Skkn bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán

MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ 3.1 Khái niệm hàm số đơn điệu 3.2 Một số tính chất hàm số đơn điệu 3.3 Liên hệ tính đơn điệu hàm số đạo hàm 3.4 Vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 3.5 Vận dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứng minh bất đẳng thức 16 3.6 Một số tập áp dụng 20 Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG 21 KẾT LUẬN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH 24 skkn MỞ ĐẦU A MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Hàm số đơn điệu nội dung quan trọng mơn Tốn bậc THPT, có kế thừa phát triển nội dung bậc THCS Học sinh tiếp cận củng cố từ đầu lớp 10 khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, tập xác định, bảng biến thiên, đồ thị hàm số Ở chương phân môn Giải tích 12, với cơng cụ đạo hàm, hàm số nghiên cứu tổng thể kĩ lưỡng Các điều kiện cần điều kiện đủ để hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xây dựng, cung cấp phương pháp kiểm tra hữu hiệu tính đơn điệu hàm số thơng qua việc xét dấu đạo hàm Trong nội dung thi Đại học thi Học sinh giỏi cấp, ngày xuất nhiều tốn, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức , mà việc giải chúng thực cách hiệu sáng sủa thông qua vận dụng kiến thức hàm số đơn điệu Do đó, việc ơn tập, củng cố cho học sinh, đối tượng đội tuyển HGS lớp ôn thi ĐH, nội dung liên quan tới hàm số đơn điệu áp dụng để giải toán, trở thành yêu cầu quan trong giáo dục toán học bậc THPT Đề tài nhằm trình bày hệ thống kiến thức liên quan tới hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, phân tích việc áp dụng tính chất để giải số dạng tốn bậc THPT B ĐĨNG GĨP CỦA SÁNG KIẾN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Nâng cao nhận thức kĩ cho người dạy người học nội dung hàm số đơn điệu, số áp dụng hàm số đơn điệu vào giải toán THPT CHƯƠNG CƠ SỞ KHOA HỌC 1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Các kiến thức tiến hàm số, có vấn đề hàm số đơn điệu đánh dấu phát triển quan trọng mạnh Toán học nhà trường phổ thông Những nội dung phù hợp với phát triển tâm – sinh lí nhận thức học sinh Vận dụng kiến thức hàm số đơn điệu để giải toán THPT giúp cho học sinh hình thành phương pháp phân tích, tổng hợp có linh hoạt tư duy, rèn cho học sinh có trí tưởng tượng cao, có tính sáng tạo giải toán Vấn đề vận dụng kiến thức hàm số đơn điệu để giải toán nội dung khó, thức thực địi hỏ phải có nhìn tinh tế, khái quát nhiều mặt Nhưng rõ ràng nội dung có ý nghĩa việc rèn kĩ Toán học cho học sinh Qua giảng dạy tìm hiểu nội dung này, tơi thấy thân tự nhận thức thêm nhiều điều, đặc biệt mặt phương pháp Điều giúp ích cho tơi thực tốt nhiệm vụ chuyên môn phân công, làm tăng thêm niềm đam Toán học Đối với học sinh, nội dung em lĩnh hội cách chủ động biết áp dụng linh hoạt, sáng tạo, góp phần nâng cao nhận thức kĩ Toán học em, giúp mơn Tốn trở nên gần gũi 1.2 CƠ SỞ THỰC TIẾN skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Trong chương trình mơn Tốn hành, chủ đề hàm số có vị trí vơ quan trọng Ở bậc THPT, kĩ vận dụng kiến thức hàm số đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức ngày trở thành kĩ ưu tiên phát triển Trong nhiều năm gần đây, kì thi ĐH HSG, xuất ngày nhiều tốn dạng Nó địi hỏi người dạy người học phải thay đổi nhận thức thái độ, phải có quan tâm xứng đáng đến dạng toán Trong thời gian giảng dạy trường THPT Yên Phong số 2, tiền thân trường THPT Yên Phong số 3, ý đến mảng kiến thức này, dành thời gian tự trau dồi kiến thức liên quan cho thân mình, dành thời gian hợp lí cho học sinh học tập, rèn luyện, đặc biệt học sinh lớp chọn, lớn luyện thi ĐH, lớp bồi dưỡng HSG Và thực tế cho thấy, cơng việc giúp ích nhiều cho học sinh đối tượng vừa kể trên, giúp họ vượt qua kì thi quan trọng cách hiệu khả skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan CHƯƠNG THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu, tơi nhận thấy việc dạy học nội dung hàm số đơn điệu áp dụng để giải tốn có số điều đáng bàn sau 1) Giáo viên hạn chế nhiều kiến thức toán cao cấp liên quan tới hàm số, nhìm tổng quan hàm số có phần chưa thực đầy đủ, điều dẫn tới việc áp dụng kiến thức hàm số vào giải tốn có phần hạn chế, có lúc thiếu linh hoạt, tinh tế 2) Đây chủ đề khó, dễ gây nản lịng học sinh 3) Việc hình thành kĩ áp dụng cho học sinh công việc phải tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng Tuy nhiên số giáo viên chưa trọng việc bồi dưỡng kĩ từ lớp 10, dẫn tới tạo độ ì lớn học sinh lên lớp 11, 12 4) Nhiều học sinh học tập cách thụ động, trông chờ thầy cô cung cấp kiến thức, làm theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan CHƯƠNG NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ 3.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU Cho tập khác rỗng Cho hàm số Giả sử 1) Ta nói f hàm số đồng biến tập D với mà ta có 2) Ta nói f hàm số nghịch biến tập D với mà ta có 3) Ta nói f hàm số đơn điệu tăng tập D với mà ta có 4) Ta nói f hàm số đơn điệu giảm tập D với mà ta có Hàm số đồng biến, nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm gọi chung hàm số đơn điệu 3.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 1) Xét hàm số f tập Ta gọi skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan tỉ số biến thiên hàm số D Khi - Hàm đồng biến - Hàm nghịch biến - Hàm đơn điệu tăng - Hàm đơn điệu giảm 2) Khơng có hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến D Hàm số vừa đơn điệu tăng vừa đơn điệu giảm D hàm D 3) Tổng hai hàm đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm) hàm đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm, tương ứng) Tích hàm đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm) với số thực dương hàm đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm, tương ứng) Hiệu hàm đồng biến hàm nghịch biến hàm đồng biến Tất xét chung tập hợp 4) Nếu hàm đồng biến nghịch biến D với 5) Nếu hàm đồng biến D với 6) Nếu hàm nghịch biến D với 7) Nếu ta có ta có ta có hàm f đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm) D f đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm, tương ứng) M skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 8) Nếu f hàm liên tục đoạn tăng, đơn điệu giảm) khoảng đồng biến (nghịch biến, đơn điệu f đồng biến (nghịch biến, đơn điệu tăng, đơn điệu giảm, tương ứng) đoạn 9) Nếu hàm đồng biến D, hàm g nghịch biến D m số phương trình sau có không nghiệm tập D 3.3 LIÊN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng 1) Nếu hàm hàm đồng biến có đạo hàm K nghịch biến có đạo hàm K 2) Nếu hàm Nếu hàm đồng biến K Nếu nghịch biến K 3) Hàm f có đạo hàm K Khi f đơnn điệu tăng (đơn điệu giảm) K ( , tương ứng) Những kết luận khơng cịn thay K tập D 3.4 VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình - = (1) skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Giải: Điều kiện -1 x Lúc (1) có khơng nghiệm đoạn = 1+ Phương trình hàm số tương ứng vế trái đồng biến hàm số tương ứng vế phải nghịch biến đoạn Hơn nữa, ta thấy x = nghiệm (1) Vậy (1) có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện x5 +x3 - +4 = (2) Đặt f(x) = x5 +x3 - +4 f'(x) = 5x4 +3x2 + >0 f(x) đồng biến nửa khoảng ( Mặt khác f(-1) = nên phương trình f(x) = có nghiệm x = -1 Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Phương trình (3) - Nếu x f(x) 2/3 f'(x) = + x f(x) đồng biến Mà f(1) = nên (*) có nghiệm x = Vậy phương trỡnh (3) cú nghiệm Ví dụ 4: Giải bất phương trình (4) Giải: Nhận thấy x = nghiệm , ta có : 2- skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Do 2x > nên (4) Mặt khác, < nên hàm nghịch biến Vậy x =2 nghiệm (4) Ví dụ 5: Giải phương trình x + log(x2 -x -6) = +log(x +2) (5) Giải: Điều kiện x +2>0, x2 - x -6 >0 Vậy (5) x + lg(x +2) +lg(x -3) = +lg(x +2) lg(x -3) = -x (*) Phương trình có nghiệm x =4 ta có log1 = Vì vế trái đồng biến (cơ số lôgarit lớn 1), vế phải nghịch biến (đạo hàm âm) nên (*) có nghiệm x = ( thoả mãn điều kiện x > 3) Vậy (5) có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình 2.log3cotgx = log2cosx Giải: Điều kiện cosx > 0, sinx > Đặt cosx = 2y log2cosx = y cotg2x = 3y log3cotg2x = log2cosx = y Vì cotg2x = 3y - 12y = 4y có nghiệm y = -1 Vì vế trái số 3/4 1 hàm đồng biến Vậy cosx = 2-1 = 1/2 x= Kết hợp với điều kiện ,ta nghiệm PT x = skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 10 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Ví dụ Giải bất phương trình >5- (1) Giải: Điều kiện x Do vế trái hàm đồng biến ( đạo hàm dương), vế phải hàm nghịch biến (đạo hàm âm) nên nghiệm (2) giao x x nghiệm phương trình = - nghiệm x = 0, ta có phải nghịch biến Vậy nghiệm (1) x =5- x > x với ; phương trình cuối có (đúng) vế trái đồng biến, vế Ví dụ 2: Giải bất phương trình Giải: Điều kiện x 5/7 Xột f(x) = Ta có f'(x) = f(x) đồng biến trờn Mặt khác f(3) = nên bpt f(x) < Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2x + Giải: Điều kiện x > Đặt f(x) = 2x + Ta có f'(x) = , đồng biến f(x) < 35 = , nên f(x) skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 12 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Ví dụ 4: Giải bất phương trình Giải: Điều kiện x (2) 0, x + x Do (2) Đặt , (2) u -v v (thích hợp) Vậy Đáp số : Hoặc xét VT =f(x)= hàm đồng biến Suy nghiệm (2) giao x x > x0 ,trong x0 nghiệm phương trình : Suy x0 = = , suy bất phương trình có nghiệm Ví dụ 5: Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện x (3) -2 Đặt Do u v đồng biến x Suy -2 Vế trái hàm đồng biến , vế phải hàm nghịch biến nên nghiệm (3) giao x -2 x < x0 với x0 nghiệm skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 13 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Vì u2 +v2 = 2x +7 , suy phương trình 2x = u2 +v2 -7 Và u2 +v2 +2uv +( u +v) -12 =0 Đặt u +v = t >0 ta t2 +t -12 = , t > Suy t =3 Từ u = Vậy nghiệm (3) Ví dụ 6: Với giá trị tham số m bất phương trình sau có nghiệm x2 + Giải: Đặt t = t2 = x2 -2mx +m2 , y = t2 +2t +2mx +m -1 BPT Ta có y' = 2t +2 -1 ? t = -1 Nên ymin = y(0) = 2mx +m -1 = 2m2 +m - y' = Đây giá trị cần tìm m C Vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trỡnh Ví dụ 1: Tìm số x ,y thoả mãn hệ Giải: Viết phương trình (1) dạng : x - cotx = y - coty Xét hàm số f(t) = t - cot t , < t < Khi f(t) xác định f(t) đồng biến Từ (3) f(x) = f(y) (3) f'(t) = + >0, x = y skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 14 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Thay vào phương trình (2) hệ ,ta đựoc x = y = Ví dụ 2: Giải hệ Giải: Viết phương trình (1) dạng x - tan x = y - tan y Và xét hàm f(t) = t - tant xác định (3) ,có f'(t) = 1- < ,do < cos t < 1.Vậy f( t) nghịch biến Từ (3) suy f(x) = f(y) y từ (2) tan x = tan y = Ví dụ 3: Chứng tỏ với Giải: Điều kiện : , x= x=y= hệ Do x có nghiệm dấu, y dấu x> , y> Bởi : (1) 2x2y = y2 + a2 (1)' (2) 2y2x = x2 +a2 (2)' (1)'-(2)' ta được:2xy (x -y) = (y-x)(y+x) ( x-y) ( 2xy +x+y) =0,do x > 0,y >0 nên ( 2xy +x+y) >0 Do x - y =0 hay x = y.Thay x =y vào (1)' ta : f(x) = 2x3 -x2 = a2 ; f'(x) = 6x2 -2x  Ta có bảng biến thiên: x f’ f skkn -  - - 0/ + -1/27 CT Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 15 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Từ suy phương trình : 2x3 -x2 = a2 ( a2 > 0) có nghiệm Ví dụ 4: Giải hệ Giải: Xét hàm đặc trưng f(t) = t3 +t2 +t với t Ta có f'(t) = 3t2 +2t +1 = 2t2 +(t+1)2 >0 f(t) đồng biến Giả sử : 2z +1 Hệ cho 3.5 VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ex > +x , Ví dụ Chứng minh : Giải: Đặt f(x) = ex -x -1 , f'(x) = ex -1 *Nếu x> f(x) > nên f tăng [ 0; + ) Do f(x) > f(0) =0 ex > x +1 *Nếu x f(2000) Ta có f(x) = logx(x +1) = f(x) = Vậy f(x) hàm nghịch biến x > 1,do (2) hiển nhiên (đpcm) Ví dụ 4: Chứng minh ln ( 1+ Giải: Xét hàm số f(t) = ln( 1+ )< ) - lnt - + ln x x > với t > skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 17 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Ta có f(t) = - + = >0 Do f(t) hàm đồng biến t > 0, x > , nên f(x) < f(+ ) = f(t) = f(x) < =0 ln(1+ ) < lnx + đ.p.c.m Ví dụ 5: Chứng minh : x > ln(x +1) , x > Giải: Đặt f(x) = x - ln(x +1) liên tục [ ,+ ) có f'(x) = f tăng [ ,+ ) Ví dụ 6: Chứng minh : Giải: Đặt f(x) = lnx - f(x) > f(0) =0 lnx > x > ln(x+1) với x > với x>1 ( x>1) liên tục [ ; + Ta có f'(x) = f tăng [ ; + ) Vậy với x > ta có f(x) > f(1) = Ví dụ 7: Cho < ) < Từ suy lnx > Chứng minh rằng: sin > với x>1 skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 18 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Giải: Xét hàm số : f(x) = với x suy f'(x) < khoảng ( 0, ) Vì < Ví dụ 8: Cho < < < Ta có f'(x) = x = f(x) hàm nghịch biến f( ) > f( Chứng minh rằng: ) > sin + cos đ.p.c.m >1 Giải: Xét hàm số : f(x) = xsinx + cosx - với x f'(x) = sinx + xcosx -sinx = xcosx Vì f' = x = x = Vì 0< < sin + cos Ví dụ 9: Chứng minh : x f hàm đồng biến f(0) < f( ) >1 0< sin + cos -1 đ.p.c.m sinx < x < tgx với < x < skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 19 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Giải: Đặt f(x) = x - sin x , x hàm ( ; với x ) Khi f liên tục [ , f tăng [ , ] Từ x > f(x) > f(0) Tương tự ta có x < tgx , Ví dụ 10: Chứng minh < x < 2sinx + 2tgx 2x+1 sinx +tgx 2x ( x x > sinx Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2sinx +2tgx Ta chứng minh : ] có đạo 2sinx +tgx 2x+1 22x ) Đặt f(x) = sinx +tgx -2x với < x< Ta có f'(x) = cosx + nên cosx > cos2x Do : Vì < x < f tăng (đpcm) Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : x f(x) = sinx + Ta có f'(x) = cosx + f(x) > f(0) = sinx +tgx > 2x , Giải: Đặt f'(x) > cos2x + với x > -x -1, f''(x) = - sin x +x > ( theo ví dụ ) skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 20 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan f'' tăng ( ; + ) f'(x) > f'( 0) = 0, với x > f tăng ( ; + ) f(x) > f( 0) = 0, với x > x- ( đpcm) Ví dụ 12: Chứng minh : sinx < x Giải: đặt f(x) = x Ta có : f'(x) = f(5)(x) = 1-cosx với x > - sinx , với x > , f'' (x) = - x - , 0, f(0) = f'(0) = f''(0)=f(3)(0) =f(4)(0) =0 f(4)(x) = x - sinx f(x) > ; x > 3.6 MỘT SỐ BÀI TẬP RẩN LUYỆN Chứng minh : ln(1+x) > x Chứng minh : ln(1+ < Chứng minh : logx(x+1) > logx+1(x+2) , Giải bất phương trình : Giải hệ phương trình : skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 21 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Giải hệ : Giải phương trình : 3.25x-2 +(3x-10).5x-2 +3-x = CHƯƠNG KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG - Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, em học sinh linh hoạt việc dùng kiến thức hàm số đơn điệu để để giải toán - Tránh việc biện luận theo tham số số toán - Tránh phải xét nhiều trường hợp số toán - Tránh phải áp dụng bất đẳng thức cơsi số tốn - Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót, thừa nghiệm tránh việc giải phương trình bậc cao skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 22 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan KẾT LUẬN Qua đề tài này, nhận thấy 1) Đây chủ đề khó, giáo viên nên có bước chuẩn bị tốt kiến thức, phương pháp tâm cho riêng 2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, vào phạm vi đề thi ĐH - CĐ thi HSG, vào đối tượng học sinh Khơng nên lựa chọn vấn đề q khó gặp, gây tải cho học sinh, không nên đề cập tới vấn đề đơn giản để tránh nhàm chán tránh thái độ chủ quan học sinh 3) Giáo viên nên hướng dẫn khích lệ học sinh phương pháp tự học, tự đọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập mình, nâng cao tự giác, sáng tạo học tập, có việc học tập có nhiều tiến Hiện nay, sách tham khảo chủ đề nhiều, giáo viên tạo phong trào tự học, tự đọc tài liệu tham khảo học sinh việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu cao 4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành cho học sinh phương pháp áp dụng kiến thức hàm số nói chung, hàm số đơn điệu nói riêng, để giải tốn skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 23 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Tôi chân thành cảm ơn giúp đỡ BGH, đồng nghiệp em học sinh suốt q trình tơi giảng dạy trường q trình hồn thiện đề tài Tác giả NGUYỄN VĂN XÁ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục, 2013 [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục, 2013 [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi phương pháp dạy học ví dụ minh họa, Tốn 10, 11, 12, NXB Giáo dục, 2012 [5] Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo dục, 1999 [6] Võ Anh Dũng (chủ biên), Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo dục, 2011 [7] Đề thi ĐH thi HSG năm skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 24 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH skkn Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan 25 Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan Skkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toanSkkn.boi.duong.hoc.sinh.gioi.mon.toan