(Luận văn thạc sĩ hcmute) điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng sử dụng phương pháp biên nhúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN VĂN NAM ĐIỀU KHIỂN BỊ ĐỘNG DÒNG CHẢY QUA TRỤ TRÒN BẰNG TẤM PHẲNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ – 605204 S KC 0 Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN VĂN NAM ĐIỀU KHIỂN BỊ ĐỘNG DÒNG CHẢY QUA TRỤ TRÒN BẰNG TẤM PHẲNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ – 605204 Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN VĂN NAM ĐIỀU KHIỂN BỊ ĐỘNG DÒNG CHẢY QUA TRỤ TRÒN BẰNG TẤM PHẲNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ – 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2013 Luan van LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ & tên: Nguyễn Văn Nam Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 23/11/1988 Nơi sinh: Quảng Ngãi Quê quán: Nghĩa Phương, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: Số 20 Nguyễn Chánh Sắt, Phường 13, Quận Tân Bình, Tp Hồ Chí Minh Điện thoại quan: Điện thoại nhà riêng: 0937 113 282 Fax: E-mail: nguyennamkt.2311@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09 / 2006 đến 01/ 2011 Nơi học (trường, thành phố): Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM Ngành học: Cơ Tin Kỹ Thuật Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp: Phương pháp biên nhúng động lực học lưu chất Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án thi tốt nghiệp: 01/2011 Tại: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM Người hướng dẫn: TS Phan Đức Huynh i Luan van III Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUN MƠN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thời gian 01/2011- Nơi công tác Công việc đảm nhiệm Công ty TNHH Cơ khí Nhựa Bình Đơng Hưng Nhân viên kỹ thuật Trường Cao đẳng Kỹ thuật Cao Thắng Giảng viên 06/2011 02/2012 đến ii Luan van LỜI CAM ĐOAN  Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu  Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng 10 năm 2013 (Ký tên ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Nam iii Luan van LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM, tiếp thu nhiều kiến thức bổ ích cần thiết cho chun mơn Với đề tài nghiên cứu hình thức luận văn thạc sỹ, tơi vận dụng kiến thức học để giải vấn đề thực tế Nội dung luận văn giải toán tương tác lưu chất kết cấu phương pháp số Đây lĩnh vực khó nên q trình thực tơi gặp khơng khó khăn Với hướng dẫn tận tình người hướng dẫn TS Phan Đức Huynh với hỗ trợ gia đình, bạn bè Cho đến thời điểm tơi hồn thành luận văn với kết mong muốn Đến đây, cho phép gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM - TS Phan Đức Huynh, Khoa Xây dựng Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM - Các quý Thầy Cô khoa Cơ khí chế tạo máy, Khoa Xây dựng Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp HCM - Gia đình bạn bè Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, hỗ trợ động viên quý giá tất người Xin trân trọng cảm ơn./ Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2013 Học viên thực luận văn iv Luan van TÓM TẮT Trong luận văn tác giả sử dụng phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary - IB) việc giải toán tương tác lưu chất kết cấu Phương pháp sử dụng tổng hợp hai biến: biến Eulerian biến Lagrangian Miền kết cấu rời rạc thành điểm Lagrangian nhúng miền lưu chất sử dụng biến Eulerian Một hàm lực tính tốn điểm biên nhúng phân bố vào miền lưu chất để đảm bảo điều kiện biên không trượt biên Tương tác điểm Lagrangian biến lưu chất lưới cố định Cartesian thông qua hàm rời rạc Dirac delta Ưu điểm phương pháp biên nhúng tiết kiệm nhớ, CPU dễ dàng chia lưới cho miền kết cấu lưu chất so sánh với phương pháp lưới phi cấu trúc Hơn nữa, tốn có biên di chuyển phương pháp biên nhúng không cần chia lại lưới sau bước lặp Trong phần kết luận văn trình bày mơ số dịng chảy qua trụ tròn cố định trụ tròn dao động tuần hồn phương pháp biên nhúng Các thơng số cụ thể dòng chảy qua trụ tròn khảo sát số Reynolds khác như: hệ số nâng trung bình, hệ số cản trung bình, đồ thị hệ số cản hệ số nâng, chiều dài khu vực tuần hồn phía sau trụ trịn, số Strouhal Bài tốn điều khiển bị động dịng chảy sử dụng phẳng phương pháp biên nhúng khảo sát Tác giả nghiên cứu ảnh hưởng chiều dài phẳng đến hệ số cản kết cấu Ngoài ra, đặc điểm xoáy lực tác dụng lên trụ trịn có phẳng dao động phía sau trình bày phần Các kết luận văn so sánh với kết vài nghiên cứu khác Các kết nghiên cứu luận văn sở để giải tốn thực tế mơ dòng máu mạch máu, điều khiển dòng chảy qua máy bay, ơtơ, cầu treo, tịa nhà hay chuyển động sinh vật nước,… v Luan van ABSTRACT In this thesis, a new immersed boundary technique for the simulation of flow interacting with solid boundary is presented This method employs a mixture of Eulerian and Lagrangian variables The solid boundary is represented by discrete Lagrangian markers embedding in the Eulerian fluid domain A novel force formulation on the Lagrangian markers is proposed to ensure the exact satisfaction of the no-slip condition on the boundary Interactions between the Lagrangian markers and the fluid variables on the fixed Eulerian grid are linked by a simple discretized Dirac delta function The main advantages of the immersed boundary method are memory, CPU savings and easy grid generation compared to the unstructured grid method Even moving boundary problems can be handled with the immersed boundary method without regenerating grids in time, unlike the unstructured grid method In the results of this thesis, we perform numerical simulations of flow past a fixed circular cylinder and in-line oscillating cylinder in a free stream using the immersed boundary method Detailed informations about the flows over the cylinder, at different Reynolds numbers are presented These flow quantities are the mean drag and mean lift coefficients, the drag and lift graph, the recirculation length behind the cylinder and the Strouhal number, for low Reynolds numbers The passive control flow over a circular cylinder by splitter plates is investigated Study the influence of the plate length on the drag coefficient In addition, the vortex shedding characteristics and the drag force acting on a circular cylinder, attached with an oscillating splitter plate, are investigated The results were compared with experimental and with other numerical studies Results of the research can be applied to simulate for blood flow in body, compute, design and control the flow past airplans, cars, bridges, high buildings and towers,… vi Luan van MỤC LỤC Trang tựa Trang Quyết định giao đề tài Lý lịch khoa học i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Tóm tắt v Abstract vi Mục lục vii Danh sách ký hiệu viết tắt x Danh sách hình xi Danh sách bảng xiii Chƣơng TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu ngồi nước 1.2 Mục đích đề tài 1.3 Nhiệm vụ giới hạn đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu Chƣơng PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH VÀ DI CHUYỂN 2.1 Phương pháp biên nhúng 2.2 Các phương trình điều khiển 11 2.3 Phương pháp biên nhúng cho biên cứng cố định 14 2.4 Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển 15 vii Luan van KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Hình 4.19: Hình dạng xốy phía sau trụ trịn a b c Hình 4.20: Các dạng xốy hình thành phẳng vị trí biên trên; hình a A=0,1D fs=0,4; hình b A=0,3D fs=0,4; hình c A=0,5D fs=0.4 49 Luan van KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 4.3.3 Hệ số cản kết cấu phẳng dao động Trong phần khảo sát mối quan hệ hệ số cản kết cấu, biên độ tần số dao động phẳng Hệ số cản trung bình CD tương ứng với phẳng dao động tần số biên độ khác trình bày bảng 4.7 Hình 4.21 đồ thị thể hệ số cản theo biên độ tần số dao động khác Theo đó, tần số dao động tăng từ 0,0825 đến 0,165 hệ số cản tăng dần với phẳng dao động theo biên độ 0,1D  A  0,5D Trong tất biên độ mà tác giả khảo sát ngoại trừ A=0,5D, hệ số cản CD đạt giá trị cực đại phẳng dao động với tần số fs=0,165 Điều trùng hợp ngẫu nhiên số Strouhal dịng chảy qua trụ trịn khơng có phẳng 0,165 Có thể số St dòng chảy qua trụ tròn cố định tần số dao động phẳng giống nhau, xoáy từ phẳng cộng hưởng với xốy từ trụ trịn nên CD đạt cực đại Bảng 4.7: Hệ số cản kết cấu theo biên độ tần số dao động khác fs A/D 0,1 0,2 0,3 04 0,5 0,0825 1,153 1,076 1,219 1,126 1,231 0,100 1,168 1,194 1,223 1,270 1,314 0,165 1,272 1,312 1,334 1,427 1,389 0,200 1,175 1,114 1,290 1,361 1,443 0,300 1,122 1,095 1,118 1,312 1,545 0,400 1,180 1,184 1,062 1,402 1,577 0,500 1,123 1,065 1,155 1,414 1,941 Khi tần số dao động f s  0,165 , biến thiên hệ số cản CD khác theo biên độ khác Tại biên độ thấp (như A=0,1D; 0,2D; 0,3D) hệ số cản CD giảm tần số fs tăng từ 0,165 đến 0,2 không thay đổi nhiều fs tiếp tục tăng thêm Trường hợp A=0,4D hệ số cản CD giảm fs tăng từ 0,165 đến 0,5 giá trị hệ số cản CD lớn so với trường hợp Đặc biệt phẳng dao động với biên độ cực đại A=0,5D biến thiên hệ số cản CD tần số dao động fs không giống trường hợp Hệ số cản CD tăng liên 50 Luan van KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU tục tần số dao động tăng 0,0825 đến 0,5 Khi tầng số dao động tăng từ 0,4 đến 0,5 hệ số cản tăng nhanh CD fs Hình 4.21: Đồ thị hệ số cản theo biên độ tần số dao động khác Khi có phẳng dao động đặt sau trụ trịn nhìn chung hệ số cản kết cấu thấp so trường hợp khơng có phẳng Tuy nhiên, vài trường hợp phẳng dao động với biên độ tần số cụ thể hệ số cản lớn so với trường hợp khơng có phẳng, trình bày bảng 4.7 Đặc biệt phẳng dao động với biên độ tần số lớn Do có dao động phẳng nên dẫn đến hệ số cản CD thay đổi phức tạp Nguyên nhân mà hệ số cản tăng giải thích vào trường áp suất phát sinh phẳng dao động thể hình 4.22 4.23 Quan sát hình 4.22, miền áp suất thấp phát sinh vị trí gần bề mặt trụ tròn Sự xuất miền áp suất thấp nên áp suất cản tác động lên trụ tròn tăng lên Do hệ số cản kết cấu tăng Như biết miền áp suất thấp hình thành di chuyển xốy von-Karman hay dao động phẳng Quan sát hình 4.23, thể trường áp suất phẳng cố định, không thấy xuất miền áp suất thấp Do đó, xuất miền áp suất thấp đặc điểm có liên quan đến dao động phẳng Khi phẳng chuyển động miền chứa xốy trụ trịn, việc di chuyển nhanh phẳng hình thành miền áp suất thấp vùng Hiện 51 Luan van KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU tượng xảy vị trí gần bề mặt trụ trịn bề mặt phẳng phẳng di chuyển xuống hình 4.23 Khi phẳng di chuyển lên trên, miền áp suất thấp tương tự hình thành vị trí gần bề mặt trụ trịn phía phẳng Khi phẳng di chuyển từ vị trí đến biên miền áp suất thấp phát triển đạt cực đại phẳng vị trí biên hình 4.22b a b Hình 4.22: Trường áp suất phẳng di chuyển từ vị trí đến vị trí biên A=0,5D fs=0,2 Hình 4.23: Trường áp suất phẳng đặt cố định 52 Luan van KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong tất biên độ tần số dao động khảo sát, hệ số cản CD =1,062 nhỏ phẳng dao động với biên độ A=0,3D tần số fs =0,4 Lúc chuỗi xốy hình thành Hệ số cản thấp so sánh với hệ số cản thấp trường hợp phẳng cố định có tỉ số L/D=3 hệ số Re=100 Quan sát hình 4.18 bảng 4.7, kết luận rằng: chuỗi xốy hình thành phía sau trụ trịn hệ số cản kết cấu nhỏ so hai dạng xốy cịn lại Tóm lại, thơng qua việc mơ dịng chảy qua trụ trịn cố định có phẳng dao động điều hịa phía sau phương pháp biên nhúng, biết có ba loại xốy khác thay đổi biên độ tần số dao động phẳng Đó xốy thường, chuỗi xốy xốy từ phẳng Ngồi ra, kết mô rằng, hệ số cản kết cấu giảm tối ưu ta sử dụng phẳng có chiều dài L=D dao động với tần số thích hợp Nếu phẳng đứng yên, để đạt hệ số cản yêu cầu chiều dài phẳng lớn nhiều lần so với đường kính trụ trịn Do đó, số ứng dụng mà có khơng gian nhỏ hẹp khơng thể sử dụng phẳng có chiều dài lớn, hồn tồn thay phẳng có chiều dài ngắn dao động để giảm lực cản gây cho kết cấu 53 Luan van KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Chương KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 5.1 Kết luận Trong luận văn tác giả sử dụng phương pháp mới, phương pháp biên nhúng, để giải toán tương tác lưu chất kết cấu miền hai chiều Phương pháp biên nhúng sử dụng hai biến độc lập: biến Eulerian biến Lagrangian Miền biên nhúng rời rạc thành điểm Lagrangian nhúng miền lưu chất sử dụng biến Eulerian Tương tác biến Lagrangian kết cấu biến Eulerian lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta Để đảm bảo điều kiện biên không trượt biên, thành phần lực khối xác định điểm biên nhúng, sau đưa vào phương trình Navier-Stokes thành phần ngoại lực tác dụng lên tồn miền lưu chất Giải phương trình NavierStokes tìm trường vận tốc trường áp suất miền lưu chất Vận tốc miền biên nhúng xác định thông qua phương pháp nội suy Ưu điểm lớn phương pháp biên nhúng việc giải toán tương tác lưu chất kết cấu tiết kiệm thời gian tính tốn sử dụng hai hệ lưới độc lập Đồng thời không cần chia lưới lại theo bước thời gian tính tốn Trên sở lý thuyết trình bày, toán cụ thể giải Mơ dịng chảy nhớt, khơng nén qua trụ tròn cố định trụ tròn dao động theo phương vận tốc dòng chảy khảo sát với hệ số Reynolds khác Các kết mô như: hệ số nâng, hệ số cản kết cấu, số Strouhal so sánh với nghiên cứu khác Thông qua kết đạt phương pháp biên nhúng thích hợp cho việc giải tốn có biên cứng cố định biên cứng di chuyển Ngồi ra, tốn điều khiển bị động dịng chảy qua trụ trịn cố định có phẳng phía sau khảo sát với hệ số Re=100 Khi sử dụng 54 Luan van KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN phẳng cố định đặt phía sau trụ trịn hệ số cản kết cấu giảm Chiều dài phẳng ảnh hưởng lớn đến hệ số cản kết cấu Khi chiều dài phẳng tăng lên hệ số cản kết cấu giảm dần Khi chiều dài phẳng L  2D hệ số cản kết cấu gần không thay đổi tăng thêm chiều dài L Giá trị CD lúc dao động khoảng 1.07 Khi thay phẳng cố định phẳng dao động, dạng xốy xuất phía sau trụ tròn, hệ số cản kết cấu phụ thuộc vào biên độ tần số dao động phẳng khảo sát Có ba dạng xốy hình thành phía sau trụ trịn phụ thuộc vào biên độ tần số dao động phẳng là: xốy thường, chuỗi xoáy xoáy phẳng Khi chuỗi xốy hình thành, hệ số cản kết cấu thấp so với hai dạng xốy cịn lại Trong biên độ tần số dao động khảo sát, phẳng có chiều dài L=D dao động với biên độ A=0,3D tần số fs =0,4 hệ số cản kết cấu đạt giá trị nhỏ Hệ số cản tương ứng với hệ số cản kết cấu sử dụng phẳng cố định có chiều dài L=4.5D Vậy ứng dụng thực tế có khơng gian nhỏ hẹp, để giảm lực cản lên kết cấu hồn tồn thay phẳng có chiều dài ngắn dao động với tần số biên độ thích hợp Từ giảm nguy phá hủy kết cấu xốy dao động phía sau gây 5.2 Đề xuất hướng phát triển Trong thời gian tới, tác giả tiếp tục sử dụng phương pháp biên nhúng để giải toán tương tác giữu lưu chất kết cấu với vài đề xuất hướng phát triển sau:  Tiếp tục khảo sát toán với hệ số Reynolds cao  Khảo sát toán có kết cấu phức tạp biến dạng lớn  Điều khiển dòng chảy với nhiều phương pháp khác để giảm tối thiểu dao động xoáy dao động gây Từ chọn chọn phương pháp điều khiển có hiệu  Kết hợp với vài phương pháp số khác để tối ưu hóa thời gian tính tốn sai số phương pháp số 55 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Peskin C S - The immersed boundary method, Acta Numer 11, 2002, 479–517 Peskin C S - Numerical analysis of blood flow in the heart, J Comput Phys 25, 1977, 220–252 Goldstein D., Hadler R., Sirovich L - Modeling a no-slip flow boundary with an external force field, J Comp Phys 105, 1993, 354–366 Fogelson A L., Peskin C S - A fast numerical method for solving threedimensional Stokes equation in the presence of suspended particles, J Comp Phys 79, 1988, 50–69 Ye T., Mittal R., Udaykumar H S., Shyy W - An accurate Cartesian grid method for viscous incompressible flows with complex boundaries, J Comp Phys 156, 1999, 209–240 Kim J., Kim D., Choi H - An immersed-boundary finite-volume method for simulations of flow in complex geometries, J Comp Phys 171, 2001, 132–150 Lima E S., Silveira-Neto, Damasceno - Numerical simulation of twodimensional flows over a circular cylinder using the immersed boundary method, Journal of Computational Physics 189, 2003, 351–370 Lai M C., Peskin C S.- An immersed boundary method with formal secondorder accuracy and reduced numerical viscosity, J Comp Phys 160, 2000, 705– 719 Mohd-Yusof - Combined immersed boundary/B-Splinemethod for simulations of flows in complex geometries, NASAAmes/Stanford University, 1997 10 Wang Z, Liu W K - Extended immersed boundary method using FEM and RKPM, Comput Methods Appl Mech Engrg 193, 2004, 1305–1321 56 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO 11 Zhang L, Gerstenberger A, Liu W K - Immersed Finite Element Method, Comput Methods Appl Mech Engrg 193, 2004, 2051–2067 12 Griebel M., Dornseifer T., Neunhoeffer T - Numerical simulation in fluid dynamics: A practical introduction, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 1998 13 Russell D., Wang Z J - A Cartesian grid method for modeling multiple moving objects in 2D incompressible viscous flow, J Comput Phys 191, 2003, 177–205 14 Calhoun D - A Cartesian grid method for solving the two-dimensional streamfunction-vorticity equations in irregular regions, J Comput Phys 176 2002, 231–275 15 Le D.V., Khoo B.C., Lim K.M., - An implicit-forcing immersed boundary method for simulating viscous flows in irregular domains, Comput Methods Appl Mech Engrg 197, 2008, 2119–2130 16 Hurlbut S E., Spaulding M L., White F M - Numerical solution for laminar two dimensional flow about a cylinder oscillating in a uniform stream, Trans ASME J Fluids Eng 22, 1982, 104–214 17 Su S W., Lai M C., Lin C A - A simple immersed boundary technique for simulating complex flows with rigid boundary, Comput Fluids 36, 2007, 313–24 18 Liao C C - Simulating flows with moving rigid boundary using immersedboundary method, Computers & Fluids 39, 2010, 152–167 19 Gerrard J H - The mechanics of the formation region of vortices behind bluff bodies J Fluid Mech 25, 1966, 401–413 20 Unal M F, Rockwell D - On vortex formation from a cylinder Part The initial instability, J Fluid Mech 190, 1988, 491–512 57 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 Nakamura Y - Vortex shedding from bluff bodies with splitter plates, Journal of Fluids and Structures 10, 1996, 147–158 22 Kwon K., Choi H - Control of laminar vortex shedding behind a circular cylinder using splitter plate, Phys Fluids 8, 1996, 479–488 23 Hwang J H., Yang K S., Sun S H - Reduction of flow induced forces on a circular cylinder using a detached splitter plate, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 95, 2007, 551–564 24 Shukla S., Govardhan R N , Arakeri J H - Flow past a cylinder with a hinged-splitter plate, J Fluid Struct 25, 2009, 713–720 25 Sudhakar Y., Vengadesan S - Vortex shedding characteristics of a circular cylinder with an oscillating wake splitter plate, Computers & Fluids 50, 2012, 40–52 58 Luan van PHỤ LỤC PHỤ LỤC Xây dựng hàm Dirac delta Chúng ta xây dựng hàm xấp xỉ Dirac delta sử dụng phương pháp trơn (smoothing technique) Các hàm chiều xây dựng, sau mở rộng thành hàm miền hai chiều Hàm hai chiều  h xây dựng theo hàm biến chiều với h kích thước lưới theo phương trình sau:  h x    x  y      h2  h   h  (1) Giả sử x/h y/h xem biến số r Lúc hàm   r  có tính chất sau:   r  hàm liên tục với tất số thực r (2)   r   với r  (3)     r  j     r  j   jch½ n  với r (4) j lỴ  r  j  r  j   với r (5)   r  j  (6) ˆj   C với r, C không phụ thuộc vào r ˆj Từ phương trình (4) ta có:  r  j   (7) j chanle Vậy phương trình (5) viết lại sau: 59 Luan van PHỤ LỤC  r  j  r  j   j   r r  j    j r  j   j j  r.1   j r  j   j   j r  j   r (8) j Xét  r  Hàm  r  j    r  2,  r  1,  r   r  1 Do đó, phương trình từ (4)-(6) viết gọn lại:  r  2   r   / chan  r  1   r  1  / le  r  2 r  2  r  1 r  1  r r   r  1 r  1    r  22   r  12   r 2   r  12  C  (9) Với r   r  2    2  điều kiện r    r   ) Do hệ viết sau:  0   /  0   /   1   1  /   1   1  /    C    12   02   12     1    1   2   1   0    1  C       16 16 Từ điều kiện  j r  j   r (10) thì: j 2 r  2   r  1  0 r    r  1  r  (11) Do đó,  r     r   /  r  1   r  1  /   2 r     r  1   r  1   r  2   r  12   r 2   r  12  /  60 Luan van (12) PHỤ LỤC  r    /   r   r  1   r  1  /    r  1   r  1  r  2 r    r  2   r  12   r 2   r  12  /  (13) Xét hệ:  r  1   r  1  1/   r  1   r  1  r  2 r  2  r  1   r  1  1/   r  1   r  1  1/  r  2 r  2 (14)  11 1  1  r  1    r  2 r  2   r     r         r  1    r  2 r  2    r     r   2 2  2 (15) Do đó: 2 1 3  1  1  1    r     r     r    r      r     r   / 2 2 2   2   2  (16) Lúc nhận phương trình bậc  r  : 4 r   2r  3 r   1  r   (17) Phương trình có hai nghiệm là:  r 1,  Ta có:  0   2r   4r  r ,  r 1 (18) 1 1 11 ,  1  theo điều kiện phía  0    1  8 Do có nghiệm là: 61 Luan van PHỤ LỤC  2r   r  4r  r   ,  r 1 (19) Thế hàm  r  vào phương trình cịn lại, ta có nghiệm sau:  1  2r   4r  4r  r  2    r     1  2r   4r  4r  r  1   r     r   2 2   1 3  2r   4r  4r   r  1    r     r        2r   4r  4r  r  2    r    (20)  r   0,     2r      2r        2r       2r     0, (21) Hoặc     r  2    12r  4r ,   r  1  ,  4r  4r ,  4r  4r 1  r  0  r 1    12r  4r , 1 r  2r Hoặc    1   r   r  4r ,  1  r     r    12 r  4r , 8 0,    62 Luan van  r 1 1 r  2 r (22) Luan van