc với HK Đường vuông góc chung của BC và SA chính là đường thẳng HK.

Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD

Trong hình học, khi xét hai đoạn thẳng AB và CD, ta có thể xác định đường vuông góc chung của chúng thông qua điểm trung bình của mỗi đoạn thẳng Cụ thể, đường vuông góc chung của AB và CD là đường nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD Khi đó, nếu đường thẳng nối các trung điểm I, K cũng là đường vuông góc chung của AB và CD, ta có thể chứng minh được mối quan hệ đặc biệt này.

K của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD, AD = BC.

Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của

Để giải quyết bài toán, ta dựng hình IS  (ABCD) và IS = Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB Đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng NP và AC có độ dài bằng khoảng cách từ N đến đường thẳng AC Tương tự, đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng MN và AP có độ dài bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng AP.

Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.

Để giải quyết các yêu cầu trên, ta thực hiện các bước tính toán sau: khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng (SCD) được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tiếp theo, khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) cũng được tính bằng công thức khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Cuối cùng, diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng một giá trị nhất định được tính bằng công thức tính diện tích hình cắt.

Bài tập 14 liên quan đến hình lăng trụ ABC.ABC với AA là đoạn vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A với BC = 2a và AB = a Để giải quyết bài tập này, ta cần tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Ngoài ra, ta cũng cần chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

Mặt phẳng (SBC) chứa tam giác SBC và mặt phẳng (SBD) chứa tam giác SBD Khoảng cách từ A đến mp(SBC) và từ C đến mp(SBD) có thể được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Mặt khác, do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MN song song với (SBD) Khoảng cách từ MN đến (SBD) có thể được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ đoạn thẳng đến mặt phẳng Ngoài ra, mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại hai điểm, giúp xác định vị trí tương đối của (P) với các mặt phẳng (SBC) và (SBD).

E, F Cho biết AD cách (P) một khoảng là , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE.

Bài tập 16: Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60 0 , nhận

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần tính toán một số yếu tố quan trọng Trước hết, ta có thể xác định AD bằng cách sử dụng tính chất hình học của hình vuông góc, với AD bằng a Tiếp theo, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABD có thể được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, và kết quả sẽ là a Cuối cùng, khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AC và BD có thể được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đoạn thẳng, và kết quả sẽ là a√2.

Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và Gọi O là giao điểm của AC và BD Đường thẳng SO

 (ABCD) và SO = Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm cuûa BE. a) Chứng minh (SOF)  (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).

Tiêu đề	Các Dạng Toán Về Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian
Thể loại	skkn

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	6 MB