Skkn một số phương pháp giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Phan Văn Ngà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Từ đầu lớp 11 trước: học sinh làm việc với phần lớn hình phẳng Mỗi hình biểu diễn cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng kích thước hình vẽ mặt giấy Mọi quan hệ đối tượng biểu diễn cách trực quan Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ hình phẳng khơng thể phản ánh trung thành Các quan hệ quan hệ vuông góc, quan hệ đối tượng Đó khó khăn lớn học sinh - Sau giới thiệu quan hệ: quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa hai khái niệm quan trọng là: “Khoảng cách” “góc” có tốn liên quan đến hai khái niệm khai thác nhiều kì thi kì thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi Ngoài việc giải tốn khoảng cách cịn giúp ta giải tốn thể tích khối đa diện lớp 12 - Trong “Khoảng cách”: Do yêu cầu thời lượng chương trình sgk hình học lớp 11 đưa khái niệm khoảng cách nêu lên mối liên hệ khái niệm ý cuối chương hai ví dụ khoảng cách.Do đứng trước skkn toán yêu cầu khoảng cách Từ dẫn đến học sinh khó tư hình học khơng gian, âm thầm bỏ không học phần Từ lý với kinh nghiệm q trình dạy học, tơi xin mạnh dạn đưa đề tài: “ Một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học không gian lớp 11” Thông qua nội dung đề tài muốn cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải, từ có định hướng tốt để tìm lời giải khoảng cách Hy vọng đề tài nhỏ làm cho học sinh u mơn hình học khơng gian giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu tham khảo trình giảng dạy 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tốn khoảng cách - Góp phần gây hứng thú học tập phần khoảng cách đối cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chuyên đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong chương trình phổ thơng để giải tốn khoảng cách cịn có cách: “Giải hệ trục tọa độ khơng gian” sau sử dụng tọa độ không gian để làm việc khuôn khổ không cho phép nên đề tài khai thác vấn đề góc độ nghiên cứu hình học không gian cách túy 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận -Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề việc vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán tương tự Trong dạy học, giáo viên có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện lợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên -Trong bài” Khoảng cách” sgk lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng chéo “ Khoảng cách hai điểm A,B độ dài đoạn thẳng AB” Khái niệm em giới thiệu làm việc nhiều cấp học Trên tất khoảng cách thực tế Do có hệ thống phương pháp giải toán Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng skkn Bài tốn 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài tốn 4: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Hầu hết toán khoảng cách giải quyết, ngồi tốn ‘’Trừ toán 1”, toán quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vì tơi thấy việc đưa “một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học không gian lớp 11” việc cần thiết bổ ích cho việc dạy học giáo viên việc học hình khơng gian học sinh 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tìm cực trị hàm số nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) toán tính khoảng cách, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11C2 35 0% 17,1 16 45,7 10 28,4 8,8% % % % 11C8 47 2,1 17,2 22 46,8 12 25,5 8,4% % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng toán khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tìm khoảng cách thơng qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải quyết2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành hai phần Phần Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phần Phương pháp tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Đưa tập tương tự Nội dung cụ thể: 2.3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai điểm skkn hình chiếu điểm đường thẳng b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai điểm hình chiếu điểm mặt phẳng 2.3.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng song song với mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ki hiệu b Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từmột điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng vuông góc với đáy Ví dụ Cho hình chóp có đáy tam giác với Cạnh bên vng góc với mp đáy Khoảng cách từ điểm đến mp A Lời giải Kẻ Lại có Từ B (vì suy C ) Ta có vng nên Tam giác có Chọn D Ví dụ Cho hình lăng trụ đến mặt phẳng A D B có tất cạnh C D skkn Khoảng cách từ điểm Lời giải Gọi cạnh trung điểm suy Vì Ta có Do tam giác lăng trụ nên nên Chọn A Ví dụ Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân đỉnh trung điểm hình chiếu vng góc mặt đáy Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A B C Gọi thuộc đường thẳng D Lời giải Dễ dàng tính Ta có (do ) Tam giác vuông cân đỉnh suy Từ suy nên Chọn A Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm đến mp A B C Lời giải Tính Kẻ Lại có (do Từ suy Tam giác vuông D ) nên có Chọn C Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng A Cạnh bên B C D skkn Cạnh bên vng góc Lời giải Kẻ Ta có: Suy Từ (vì (vì hình vng); ) suy Tam giác vng nên có Chọn B Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình thang vng với Cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A Lời giải Gọi B C trung điểm hình vng Do suy nên tam gác vuông Chứng minh Kẻ D nên Chọn C Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A B C D Lời giải Từ giả thiết suy tam giác cạnh Gọi trung điểm Xác định Kẻ Chứng minh nên Chọn C Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng tâm hợp với mặt đáy góc Khoảng cách từ đến mặt phẳng A B C D Lời giải skkn cạnh bằng Cạnh bên Xác định Gọi Kẻ trung điểm suy Chứng minh nên Chọn D Ví dụ Cho hình chóp có đáy tam giác vng bên vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A B C Lời giải Từ giả thiết ta có: Cạnh đến mặt phẳng D đơi vng góc nên Suy Chọn D Ví dụ 10 Cho tứ diện có tam giác vuông Khoảng cách từ điểm A B Các tam giác đến mặt phẳng C Lời giải Ta có tam giác tam giác vng đỉnh Do đơi vng góc D nên Suy Chọn A Ví dụ 11 Cho hình chóp có đáy hình vng tâm mặt bên mặt đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng A B C D Lời giải Từ giả thiết suy Gọi trung điểm Tính Khi skkn cạnh bằng Góc Ta có đơi vng góc nên Suy Chọn D Ví dụ 12 Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh Cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Gọi giao điểm hai đường chéo hình thoi Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A B C Lời giải Gọi trung điểm Từ giả thiết suy tam giác D suy Tính và Ta có đơi vng góc nên Suy Chọn D Quy tắc đổi điểm Ví dụ 13 Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật tâm Mệnh đề sau sai? A B C D Lời giải Vì nên Do A Ta có Ta có Ta có nên Do B nên Do C sai nên Do D Vậy C mệnh đề sai Chọn C skkn Ví dụ 14 Cho hình chóp hình chữ nhật tâm Gọi cạnh Biết sau đúng? A B C D có đáy là trung điểm Mệnh đề Lời giải Ta có (vì Lại có Từ (vì và ) ) suy Chọn B Ví dụ 15 Cho hình chóp có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính Cạnh bên vng góc với mặt đáy Biết Mệnh đề sau đúng? A B Lời Giải Trong mặt phẳng Ta có C D gọi nên Chọn C Dạng 2: khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a Định nghĩa a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung b) Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo độ dài đoạn thẳng gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo b Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo Gọi mặt phẳng chứa song song với hình chiếu vng góc mặ phẳng 10 skkn Vì nên Do cắt điểm Gọi điểm Gọi mặt phẳng chứa đường thẳng qua vng góc với Khi vng góc với Như nằm nên cắt đường thẳng cắt đường thẳng đồng thời vng góc với Do đường thẳng vng góc chung c Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Hai đường thẳng chéo – vng góc với Ví dụ 16 Cho tứ diện có đơi vng góc hai đường thẳng A B C Khoảng cách D Lời giải Kẻ Từ giả thiết suy Từ suy đoạn vuông góc chung Do Chọn C Ví dụ 17 Cho hình trụ đứng có đáy tam giác Khoảng cách hai đường thẳng A B C vuông D Lời giải Kẻ Dễ dàng chứng minh đoạn vng góc chung hai đường thẳng nên Chọn A Ví dụ 18 Cho hình chóp có đáy tam giác vuông cân Tam giác tam giác cạnh nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng 11 skkn A B Lời giải Gọi trung điểm C D Suy Kẻ Ta có Từ đoạn vng góc chung Do Chọn D Ví dụ 19 Cho hình chóp có đáy hình vng tâm Khoảng cách hai đường thẳng A B Lời giải Dễ dàng chứng minh Kẻ Khi đoạn vng chung Ta có C cạnh Cạnh bên D Suy Chọn B Ví dụ 20 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Cạnh bên mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng A B C vng góc với D Lời giải Gọi kẻ Chứng minh đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Ta có Vậy Chọn C Hai đường thẳng chéo có đường nằm mặt phẳng vng góc với đáy Ví dụ 21 Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh Cạnh bên Khoảng cách hai đường A B C D 12 skkn Lời giải Do nên Gọi Dễ dàng chứng minh Vậy Chọn C Ví dụ 22 Cho lăng trụ đứng có Khoảng cách hai đường thẳng A B Lời giải Do nên Gọi C trung điểm D Kẻ Dễ dàng chứng minh Vậy Chọn B Ví dụ 23 Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng A Lời giải Do B C D nên Ta có nên Vậy Chọn B Ví dụ 24: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Gọi điểm đối xứng qua trung điểm trung điểm trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng A B C D 13 skkn Lời giải Gọi trung điểm Suy đường trung bình tam giác nên song song nửa Do tứ giác hình hình hành Suy Do Ta có nên Vậy Chọn A Ví dụ 25 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng A B C D Lời giải Gọi trung điểm Từ giả thiết suy Gọi trung điểm suy nên Gọi Dễ dàng tính nên ta có Từ suy Xét hình chóp ta tính Chọn C Ví dụ 26 Cho tứ diện có Gọi trung điểm A Lời giải Gọi suy Khi Ta có: B điểm đối xứng với đơi vng góc với có Khoảng cách hai đường thẳng C D qua đơi vng góc nên 14 skkn Suy Chọn C Ví dụ 27 Cho hình chóp tứ giác góc Khoảng cách hai đường thẳng A B Lời giải Gọi tâm hình vng có đáy C Cạnh bên tạo với đáy D Từ giả thiết suy Xác định Do nên Tính Ta có: đơi vng góc nên Suy Chọn A Ví dụ 28 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh tâm Cạnh bên góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Khoảng cách hai đường thẳng A Lời giải Gọi Do Ta có: B Dễ thấy C vuông D trung điểm nên đơi vng góc nên Suy Chọn A Ví dụ 29 Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với vng góc với mặt đáy Gọi trung điểm cho Khoảng cách hai đường A B C D 15 skkn Cạnh bên điểm cạnh Lời giải suy Khi Lấy cho hình bình hành nên Ta có: đơi vng góc nên Suy Chọn D Ví dụ 30 Cho hình chóp với mặt phẳng đáy hai đường thẳng A B Lời giải Gọi trung điểm Gọi Ta có: có đáy hình vng cạnh Cạnh bện vng góc Gọi trung điểm Khoảng cách C D 10 Suy Tính đơi vng góc nên nên ta có Suy Chọn A Ví dụ 31 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng A B Lời giải Gọi trung điểm Do nên ta có C D Từ giả thiết suy 16 skkn Kẻ Chứng minh nên Ta có Suy Chọn C Ví dụ 32 Cho hình chóp có đáy hình vng tâm cạnh Cạnh bên Hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng trung điểm của đoạn thẳng Khoảng cách hai đường thẳng A B C D Lời giải Do Kẻ Tính nên kẻ nên Chứng minh Khi Vậy Chọn A Ví dụ 33 Cho khối chóp có đáy tam giác với Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi điểm Khoảng cách hai đường thẳng A B Lời giải Từ giả thiết suy Gọi trung điểm suy có Kẻ Chứng minh C Cạnh bên trung D tam giác nên ta vuông cân nên Tính Vậy Chọn B Ví dụ 34 Cho hình chóp mặt phẳng đáy Gọi có đáy hình vng cạnh Cạnh bên vng góc với trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng 17 skkn A B Lời giải Do nên ta có Kẻ C Chứng minh Tam giác vng nên có Chọn A Ví dụ 35 Cho hình chóp mặt phẳng đáy, góc giữa hai đường thẳng A D có đáy hình vng cạnh Cạnh bên Gọi trung điểm B C D Lời giải Xác định Gọi trung điểm Khi Gọi Kẻ nên vng góc với Khoảng cách Suy suy suy trung điểm suy Chứng minh Chọn C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 11C2, 11C8 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học tốn nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 11C2 35 11 31,4 15 42,8 17,3 8,5% % % % 11C8 47 12 25,5 21 44,9 10 21% 6,5% 2,1% % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu 18 skkn quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững vấn đề tính khoảng cách, tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài “một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 11” giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tìm khoảng cách nói chung Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý , bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chuyên môn : Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tìm cực trị hàm số Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập giảng 3.2.2 Đối với trường : Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn 3.2.3 Đối với sở giáo dục : Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan là SKKN chính bản thân mình viết, không chép nội dung của người khác Phan Văn Ngà 19 skkn Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương( Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Văn Như Cương ( Chủ biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh…) C) Phương pháp tính nguyên hàm Ngành GD cấp C toán nguyên hàm tỉnh đặc biệt Bất Đẳng thức bất đẳng Ngành GD cấp C thức xếp tỉnh 20 skkn Năm học đánh giá xếp loại 2018 2020