2021-B2- Logic-Tap Hop-Anh Xa.pdf

スライド 1 Chương 1 Kiến thức cơ bản tổ hợp, Logic mệnh đề, Tập hợp, và Ánh xạ  Bài toán tổ hợp  Logic mệnh đề  Logic vị từ và lượng từ  Một số ứng dụng trong tin học  Lý thuyết tập hợp và ứng dụ[.]

Chương Kiến thức tổ hợp, Logic mệnh đề, Tập hợp, Ánh xạ Nội dung       Bài toán tổ hợp Logic mệnh đề Logic vị từ lượng từ Một số ứng dụng tin học Lý thuyết tập hợp ứng dụng Ánh xạ Lí thuyết tổ hợp   Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu xếp phần tử tập hữu hạn phân bố phần tử vào tập hữu hạn Mỗi cách xếp phân bố gọi cấu hình tổ hợp Có thể nói vắn tắt: Tổ hợp lý thuyết tập hữu hạn Bài toán tổ hợp  Trong tài liệu tổ hợp, thường gặp dạng toán đây: Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem) Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial optimization Problem) Bài toán đếm – Counting Problem    Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình thoả mãn điều kiện cho trước?" Phương pháp đếm thường dựa vào số nguyên lý số kết đếm cấu hình đơn giản Bài tốn đếm áp dụng cách có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh tính xác suất kiện, tính độ phức tạp thuật toán, Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem)    Khác với toán đếm, toán tồn tổ hợp cần trả lời câu hỏi: “Tồn hay cấu hình tổ hợp thoả mãn tính chất cho?” Rõ ràng đếm số lượng cấu hình tổ hợp thoả mãn tính chất cho ta giải toán tồn tương ứng! Có thể coi tốn tồn trường hợp riêng tốn đếm khơng? Ví dụ  Bài toán phủ bàn cờ quốc tế quân domino: “Cho bàn cờ quốc tế kích thước 88 bị đục hai góc đối diện domino, quân phủ kín bàn cờ Hỏi phủ kín bàn cờ cho 31 quân domino?” Bàn cờ quốc tế quân domino Bàn cờ quốc tế quân domino Có thể phủ bàn cờ 31 quân domino?    Bàn cờ cịn 62 31 qn phủ kín 62 Về diện tích phủ Biểu diễn tập hợp xâu nhị phân   Đối với tập vũ trụ U = { x1, x2, …, xn } gồm không nhiều phần tử Ta sử dụng biểu diễn tập SU xâu nhị phân b1b2…bn bi=1  xiS Ví dụ U = {1, ,11} Xét tập S, T  U     S = {2,3,5,7,11}  01101010001 T = {1,2,4,11}  11010000001 Trong cách biểu diễn phép toán tập hợp , , thực nhờ phép toán logic OR, AND, NOT với bít! Ví dụ: S  T = 01101010001  11010000001 = 11111010001 Phân hoạch  Giả sử X1, X2, , Xm tập X Ta nói X1, X2, , Xm tạo thành phân hoạch X (hoặc X phân hoạch thành tập X1, X2, , Xm ) nếu:  X = X1  X2   Xm ;  Xi  Xj = , i j Nội dung       Bài toán tổ hợp Logic mệnh đề Logic vị từ lượng từ Một số ứng dụng tin học Lý thuyết tập hợp ứng dụng Ánh xạ Ánh xạ   Ta nói f ánh xạ từ tập X vào tập Y đặt tương ứng phần tử xX với phần tử yY  Ký hiệu: f: X Y y = f(x)  x gọi gốc, y gọi ảnh Trong giáo trình giải tích làm quen với hàm số thực f đặt tương ứng số thực xR với giá trị thực y = f(x) Xác định ánh xạ   Cho hai tập hữu hạn X Y Để xác định ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) ta sử dụng cách sau:  Bảng giá trị đầy đủ  Sơ đồ ánh xạ  Ma trận ánh xạ Xác định ánh xạ: Bảng giá trị đầy đủ  Giả sử   X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn}, Một ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) xác định bảng giá trị đầy đủ sau x y=f(x) x1 f(x1) x2 f(x2) xm f(xm) Như ánh xạ từ tập m phần tử X vào tập n phần tử Y hoàn toàn xác định ảnh (f(x1), f(x2), , f(xm)) Sơ đồ ánh xạ  Ánh xạ xác định sơ đồ sau: f x• X f • y Y X • • • • • Y • • • • Sơ đồ y x Đồ thị hàm số Ma trận ánh xạ   Giả sử  X = {x1, x2, , xm},  Y = {y1, y2, , yn}, Một ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) xác định ma trận Af = {aij} kích thước mn với phần tử xác định theo qui tắc ánh xạ Ví dụ    X = { Thắng, Mạnh, Hùng, Cường }; Y = { Mai, Mơ, Mận, Me, Muỗm } Xét ánh xạ f từ X vào Y xác định bảng giá trị đầy đủ sau: x Thắng Mạnh Hùng Cường y=f(x) Mai Mai Mận Muỗm Ánh xạ nói cho sơ đồ ma trận Mai M¬ Mận Me Muỗm sau: Thng Mnh Hựng Cng Mai Mơ Mận A f Me Muỗm       1 0 0 0 0 0 0  Thắng 0  Mạnh  Hùng   Cường Một số loại ánh xạ hay dùng  Xét loại ánh xạ hay dùng      Đơn ánh Toàn ánh Song ánh Giả sử X, Y tập hợp Đơn ánh: Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh (injection) đặt tương ứng hai phần tử khác X với hai phần tử khác Y x1, x2  X, x1  x2 f(x1)  f(x2) Một số loại ánh xạ hay dùng  Toàn ánh: Ánh xạ f từ X vào Y gọi toàn ánh (surjection) phần tử Y ảnh phần tử X qua ánh xạ f yY,  xX: y = f(x)  Song ánh: Ánh xạ f từ X vào Y gọi song ánh (bijection, one to one) hay gọi tương ứng 11(one-to-one correspondence), sánh, vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ  Sơ đồ số ánh xạ: • • • • • • • • • Đơn ánh • • • • • • • • • • • • • • • • • Toàn ánh Song ánh Ứng dụng   Xét toán: Đếm số phần tử tập X Giả sử Y tập mà số phần tử biết: ny = |Y| Giả sử ta xây dựng ánh xạ f từ X vào Y Khi  Nếu f đơn ánh, ta có |X|  ny  Nếu f tồn ánh, ta có |X|  ny  Nếu f song ánh, ta có |X| = ny Trong tình thứ ba ta giải toán đếm đặt ra, nhờ xây dựng song ánh từ tập cấu hình tổ hợp cần đếm (tập X) vào tập cấu hình tổ hợp mà ta biết trước số phần tử (tập Y) Ví dụ  Hỏi có số có chữ số mà chữ số đứng sau lại lớn chữ số đứng trước? Giải: Mỗi số cần đếm tương ứng với cách chọn chữ số từ chữ số 1, 2, , 9, ngược lại cách lấy chữ số từ 1, 2, , sau xếp theo thứ tự tăng dần cho ta số cần đếm Vậy số lượng số cần đếm C(9, 5)   Lập luận tương tự ta có số lượng số cần đếm số cách loại bỏ chữ số từ dãy Vậy số lượng số cần đếm C(9, 4) Như lập luận tổ hợp ta chứng minh C(9,5) = C(9,4) Ask questions! Toán rời rạc