NỘI DUNG BÀI 4 GỒM CÁC PHẦN 4.1. Các khái niệm về hàm nhiều biến 4.2. Độ co giãn của cầu 4.3. Tối ưu hóa các hàm kinh tế 4.1. Hàm nhiều biến • Định nghĩa hàm hai biến • Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến • Công thức tính giá trị gần đúng của hàm hai biến 4.1. Hàm nhiều biến 4.1.1. Định nghĩa hàm hai biến Hàm số (hs) hai biến số f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi cặp số thực (x,y) ∈ D ⊂
CHƯƠNG 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN NỘI DUNG BÀI GỒM CÁC PHẦN 4.1 Các khái niệm hàm nhiều biến 4.2 Độ co giãn cầu 4.3 Tối ưu hóa hàm kinh tế 4.1 Hàm nhiều biến • Định nghĩa hàm hai biến • Đạo hàm riêng hàm nhiều biến • Cơng thức tính giá trị gần hàm hai biến 4.1 Hàm nhiều biến 4.1.1 Định nghĩa hàm hai biến Hàm số (h/s) hai biến số f quy tắc cho ứng với cặp số thực (x,y) ∈ D ⊂ 𝑅2 có tương ứng giá trị thực z ∈ R kí hiệu z = f(x,y) Tập D gọi tập xác định hàm số Tập tất giá trị z nhận gọi tập giá trị h/s Các biến x, y gọi biến độc lập hàm số ,z gọi biến phụ thuộc (z gọi hàm số) Ví dụ: Ta có hàm hai biến sau 1) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 + 4𝑦 + 2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − 𝑦 + ln 𝑥 + 𝑦 ; 4)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 cos 𝑥 + 𝑦 3) 𝑧 = 𝑥 +𝑦 −5𝑥𝑦 𝑥−𝑦 5) Hàm sản xuất Cobb-Douglas 𝑄 = 𝑎𝐿𝛼 𝐾𝛽 (a, 𝛼, 𝛽 số dương; L, K biến độc lập, Q biến phụ thuộc) • Tập xác định hàm hai biến: TXĐ hàm nhiều biến nói chung hàm hai biến nói riêng tập hợp phẳng nằm mp (xoy) Ví dụ Tìm tập xác định hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − 𝑦 Giải: HS xác định − 𝑥 − 𝑦 ≥ ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ Vậy TXĐ 𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 + 𝑦 ≤ D hình trịn tâm O(0,0), bán kính R = Ví dụ Tìm TXĐ hàm số 𝑥+𝑦+1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥−1 Lời giải: HS xác định 𝑥 + 𝑦 + ≥ 0, 𝑣à 𝑥 ≠ ⟹ 𝑥 + 𝑦 ≥ −1 𝑣à 𝑥 ≠ Vậy TXĐ 𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 + 𝑦 ≥ −1 𝑣à 𝑥 ≠ Vậy D nửa mặt phẳng phía đường thẳng x + y = ( mp chứa điểm O(0,0)), trừ điểm đường thẳng x = • Đồ thị hàm nhiều biến: Đồ thị hàm nhiều biến nói chung mặt cong khơng gian Ví dụ: Xét hàm số 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 Ta có đẳng thức tương đương với 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 , 𝑧 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 32 , 𝑧 ≥ Do đồ thị h/s nửa mặt cầu tâm O(0,0,0), bán kính R = Nằm phía mp (xoy) , Hình b) 4.1.2 Đạo hàm riêng a) Định nghĩa: Cho hàm hai biến z = f(x,y) Ta biết giá trị z phụ thuộc vào giá trị x y Sự thay đổi biến x biến y dẫn đến thay đổi z Nghiên cứu tốc độ thay đổi z biến thay đổi dẫn đến khái niệm đạo hàm riêng Vì hàm có hai biến số nên ta có hai đạo hàm riêng tương ứng với hai biến khác 𝜕𝑍 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦) lim ∆𝑥 ∆𝑥→0 - Đạo hàm riêng f theo x, kí hiệu định nghĩa ( với y cố định) 𝜕𝑓 bởi: 𝜕𝑥 = 𝑓𝑥′ - Đạo hàm riêng theo y: Ký hiệu 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑓 𝑥,𝑦+∆𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦) lim ∆𝑦 ∆𝑦→0 𝜕𝑧 𝜕𝑓 ; ; 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑓𝑦′ (x cố định) Chú ý: Từ định nghĩa ta có, để tính đạo hàm riêng hàm f(x,y) theo x ta coi y số tính tính đạo hàm hàm biến Tương tự, tính đạo hàm riêng hàm f(x,y) theo y, ta coi x số tính tốn tính cho hàm số biến số y VD 1: Tính đạo hàm riêng h/s 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 2𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 𝑓𝑥′ = 3𝑥 + 2𝑥𝑦 + 0; = 𝑓𝑦′ = + 3𝑥 𝑦 − 4𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 VD 2: Tính đạo hàm riêng h/s (HV tự tính ?) 𝑧 = 𝑥 − 3𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑒𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) b) Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số z = f(x,y) 𝜕𝑓 𝜕𝑓 - Các đhr , gọi đhr cấp hàm f đạo hàm riêng 𝜕𝑥 𝜕𝑦 cấp f theo x y nói chung hàm hai biến số - Gọi đhr đhr cấp đhr cấp hai hàm f Có ĐHR cấp hàm f, kí hiệu sau: 𝜕2 𝑓 𝜕 𝜕𝑓 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 𝜕 = 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 𝜕 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥 ′′ = (𝑓𝑥′ )′𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓𝑥′′2 𝜕𝑓 ′′ = (𝑓𝑦′ )′𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑓 ′′ = (𝑓𝑥′ )′𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑓 ′′ = (𝑓𝑦′ )′𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 𝜕𝑦 4.3.2 Tối ưu hóa hàm kinh tế • Tối ưu không ràng buộc cách giải • Tối ưu có ràng buộc phương pháp giải - Phương pháp - Phương pháp nhân tử Lagrange 4.3.2 Tối ưu hóa hàm kinh tế 4.3.2.1.Tối ưu khơng ràng buộc Tối ưu khơng ràng buộc tốn tối ưu (tìm max, min) hàm nhiều biến biến không bị ràng buộc điều kiện cho trước Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm G1 G2 bán với giá 1000 USD/1 sản phẩm G1 800 USD/1 sản phẩm G2 Tổng chi phí sản xuất sản phẩm là:𝑇𝐶 = 2𝑄12 + 2𝑄1 𝑄2 + 𝑄22 , Q1 Q2 số lượng sản phẩm G1 G2 Doanh nghiệp cần sản xuất số lượng sản phẩm loại để đạt cực đại lợi nhuận? Tính giá trị lợi nhuận đó? Lời giải: Tổng doanh thu doanh nghiệp thu bán Q1 sản phẩm G1 với giá 1000 USD/1 sản phẩm Q2 sản phẩm G2 với giá 800 USD/1 sản phẩm TR = 𝑇𝑅1 + 𝑇𝑅2 =1000Q1 + 800Q2 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 1000𝑄1 + 800𝑄2 − (2𝑄12 + 2𝑄1 𝑄2 + 𝑄2 ) 𝜋 = 1000𝑄1 + 800𝑄2 − 2𝑄12 − 2𝑄1 𝑄2 − 𝑄2 Ta tìm Q1 Q2 để hàm 𝜋 đạt cực đại Bước 1: (Tìm điểm dừng) Ta có đạo hàm riêng cấp một: 𝜕𝜋 = 1000 − 4𝑄1 − 2𝑄2 = 𝜕𝑄1 𝑄1 = 100 ⟺ 𝑄2 = 300 𝜕𝜋 = 800 − 2𝑄1 − 2𝑄2 = 𝜕𝑄2 Bước 2: Xét cực trị điểm dừng Tính đạo hàm riêng cấp hai: 𝜕2 𝜋 𝜕𝑄12 = 𝜋𝑄′′2 = 𝜕2 𝜋 −4; 𝜕𝑄1 𝜕𝑄2 = 𝜋𝑄′′1𝑄2 = −2; 𝜕2 𝜋 𝜕𝑄22 = 𝜋𝑄′′2 = −2 Do (Q1,Q2)=(100,300); A = - 4; B = - 2; C = - Khi B2 – AC =4 – = -4 < A = - < nên hàm đạt CĐ 𝜋𝑚𝑎𝑥 = 1000.100 + 800.300 – 2.1002 – 2.100.300 – 3002 = 170000 USD 4.3.2.2 Tối ưu có ràng buộc Trong mục trước, nghiên cứu cách tìm cực trị hàm số hai biến số z = f(x,y), biến x y nhận giá trị Tuy nhiên nhiều trường hợp thực tế biến cần thỏa mãn điều kiện Chẳng hạn, doanh nghiệp muốn cực đại suất với hàm sản xuất Q = F(K,L), biến nguồn vốn K biến lao động L phải thỏa mãn điều kiện chi phí Cụ thể, ta gọi 𝑃𝐾 𝑃𝐿 chi phí cho đơn vị vốn đơn vị lao động Khi chi phí cho K đơn vị vốn L đơn vị lao động K𝑃𝐾 + L𝑃𝐿 Giả sử doanh nghiệp có lượng tiền cố định M cho vốn lao động, biến K L phải thỏa mãn phương trình K𝑃𝐾 + L𝑃𝐿 = M Do đó, tốn trở thành tìm giá trị cực đại hàm sản xuất Q = f(K,L) với điều kiện chi phí K𝑃𝐾 + L𝑃𝐿 = M Người ta gọi toán toán tối ưu có rang buộc a) Định nghĩa: tốn tối ưu có ràng buộc tốn tìm CĐ (max) CT (min) hàm mục tiêu z = f(x,y) với ràng buộc 𝜑(x,y) = M max(min)f x, y (1) Ta viết toán là: 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑀 (2) b)Phương pháp giải:( hai phương pháp) - Phương pháp - Phương pháp nhân tử Lagrange 1- Phương pháp Phương pháp đơn giản để giải toán phương pháp Tức chuyển toán cực tri có ràng buộc hàm hai biến số tốn biến số sau áp dụng kỹ thuật tối ưu hàm số biến để giải Ví dụ Chi phí cho đơn vị vốn lao động doanh nghiệp triệu VNĐ triệu VND Nếu hàm sản xuất cho Q = 4KL + 𝐿2 , tìm K L để suất doanh nghiệp đạt giá trị lớn biết chi phí đầu vào doanh nghiệp cố định mức 105 triệu VND Lời giải: Vì chi phí cho đơn vị vốn lao động triệu VND triệu VND, nên doanh nghiệp sử dụng K đơn vị vốn L đơn vị lao động, chi phí phải bỏ K + 2L Do chi phí 105 triệu VND nên ta có ràng buộc: K + 2L = 105 𝑚𝑎𝑥𝑄 𝐾, 𝐿 = 4𝐾𝐿 + 𝐿2 (1) Bài toán tối ưu cần giải là: 𝑣đ𝑘: 𝐾 + 2𝐿 = 105 (2) Từ ràng buộc (2) suy K = 105 - 2L Thế K vào hàm mục tiêu (1) ta được: Q = 4L(105 - 2L) + 𝐿2 = 420L - 7𝐿2 Vậy là, ta chuyển việc tìm max hàm hai biến số tìm max hàm biến số Q = 420L - 7𝐿2 : 𝑑𝑄 Bước 1: Q’(L) = = 420 − 14𝐿 = ⇔ L = 30 Ta có điểm 𝑑𝐿 dừng L = 30 𝑑2 𝑄 Bước 2: Vì đạo hàm bậc hai = -14< nên điểm dừng L = 30 𝑑𝐿 điểm cực đại Giá trị cực đại là: Q = 420(30) - 7(70)2 = 6300 Tại L = 30, ta có K = 105 - 2L = 105 - 2(30) = 45 Vậy với 30 đơn vị lao động 45 đơn vị vốn doanh nghiệp đạt suất cực đại 6300 Ví dụ Một nhà máy có hàm sản xuất Q = 𝐾𝐿 Chi phí cho đơn vị vốn lao động triệu VND Tìm K L để cực tiểu hóa tổng chi phí đầu vào biết nhà máy phải sản xuất 160 sản phẩm Lời giải: (HV đọc TL) - Phương pháp nhân tử Lagrange Với ví dụ phương pháp đơn giản ta dễ dàng biểu diễn biến số qua biến số Tuy nhiên, ràng buộc toán phức tạp hơn, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange Xét tốn tối ưu ràng buộc sau: 𝑇ì𝑚 min(max)𝑓(𝑥, 𝑦) Bài toán 𝑉ớ𝑖 đ𝑘 𝜑 𝑥, 𝑦 = Các bước phương pháp nhân tử Lagrange: Bước 1: Lập hàm Lagrange: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆𝜑 𝑥, 𝑦 Bước 2: Giải hệ tìm ba ẩn số x, y 𝜆 sau để tìm điểm dừng hàm Lagrange: 𝜕𝐹 =0 𝜕𝑥 𝜕𝐹 =0 𝜕𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 = Bước 3: Xét dấu vi phân cấp hàm F ′′ ′′ ′′ 𝑑2 F= 𝐹𝑥𝑥 𝑑𝑥 + 2𝐹𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐹𝑦𝑦 𝑑𝑦 Với x, y, 𝜆 tìm - Nếu d2F > f(x,y) đạt cực tiểu - Nếu d2F < f(x,y) đạt cực đại - Nếu d2F = chưa kết luận được, xét thêm Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm G1 G2 với tổng chi phí TC = 10Q1 + Q1Q2 + 10Q2, Q1 Q2 số sản phẩm G1 G2 Gọi P1 P2 đơn giá cho sản phẩm G1 G2 P1 = 50 - Q1 + Q2 P2 = 30 + 2Q1 - Q2 a/ Tìm cực đại lợi nhuận biết tổng số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất 15 b/ Tính giá trị lợi nhuận tối ưu tổng số sản phẩm sản xuất doanh nghiệp tăng thêm đơn vị Lời giải: a/ Ta có doanh thu từ việc bán sản phẩm G1 G2 là: Do đó, tổng doanh thu doanh nghiệp Hàm lợi nhuận là: Tổng số sản phẩm 15 nên ta có ràng buộc 𝑄1 + 𝑄2 = 15 Mơ hình tối ưu tốn là: 𝑇ì𝑚 max 𝜋 = 40𝑄1 + 20𝑄2 + 2𝑄1 𝑄2 − 𝑄12 − 𝑄22 𝑉ớ𝑖 đ𝑘𝜑 𝑄1 , 𝑄2 = 𝑄1 + 𝑄2 −15= Giải: Bước 1: Lập hàm Lagrange 𝐹 𝑄1 , 𝑄2 , 𝜆 = 40𝑄1 + 20𝑄2 + 2𝑄1 𝑄2 − 𝑄12 − 𝑄22 + 𝜆(𝑄1 + 𝑄2 − 15) 𝐹𝑄′ = 40 + 2𝑄2 − 2𝑄1 + 𝜆 = Bước 2: Giải hệ pt 𝐹𝑄′ = ⟺ 20 + 2𝑄1 − 2𝑄2 + 𝜆 = ⟺ 𝑄1 + 𝑄2 = 15 𝜑 𝑄1 , 𝑄2 = 𝑄1 , 𝑄2 , 𝜆 =(10,5,−30) Bước 3: Xét dấu 𝑑2 𝐹 𝑄1 , 𝑄2 , 𝜆 =(10,5,-30) 𝐹𝑄′′2 = −2; 𝐹𝑄′′2 = −2; 𝐹𝑄′′ 𝑄 = 𝑑2 𝐹 = 𝐹𝑄′′2 𝑑𝑄12 2 + 2𝐹𝑄′′1 𝑄2 𝑑𝑄1 𝑑𝑄2 + 𝐹𝑄′′2 𝑑𝑄22 =-2(𝑑𝑄1 − 𝑑𝑄2 )2 < ⟹ h/s đạt CĐ 𝑄1 , 𝑄2 , 𝜆 =(10,5,-30) Π𝑚𝑎𝑥 = 𝜋 10,5 = 475 Xét dấu 𝑑2 𝐹 𝑡ạ𝑖 𝑄1 = 10, 𝑄2 = Ta có 𝑑2 𝐹 < 𝑛ê𝑛 ℎà𝑚 đạ𝑡 𝐶Đ b/ Khi tổng số lượng sản phẩm tăng thêm đơn vị, tức Q1 + Q2 = 16 Vậy là, ta làm lặp lại bước tính toán tương tự phần a) với ràng buộc Tuy nhiên, giá trị 𝜆 cho ta thông tin hữu ích Cụ thể, xét trường hợp tổng quát: 𝐹(𝑥,𝑦,𝜆,M)=𝑓(𝑥,𝑦)+ 𝜆(M - 𝜑(𝑥,𝑦)) Nếu coi hàm số hàm có bốn biến số kể biến số M, ta có 𝜕𝐹 𝜕𝑀 =𝜆 Vậy là, giá trị 𝜆 khơng có ý nghĩa đơn mặt tốn học mà cịn có ý nghĩa kinh tế Nhân tử 𝜆 giá trị thay đổi hàm Lagrange F M tăng đơn vị Thêm nữa, ràng buộc thỏa mãn, tức 𝜑(x,y) = M, hàm Lagrange F hàm mục tiêu f(x,y) Như vậy, không cần làm lại phần a) ta kết luận, giá trị lợi nhuận tăng thêm lượng 𝜆 = 30 đơn vị, π = 475 + 30 = 505