(Luận Văn Thạc Sĩ) Mô Hình Ising Trên Các Đồ Thị Ngẫu Nhiên Dày

LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Cấn Văn Hảo Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2021 Học viên Vũ Hồng Sơn Luan van LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Cấn Văn Hảo, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài thầy Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn học, trung tâm Unesco, quỹ Vinif hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực Luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn anh Nguyễn Văn Quyết, người đồng hành xêmina suốt năm vừa qua Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Luan van Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồ thị đồ thị có trọng 1.1.1 Kí hiệu định nghĩa 1.1.2 Mật độ đồng cấu dãy đồ thị hội tụ trái 1.2 Graphon 1.2.1 Graphon mật độ đồng cấu 1.2.2 Chuẩn cắt graphon 1.2.3 Không gian metric graphon 1.3 Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên 1.3.1 Giới thiệu mô hình Ising 1.3.2 Mơ hình Ising đồ thị 7 9 11 11 12 12 14 Mô hình Ising graphon đồ thị dày 2.1 Mơ hình spin tổng qt graphon 2.2 Mô hình Ising đồ thị dày 2.3 Một ví dụ 18 18 21 24 Mơ hình Ising trung bình đồ thị ngẫu nhiên dày 3.1 Sự hội tụ hàm lượng tự trung bình 3.2 So sánh hai hàm lượng tự 3.2.1 Định lí so sánh 3.2.2 Một ví dụ 29 29 42 42 44 Tài liệu tham khảo 48 Luan van MỞ ĐẦU Mơ hình Ising mơ hình tốn học đơn giản mơ tả tượng chuyển pha vật lí thống kê Mục đích ban đầu mơ hình Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc tính chất chất sắt từ Ở đây, Ising cố gắng giải thích số liệu thực nghiệm quan sát vật liệu sắt từ cách sử dụng mơ hình người thầy Lenz đề xuất năm 1920 Gần đây, mơ hình Ising trở nên phổ biến đưa mơ hình đơn giản để đạt đồng thuận quần thể Thật vậy, giả định bạn bè có nhiều khả có quan điểm phản đối ý kiến, sử dụng mơ hình Ising mạng lưới tình bạn để mơ hình hóa ý kiến chiếm ưu dân số hoàn cảnh Thêm vào đó, mạng lưới phức tạp thường khó quan sát thường mô tả qua đồ thị ngẫu nhiên Kết là, mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên nghiên cứu mạnh nhà vật lý tốn, cơng nghệ thơng tin, mà trở nên phổ biến nhà kinh tế học nhà khoa học xã hội, sau tìm thấy nhiều ứng dụng khoa học thần kinh, sinh học v.v Chẳng hạn Contucci, Gallo Menconi [1] ví dụ khoa học xã hội, Kohring [2] cho ứng dụng tác động xã hội, Fraiman, Balenzuela, Foss Chialvo [3] cho ứng dụng cho não Bornholdt Wagner [4] cho ví dụ kinh tế Giả sử ta có đồ thị ngẫu nhiên G = (V, E) với tập đỉnh V tập cạnh E Mỗi đỉnh đồ thị gán hai spin +1 −1 Như không gian tất trạng thái Ω = {+1, −1}|V | Năng lượng trạng thái σ ∈ Ω cho hàm Halminton: X X H(σ) = −β σu σv − B u∼v σu , u∈V đây, u ∼ v nghĩa uv ∈ E , hay u kề với v G, β > tham số đặc trưng cho nghịch đảo nhiệt độ B từ trường tác động lên hệ Lưu ý, H biến ngẫu nhiên G đồ thị ngẫu nhiên Từ nảy sinh nhiều cách định nghĩa độ đo Gibbs không gian trạng thái Ω Ở đây, ta xét hai loại độ đo theo định luật Boltzmann độ đo Gibbs ngẫu nhiên, kí hiệu µ, độ đo Gibbs trung bình, kí hiệu µ b sau Với σ ∈ Ω, µ(σ) = exp(−H(σ)) , Z µ b(σ) = E[exp(−H(σ)] , E[Z] E kì vọng lấy theo đồ thị ngẫu nhiên G Z hàm phân hoạch cho X exp(−H(σ)) Z= σ∈Ω Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day Như µ độ đo ngẫu nhiên µ b độ đo không ngẫu nhiên lấy trung bình tất đồ thị ngẫu nhiên Các câu hỏi mơ hình Ising tập trung nghiên cứu tính chất khơng gian trạng thái độ đo Gibbs Hàm phân hoạch Z đóng vai trị quan trọng nghiên cứu độ đo này, đặc biệt giới hạn ϕ(β, B) = lim N →∞ log Z , N ϕ b(β, B) = lim N →∞ log EZ , N N = |V | số đỉnh đồ thị Hàm ϕ (tương ứng ϕb) gọi hàm lượng tự (tương ứng lượng tự trung bình) Các hàm chứa nhiều thơng tin vật lí hệ, ví dụ từ tính trung bình, độ nhạy từ, nhiệt dung riêng thu từ đạo hàm hàm Bởi vậy, câu hỏi nghiên cứu mơ hình Ising tìm hàm lượng tự Trong khoảng 20 năm gần đây, đồ thị ngẫu nhiên giới hạn đề tài nhận nhiều thu hút toán học, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học máy tính, mạng thần kinh, mạng xã hội Khái niệm hội tụ dãy đồ thị dày (khi số cạnh có cỡ bình phương số đỉnh, ví dụ đồ thị đầy đủ) đưa Lovász cộng [5], [6], [7] Ý tưởng coi không gian đồ thị không gian hàm số từ [0, 1]2 vào [0, 1] từ coi hội tụ đồ thị hội tụ hàm số Ở đồ thị G gồm N đỉnh coi hàm số W G [0, 1]2 có cách xác định sau: Với (x, y) ∈ [0, 1]2 , tồn số tự nhiên i j thỏa mãn i−1 i j−1 j nghịch đảo nhiệt độ B = {Bi : i ∈ [N ]} ∈ RN vectơ từ trường Ta viết B thay cho B trường hợp Bi = B với i ∈ [N ] Hàm phân hoạch ZN (β, B) định nghĩa     X X X ZN (β, B) = exp σ∈{−1,+1}N β  σi σj + (i,j)∈EN Bi σi i∈[N ]  Đặt h·iµN kì vọng với độ đo Ising µN , nghĩa là, với hàm bị chặn f : {−1, +1}N → R X hf (σ)iµN = f (σ)µN (σ) σ∈{−1,+1}N Một số đặc trưng vật lý quan tâm mơ hình Ising: Định nghĩa 1.3.2 Hàm lượng tự (hay gọi hàm áp suất hạt), định nghĩa ϕN (β, B) = Từ hóa * MN (β, B) = log ZN (β, B) N X σi N i∈[N ] + = ∂ ϕN (β, B) ∂B µN Nội UN (β, B) = − N X hσi σj iµN = (i,j)∈EN ∂ ϕN (β, B) ∂β Độ nhạy χN (β, B) = N X  hσi σj iµN − hσi iµN hσj iµN (i,j)∈EN  = ∂MN ∂2 (β, B) = ϕN (β, B) ∂B ∂B Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 15 Nhiệt dung riêng CN (β, B) = ∂2 ϕN (β, B) ∂β Như lượng tự dẫn xuất cung cấp cho nhiều thơng tin trạng thái mơ hình Ising Thực tế nhiều điều biết tính chất lồi đặc đại lượng coi hàm (β, B) hóa lại hữu ích Ngoài ra, hội tụ áp suất suy hội tụ từ hóa, nội độ nhạy Điều dẫn đến chủ đề hội tụ áp suất đạo hàm nó, gọi giới hạn nhiệt động lực học, trình bày Giới hạn theo N : nhiệt động lực học chuyển pha Do mơ hình Ising đồ thị hữu hạn không chuyển pha, để quan sát tượng ta đưa đồ thị trở nên cực lớn xem xét đặc trưng vật lý biến động Trước hết, khảo sát xem giới hạn nhiệt động áp suất ϕ(β, B) = lim ϕN (β, B) N →∞ có tồn tại, giới hạn có phải hàm khả vi (β, B) hay khơng Cùng với đó, ta hi vọng giới hạn hàm từ hóa, nội đạo hàm ϕ(β, B) Xuất phát từ quan điểm vật lý, đặc biệt quan tâm tới từ hóa chuyển pha từ trường ngồi nhỏ dần Ta đặt M (β, B) = lim MN (β, B) N →∞ giới hạn nhiệt động lực học từ hóa Khi B > (có tác động trường ngồi), có M (β, B) > 0, tính đối xứng, ta ln có M (β, 0) = Chúng ta nói từ hóa có tượng chuyển pha hàm số B 7→ M (β, B) không liên tục 0, tức từ hóa tự phát dương M (β) = lim M (β, B) ≡ M (β, 0+ ) > B&0 Ở đây, thứ tự giới hạn việc lấy giới hạn N → ∞ cho B > 0, B & Trong nhiều trường hợp, β 7→ M (β) hiển thị chuyển đổi giai đoạn, theo nghĩa có βc cho M (β) = với β < βc , M (β) > với β > βc Điều dẫn đến định nghĩa sau giá trị tới hạn Ising βc = inf{β : M (β) > 0} Tất nhiên, tồn giới hạn không hiển nhiên, xem thêm [8] Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 16 Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên: Độ đo ngẫu nhiên độ đo trung bình Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên mơ hình xác suất lí tưởng để nghiên cứu biến ngẫu nhiên phụ thuộc có ảnh hưởng hai nguồn ngẫu nhiên Thật vậy, có tính ngẫu nhiên bắt nguồn từ đồ thị ngẫu nhiên tính ngẫu nhiên bắt nguồn từ mơ hình Ising Điều có nghĩa thiết lập số độ đo khác nhau, phụ thuộc vào mục đích nghiên cứu đối tượng mà ta quan tâm Độ đo ngẫu nhiên mô tả mơ hình Ising mẫu đồ thị ngẫu nhiên, tức ta xét độ đo Gibbs (1.3.1) thể (realization/sample) đồ thị GN : µN (σ) = exp(−HN (σ) ZN (β, B) Đây thiết lập tự nhiên lưu trữ nhiều đặc tính đồ thị Thật vậy, kết nối mạng phát sinh trình ngẫu nhiên, coi chúng cố định nghiên cứu thuộc tính mơ hình Ising chúng số đỉnh đồ thị N → +∞ Khi đó, thơng tin đồ thị giữ đến cuối Trong độ đo này, phải xử lý tỷ lệ biến ngẫu nhiên (vì chúng hàm đồ thị ngẫu nhiên) tử số mẫu số tăng theo cấp số nhân N → +∞ Thông thường, khó khăn để tính tốn với tình Thực tế, kết tốn học xác độ đo µN đồ thị có cấu trúc địa phương giống cây, áp dụng phương pháp truy hồi, xem [21, 8] Một cách tiếp cận phổ biến lấy giá trị trung bình so với tính ngẫu nhiên tử số mẫu số, làm phát sinh số đo trung bình Trong độ đo ta có µ bN (σ) = E (exp (−HN (σ))) E (ZN (β, B)) E kì vọng tính theo đồ thị ngẫu nhiên Như µN độ đo ngẫu nhiên µ bN độ đo không ngẫu nhiên lấy trung bình tất đồ thị ngẫu nhiên Cả hai loại độ đo tuân theo luật Boltzmann nói điều kiện cân bằng, xác suất trạng thái giảm mũ theo lượng lượng tỉ lệ nghịch với nhiệt độ Chú ý trạng thái có nhiều cặp spin liền kề dấu hàm Halminton nhỏ, hay nói cách khác trạng thái có nhiều đồng thuận lượng thấp bền vững Ngoài ra, cách giải thích từ quan điểm ứng dụng cho hai độ đo µN µ bN sau Thực tế, độ đo µN gọi "quenched measure" (nghĩa đóng băng) độ đo µ bN gọi "annealed measure" (nghĩa ủ, ta hiểu lấy trung bình) Như vậy, ta xét tương quan hai nguồn ngẫu nhiên từ đồ thị từ mơ hình Ising "quenched measure", liên kết đồ thị đóng băng (thay đổi chậm) so với tương tác spin Điều phù hợp với mạng vật lý, mà liên kết nhìn chung bền vững Ngược lại, "annealed measure", liên kết đồ thị thay đổi nhanh so với tương tác spin, để quan sát tính chất mơ Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 17 hình Ising ta thường lấy trung bình theo thay đổi đồ thị Điều phù hợp với liên kết xã hội mạng thần kinh, xem [8, 22] Mơ hình Ising với độ đo khác Thậm chí, giá trị chuyển pha βc khác nhiều trường hợp Một hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm so sánh đối tượng vật lí hai độ đo trên, xem [8, 23, 24, 25, 26] Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 18 Chương Mơ hình Ising graphon đồ thị dày Mơ hình Ising thường sử dụng để mơ tả tương tác thuận tính mạng lưới Chính gần đây, với phát triển nhu cầu nghiên cứu mạng lớn, mơ hình Ising xem xét đồ thị ngẫu nhiên, graphon Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt kết [6], mơ hình spin tổng qt graphon, mơ hình Ising đồ thị dày xây dựng từ graphon Cụ thể, cho trước graphon W , ta xây dựng dãy đồ thị ngẫu nhiên (GN (W )) sau Với N , GN (W ) có tập đỉnh nốivới  i−1  với R VN = {1, , N } = [N ] Mỗi cặp đỉnh {i, j} j−1 j i xác suất pij = N ij W (x, y)dxdy cách độc lập, với ij = N , N × N , N Mơ hình Ising dãy đồ thị ngẫu nhiên (GN (W )) coi trường hợp đặc biệt mô hình spin tổng quát Sử dụng kết [6], xác định hội tụ hàm lượng tự ngẫu nhiên trong, tính tốn với ví dụ cụ thể graphon gồm hai thành phần 2.1 Mơ hình spin tổng quát graphon Theo [6], xây dựng mô hình spin tổng quát graphon Giả sử spin nhận q (với q > 2) giá trị (với mơ hình Ising q = 2) Với graphon W , tạm hiểu tập đỉnh đoạn đóng [0, 1], cạnh x y nối với xác suất W (x, y), xây dựng hàm Hamilton lượng tự hợp lí cho Định nghĩa 2.1.1 Một phân hoạch tỉ lệ (fractional partition) tập [0, 1] vào q lớp dãy q hàm đo ρ1 , ρ2 , , ρq : [0, 1] → [0, 1] Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 19 thỏa mãn với x ∈ [0, 1], ta có ρ1 (x) + ρ2 (x) · · · + ρq (x) = Khi ta nói ρ = (ρ1 , ρ2 , , ρq ) q -phân hoạch tỉ lệ [0, 1] Một phân hoạch tỉ lệ giống phép gán spin cho đỉnh graphon (hay cấu hình spin) Tiếp theo ta định nghĩa dạng hàm Hamilton Định nghĩa 2.1.2 Cho graphon W , số nguyên dương q > 1, ma trận J ∈ Symq , (Symq tập hợp ma trận vng đối xứng kính thước q × q ) vectơ h ∈ Rq , ta định nghĩa lượng q -phân hoạch tỉ lệ ρ [0, 1] X Z X Z ρi (x)ρj (y)W (x, y)dxdy − ρi (x)dx (2.1.1) Eρ (W, J, h) = − Jij hi i,j [0,1]2 [0,1] i Như vậy, ứng với q -phân hoạch tỉ lệ, cấu hình spin, lượng gồm hai phần: phần thứ đo lường tương tác spin tỉ lệ với mật độ loại spin, xác suất nối cạnh hệ số tỉ lệ loại spin (J ); phần thứ hai đo lường tương tác hệ spin trường (h) Cách định nghĩa hoàn toàn tương đồng với cách xây dựng hàm Hamilton mơ hình Ising Định nghĩa 2.1.3 Hàm entropy: Z Ent(ρ) = Ent(ρ(x))dx Ent(ρ(x)) = − q X ρi (x) ln ρi (x) (2.1.2) i=1 Ở quy ước log = Định nghĩa 2.1.4 Hàm lượng tự do: F(W, J, h) = sup (−Eρ (W, J, h) + Ent(ρ)) (2.1.3) ρ hàm sup lấy tất q -phân hoạch tỉ lệ [0, 1] Do tập "đỉnh" graphon [0, 1], tức không đếm được, lấy giới hạn nhiệt động học cách thông thường mô hình Ising Thay vào đó, tác giả [6], định nghĩa lượng tự theo công thức biến phân Công thức thực tương đồng với mơ hình vật lý thống P kê Thực vậy, ta gọi Z hàm phân hoạch, "tổng" lượng Z(W, J, h) = ρ exp(−Eρ (W, J, h))µ(ρ) với µ(ρ) độ đo ρ không gian tất cấu hình, P lượng tự
hiểu F(W, J, h) = log Z(W, J, h) Sử dụng xấp xỉ log ρ exp(f (ρ))µ(ρ) ≈ Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 20
log maxρ (exp(f (ρ))×mật độ cấu hình cho giá trị f (ρ)) ≈ maxρ (f (ρ)+Ent(ρ)), thu định nghĩa cho F(W, J, h) Tất nhiên định nghĩa xấp xỉ mang tính khái quát mà khơng xác hồn tồn Bởi khơng gian cấu hình ρ khơng đếm được, khơng thể định nghĩa độ đo chúng Tuy nhiên, phép xấp xỉ hoàn toàn tự nhiên theo cách xây dựng mơ hình nhà vật lý Định nghĩa 2.1.5 Hàm lượng tự vi mô: Fa (W, J) = sup (−Eρ (W, J, 0) + Ent(ρ)) (2.1.4) ρ:α(ρ)=a hàm sup lấy tất q -phân hoạch tỉ lệ [0, 1] thỏa mãn α(ρ) = a Ở a ∈ Pdq = {(a1 , a2 , , aq ) ∈ Rq+ |a1 + a2 + · · · + aq = 1} α(ρ) = (α1 (ρ), , αq (ρ), với Z αi (ρ) = ρi (x)dx Như Fa (W, J) lượng tự trường cấu hình hạn chế khơng gian thỏa mãn mật độ spin cố định a Lưu ý ta có ! X F(W, J, h) = sup Fa (W, J) + hi (2.1.5) a∈Pdq i Định lý kết báo [6] Các tác giả chứng minh tương đương khái niệm hội tụ tưởng chừng khơng liên quan graphon Đó hội tụ theo mật độ đồng cấu (mang ý nghĩa tổ hợp), hội tụ theo khoảng cách cắt (mang ý nghĩa giải tích hàm), hội tụ theo hàm lượng vi mô (mang ý nghĩa vật lý) Định lý 2.1.6 Cho dãy graphon (Wn ), mệnh đề sau tương đương: Với đồ thị đơn F , dãy mật độ đồng cấu t (F, Wn ) hội tụ (Wn ) dãy Cauchy với khoảng cách cắt δ Dãy (Fa (Wn , J)) hội tụ ∀ q > 1, ∀ a ∈ Pdq , ∀ J ∈ Symq Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 21 2.2 Mơ hình Ising đồ thị dày Trước hết, ta xây dựng định nghĩa dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc mơ hình Ising với độ đo ngẫu nhiên Cuối thấy rằng, hàm lượng tự định nghĩa dãy đồ thị dày hội tụ tới dạng lượng tự biến phân định nghĩa Mục 2.1 Định nghĩa 2.2.1 Cho W graphon, dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc sinh W , kí hiệu {GN (W )}N >1 xây dựng sau: Với N , GN (W ) có tập đỉnh VN = {1, , N } = [N ] Mỗi cặp đỉnh {i, j} nối với với xác suất Z Z Ni Z Nj 2 W (x, y)dxdy (2.2.1) pij = N W (x, y)dxdy = N i−1 N ij cách độc lập Ở đây, ij =  i−1 N , Ni ×   j−1 N j−1 N , Nj  Định nghĩa 2.2.2 Mơ hình Ising đồ thị dày ngẫu nhiên: Cho W graphon, {GN (W )}N >1 dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc sinh W Với đồ thị GN (W ), ta xét cấu hình spin tập đỉnh, kí hiệu σ = {σi : i ∈ [N ]} , σi nhận giá trị ±1 Xét hàm Hamilton: β HN (σ) = − N X σi σj − B ij∈E(G) N X σi (2.2.2) i=1 với β, B tham số Ta định nghĩa độ đo ngẫu nhiên µN (σ) sau exp (−HN (σ)) ZN (β, B) µN (σ) = (2.2.3) ZN (β, B) = X exp (−HN (σ)) (2.2.4) σ Cùng với hàm lượng tự ứng với độ đo ngẫu nhiên ϕN (β, B) = log ZN (β, B) N Trước hết GN (W ) xấp xỉ tốt W Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (2.2.5) (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 22 Mệnh đề 2.2.3 Cho W graphon GN (W ) đồ thị ngẫu nhiên tắc sinh W Khi đó, δ (WGN (W ) , W ) → h.c.c (2.2.6) Chứng minh Ta có t(F, GN ) → t(G, W ) với đồ thị hữu hạn F (hay nói cách khác GN hội tụ trái tới W ) δ (WGN (W ) , W ) → Do đó, ta cần P[∃F : t(F, GN ) 6→ t(F, W )] = (2.2.7) Bởi ta có đếm đồ thị hữu hạn F , nên ta cần chứng minh với F hữu hạn, P[t(F, GN ) 6→ t(F, W )] = (2.2.8) Trong báo [7, Định lý 2.5], tác giả tồn c > 0, cho với ε > 0, P(|t(F, GN ) − t(F, W )| > ε) exp(−cε2 N/k ), (2.2.9) k = |V (F )| số lượng đỉnh F Do đó, bổ đề Borel-Cantelli suy t(F, GN ) hội tụ hầu chắn tới t(F, G), (2.2.8) chứng minh Bây giờ, trình bày kết chương nói hàm lượng tự mơ hình Ising GN (W ) hội tụ tới F(W, β, B), xây dựng sau Trong mô hình Ising, spin có hai trạng thái σ = σ = −1 Do đó, phân hoạch tỷ lệ ρ gồm hai thành phần ρ = (ρ1 , ρ−1 ) với ρ1 , ρ−1 : [0, 1] → [0, 1], ρ1 (x) + ρ−1 (x) = Ma trận tương tác J = (Jσ,τ )σ,τ ∈{1,−1} trường h = (hσ )σ∈{1,−1} cho Jσ,τ = β στ, hσ = Bσ Lưu ý rằng, so với mơ hình Ising đồ thị tương tác cạnh tính lần, cịn mơ hình Ising R graphon tương tác cặp "đỉnh" (x, y) tính hai lần tích phân [0,1]2 W (x, y)ρσ (x)ρτ (y)dxdy Do đó, ma trận tương tác, ta cần xét β thay β Như vậy, lượng phân hoạch tỷ lệ ρ = (ρ1 , ρ−1 ) Eρ (W, J, h) X β = − σ,τ ∈{1,−1} β = − Z ρσ (x)ρτ (y)W (x, y)dxdy − B στ β Z σ ρσ (x)dx σ∈{1,−1} [0,1] [0,1]2 Z Z (ρ1 (x) − ρ−1 (x))(ρ1 (y) − ρ−1 (y))W (x, y)dxdy − B [0,1]2 = − X [0,1] Z Z m(x)m(y)W (x, y)dxdy − B [0,1]2 m(x)dx, [0,1] Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (ρ1 (x) − ρ−1 (x))dx (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 23 m = ρ1 − ρ−1 : [0, 1] → [−1, 1] 1−m Lưu ý ρ1 + ρ−1 = 1, ta có ρ1 = 1+m ρ1 = Do vậy, ta thu công thức cho hàm lượng tự mơ hình Ising graphon Định nghĩa 2.2.4 Hàm lượng tự mơ hình Ising graphon  Z Z1 β W (x, y)m(x)m(y)dxdy + B m(x)dx F(W, β, B) = sup  m:[0,1]→[−1,1] [0,1]2 Z1 − + m(x) log  + m(x) Z1  dx − − m(x) log  − m(x)   dx sup lấy tất hàm đo m : [0, 1] → [−1, 1], β > 0, B tham số mơ hình Ising Định lý 2.2.5 Cho W graphon (GN (W ))N >1 dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc sinh W Gọi ϕN (β, B) hàm lượng tự ngẫu nhiên mơ hình Ising GN (W ) Khi đó, N → ∞, ϕN (β, B) → ϕ(β, B) := F(W, β, B) h.c.c (2.2.10) Chứng minh Định lý hệ trực tiếp Mệnh đề 2.2.3 Mệnh đề 2.2.6 Mệnh đề 2.2.6 Cho (GN )N >1 dãy đồ thị đơn W graphon Gọi ϕN (β, B) hàm lượng tự mơ hình Ising GN F(W, β, B) hàm lượng tự mơ hình Ising graphon W Khi đó, tồn số C phụ thuộc β, B cho với N đủ lớn |ϕN (β, B) − F(W, β, B)| Cδ (WGN , W ) + √ C , log N (2.2.11) WGN graphon tương tứng với GN Do đó, δ (WGN , W ) → ϕN (β, B) → F(W, β, B) N → ∞ Chứng minh Từ định lý 5.8 [6] ta có |ϕN (β, B) − F(WGN , β, B)| √ C log N Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day (2.2.12) (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 24 Bởi định lý 4.13 [6] ta có |F(WGN , β, B) − F(W, β, B)| Cδ (WGN , W ) (2.2.13) Từ (2.2.12) (2.2.13) ta thu điều phải chứng minh Chú ý Lưu ý rằng, định lý 2.2.5 cho mô hình q -spin tổng quát, xem [6, định lý 3.7] Ở chúng tơi trình bày vắn tắt bước chứng minh cho trường hợp q = 2.3 Một ví dụ Chúng ta xem xét ví dụ đơn giản graphon gồm hai phần (two-block model) Xác suất nối cạnh phần p hai phần r Ví dụ 2.3.1 Xét graphon cho ( p W (x, y) = r x, y 21 , trường hợp khác, < x, y dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc (GN (W ))N >1 Gọi ϕN (β, B) hàm lượng tự ngẫu nhiên mơ hình Ising GN (W ) Chúng ta cần tính giới hạn (2.3.1) ϕ(β, B) = lim ϕN (β, B) N →∞ Lời giải Do tính đối xứng mơ hình ϕN (β, B) = ϕN (β, −B), khơng tính tổng qt, ta xét B > Từ định lí 2.2.5 ta có  Z Z1 β ϕ(β, B) = sup W (x, y)m(x)m(y)dxdy + B m(x)dx + log  m:[0,1]→[−1,1] [0,1]2 − (2.3.2)  Z1 (1 + m(x)) log(1 + m(x)) + (1 − m(x)) log(1 − m(x))dx     Tách tích phân đoạn 0, 21 12 , , ta thu Z W (x, y)m(x)m(y)dxdy [0,1]2 Z = p !2 m(x)dx !2 Z +p m(x)dx 2 Z + 2r Z m(x)dx Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day m(x)dx (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day 25 Z Z m(x)dx + m(x)dx = m(x)dx 0 Z Dùng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi (1 + x) log(1 + x) (1 − x) log(1 − x), ta có Z1 (1 + m(x)) log(1 + m(x))dx Z1 Z2 = (1 + m(x)) log(1 + m(x))dx + (1 + m(x)) log(1 + m(x))dx 2 Z > 1+2   Z  m(x)dx log + 0 + 1+2   m(x)dx Z  Z   m(x)dx log + 2 m(x)dx , tương tự Z1 (1 − m(x)) log(1 − m(x))dx > 1−2  Z  Z  m(x)dx log − m(x)dx  + 1−2  Z  Z  m(x)dx log −  m(x)dx 2 Từ đặt Z m(x)dx, m1 = Z m2 = m(x)dx, sau thay vào (2.3.2) ta thu ϕ(β, B) = log + max m1 ,m2 ∈[−1,1] K(m1 , m2 ) (2.3.3) với β B (1 + m1 ) log(1 + m1 ) (pm21 + pm22 + 2rm1 m2 ) + (m1 + m2 ) − (1 + m2 ) log(1 + m2 ) (1 − m1 ) log(1 − m1 ) (1 − m2 ) log(1 − m2 ) − − − 4 K(m1 , m2 ) = Luan van (Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day(Luan.Van.Thac.Si).Mo.Hinh.Ising.Tren.Cac.Do.Thi.Ngau.Nhien.Day