(LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN ——————– NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN ——————– NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VINH CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG HÀ NỘI - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Phương pháp đếm 1.1 Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Hoán vị 1.1.2 Chỉnh hợp 1.1.3 Tổ hợp 1.2 Sự phân hoạch 1.2.1 Sự phân hoạch số nguyên không âm 1.2.2 Phân hoạch tập hợp 1.2.3 Phân hoạch số nguyên 1.3 Công thức Sieve nguyên dương thành Lý thuyết đồ thị 2.1 Khái niệm đồ thị 2.1.1 Định nghĩa đồ thị phân loại đồ thị 2.1.2 Đồ thị đẳng cấu 2.1.3 Biểu diễn đồ thị ma trận 2.1.4 Đồ thị con, đồ thị thành phần đồ thị 2.2 Các yếu tố đồ thị vô hướng 2.2.1 Bậc đỉnh đồ thị 2.2.2 Đường chu trình 2.2.3 Tính liên thông 2.2.4 Một số loại đơn đồ thị vô hướng 2.3 Bài tốn tơ màu số Ramsey sinh tổng số 4 11 11 12 14 18 26 26 26 27 28 29 30 30 30 31 31 39 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC 2.3.1 2.3.2 Lý thuyết Ramsey cho đồ thị hữu hạn 39 Lý thuyết Ramsey trường hợp tổng quát 42 Xác suất số ứng dụng 3.1 Phép thử biến cố 3.2 Xác suất biến cố 3.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất 3.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất 3.2.3 Định nghĩa hình học xác suất 3.3 Định lý cộng xác suất 3.4 Định lý nhân xác suất 3.5 Một số mở rộng định lý cộng định lý nhân xác suất 3.6 Biến ngẫu nhiên kì vọng 3.6.1 Định nghĩa 3.6.2 Tính tuyến tính kì vọng 3.7 Sử dụng xác suất chứng minh số tính chất số Ramsey 3.8 Áp dụng xác suất kì vọng vào số toán thi học sinh giỏi 44 44 45 45 48 48 50 53 57 64 64 66 68 70 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục ký hiệu |A| Số phần tử A p(n) Số hoán vị n phần tử phân biệt Cnk Số tổ hợp chập k n phần tử Akn Số chỉnh hợp chập k n phần tử S(n, k) Số cách phân hoạch tập n phần tử thành k phần B(n) Số cách phân hoạch tập n phần tử thành số phần P (n) Số cách phân hoạch số n thành k phần D(n) Số xáo trộn tập n phần tử P (A) Xác suất biến cố A E(X) Kì vọng biến ngẫu nhiên X TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Lời nói đầu Xác suất phần toán trung học phổ thơng nói chung,Ứng dụng xác suất giải tốn Trung học phổ thơng nội dung mẻ, thú vị Mặt khác xác suất khơng có ứng dụng tốn học mà cịn có nhiều ứng dụng số mơn học khác, ngành khoa học khác Học tìm hiểu xác suất học sinh thấy toán học gần gũi, gắn liền với sống thực tế hơn, tạo hứng thú học tập cho học sinh Bởi lựa chọn tìm hiểu “ Phương pháp xác suất tốn trung học phổ thơng” Xác suất tốn THPT với sở chủ yếu toán đếm, với đối tượng học sinh giỏi, tiếp cận với Lý thuyết đồ thị toán liên quan lý thuyết đồ thị tổ hợp xác suất Với mục đích tìm hiểu xác suất , cách tính xác suất, số ứng dụng xác suất toán THPT Nên Luận văn này, phần mở đầu phần kết luận tơi trình bày ba chương Chương 1: Trình bày quy tắc đếm mở rộng Nhằm trang bị cho học sinh kiến thức sở để sử dụng toán đếm toán xác suất người học muốn học tốt xác suất cần phải có kiến thức tốt tổ hợp đếm Chương 2: Trình bày sơ lược lý thuyết đồ thị, nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho chương Chương 3: Là chương trọng tâm, chương trình bày khái niệm xác suất,tính chất, quy tắc tính xác suất Khái niệm kỳ vọng, tính tuyến tính kỳ vọng áp dụng vào số ví dụ.Trong chương bước đầu tơi trình bày cách sử dụng xác suất, kỳ vọng vào số tốn số học, tổ hợp, hình học tổ hợp Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình Thầy PGS.TS Lê Anh Vinh – Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Từ đáy lịng em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Anh Vinh quan (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Lời nói đầu tâm, bảo tận tình thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, giúp đỡ em suốt q trình theo học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Nam Khoái Châu – Hưng Yên tạo điều kiện cho tơi hồn thành kế hoạch học tập Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hồng (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Chương Phương pháp đếm 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nội dung chương tam khảo chủ yếu tài liệu số tác giả Miko’s Bo’na, “A walk through combinatorics – An introduction to enumeration anh graph theory” Ngoài sở lý thuyết tài liệu trên, hệ thống ví dụ minh họa xây dựng sở lý thuyết tương ứng 1.1.1 Hoán vị Định nghĩa 1.1.1 Mỗi xếp thứ tự n đối tượng khác thành hàng, mà đối tượng xuất lần gọi hoán vị n đối tượng Định lý 1.1.1 Số hốn vị tập hợp A có n phần tử p(n) = n! Ví dụ 1.1.1 Một người trồng hoa có hoa đỏ, hoa vàng, hoa trắng muốn trồng thành hàng Hỏi có cách trồng? Lời giải Ta xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Các hoa đôi khác loại Khi số cách trồng 10! • Trường hợp 2: Các hoa màu thuộc loại Khi thay đổi vị trí hoa đỏ cho ta cách trồng, thay đổi vị trí hoa vàng cho ta cách trồng, thay đổi vị trí hoa trắng cho ta cách trồng Nên số cách trồng 10 hoa 10! 5!2!3! (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Chương Phương pháp đếm Từ ví dụ ta thấy xếp n đối tượng không đơi phân biệt định lý 1.1.1 khơng cịn Mở rộng định nghĩa hốn vị ta có định nghĩa hoán vị lặp sau Định nghĩa 1.1.2 Cho n, a1 , a2 , , ak số nguyên dương thỏa mãn a1 + a2 + + ak = n Mỗi cách xếp n đối tượng thành hàng có đối tượng loại i hốn vị lặp n đối tượng Khi ta có số hốn vị lặp tính sau Định lý 1.1.2 Cho n, a1 , a2 , , ak số nguyên không âm thỏa mãn a1 + a2 + + ak = n, có đối tượng loại i, i = 1, k Khi số hốn vị lặp n đối tượng n! a1 !a2 ! ak ! (1.1) Ví dụ 1.1.2 Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Có số nguyên dương có chữ số lập từ A Biết chữ số xuất lần, chữ số xuất lần Lời giải Ta coi số có chữ số hoán vị lặp đối tượng, số xuất lần, số xuất lần, số số thỏa mãn yêu cầu là: 40320 8! = = 3360 (số) 2!3! 2.6 Ví dụ 1.1.3 Cho 2n người, có n nam, n nữ Hỏi a) Có cách xếp cho 2n người ngồi thành hàng cho nam nữ ngồi xen kẽ? b) Có cách xếp cho 2n người ngồi thành hàng cho nam ngồi liền nhau? c) Có cách xếp cho 2n người ngồi quanh bàn trịn? d) Có cách xếp cho 2n người ngồi quanh bàn tròn cho nam nữ ngồi xen kẽ? Lời giải a) Ta xét hai trường hợp (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Chương Phương pháp đếm • Trường hợp 1: n nam ngồi vị trí lẻ có n! cách Với cách xếp nam ta có n! cách xếp n nữ vào vị trí chẵn, nên ta có n!n! = (n!)2 cách xếp nam vào vị trí lẻ, nữ vào vị trí chẵn • Trường hơp 2: n nam ngồi vị trí chẵn, n nữ ngồi vị trí lẻ, ta có (n!)2 cách xếp Vậy có 2(n!)2 cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ b) Trước hết ta xếp n nam vào n vị trí liền kề 2n vị trí Khi ta có n + cách (tương ứng với người thứ ngồi vị trí thứ tới vị trí n + 1) Sau với cách chọn n vị trí liền kề có n! cách xếp n nam Với cách xếp n nam lại có n! cách xếp n nữ vào n chỗ cịn lại nên có (n + 1)(n!)2 (cách) c) Ta cần chọn người vào vị trí bàn tròn để xác định số thứ tự chỗ ngồi, sau xếp 2n − người vào 2n − vị trí có (2n − 1)! cách Vậy số cách xếp 2n người khác vào 2n vị trí bàn trịn (2n − 1)! d) Lập luận tương tự ý a), ý c) ta có số cách xếp 2n!(n − 1)! cách 1.1.2 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.3 Cho tập hợp A có n phần tử n ∈ N∗ (phân biệt) Mỗi cách thứ tự k (0 ≤ k ≤ n) phần tử A cho không phần tử xuất nhiều lần gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Chú ý: Quy ước: 0! = Định lý 1.1.3 Số chỉnh hợp chập k n phần tử Akn = n! (n − k)! (1.2) Tương tự hoán vị lặp ta mở rộng định nghĩa chỉnh hợp lặp sau Định nghĩa 1.1.4 Cho tập hợp A có n (n ∈ N∗ ) phần tử phân biệt Mỗi cách thứ tự k phần tử A, mà phần tử xuất nhiều (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Chương Xác suất số ứng dụng Vậy A, B không độc lập Một cách đơn giản ta có P (A ∩ B) = 6= P (A)P (B), nên A, B không độc lập Ví dụ 3.4.6 Một người săn thỏ rừng Khả anh bắn trúng thỏ lần bắn tỉ lệ nghịch với khoảng cách Anh ta bắn lần đầu với khoảng cách 20m với xác suất bắn trúng 50% Nếu trượt bắn tiếp viên thứ khoảng cách 30m, trượt bắn tiếp viên thứ khoảng cách 50m Tìm xác suất để người thợ săn bắn thỏ lần săn Lời giải Gọi Ti biến cố"Thợ săn bắn trúng thỏ lần thứ i", i = 1, 2, 3, ba biến cố không độc lập Theo ta có P (T1 ) = k = 0, =⇒ k = 10 20 Do 10 = ; 30 10 = 0, P (T3 /T2 ) = 50 P (T2 /T1 ) = Gọi T biến cố thợ săn bắn trúng thỏ săn T = T1 + T1 T2 + T1 T2 T3 Khi đó: P (T ) = P (T1 + T1 T2 + T1 T2 T3 ) = P (T1 ) + P (T1 T2 ) + P (T1 T2 T3 ) = 0, + P (T1 ).P (T2 /T1 ) + P (T1 ).P (T2 /T1 ).P (T3 /T1 T2 ) 1 22 = 0, + (1 − 0, 5)( ) + (1 − 0, 5)(1 − ).0, = = 0, 733 3 30 3.5 Một số mở rộng định lý cộng định lý nhân xác suất Ở hai phần trước ta tìm hiểu định lý cộng xác suất với điều kiện biến cố xung khắc, định lý nhân xác suất với điều kiện biến cố độc lập Ở phần xem xét số công thức mở rộng hai định lý Trước hết định lý cộng xác suất, A, B khơng xung khắc ta có kết sau 57 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.xac.suat.trong.toan.trung.hoc.pho.thong Chương Xác suất số ứng dụng Định lý 3.5.1 Cho A, B hai biến cố khơng gian mẫu Ω, P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B) (3.12) Chứng minh Giả sử |Ω| = n, |A| = m1 , |B| = m2 , |A ∩ B| = k , k ≥ Do A, B điều kiện xung khắc Khi ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = m1 + m2 − k Nên P (A ∪ B) = P (A + B) m1 + m2 − k = n m1 m2 k = + − n n n = P (A) + P (B) − P (A.B) Tương tự, áp dụng công thức Sieve ta chứng minh  Hệ 3.5.1 Cho A1 , A2 , , An biến cố không gian mẫu Ω ta có n n n P P P P( i=1 P (Ai ) − Ai ) = i=1 P (Ai Aj )+ i