(Luận văn thạc sĩ) mô hình ising trên các đồ thị ngẫu nhiên dày

LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Cấn Văn Hảo Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2021 Học viên Vũ Hồng Sơn LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Cấn Văn Hảo, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài thầy Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn học, trung tâm Unesco, quỹ Vinif hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực Luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cơ, anh chị bạn bè ngồi Viện Toán học Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn anh Nguyễn Văn Quyết, người đồng hành xêmina suốt năm vừa qua Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồ thị đồ thị có trọng 1.1.1 Kí hiệu định nghĩa 1.1.2 Mật độ đồng cấu dãy đồ thị hội tụ trái 1.2 Graphon 1.2.1 Graphon mật độ đồng cấu 1.2.2 Chuẩn cắt graphon 1.2.3 Không gian metric graphon 1.3 Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên 1.3.1 Giới thiệu mơ hình Ising 1.3.2 Mơ hình Ising đồ thị 7 9 11 11 12 12 14 Mơ hình Ising graphon đồ thị dày 2.1 Mơ hình spin tổng quát graphon 2.2 Mơ hình Ising đồ thị dày 2.3 Một ví dụ 18 18 21 24 Mơ hình Ising trung bình đồ thị ngẫu nhiên dày 3.1 Sự hội tụ hàm lượng tự trung bình 3.2 So sánh hai hàm lượng tự 3.2.1 Định lí so sánh 3.2.2 Một ví dụ 29 29 42 42 44 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Mơ hình Ising mơ hình tốn học đơn giản mơ tả tượng chuyển pha vật lí thống kê Mục đích ban đầu mơ hình Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc tính chất chất sắt từ Ở đây, Ising cố gắng giải thích số liệu thực nghiệm quan sát vật liệu sắt từ cách sử dụng mơ hình người thầy Lenz đề xuất năm 1920 Gần đây, mơ hình Ising trở nên phổ biến đưa mơ hình đơn giản để đạt đồng thuận quần thể Thật vậy, giả định bạn bè có nhiều khả có quan điểm phản đối ý kiến, sử dụng mơ hình Ising mạng lưới tình bạn để mơ hình hóa ý kiến chiếm ưu dân số hồn cảnh Thêm vào đó, mạng lưới phức tạp thường khó quan sát thường mơ tả qua đồ thị ngẫu nhiên Kết là, mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên khơng nghiên cứu mạnh nhà vật lý tốn, cơng nghệ thơng tin, mà cịn trở nên phổ biến nhà kinh tế học nhà khoa học xã hội, sau tìm thấy nhiều ứng dụng khoa học thần kinh, sinh học v.v Chẳng hạn Contucci, Gallo Menconi [1] ví dụ khoa học xã hội, Kohring [2] cho ứng dụng tác động xã hội, Fraiman, Balenzuela, Foss Chialvo [3] cho ứng dụng cho não Bornholdt Wagner [4] cho ví dụ kinh tế Giả sử ta có đồ thị ngẫu nhiên G = (V; E) với tập đỉnh V tập cạnh E Mỗi đỉnh đồ thị gán hai spin +1 Như không gian tất trạng thái = f+1; 1g jV j Năng lượng trạng thái cho hàm Halminton: X X H( ) =u v B u; u2V u v đây, u v nghĩa uv E, hay u kề với v G, > tham số đặc trưng cho nghịch đảo nhiệt độ B từ trường tác động lên hệ Lưu ý, H biến ngẫu nhiên G đồ thị ngẫu nhiên Từ nảy sinh nhiều cách định nghĩa độ đo Gibbs không gian trạng thái Ở đây, ta xét hai loại độ đo theo định luật Boltzmann độ đo Gibbs ngẫu nhiên, kí hiệu , độ đo Gibbs trung bình, kí hiệu sau Với , E b ()= Z ; ( )= E[Z ] ; exp( H( )) [exp( H( )] E kì vọng lấy theo đồ thị ngẫu nhiên G Z hàm phân hoạch cho b Z= X exp( H( )): Như độ đo ngẫu nhiên b độ đo khơng ngẫu nhiên lấy trung bình tất đồ thị ngẫu nhiên Các câu hỏi mơ hình Ising tập trung nghiên cứu tính chất không gian trạng thái độ đo Gibbs Hàm phân hoạch Z đóng vai trị quan trọng nghiên cứu độ đo này, đặc biệt giới hạn ’ ;B lim log Z ; ’ ;B b( )= N = jV j số đỉnh đồ thị Hàm ’ (tương ứng ’b) gọi hàm lượng tự (tương ứng lượng tự trung bình) Các hàm chứa nhiều thơng tin vật lí hệ, ví dụ từ tính trung bình, độ nhạy từ, nhiệt dung riêng thu từ đạo hàm hàm Bởi vậy, câu hỏi nghiên cứu mơ hình Ising tìm hàm lượng tự )= ( N!1 N Trong khoảng 20 năm gần đây, đồ thị ngẫu nhiên giới hạn đề tài nhận nhiều thu hút toán học, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học máy tính, mạng thần kinh, mạng xã hội Khái niệm hội tụ dãy đồ thị dày (khi số cạnh có cỡ bình phương số đỉnh, ví dụ đồ thị đầy đủ) đưa Lovász cộng [5], [6], [7] Ý tưởng coi không gian đồ thị không gian hàm số từ [0; 1] vào [0; 1] từ coi hội tụ đồ thị hội tụ hàm số Ở đồ thị G gồm G N đỉnh coi hàm số W [0; 1] có cách xác định sau: Với (x; y) [0; 1] , tồn số tự nhiên i j thỏa mãn i i j j