(LUẬN văn THẠC sĩ) về những bài toán tổ hợp và xác suất 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ “VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Từ tận đáy lịng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc q trình tìm tịi, nghiên cứu chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thanh Tân TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Chương 1: Những toán đếm 1.1 1.2 2.2 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Giai thừa hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Tổ hợp 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm 1.2.2 Các toán đếm Chương 2: Những toán xác suất 2.1 23 Cơ sở lý thuyết xác suất 23 2.1.1 Một số định nghĩa xác suất 23 2.1.2 Quan hệ biến cố 26 2.1.3 Các cơng thức tính xác suất 28 Một số toán xác suất 31 2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31 2.2.2 Tính xác suất cơng thức cộng nhân xác suất 37 2.2.3 Tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện 44 2.2.4 Tính xác suất cơng thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất công thức Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học 62 2.2.7 Các toán biến ngẫu nhiên rời rạc 67 Kết luận 72 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo 73 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Tổ hợp xác suất lĩnh vực tốn học nghiên cứu từ sớm, khai thác ứng dụng nhiều vào đời sống sản xuất Hiện giáo dục phổ thông, tổ hợp xác suất nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng, chí kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Mặc dù nội dung khơng khó học sinh thường xuyên gặp khó khăn giải toán này, toán liên quan đến xác suất Luận văn chủ yếu tập trung vào dạng tốn xác suất, từ giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc toán liên quan đến xác suất Luận văn chia thành hai chương Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất Tất tốn tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Chương Những toán đếm Chương ta nhắc lại số lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, số nguyên lý đếm tập có liên quan chương trình phổ thơng 1.1 1.1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B , có n cách thực phương án A, m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách Tổng qt, giả sử mơt cơng việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 , , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Số phần tử tập hữu hạn A kí hiệu |A| Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn, đơi khơng giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | hay n n [ X |Ak | Ak (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Gọi Bi biến cố “sản phẩm lấy sau thuộc lô i”, i = 1, 2, {B1 , B2 , B3 } hệ biến cố đầy đủ Gọi A biến cố “sản phẩm lấy sau tốt” P (A) = P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + P (B3 )P (A|B3 ) Ta có P (B1 ) = P (B2 ) = P (B3 ) = ; P (A|B1 ) = 0, 9; P (A|B2 ) = 0, 8; P (A|B3 ) = 0, 7; Suy P (A) = (0, + 0, + 9, 7) = 0, Lưu ý Ta giải toán với hệ biến cố đầy đủ bước (gồm biến cố) việc tính tốn gặp khó khăn Tơi xin đưa cách giải theo định nghĩa xác suất cổ điển, điều phù hợp cho học sinh trung học phổ thơng Khơng tính tổng quát, ta giả sử lô 1, lô 2, lơ có 10 sản phẩm có 9; 8; sản phẩm tốt Chọn sản phẩm lơ có sản phẩm có 10 · 10 · 10 = 1000 cách Lấy sản phẩm số sản phẩm có cách Vậy số cách chọn sản phẩm cuối · 1000 = 3000 cách, tức không gian mẫu gồm 3000 phần tử Bây ta tìm số cách chọn sản phẩm cuối tốt TH Ba sản phẩm lấy tốt có · · = 504 cách Ứng cách có cách chọn sản phẩm tốt Vậy trường hợp có 504 · = 1512 (cách) TH Có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu có · · + · · + · · = 398 (cách) Ứng với cách có cách chọn sản phẩm tốt Vậy trường hợp có 398 · = 796 (cách) TH Có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu có · · + · · + · · = 92 (cách) Ứng với cách có cách chọn sản phẩm tốt Vậy trường hợp có 92 · = 92 (cách) 53 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Vậy xác suất cần tìm P = 1512 + 796 + 92 = = 0, 3000 Bài tập 2.34 Một kiện hàng có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Người ta lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm để trưng bày Sau có khách hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm số sản phẩm lại kiện hàng để mua Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm tốt Lời giải Phép thử gồm bước Bước Lấy sản phẩm từ 10 sản phẩm trưng bày Bước Khách hàng mua sản phẩm số sản phẩm lại Gọi B biến cố “lấy sẩn phẩm trưng bày tốt” Khi {B, B} hệ biến cố đầy đủ A biến cố “khách hàng mua sản phẩm tốt”, P (A) = P (B)P (A|B) + P (B)P (A|B) Có P (B) = C2 C2 , P (B) = , P (A|B) = 62 , P (A|B) = 72 Cho nên 10 10 C9 C9 P (A) = 15 Nhận xét Đây cách giải thông thường, túy Nhưng câu hỏi đặt bước không lấy sản phẩm mà lấy 2, 3, 4, sản phẩm, tức số sản phẩm lấy để trưng bày nhiều 1, lúc hệ biến cố đầy đủ Vậy ta giải trường hợp nào? Để ý xác suất để người khách mua sản phẩm tốt sau lấy sản phẩm trưng bày xác suất để người khách mua sản phẩm tốt trước người ta lấy sản phẩm để trưng bày P (A) = C72 = 15 C10 Vậy xác suất để người khách mua sản phẩm tốt sau lấy 2, 3, 4, sản phẩm trưng bày xác suất để người mua sản 54 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 phẩm tốt trước người ta lấy 2, 3, 4, sản phẩm để trưng bày Một cách tổng quát, xác suất lấy liên tiếp n vật, lần vật khơng hồn lại xác suất lấy lúc n vật Ta giải tốn xác suất cổ điển, tương tự ba trên, phần xin dành cho bạn đọc Bài tập 2.35 Có hai lơ sản phẩm Lơ có 90% phẩm, lơ có 80% phẩm Lấy ngẫu nhiên lơ từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm ta phẩm Trả sản phẩm trở lại lơ Từ lơ ta lại lấy sản phẩm Tính xác suất để lấy phải phế phẩm Lời giải Phép thử gồm bước Bước Chọn ngẫu nhiên lô Bước Lấy ngẫu nhiên sản phẩm phẩm Bước Trả sản phẩm lại lô lại lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi Bi biến cố “lấy lô thứ i”, i = 1, 2, A biến cố “lấy phẩm lần lấy đầu” Khi P (A) = P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) 1 = · 0, + · 0, = 0, 85 2 Từ P (B1 )P (A|B1 ) 0, · 0, 9 = = P (A) 0, 85 17 0, · 0, 8 P (B2 )P (A|B2 ) = = P (B2 |A) = P (A) 0, 85 17 P (B1 |A) = Vậy sau lần lấy thứ ta phẩm phẩm lấy từ , cịn từ lơ với xác suất ; điều có nghĩa 17 17 lần lấy thứ lô lấy với xác suất P (B12 ) = lô P (B22 ) = 17 17 Vậy {B12 , B22 } hệ đầy đủ Gọi D biến cố “sản phẩm lấy cuối phế lô thứ với xác suất phẩm” P (D) = P (B12 )P (D|B12 ) + P (B22 )P (D|B22 ) = 0, + 0, = ≈ 0, 147 17 17 34 55 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Nhận xét Để giải toán xác suất nhiều kiện, phép thử trải qua nhiều bước, ta thường sử dụng cơng thức xác suất đầy đủ Trong tốn cần phân biệt P (D) xác suất cần tìm Việc chọn hệ đầy đủ đơi phải tinh tế, có tốn phải trải qua hai ba hệ biến cố đầy đủ giải Bài tốn giải xác suất cố điển Khơng tính tổng qt, ta giả sử lơ có phẩm, phế phẩm, lơ có phẩm, phế phẩm TH Lấy lơ 1, sản phẩm lấy bắt buộc phẩm nên có cách chọn, trả phẩm lại lơ lấy sản phẩm có · 10 = 90 cách Số cách lấy phế phẩm · = cách TH Lấy lô 2, tương tự ta có · 10 = 80 cách lấy sản phẩm · = 16 cách lấy phế phẩm Vậy xác suất cần tìm P = + 16 25 = ≈ 0, 147 90 + 80 170 Bài tập tự giải Bài tập 2.36 Có hộp thuốc Hộp có ống tốt ống xấu Hộp có ống tốt ống xấu Hộp có ống tốt Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp rút ngẫu nhiên ống thuốc a) Tính xác suất để ống tốt ống xấu b) Giả sử rút ống thuốc, ta thấy có ống tốt Tìm xác suất để ống hộp Bài tập 2.37 (xem [4]) Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng Biết phân xưởng sản xuất gấp lần phân xưởng 2, tỷ lệ bóng đèn hư phân xưởng 10%, phân xưởng 20% Mua ngẫu nhiên bóng đèn nhà máy a) Tìm xác suất để bóng đèn hư 56 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 b) Giả sử mua phải bóng hư Tìm xác suất để bóng đèn thuộc phân xưởng Bài tập 2.38 Hộp có bi xanh, bi đỏ Hộp có bi xanh, bi đỏ Rút ngẫu nhiên từ hộp bi từ hộp bi a) Tìm xác suất để rút bi đỏ b) Nếu rút bi xanh bi đỏ, tìm xác suất để bi xanh rút hộp Bài tập 2.39 Trong số bệnh nhân bệnh viện có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi bệnh A, B, C tương ứng 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỷ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh Bài tập 2.40 (xem [3]) Một cặp trẻ sinh đơi trứng (sinh đôi thật), hay hai trứng khác sinh (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật có giới tính Đối với cặp sinh đơi giả giới tính đứa độc lập với có xác suất 0,5 trai Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai, 36% cặp sinh đôi gái, 36% cặp sinh đôi có giới tính khác Tìm tỷ lệ cặp sinh đơi thật 2.2.5 Tính xác suất cơng thức Becnoulli Trong phần này, sử dụng công thức Becnoulli để giải số toán Muốn vậy, ta phải hiểu rõ định nghĩa dãy Becnoulli Đó n phép thử độc lập, phép thử xuất biến cố A, biến cố A, khả xảy biến cố A phép thử, tức P (A) không phụ thuộc vào thứ tự phép thử Pn (k; p) = Cnk pk (1 − p)n−k , n số lần thực phép thử, k số lần xuất biến cố A, p xác suất biến cố Bài tập 2.41 Xác suất thành cơng thí nghiệm sinh hóa 40% Một nhóm gồm sinh viên tiến hành thí nghiệm độc lập với Tìm xác suất để 57 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 a) Có thí nghiệm thành cơng b) Có thí nghiệm thành cơng c) Có thí nghiệm thành cơng Lời giải Phép thử tiến hành thí nghiệm Gọi A biến cố “thí nghiệm thành cơng”, ta có P (A) = 0, 4, n = a) Có thí nghiệm thành cơng, tức biến cố A xuất lần lần thí nghiệm P9 (6; 0, 4) = C96 (0, 4)6 (1 − 0, 4)3 = 0, 0743 b) P {có thí nghiệm thành công} = - P {khơng có thí nghiệm thành cơng} = − P9 (0; 0, 4) = − C90 (1 − 04)9 = 0, 9899 c) P {có thí nghiệm thành cơng} = P9 (8; 0, 4) + P9 (9; 0, 4) = C98 (0, 4)8 0, + C99 (0, 4)9 = 0, 00354 + 0, 00026 = 0, 0038 Bài tập 2.42 Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm chọn ngẫu nhiên câu trả lời Tìm xác suất để a) Anh ta 13 điểm b) Anh ta điểm âm Lời giải Phép thử tiến hành làm trắc nghiệm câu Gọi A biến cố “anh ta chọn đáp án đúng” P (A) = = 0, a) Để 13 điểm phải trả lời câu sai câu, P {được 13 điểm} = P12 (5; 0, 2) = C12 (0, 2)5 (1 − 0, 2)7 = 0, 0532 58 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 b) Anh ta điểm âm trả lời nhiều câu P {được điểm âm} = P12 (0; 0, 2) + P12 (1; 0, 2) + P12 (2; 0, 2) = C12 (0, 8)12 + C12 (0, 2)1 (0, 8)11 + C12 (0, 2)2 (0, 8)10 = 0, 5583 Lưu ý Có thể tìm số câu trả lời đúng, sai để 13 điểm cách gọi x, y số câu trả lời sai, x, y ∈ N Theo tốn ta phải có  x + y = 12 4x − y = 13  hay x=5 y = Tương tự cho câu b)  x + y = 12 4x − y < suy 4x − (12 − x) < hay x < 12 Vì x ∈ N suy x = 0, 1, Bài tập 2.43 Một chiến sĩ tự vệ tập bắn súng, xác suất bắn trúng tâm lần bắn 0,3 Hỏi phải bắn viên để với xác suất không bé 80% chiến sĩ bắng trúng tâm viên Lời giải Gọi số đạn chiến sĩ cần bắn n (n ∈ N∗ ) Thực bắn n viên đạn vào tâm n phép thử Becnoulli, A biến cố “bắn trúng tâm”, P (A) = 0, Ta có Pn (m ≥ 1; 0, 3) = − Pn (0; 0, 3) ≥ 0, 8, hay − (0, 7)n ≥ 0, 8, hay (0, 7)n ≤ 0, Suy n ≥ Vì n cần tìm nhỏ nên n = 59 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Bài tập 2.44 Một pháo bắn vào mục tiêu với xác suất trúng 0,6 Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt sau lần bắn liên tiếp, biết khả bị tiêu diệt có 1, viên trúng tương ứng 0,2; 0,5 0,8 Lời giải Bài toán gồm giai đoạn Giai đoạn pháo bắn viên Giai đoạn Tiêu diệt mục tiêu Gọi A biến cố “mục tiêu bị tiêu diệt”, Bi biến cố “có i viên trúng mục tiêu”, i = 0, 1, 2, Vậy bắn viên vào mục tiêu dãy phép thử Becnoulli với n = Ta có P (Bi ) = P3 (i; 0, 6) = C3i (0, 6)i (0, 4)3−i với i = 0, 1, 2, Theo công thức xác suất tồn phần ta có P (A) = P (B0 )P (A|B0 ) + P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + P (B3 )P (A|B3 ) = C30 0, 43 + C31 0, 6.(0, 4)2 0, + C32 (0, 6)2 0, 4.0, + C33 (0, 6)3 0, = 0, 4464 Bài tập 2.45 Tỷ lệ mắc bệnh A làng 10% Trong đợt khám bệnh người ta khám ngẫu nhiên cho 100 người làng Tìm xác suất để a) Trong 100 người có người bị bệnh A b) Trong 100 người có 95 người khơng bị bệnh A c) Tìm số người bị bệnh A có khả nhất, tính xác suất tương ứng Lời giải Dãy phép thử Becnoulli khám cho 100 người, n = 100 Gọi A biến cố “bị bệnh A”, P (A) = 0, 0, 16 0, 994 a) P100 (6; 0, 1) = C100 b) 95 người khơng bị bệnh A tức có người bị bệnh A Từ P100 (5; 0, 6) = C100 0, 15 0, 995 c) Trước tiên, ta định nghĩa số khả m0 số mà ứng với xác suất Pn (m0 ; p) lớn (p xác suất biến cố A) 60 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Nếu np + p − ∈ N, m0 = np + p − Nếu np + p − ∈ / N, m0 = [np + p − 1] + Vậy tốn số có khả m0 = [100.0, + 0, − 1] + = 10 10 P100 (10; 0, 6) = C100 0, 110 0, 990 Nhận xét Dãy phép thử Becnoulli kết hợp với toán liên quan đến hệ biến cố đầy đủ để tạo toán hay phức tạp Bài tập tự giải Bài tập 2.46 (xem [7]) Gieo xúc xắc liên tiếp lần Tính xác suất để có lần “lục” Bài tập 2.47 Hai đấu thủ A B thi đấu cờ Xác suất thắng A ván 0,6 (khơng có ván hịa) Trận đấu bao gồm ván, người thắng số ván lớn người thắng Tính xác suất để B thắng Bài tập 2.48 Tỷ lệ người bị lao vùng 0,001 Tìm xác suất để khám cho 10 người a) Có người bị lao b) Có người bị lao c) Số người khơng bị lao có khả Bài tập 2.49 (xem [7]) Một bác sĩ chữa bệnh Xác suất chữa khỏi bệnh 0,8 Có người nói 10 người đến chữa chắn có người khỏi bệnh Điều khẳng định hay sai? Vì sao? Bài tập 2.50 Hai đấu thủ cờ ngang tài ngang sức thi đấu với Hỏi khả thắng ván ván có cao khả thắng ván ván hay không? 61 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học Đây phần xác suất nâng cao nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp em có tư sâu sắc xác suất Các toán xác suất hình học đơn giản nhiều tiếp xúc, làm quen nhìn nhận vấn đề ẩn chứa Bài tập 2.51 Hai người bạn hẹn gặp địa điểm định trước khoảng thời gian từ 19h đến 20h Hai người đến chố hẹn độc lập với quy ước người đến trước đợi người đến sau 10 phút, khơng gặp Tính xác suất để hai người gặp Lời giải Đây toán quen thuộc mở đầu cho phần tính xác suất theo định nghĩa hình học Gọi A = {hai người gặp nhau}, ta cần tính P (A) Gọi x số phút thời điểm người thứ đến điểm hẹn, ≤ x ≤ 60 y số phút thời điểm người thứ hai đến điểm hẹn, ≤ y ≤ 60 Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành số phút y theo trục tung số phút lúc đầu hai người biểu diễn điểm có tọa độ (x, y) nằm hình vuông cạnh 60 (ta lấy phút làm đơn vị) Đó miền Ω Ω = {(x, y) : ≤ x ≤ 60, ≤ y ≤ 60} Để hai người gặp số phút lúc đến x, y người phải thỏa mãn |x − y| ≤ 10 ⇔ x − 10 ≤ y ≤ x + 10 Ta có hình biểu diễn 62 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Vậy điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp nằm phần gạch chéo hai đường thẳng y = x − 10 y = x + 10 Theo công thức xác suất hình học ta có P (A) = diện tích miền A 602 − 502 11 = 0, 3056 = = 602 36 diện tích miền Ω Bài tập 2.52 Xét hình vng (H) giới hạn ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ hai đường cong y = x2 y = √ x Lấy ngẫu nhiên điểm M thuộc hình vng (H) Tìm xác suất để M thuộc hình giới hạn đường cong Lời giải Ta có diện tích hình vng (H) S = Hai đường cong y = x2 , y = √ x cắt O(0, 0) A(1, 1) hai đỉnh hình vng (H) Diện tích giới hạn Z S =   √ ( x − x2 )dx = x − x3 3 = Vậy xác suất cần tìm P = S0 = ≈ 0, 33 S Bài tập 2.53 Một đoạn thẳng có độ dài l Bẻ gãy ngẫu nhiên thành đoạn Tìm xác suất để đoạn tạo thành tam giác 63 (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13(LUAN.van.THAC.si).ve.nhung.bai.toan.to.hop.va.xac.suat.13 Lời giải Đặt điểm chia OM = x, ON = y, < x < y < l Ta có đoạn x, y − x, l − y Xét M (x, y) mặt phẳng tọa độ Vì < x < y < l nên khơng gian mẫu tam giác OAB có diện tích S = l2 Điều kiện để đoạn tạo thành tam giác  x + y − x > l − y x + (l − y) > y − x ⇔  (y − x) + (l − y) > x  l  y>    y