Tiểu luận Ý nghĩa của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết bài toán kinh tế

ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HCM HOCHIMINH UNIVERSITY OF BANKING Mơn: Tốn cao cấp Tiểu luận: Ý nghĩa đạo hàm ứng dụng đạo hàm việc giải tốn kinh tế Nhóm 15: 1.Phan Văn Mạnh 2.Vũ Trường Giang 3.Nguyễn Văn Hưng 4.Đỗ Nguyễn Kỳ Phong Năm học: 2022-2023 Tieu luan Bảng phân công đánh giá mức độ hoàn thành nhiệm vụ ST T Họ tên MSSV Nhiệm vụ Phan Văn Mạnh 030238220125 Vũ Trường Giang 030238220043 Nguyễn Văn Hưng 030238220082 Đỗ Nguyễn Kỳ Phong 030238220187 Nội dung+Tiểu luận Nội dung+Tiểu luận Nội dung+Tiểu luận Nội dung+Tiểu luận Tieu luan Mức độ hoàn thành 100% 100% 100% 100% Ký tên Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te I.Ý nghĩa hàm số 1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm a) Tiếp tuyến đường cong phẳng Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C).Giả sử (C) đường đồ thị hàm số y=f(x) Mo(xo;f(xo)) ∈ (C) Kí hiệu M(x;f(x)) điểm di chuyển (C) Đường thẳng MoM cát tuyến (C) Nhận xét x xo M(x;f(x)) di chuyển (C) tới điểm Mo(xo;f(xo)) ngược lại Giả sử cát tuyến MoM có vị trí giới hạn, kí hiệu MoT MoT gọi tiếp tuyến Mo (C) Điểm Mo gọi tiếp điểm b) Ý nghĩa hình học đạo hàm Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b).Gọi (C) đồ thị hàm số Định lí 2: Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm xo hệ số góc tiếp tuyến MoT (C) điểm Mo(xo;f(xo)) c) Phương trình tiếp tuyến Định lí 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y=f(x) điểm Mo(xo;f(xo)) là: y-yo = f’(xo).(x-xo) yo=f(xo) Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te 2) Ý nghĩa vật lí đạo hàm a) Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s=s(t), với s=s(t) hàm số có đạo hàm.Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm to đạo hàm hàm số s=s(t) to: lim s ( t )−s ( t ) v(to)= s’(to)= t →t t−t tto  |t-to| có độ xác cao b) Cường độ tức thời Nếu điện lượng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian: Q=Q(t) (Q=Q(t) hàm số có đạo hàm) cường độ tức thời dòng điện thời điểm to đạo hàm hàm số Q=Q(t) to I= Q ( t )−Q ( t ) t−t đơn giản I(to)= Q’(to) c) Gia tốc tức thời Với đạo hàm cấp hai ta có f’’(t) gia tốc tức thời chuyển động s= f(t) thời điểm t 3) Ý nghĩa hàm số đạo hàm a) Điều kiện để hàm số cực trị Định lý sau thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục K=(xo-h;xo+h) có đạo hàm K K\Error! Bookmark not defined.h>0 Nếu f’(x)>0 khoảng (xo-h; xo) f’(x)0 với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K f’(x)0 thì: Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te f’(xo)=0, f”(xo)>0 => xo f’(xo)=0, f”(xo) xo max 3) Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f ''(x) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t II Sử dụng đạo hàm giải tốn kinh tế *Các kí hiệu hàm kinh tế Kí hiệu Ý nghĩa P Đơn giá (Price) Q Số lượng (Quantity) π Lợi nhuận (Profit) C Chi phí (Cost) D Cầu (Demand) S Cung (Supply) T Thuế (Tax) 1.Bài toán giá trị biên a) Sản lượng biên ( Marginal quantity), kí hiệu MQ Là số đo đại lượng thay đổi sản lượng lao động vốn tăng lên đơn vị Ví dụ 1: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp là: Q= f(L)= 5√ L L: số công nhân Ở mức L= 100 đơn vị lao động = 100 cơng nhân Q= 5√ 100= 50 đơn vị sản phẩm Sản phẩm biến tế lao động L= 100 là: √ 100 = f’(L)= √ L = 0,25 L=100 Điều có nghĩa là: tăng mức sử dụng lao động từ 100  101 sản lượng tăng thêm 0,25 đơn vị sản phẩm Thử xét: L 100 110 120 150 200 400 1000 MQ 0,25 0,23 0,22 0,2 0,17 0,125 0,079 *Nhận xét: MQ hàm số giảm dần, đến số lượng công nhân định đó, việc tuyển thêm cơng nhân khơng cịn hiệu quả, tăng thêm chi phí b) Sự thay đổi giá theo cầu Là số đo thay đổi giá mức sản lượng tăng lên đơn vị Ví dụ: Hàm cầu sản phẩm: P= 10- Q2 , Q sản lượng, P giá bán Sự thay đổi giá bán theo lượng cầu là: P’= -2Q Giả sử mức Q= đơn vị P’(5)= -10: Nghĩa tăng sản lượng lên đơn vị ( từ lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ c) Chi phí biên (Marginal Cost),kí hiệu MC: Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Hàm chi phí: TC = TC (Q) Chi phí biên đại lượng đo thay đổi chi phí sản lượng Q tăng lên đơn vị Ví dụ: Hàm chi phí sản phẩm cho là: TC= 0,0001Q3-0,02Q2+5Q +100 Tìm MC MC Q=50 đơn vị sản lượng? = (0.0001Q3 -0,02Q2-5Q+500)= 0,0003Q2- 0,04Q +5 Khi Q=50, MC= 3,75 Điều có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm đơn vị sản lượng( từ 50 lên 51) chi phí tăng thêm 3,75 đơn vị tiền tệ Chúng ta tính MC số mức sản lượng khác nhau: Q M C 30 40 50 60 70 80 90 10 4,0 3,8 3,7 3,6 3,6 3,7 3,8 8 12 4,5 15 5,7 18 20 0 7,5 30 20 50 60 *Nhận xét: - Chi phí biên hàm tăng -Sản lượng sản xuất lớn chi phí biên lớn d) Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu: TR= P.Q ; P: giá; Q: sản lượng Nếu: Q thị trường định, giá doanh nghiệp định, MR hay giá trị cận biên doanh thu đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Nếu: Q doanh nghiệp định, P thị trường định MR hay giá trị cận biên câu doanh thu đại lượng đo thay đổi câu doanh thu giá tăng đơn vị Ví dụ: Cho hàm chi phí C= C(Q) Giá trị biên chi phí MC(Q) đại lượng đo thay đổi chi phí C Q tăng lên đơn vị Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất máy tính là: C’= 0,0003Q2 -0,001Q +3+ Tìm giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q Giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q=70 Giải: Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C=Q.C’= 0,0003Q3 -0,001Q2 +3Q+200 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Giá trị cận biên chi phí là: MC(Q)= = 0,0009Q2- 0,002Q+ Khi Q= 70 MC(70)=7,72 Như vậy, tăng Q lên đơn vị từ 70 lên 71 chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị TÍCH PHÂN Tích phân bất định 1.1 Định nghĩa Nguyên hàm: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) tập xác định D đạo hàm F(x) f(x), tức F’(x) = f(x), ∀ x ∈D Tích phân: Tập hợp tất nguyên hàm hàm số f(x) gọi họ nguyên hàm hay tích phân bất định kí hiệu ∫ f ( x ) dx Như vậy, f(x) có nguyên hàm ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C 1.2 Các tích phân α+1 x +C , α ≠−1; ∫ x α dx= α+1 ax +C ,(00 √ a −x u' ∫ u dx=ln|u|+ C ; −1 ∫ sin axdx= a cos ax +C , a ≠ dx ∫ x =ln|x|+C ; ∫ e x dx=e x + C ; ∫ a dx= x ∫ cos xdx=sin x+C dx ∫ sin2 x =−cot x+C ; dx ∫ 1+ x =arctan x+ C ; dx x ∫ a2 + x = a arctan a +C , a>0 ∫ eax dx= a e ax + C , a ≠ Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te ∫ cos axdx= a sin ax+C , a ≠ 01.3 Các tính chất 1.∫ af ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx (a=const ) 2.∫ [ f ( x )+ g (x) ] dx=∫ f ( x ) dx+∫ g ( x ) dx 3.∫ f ' ( x ) dx=f ( x ) +C ' (∫ f ( x ) dx ) =f ( x) 1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định a) Phương pháp tích phân phần Giả sử u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv)=∫ udv +∫ vdu Suy ra: ∫ udv=uv−∫ vdu Xét tích phân: I=∫ f(x)dx Ta cần biểu diễn: ∫ f ( x ) dx=[ g ( x ) h(x)] dx=g ( x ) [ h ( x ) dx ]=udv Và áp dụng cơng thức tích phân phần với hàm số u=g ( x ) ; v=∫ h ( x ) dx Ta thường sử dụng phương pháp biểu thức dấu tích phân chứa hàm số sau dây: ln x; ax; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược Cụ thể: n kx n n Trong tích phân ∫ x e dx ;∫ x sin kx dx ;∫ x cos kx dx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn α x Trong tích phân ∫ x ln xdx ,α ≠−1 n nguyên dương, ta thường chọn u = lnnx n n Trong tích phân ∫ x arctankxdx ;∫ x arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn u=arctan kx u = arcsin kx; dv = xndx VD: a ¿ I 1=∫ ln xdx=x ln x−∫ dx=x ln x−x+ C b ¿ I 2=∫ x sin xdx Đặt u = x2, dv = sin xdx ⇒ v = −cos x ,ta được: I 2=−x cos x+2 ∫ x cos xdx Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x, ta được: I 2=−x cos x+2 ( x sin x−∫ sin xdx )=−x cos x +2 x sin x+ 2cos x+C c ¿ I3 =∫ Đặt x e x dx ( x+1)2 x u=x e ; dv= Ta được: I 3= dx −1 x ⇒v= ; du=(x +1) e dx 1+ x ( x +1) −x e x −x e x x ex x e dx = + e +C= +C ∫ x+1 x +1 x +1 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te d ¿ I 4=∫ Đặt x e x dx √ 1+ e x x √ 1+e =t ⇒ e dx x =2 dt √ 1+e x Ta có: I =2∫ [ ln ( t−1 ) + ln ( t +1 ) ] dt=¿ ( t−1 ) ln (t −1)+2 (t +1 ) ln (t +1)−4 t +C ¿ Đổi lại biến x ta có: x ∫ x e dxx =2 ( x−2 ) √ 1+e x +4 ln ( 1+√ 1+ e x )−2 x+ C √ 1+ e e ¿ I5=∫ x arcsin x √1−x2 dx xdx Đặt u = arcsin x; dv = ⇒ du = dx ; v = √ 1−x 2; ta được: √1−x √1−x 2 I 5=√ 1−x arcsin x+∫ dx=−√ 1−x arcsin x+ x+C 2 b) Phương pháp khai triển Để tính tích phân bất kì, ta cần sử dụng phương pháp thích hợp để đưa tích phân có bảng cơng thức tích phân mục 1.2 Một phương pháp đơn giản phương pháp khai triển Phương pháp dựa tính chất tuyến tính tích phân bất định ∫ [ αf ( x ) + βg (x)] dx=α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx Ta phân tích hàm số sau dấu tích phân thành tổng (hiệu) hàm số đơn giản mà đãbiết nguyên hàm chúng, số đưa bên ngồi dấu tích phân VD: ∫( ∫ ( x √ x−3 x ) dx=2∫ x dx−3 ∫ x dx = 45 x −x +C sin x + x 3− ∫ ( ) dx x4 dx=2∫ sin xdx +∫ x dx−∫ =−2cos x + −ln |x|+C x x dx 1 −1 =∫ − dx= +arctan x+C 2 x x (1+ x ) x 1+ x ) ( ) c) Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: Nếu: ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C ∫ f ( u ) du=F (u )+ C ; u = u(x) hàm số khả vi liên tục Ta kiểm tra lại cách đạo hàm hai vế theo x Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dấu tích phân g(x)dx dạng: g(x)dx = f(u(x))u’(x)dx Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te f(x) hàm số mà ta dễ dàng tìm đươhc nguyên hàm F(x) Khi tích phân cần tính trở thành: ∫ g ( x ) dx=∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x) dx=∫ f (u ( x ))du=F (u ( x ))+C (a ≠ 0) Trong trường hợp đơn giản u(x) = ax+b du = adx, ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C ta suy ∫ f ( ax+ b ) dx= a F ( ax+ b ) +C (a ≠ 0) VD: ∫ sin ax dx= ax −1 cos ax+ C( a≠ 0) a ∫ eax dx= ea +C ( a≠ 0) ∫ esin x cos xdx=∫ e sin x d ¿ ¿ dx ∫ cos4 x =∫ ¿ ¿ ¿ 1 ∫ x √1+3 x dx= ∫ √ 1+3 x d ( 1+ x )= ( √ 1+3 x ) +C I= ∫ arccos x arcsin x dx=∫ ( π2 −arcsin x )arcsin xd ¿ ¿ ¿ √1−x π I= arcsin x− arcsin3 x+C d) Phương pháp đổi biến Xét tích phân I =∫ f ( x ) dx ; f(x) hàm số liên tục Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác hàm số khác phép đổi biến cho biểu thức dấu tích phân biến ta tìm ngun hàm cách đơn giản Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp đổi biến xuôi x = φ (t) đổi biến ngược t = ψ (x)  Phép biến đổi thứ nhất: Đặt x = φ (t); φ (t) hàm số đơn điệu có đạo hàm liên tục Khi ta có: I= ∫ f (x) dx=∫ f [ φ(t) ] φ ( t ) dt Giả sử hàm số g(t) = f [ φ(t) ] φ' (t ) có nguyên hàm hàm G(t), t = h(x) hàm số ngược hàm số x =φ ( t ), ta có: I= ∫ g(t )dt=G ( t )+ C ⇒I=G [ h ( x ) ]+C '  Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ (x), ψ (x) hàm số có đạo hàm liên tục ta viết hàm f(x) = g[ψ (x)]ψ ’(x) Khi ta có: I= ∫ f (x) dx=∫ g [ ψ ( x) ] ψ ( x ) dx ' Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm hàm số G(t), ta có: CHÚ Ý: I=∫ G [ ψ ( x) ] +C Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Khi tính tích phân bất định phương pháp đổi biến số, sau tìm nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số biến số cũ VD: a ¿ I 1=∫ √ x dx 2−x ( ) π Đặt x = 2sin2t, t∈ , => dx = sin t cos tdt √ √ √ √ √ x sin t = =¿ tan t ¿ 2−x 2(1−sin t) x ⇒ I 1=∫ dx=4 ∫ sin tdt=2 t −sin 2t +C 2−x Đổi lại biến x, với t = arcsin x , ta thu được: x x I 1=∫ dx=2 arcsin − √ x−x +C 2−x b ¿ I 2=∫ e2 x dx e x+ Đặt ex = t => exdx = dt, ta có: I 2=∫ Đổi lại biến x, ta được: c ¿ I3 =∫ √ ( ) t dt=∫ 1− dt =t−ln |t +1|+C t+1 t +1 x x I 2=e −ln(¿ e +1)+ C ¿ dx √ 1+4 x Đặt t = 2-x => dt = -2-xln2dx, ta có: I 3=∫ −dt t ln √1+t −2 =¿− Đổi lại biến x, ta có: I 3= dt −1 = ln (t+ √ 1+t ¿)+C ¿ ¿ ∫ ln2 √ 1+t ln −1 −x −x ln (2 + √ 1+4 ¿ )+C ¿ ln 2 Tích phân xác định 2.1 Cơng thức Newton – Leibniz b | ∫ f ( x ) dx=F ( x ) ba =F ( b ) −F(a) a Trong F(x) nguyên hàm f(x) VD: ∫ ( x 2−4 x+ ) dx 10 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Ta tính: ∫ ( x 2−4 x+ ) dx=∫ ( x 2) dx −∫ ( x ) dx+∫ ( ) dx=x −2 x +2 x Thế lại giới hạn: | x −2 x +2 x 3 ¿ −2 + 2.1−( −2.0+2.0 ) =1 2.2 Các tính chất b b a b a 1.∫ cf (x )dx=c ∫ f ( x)dx b b 2.∫ [f ( x ) + g ( x ) ] dx=∫ f (x )dx +∫ g( x )dx a b c a a a a b 3.∫ f ( x )dx=∫ f ( x ) dx+∫ f ( x )dx c a a −a Nếu f(x) hàm số chẵn (nghĩa f(-x) = f(x)) ∫ f ( x) dx=2 ∫ f (x) dx a Nếu f(x) hàm số lẻ (nghĩa f(-x) = - f(x)) ∫ f ( x) dx=0 −a VD: I 1=∫ −1 I 2=¿ ∫ −2 | dx dx π =2 ∫ =2 arctan x 1= 2 1+ x 1+ x x dx =0 ¿ 1+ x 3 −1 −1 I 3=∫ | x|dx =∫ |x|dx+∫ |x| dx=−∫ xdx +∫ xdx=5 −1 2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định a) Phương pháp tích phân phần b | ∫ udv=uv ba −vdu a Các dạng áp dụng cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định VD: e I =∫ x ln xdx x2 dx Đặt u = lnx, dv = xdx => du = x ; v = , ta có: I= | e | | x2 x2 x2 e e e2 +1 ln x e − ∫ xdx= ln x e − e = − + = 2 21 4 b) Phương pháp đổi biến số b β a α ∫ f ( x ) dx=∫ f [ x ( t ) ] x (t) dt 11 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te α , β cận tích phân xác định theo biến số t Các bước thực hiện:  Chọn biến số mới, tính vi phân  Đổi cận tích phân theo biến số  Viết tích phân ban đầu theo biến số tích phân VD: π I =∫ sin x dx Đặt Cos x = u => -sin x dx = du, ta có: I =∫ ¿ ¿ ¿ Ứng dụng tích phân 3.1 Ứng dụng kinh tế a) Xác định quỹ vốn theo lượng đầu tư Giả sử việc đầu tư tiến hành liên tục theo thời gian K = K(t) quỹ vốn thời điểm t (là biến thời gian) I = I(t) lượng đầu tư thời điểm t (0 ≤ t) Khi ta có: K ( t )=∫ I (t ) dt Ở đây, số C tích phân vế phải xác định nhờ quỹ vốn ban đầu K(0) =K0 VD: Giả lượng dầu tư thời điểm t cho I = I(t) = 180t0,8, t ≥ Hãy xác định quỹ vón biết vốn ban đầu 200 Giải: Quỹ vốn xác định K= K ( t )=∫ I (t ) dt=∫ 180 t dt=100 t +C 0,8 1,8 Vốn ban đầu K(0) = C = 200 nên K = 100t1,8 + 200 b) Xác định tổng theo giá trị cận biên Giả sử biến số kinh tế mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí C, tổng doanh thu R, tổng lợi nhuận π ,…) Khi biết hàm giá trị cận biên (chi phí cận biên, doanh thu cận biên, lợi nhuận cận biên,…) dễ dàng tính hàm tổng giá trị cách lấy tích phân bất định VD: Giả sử chi phí cận biên doanh nghiệp mức sản lượng Q cho MC = 30 – 40Q + 90Q2 Hãy xác định tổng chi phí TC chi phí khả biến VC theo Q, biết chi phí cố định VC = TC – FC (FC = 100) Giải: TC = TC(Q) = ∫ MCdQ =∫ ( 30−40 Q+ Q2 ) dQ=30 Q−20 Q2 +3 Q3+ C Vì FC = 100 = TC(0) = C nên C = 100 Tức TC =100 + 30Q – 20Q2 + 30Q3 Chi phí khả biến: VC = TC – FC =30Q – 20Q2 + 30Q3 12 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te c) Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất Giả sử hàm cung hàm cầu loại hàng hóa theo giá P cho Qs = Qs(P) Qd = Qd(P) Khi tìm giá P theo lượng cung, cầu ta hàm cung ngược P = P(Qs) hàm cầu ngược P = P(Qd) Giải phương trình cân Qs = Qd ta xác định điểm cân (P0, Q0) Khi thặng dư người tiêu dùng CS thặng dư nhà sản xuất PS xác định tích phân xác định theo công thức dây: VD: Biết P−1 P−1 hàm cung cầu loại hàng hóa cho Qs = √ , Qd = √ , Hãy xác định thặng dư người tiêu dùng nhà sản xuất hàng hóa Giải: Các hàm cung cầu ngược cho P = (Qs + 1)2, P = 113 – Qd2 Điểm cân thị trường cho phương trình Qs = Qd, tức Qs = Qd ⇔ √ P−1=√ 113−P ⇔ ( P0 ,Q0 ) =(64 ,7) Thặng dư người tiêu dùng là: Thặng dư nhà sản xuất: 3.2 Ứng dụng tính diện tích Dạng 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b b S=∫ |f (x )|dx a Các dạng thường gặp 13 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục hoành, hai đường thẳng x = x = Giải: S=∫ |x −1|dx Xét hàm số f(x) = x – đoạn [0; 2] ta có x3 – = ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) = ⇔x=1 Bảng xét dấu: x y’ Khi đó: - + 2 S=∫ |x −1|dx+∫ |x −1|dx=∫ (1−x ) dx+∫ (x −1) dx ( x ¿ x− )| ( )| + x −x = Dạng 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x), g(x) liên tục [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b b S=∫ |f ( x )−g(x )| dx a Các dạng thường gặp 14 Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu luan Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te Tieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.teTieu.luan.Y.nghia.cua.dao.ham.va.ung.dung.cua.dao.ham.trong.viec.giai.quyet.bai.toan.kinh.te