Skkn phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn ôn thi tốt nghiệp thpt cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT CHO HỌC SINH LỚP 12 MỤC LỤC Người thực hiện: Lê Trọng Nguyên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC Nội dung skkn Trang MỤC LỤC Nội dung 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp cụ thể Phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn 2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất tích phân 2.3.2 Phương pháp đổi biến số 2.3.3 Phương pháp tích phân phần 2.3.4 Phương pháp xác định hàm số dựa vào điều kiện cho trước toán 2.3.5 Các tập rèn luyện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn Trang 1 1 1 2 2 11 16 19 20 20 20 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Khi gặp tốn tích phân hàm số cho công thức cụ thể đa số học sinh vận dụng tốt phương pháp để giải toán dạng Tuy nhiên gặp tốn tích phân hàm số không cho biết công thức mà cho biết thỏa mãn số điều kiện nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn cách giải toán Trong sách giáo khoa, dạng toán xuất dẫn đến khả thực hành tính tốn học sinh cịn hạn chế Trong năm gần đây, kì thi THPT Quốc gia thi Tốt nghiệp THPT xuất toán dạng mức độ khác nhau, gặp tốn học sinh thường khó khăn việc tìm định hướng tính tốn để đáp số không sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn Từ lí trên, tơi nghiên cứu xây dựng đề tài: “Phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ định hướng, nhận dạng giải tốn tích phân hàm ẩn Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức tích phân hàm ẩn, học sinh cảm thấy hứng thú học gặp dạng toán Tài liệu giúp học sinh học tập thuận tiện để hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số kỳ thi Tốt nghiệp THPT 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng sở lí thuyết dạng tích phân hàm ẩn từ đến nâng cao, từ rèn luyện phát triển kĩ tư học sinh để giải toán dạng Qua giúp học sinh giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài viết mảng kiến thức phần tích phân thuộc chương trình giải tích lớp 12 THPT Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh THPT lớp 12 phân công giảng dạy, sau em học phần tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu Kết hợp nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa sách giáo khoa, đề minh họa, đề thi Tốt nghiệp THPT Bộ giáo dục đào tạo, đề thi thử trường THPT nước) thực nghiệm trình giảng dạy (tiến hành soạn thiết kế hệ thống tập theo chuyên đề, tiến hành thực nghiệm lớp 12 phân công giảng dạy) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào kiến thức tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K thì: skkn *) Ghi nhớ: Tính tích phân phụ thuộc vào biểu thức dấu tích phân mà khơng phụ thuộc vào biến ký hiệu: Các tính chất tích phân Các hàm số f, g liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có: a) ; c) b) d) e) với Một số phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số: b) Phương pháp tích phân phần: Các hàm số u, v có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K; 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với câu hỏi tích phân hàm ẩn ln gây khó khăn cho học sinh học sinh khơng dùng máy tính để tìm kết Để tìm kết yêu cầu học sinh cần hiểu phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn vận dụng vào giải Đề thi THPT Quốc gia năm trước thi Tốt nghiệp THPT năm gần đề minh họa Bộ GD&ĐT ln có câu tích phân hàm ẩn mức độ khác nhau, có câu mức độ vận dụng vận dụng cao Trong trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em cịn gặp nhiều khó khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải dạng tốn Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu:“Phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn” để ôn luyện cho học sinh thi Tốt nghiệp THPT 2.3 Giải pháp cụ thể Phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn 2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất tích phân Nhận dạng: +) Tích phân cần tính thường có cận giống với tích phân giả thiết Các cận tích phân có dạng skkn +) Các hàm số dấu tích phân khơng phải hàm số hợp Ví dụ Biết Giá trị B C D C D A Lời giải Ta có: Chọn C Ví dụ Nếu A B Lời giải Ta có Chọn C Ví dụ Nếu A B C D Lời giải Ta có Chọn B Ví dụ Nếu A B C D Lời giải Ta có: Chọn D Ví dụ Cho Tính skkn A B C D Lời giải -Ví dụ 2, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số 2, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số Ta có: Chọn A Ví dụ Cho A  Khi 27 D 1 C B Lời giải Ta có Chọn A 10 Ví dụ Cho hàm số A P  f  x Tính liên tục đoạn  f  x  dx  C P  B P  10 D P  4 Lời giải Ta có Vậy Ví dụ Cho , Chọn A hai hàm liên tục đoạn thoả mãn: skkn , A Tính C B D -Ví dụ 6, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số 3, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số Nhận xét: Bài toán chưa thể áp dụng tính chất tích phân để tính Vì cần phải đặt ẩn phụ , , từ tính áp dụng tính chất tích phân để tính kết tốn Lời giải , Đặt Từ , ta có hệ phương trình: Do ta được: Vậy Chọn B Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn , A Tính B C Lời giải D Ta có: Chọn D skkn 2.3.2 Phương pháp đổi biến số Nhận dạng: Các hàm số tốn có đặc trưng: +) Tích phân cần tính có cận khác với tích phân giả thiết Các hàm số liên quan đến hàm số hợp, toán xuất +) đặt hàm số +)Tính tích phân cho trước đổi biến biết với hàm số biết +)Tính tích phân số cho trước đổi biến Ví dụ 10 Nếu A B Đặt hàm số với bằng: C Lời giải hàm D với Ta có: Chọn A Ví dụ 11 Cho hàm số  f  3x  1 dx  A liên tục thỏa  f  x  dx  Tính I   f  x  dx B C D Lời giải A   f  x  dx  B   f  3x  1 dx  Giả sử , t  x   dt  dx Đặt , với B Ta có: Vậy ; f  t  dt    f  t  dt  18   f  x  dx =18 1 1 7 0 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 Chọn A skkn Ví dụ 12 Cho hàm số Biết A liên tục thỏa mãn Tính tích phân B , C D Lời giải Ta có: Đặt , với ; (do hàm số tục ) liên -Ví dụ 10 tác giả tham khảo TLTK số 4, ví dụ 12 tác giả tham khảo TLTK số Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số f(x) liên tục thỏa mãn Tính A B C Nhận xét: Giả thiết tốn có dạng tích phân cần tính nên ta đặt D tổng cận Lời giải Đặt Theo Chọn D Ví dụ 14 Cho f ( x ) hàm số liên tục  thỏa mãn 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   Tính tích phân I   f ( x )dx skkn A B C D Nhận xét: Giả thiết tốn có dạng tích phân cần tính a nên ta đặt tổng cận Lời giải Đặt x   t  dx   dt 2  I    f  x   f   x   dx   xe x dx  Vậy I 2 0  I   f   t   dt    f   t   dt    f   x  dx 2 x2 e d  x2   e x  20 2  e 1 e 1 Chọn C Ví dụ 15 Cho A liên tục thỏa mãn Tính tích phân B C D Ví dụ 13, ví dụ 14 tác giả tham khảo TLTK số Lời giải Đặt Đổi cận: Khi , Khi Suy Do Ví dụ 16 Cho hàm số liên tục A Chọn B thỏa mãn Tính B C D Lời giải skkn * Xét Đặt Đổi cận Khi * Xét Đặt Đổi cận Khi Ví dụ 16 tác giả tham khảo TLTK số * Tính Đặt Đổi cận Khi Chọn D 2.3.3 Phương pháp tích phân phần Nhận dạng: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Tính , biết ; ) hàm số liên tục Ví dụ 17 Cho hàm số có đạo hàm , skkn Tính A B C Lời giải D Đặt Chọn A Ví dụ 18 Cho hàm số A thỏa mãn B Tính C Lời giải D Đặt -Ví dụ 17 tác giả tham khảo TLTK số 3, ví dụ 18 tác giả tham khảo TLTK số Chọn D Ví dụ 19 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  f   x   dx  f    0  2 , A  x f  x  dx  17  0; 2 thỏa mãn Tích phân B C  f  x  dx D Lời giải Tính: I   x f  x  dx du  f   x  dx  u  f  x      dv  xdx v  x  Đặt: 10 skkn Ta có: 2 12 2 I  x f  x    x f   x  dx  12   x f   x  dx 20 20 2 17 17 0 x f  x  dx    12  0 x f   x  dx Theo giả thiết:   x f   x  dx    f   x   x , (vì f    )  2  x f   x  dx    f   x   dx  f   x   dx  0   x f   x    f   x    dx  2 2   f x  x C    x  f  x   f  x  x 2 10 10 f  x   x3  f  2   C  3 Với Khi đó:  Vậy 10  10  1 1 f  x  dx    x   dx   x  x   3 0  12 0 Chọn A Ví dụ 20 Giả sử hàm số có đạo hàm cấp thỏa mãn f  1  f   1  f  x   x f   x   x  với x   Tính tích phân I   xf   x  dx A B C D Ví dụ 19 tác giả tham khảo TLTK số Nhận xét: Tích phân cần tính có dạng nên trước hết sử dụng phương pháp tích phân phần, q trình tính tốn xuất nên tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số Đây toán kết hợp hai phương pháp đổi biến số tích phân phần Lời giải du  f   x  dx u  f   x     x2 dv  x d x  v   Đặt 11 skkn Suy Do I   xf   x  dx  1 x2 x2 x f  x   f   x  dx    f   x  dx 0 2 2 f   x   x f   x   x  x2 f   x   x  f   x  2 Vậy 1   I     x  f   x  dx   f   x  dx 0 20  Đặt t   x suy 1 1 I    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 21 20 20   u  f  x  du  f   x  dx   dv  dx v  x  Đặt  Suy  1 1 1 I   xf  x    xf   x  dx   I    I   I  0 2  Chọn B 2.3.4 Phương pháp xác định hàm số dựa vào điều kiện cho trước toán * Để giải toán dạng này, từ điều kiện cho trước cần biến đổi để vế đạo hàm có dạng quen thuộc (tích, thương, bậc hai, ) Thường gặp dạng ví dụ sau: Ví dụ 21 Cho hàm số liên tục, có đạo hàm A B thỏa mãn điều kiện Tính C D Lời giải Từ giả thiết Mặt khác: 12 skkn Ta có: Chọn A Tổng qt: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức Phương pháp: Ta thấy Do Từ tính Suy Ví dụ 22 Cho hàm số liên tục thỏa mãn , với tích phân A B C Lời giải Tính D Ta có: Mà Ta có: Chọn C Ví dụ 22 tác giả tham khảo TLTK số Tổng qt: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức 13 skkn Phương pháp: Ta thấy Do Từ tính f (2)   Ví dụ 23 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn x   Giá trị f (1) A   B  f ( x )  x f ( x )   với C  D  11 Lời giải f ( x)  x  f ( x ) (1), suy f ( x)  với x  [1; 2] Do f ( x) hàm khơng giảm đoạn [1; 2] , ta có f ( x)  f (2)  với x  [1; 2] Từ hệ thức đề cho:  f ( x)  Chia vế hệ thức (1) cho  f ( x )  f ( x) Suy Thay  x, x   1; 2 vào (2) ta được: Chọn A Tổng qt: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức Phương pháp: Chia hai vế cho ta Suy Từ tính 14 skkn Ví dụ 23 tác giả tham khảo TLTK số Trong toán trên, sau chia vế hệ thức (1) cho Nhận xét:  f ( x)   f ( x)  f ( x)   x, x   1; 2 Ta lấy tích phân vế đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: f ( x)   f ( x)  Do 2 1 dx   xdx   1 1 df (x )       2 f ( x) f (1) f (2) f ( x)   f (1)   nên suy f (2)   Ví dụ 24 Cho hàm số liên tục, có đạo hàm A thỏa mãn điều kiện Tính B C D Nhận xét: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức Phương pháp: Nhân hai vế với ta Suy Từ ta tính Lời giải Từ giả thiết Ta nhận thấy: Nhân hai vế (1) với Thay ta được: vào (2) ta được: Chọn B Nhận thấy: Trong tốn này, thay thay vào (2) để tính 15 skkn thể: Thay vào (2) ta được: Cụ -Ví dụ 24 tác giả tham khảo TLTK số 0;1 f x Ví dụ 25 Cho hàm số   có đạo hàm liên tục đoạn   thỏa mãn f   x     x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 f  1   Tích phân  f  x  dx bằng? 23 A 15 13 B 15 C  17 15 D  15 Nhận xét: Từ giả thiết lấy tích phân từ đến hai vế, áp dụng phương pháp tích phân phần để tìm cơng thức hàm số Lời giải  f  x  Từ giả thiết:   x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  1    f   x   dx    x  1 f  x  dx    40 x  44 x  32 x   dx.    1 2 0 1 I    x  1 f  x  dx    24 x   f  x  dx Xét 0  u  f  x  du  f   x  dx    dv  24 x  dx v  x3  x       Đặt 1 0  I   x  x  f  x     x  x  f   x  dx =    x  x  f   x  dx Do đó:  1    f   x    1 0 dx    x  x  f   x  dx    x  x  dx    56 x  60 x  36 x   dx  2    f   x   x3  x  dx   f   x   x  x  f  x   x  x  c 16 skkn Mà f  1   c   f  x   x  x  1 Do  f  x  dx    x  x  1 dx  13 15 Chọn B -Ví dụ 25 tác giả tham khảo TLTK số Ví dụ 26 Cho hàm số có đạo hàm đồng biến với A Biết B , thỏa mãn Tính C D Lời giải Do đồng biến nên , Khi ta có biến đổi sau: Mà Vậy Chọn C 2.3.5 Các tập rèn luyện: - Xây dựng tập có đủ mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao - Khi giải tập sử dụng phương pháp Câu Nếu A B C D 17 skkn Câu Nếu A B Câu Biết C D nguyên hàm hàm số Câu Biết A A B C C , B C , hai hàm liên tục B Câu Cho hàm số D D thỏa: Tính A D Giá trị bằng: Câu Cho Câu Cho Khi đó: B A Biết C D , A B Câu Cho hàm số A C có đạo hàm Tính tích phân B D đồng thời thỏa mãn C D 18 skkn Câu Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tích phân A Câu 10 B Cho hàm số A C Câu 12 Cho hàm số C C liên tục Tích phân B Câu 13 Cho hàm số D thỏa mãn Khi B liên tục đoạn Tính B Câu 11 Cho A A liên tục D D thỏa mãn C D D thỏa mãn Tính tích phân A B Câu 14 Cho liên tục Tính A B C thỏa mãn C D 19 skkn Câu 15 Cho hàm số A liên tục đoạn B Câu 16 Cho hàm số D Biết B C D hàm số có đạo hàm liên tục Giá trị B A C , D B Câu 19 Cho hàm số Câu 18 Cho hàm số thỏa mãn Giá trị với C D có đạo hàm liên tục Biết trị và bằng Câu 17 Cho A C Tính có đạo hàm liên tục Khi đó A và Giá A Câu 20 Cho hàm số B C liên tục khoảng Giá trị D Biết 20 skkn A B C D ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 10 Đáp án B D A B A D A C D C Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A C B A D D A C D B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải tốn tích phân hàm ẩn Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra thử sau: Năm học Lớp 2021 -2022 12 A3 12 A8 Tổng số 44 43 Điểm trở lên Số lượng 32 26 Tỷ lệ 73% 60 % Điểm từ đến Điểm Số lượng 11 14 Số lượng Tỷ lệ 25% 33% Tỷ lệ 2% 7% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Yên Định Trong phạm vi đề tài, trình bày phương pháp giải dạng tập thường gặp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn, với mong muốn giúp học sinh có nhìn rõ ràng giải toán, tạo thêm hứng thú niềm tin cho em trình học tập Đồng thời, đề tài ý tưởng hữu ích cho thầy việc định hướng phương pháp soạn dạy cho học sinh 21 skkn Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường: Nhà trường tạo điều kiện trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện tìm tịi thực phương pháp dạy học Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Đối với tổ, nhóm chuyên môn: Tăng cường trao đổi chuyên môn, đặc biệt thành viên nhóm chun mơn tích cực chia sẻ phương pháp dạy học, phương pháp giải tập mới, hiệu để đồng nghiệp trao đổi, đánh giá, hoàn thiện vận dụng vào dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Lê Trọng Nguyên 22 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi thức Bộ giáo dục đào tạo kì thi TN THPT năm 2019, 2020, 2021 [2] Đề thi minh họa thi TN THPT Bộ giáo dục đào tạo năm 2020, 2021, 2022 [3] Đề thi thử theo cấu trúc đề thi TN THPT năm 2021, 2022 Sở, trường nước [4] Tài liệu nhóm Diễn đàn giáo viên Toán 23 skkn