(LUẬN văn THẠC sĩ) một số khía cạnh trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Hương Giang MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Hương Giang MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG LÝ THUYẾT TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Lời cảm ơn Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 kiến thức chuẩn bị Tốn tử tuyến tính liên tục Tốn tử tuyến tính tự liên hợp, chuẩn tắc Không gian biến ngẫu nhiên Ánh xạ đa trị Một số kết điểm bất động phương tất định Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Các khái niệm ví dụ 2.2 Tiêu chuẩn bị chặn hầu chắn 2.3 Mở rộng định lý giải tích ngẫu nhiên tuyến tính 2.4 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trình tốn tử hàm Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.1 Các khái niệm ví dụ 3.2 Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến chuẩn tắc 3.3 Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến tự liên hợp cho toán tử tính suy tính suy rộng rộng i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 10 12 14 14 16 19 19 25 32 37 48 48 52 58 MỤC LỤC 3.4 Quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.4.1 Các khái niệm quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.4.2 Quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn, đóng tự liên hợp Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 4.1 Các khái niệm toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 4.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 4.2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị 4.2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị 4.3 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 4.3.1 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 4.3.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 5.1 Các khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 5.2 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 5.3 Điểm trùng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên 5.4 Ứng dụng vào tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.4.1 Ứng dụng định lý điểm trùng 5.4.2 Ứng dụng định lý điểm bất động 64 65 66 69 69 71 71 79 82 82 85 90 90 93 112 122 122 127 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất 6.1 Không gian unitary xác suất khơng gian Hibert xác suất 6.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 6.3 Liên hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 131 131 139 146 Kết luận 151 Tài liệu tham khảo 152 Chỉ dẫn 156 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị LX (Ω) Không gian tất lớp tương đương LX (Ω) LX p (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Khơng gian hàm liên tục [a, b] L2 [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → B(X) σ−đại số Borel X 2X Họ tập khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng, khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng, khác rỗng bị chặn X A⊗B σ−đại số tích σ−đại số A B d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập đóng A B Gr(F ) Đồ thị ánh xạ F h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Lý thuyết toán tử tất định lý thuyết lớn, lâu đài đồ sộ tốn học nói chung giải tích nói riêng, có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn ứng dụng Tuy nhiên môi trường ta sống tất định mà môi trường ngẫu nhiên, phần tử mơi trường ln bị can thiệp, tác động yếu tố ngẫu nhiên Vì vậy, nhu cầu tất yếu đặt cần có mơ hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đắn, sinh động Giải tích ngẫu nhiên đời từ nhu cầu Một hướng nghiên cứu quan trọng giải tích ngẫu nhiên lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Khái niệm toán tử ngẫu nhiên đề cập nghiên cứu cách có hệ thống Skorokhod năm 1984 [24] Tốn tử ngẫu nhiên coi khái niệm mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm toán tử tất định Tuy nhiên lý thuyết toán tử tất định phát triển đầy đủ trịn trĩnh lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên giai đoạn bắt đầu, nhiều toán bỏ ngỏ cần giải Trong luận văn tơi trình bày số vấn đề tốn tử ngẫu nhiên nhiều tác giả nghiên cứu thời gian gần Luận văn gồm chương Chương nhắc lại số khái niệm kết quan trọng tốn tử tất định, khơng gian biến ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm kết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương trình bày khái niệm tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Hai kết quan trọng chương định lý biểu diễn phổ cho toán tử ngẫu nhiên suy rộng chuẩn tắc và tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng tự liên hợp Chương giới thiệu số kết gần quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Chương liên quan đến tốn tử ngẫu nhiên phi tuyến, phương trình tốn tử ngẫu nhiên định lý tồn nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên, toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Chương trình bày định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, sở để xét đến toán điểm bất động, điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chương giới thiệu số khái niệm kết nghiên cứu gần toán tử ngẫu nhiên trìu tượng khơng gian Hibert xác suất Các định nghĩa, định lý, bổ đề, mệnh đề, cơng thức đánh số thứ tự tăng dần có kèm theo số cho chương, mục TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành quan tâm, động viên hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thịnh Thầy người Thầy dạy, hướng dẫn học viên công việc sống suốt nhiều năm qua Nhân dịp này, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới Thầy Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, người Thầy có ảnh hưởng lớn nhân cách, truyền cho lửa học tập nghiên cứu, quan tâm hướng dẫn định hướng cho đường nghiên cứu khoa học Cuối xin cảm ơn Thầy, Cô Bộ môn Xác suất Thống kê Thầy, Cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin học giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập làm việc Khoa Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng năm 2016 Học viên Trần Thị Hương Giang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm kết toán tử tất định đơn trị đa trị Một số kết tập ngẫu nhiên trình bày để sử dụng cho chương sau 1.1 Tốn tử tuyến tính liên tục Giả sử H1 H2 hai không gian vectơ trường K Một tốn tử tuyến tính T từ H1 vào H2 ánh xạ tuyến tính từ D(T ) ⊂ H1 vào H2 D(T ) gọi miền xác định T ảnh R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} gọi miền giá trị T Vì chương xét tốn tử tuyến tính nên để đơn giản, ta gọi toán tử thay cho toán tử tuyến tính Nếu H1 = H2 = H T gọi toán tử H.Toán tử từ H vào K gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho H1 H2 hai không gian định chuẩn Toán tử T từ H1 vào H2 gọi liên tục x ∈ D(T ) với dãy (xn ) ∈ D(T ) thỏa mãn limn xn = x ta có limn T xn = T x Toán tử T gọi liên tục liên tục với x ∈ D(T ) Toán tử T gọi bị chặn tồn C ≥ cho ||T x|| ≤ C||x|| với x ∈ D(T ) 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lý 1.1.2 Cho T tốn tử từ H1 vào H2 Khi khẳng định sau tương đương: T liên tục; T liên tục 0; T bị chặn Ta nhắc lại số định lý quan trọng, đóng vai trị trung tâm giải tích hàm toán tử liên tục Các kết mở rộng cho định lý trình bày chương sau Định lý 1.1.3 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho H không gian Hibert Với a cố định thuộc H, hệ thức T (x) = ha, xi (1.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục T (x) không gian H, với ||T || = ||a|| (1.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục T H biểu diễn dạng (1.1), a ∈ H thỏa mãn (1.2) Định lý 1.1.4 (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử X không gian Banach, Y không gian định chuẩn (Aα,α∈Λ ) họ toán tử thuộc L(X, Y ), tức với α ∈ Λ, ||Aα x|| ≤ Kα ||x|| Nếu với x ∈ X, ta có sup||Aα x|| < ∞ α∈Λ sup||Aα || = sup sup||Aα x|| < ∞ α∈Λ α∈Λ x∈B (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến η(ω) = η(ω, t) biến ngẫu nhiên X− giá trị Theo định lý 4.2.8, phương trình (4.6) có nghiệm ξ(ω) = ξ(ω, t) biến ngẫu nhiên X− giá trị 4.2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị Định nghĩa 4.2.10 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình có dạng S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ (4.7) S, T : Ω × X → 2Y tốn tử ngẫu nhiên đa trị Với dãy toán tử ngẫu nhiên đa trị Tn : Ω × X → 2Y , phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình có dạng ∩∞ n=1 Tn (ω, x) 6= ∅ (4.8) Để đơn giản, phần ta gọi phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình ngẫu nhiên Định nghĩa 4.2.11 Ta nói phương trình ngẫu nhiên (4.7) có nghiệm tất định với hầu hết ω tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D tồn phần tử u(ω) ∈ X cho S(ω, u(ω)) ∩ T (ω, u(ω)) 6= ∅ Khi ta gọi u(ω) nghiệm tất định phương trình (4.7) Ta nói phương trình ngẫu nhiên (4.7) có nghiệm ngẫu nhiên tồn biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X cho S(ω, ξ(ω)) ∩ T (ω, ξ(ω)) 6= ∅ h.c.c Khi ta gọi ξ nghiệm ngẫu nhiên phương trình (4.7) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 79 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Một cách tương tự ta định nghĩa nghiệm ngẫu nhiên nghiệm tất định với hầu hết ω cho phương trình ngẫu nhiên (4.8) Định lý sau điều kiện đo tốn tử ngẫu nhiên đa trị cịn nguyên giá trị để đảm bảo cho tương đương tồn nghiệm tất định với hầu hết ω nghiệm ngẫu nhiên phương trình ngẫu nhiên Định lý 4.2.12 Cho X, Y không gian Polish S, T : Ω × X → C(Y ) toán tử ngẫu nhiên đa trị đo Khi phương trình ngẫu nhiên S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Hơn cho Tn : Ω × X → C(Y ) toán tử ngẫu nhiên đa trị đo (n = 1, 2, ) Khi đó, phương trình ngẫu nhiên ∩∞ n=1 Tn (ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử tồn tập D với P (D) = cho với ω ∈ D, u(ω) ∈ X nghiệm phương trình (4.7) Khơng giảm tổng qt ta giả sử D = Ω Xét ánh xạ F : Ω → 2X×Y xác định F (ω) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ S(ω, x) ∩ T (ω, x)} Do phương trình (4.7) có nghiệm u(ω) với ω nên F (ω) 6= ∅ với ω Ta F có đồ thị đo Gr(S) = {(ω, x, y)|ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S(ω, x)} Gr(T ) = {(ω, x, y)|ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ T (ω, x)} Gr(F ) = {(ω, x, y)|ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S(ω, x) ∩ T (ω, x)} Do đó, Gr(F ) = Gr(S) ∩ Gr(T ) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 80 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Từ định lý 1.4.2 suy S T có đồ thị đo được, tức Gr(S), Gr(T ) ∈ (F ⊗ B(X)) ⊗ B(Y ) Do đó, Gr(F ) ∈ (F ⊗ B(X)) ⊗ B(Y ) = F ⊗ B(X × Y ) Theo định lý 2.2.2, tồn hàm đo ξ : Ω → X ×Y cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c Đặt ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ2 (ω)) Ta có ξ2 (ω) ∈ S(ω, ξ1 (ω)) ∩ T (ω, ξ1 (ω)) h.c.c Do ξ đo nên ξ1 đo Từ suy ξ1 nghiệm ngẫu nhiên phương trình S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ Sử dụng lập luận tương tự ta nhận kết cho phương trình ∩∞ n=1 Tn (ω, x) 6= ∅ Hệ 4.2.13 Cho X Y khơng gian Polish, Tn : Ω×X → C(Y ) toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục (n=1,2, ) Khi đó, phương trình ngẫu nhiên ∩∞ n=1 Tn (ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Chứng minh Theo định lý 4.2.12, ta cần T : Ω × X → C(Y ) toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục T tốn tử ngẫu nhiên đa trị đo Theo định lý 1.4.2, để chứng minh tính đo T , ta chứng minh tính đo ánh xạ (ω, x) 7→ d(x, T (ω, x)) với y ∈ Y Xét φy : Ω × X → R ánh xạ xác định φy (ω, x) = d(y, T (ω, x)) Từ tính liên tục ánh xạ x 7→ T (ω, x) suy ánh xạ φy (ω, x) liên tục theo biến x Ta chứng minh tính đo φy (ω, x) theo ω Thật vậy, với x cố định, ω 7→ T (ω, x) đo nên theo định lý 1.4.2 ánh xạ ω 7→ d(y, T (ω, x)) đo Do φy ánh xạ liên tục theo biến x, đo theo biến ω hay nói cách khác, φy toán tử ngẫu nhiên liên tục Từ định lý 4.1.5 suy φy toán tử ngẫu nhiên đo Từ suy ánh xạ (ω, x) 7→ d(y, T (ω, x)) đo với y ∈ Y (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 81 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Nhận xét 4.2.14 Nếu ta thay điều kiện toán tử ngẫu nhiên đo định lý 4.2.4 4.2.12 điều kiện yếu toán tử ngẫu nhiên có đồ thị đo khẳng định định lý 4.3 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Khái niệm điểm bất động toán tử ngẫu nhiên mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm điểm bất động tốn tử tất định Trong phần trình bày định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị đa trị, định lý với điều kiện toán tử ngẫu nhiên đo xác định không gian Polish, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên Đây kết thú vị, mở rộng tổng quát cho định lý điểm bất động nghiên cứu trước Từ đưa phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định 4.3.1 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị Định nghĩa 4.3.1 Cho X khơng gian metric, C tập đóng X f : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên Ta nói với hầu hết ω, f (ω, ) có điểm bất động tồn tập D xác suất cho với ω ∈ D, ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) có điểm bất động Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên f f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c Nếu tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên ξ với hầu hết ω, ξ(ω) điểm bất động toán tử tất định x 7→ f (ω, x) Do đó, tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, quỹ đạo x 7→ f (ω, x) có điểm bất động tất định Tuy nhiên, điều ngược lại chưa Chẳng hạn, ví dụ 4.2.3, với ω, u(ω) = ω điểm bất động tất định quỹ đạo x 7→ f (ω, x) Tuy nhiên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 82 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến toán tử ngẫu nhiên f khơng có điểm bất động ngẫu nhiên, u(ω) = ω không ánh xạ đo với σ− đại số ví dụ Định nghĩa 4.3.2 Cho X khơng gian metric, C tập đóng X f, h : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên Ta nói với hầu hết ω, f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) x 7→ h(ω, x) có điểm bất động chung Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên chung f h f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) = h(ω, ξ(ω)) h.c.c Định lý sau cho ta điều kiện đủ để đảm bảo quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tốn tử có điểm bất động ngẫu nhiên Định lý 4.3.3 Cho X không gian Polish, C tập đóng X f, h : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên đo Khi Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động với hầu hết ω, tốn tử tất định f (ω, ) có điểm bất động Hai toán tử ngẫu nhiên f h có điểm bất động ngẫu nhiên chung với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh Áp dụng định lý 4.2.4 cho phương trình ngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) với g : Ω×C → X tốn tử xác định g(ω, x) = x với ω ∈ Ω, x ∈ C Áp dụng định lý 4.2.12 cho phương trình ngẫu nhiên R(ω, x) ∩ S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅, (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến với R, S, T : Ω × C → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị xác định R(ω, x) = {f (ω, x)}, S(ω, x) = {x}, T (ω, x) = {h(ω, x)} với ω ∈ Ω, x ∈ C Hệ 4.3.4 Cho X không gian Polish, C tập đóng X f, h : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động với hầu hết ω, tốn tử tất định f (ω, ) có điểm bất động Hai toán tử ngẫu nhiên f h có điểm bất động ngẫu nhiên chung với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh Vì f, h toán tử ngẫu nhiên liên tục nên từ định lý 4.1.5 suy f, h toán tử ngẫu nhiên đo Theo định lý 4.3.3 ta có điều phải chứng minh Áp dụng định lý 4.3.3 đưa phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định tương ứng Định lý 4.3.5 Cho X không gian Polish, f : Ω × X → X toán tử ngẫu nhiên đo thỏa mãn điều kiện co sau: Với ω ∈ Ω, d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ α(ω) max{d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y))} + β(ω) max{d(x, y), d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)), [d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x))]} + γ(ω)[d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x))] với x, y ∈ X α, β, γ : Ω → (0; 1) ánh xạ thỏa mãn α(ω) + β(ω) + 2γ(ω) = với ω ∈ Ω Khi f có điểm bất động ngẫu nhiên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 84 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Chứng minh Với ω, theo định lý 1.5.2, f (ω, ) có điểm bất động Theo định lý 4.3.3, f có điểm bất động ngẫu nhiên Định lý 4.3.6 Cho K tập khác rỗng, compact lồi không gian Banach khả ly X; f, g : Ω × K → K toán tử ngẫu nhiên từ K vào K, f tốn tử liên tục, g tốn tử khơng giãn theo nghĩa: Với ω, ta có ||g(ω, x) − g(ω, y)|| ≤ ||x − y|| với x, y ∈ K Nếu với ω ánh xạ f (ω, ) g(ω, ) giao hốn tốn tử ngẫu nhiên f g có điểm bất động ngẫu nhiên chung Chứng minh Với ω, theo định lý 1.5.4, f (ω, ) g(ω, ) có điểm bất động chung ξ(ω) ∈ K Theo định lý 4.3.3, toán tử ngẫu nhiên f g có điểm bất động ngẫu nhiên chung ξ = ξ(ω) 4.3.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị Trong phần trình bày kết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị Ta xét toán điểm trùng ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên mà điểm bất động tốn tử ngẫu nhiên trường hợp đặc biệt Định nghĩa 4.3.7 Cho X không gian metric, C tập đóng X T : Ω × C → 2X toán tử ngẫu nhiên đa trị Ta nói với hầu hết ω, T (ω, ) có điểm bất động tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định đa trị x 7→ T (ω, x) có điểm bất động Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên T ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)) h.c.c (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 85 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Định nghĩa 4.3.8 Cho X khơng gian metric, C tập đóng X S, T : Ω × C → 2X toán tử ngẫu nhiên đa trị Ta nói với hầu hết ω, S(ω, ) T (ω, ) có điểm bất động chung tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định đa trị x 7→ S(ω, x) x 7→ T (ω, x) có điểm bất động chung Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên chung S T ξ(ω) ∈ S(ω, ξ(ω)) h.c.c ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)) h.c.c Định nghĩa 4.3.9 Cho X, Y hai không gian metric, f : Ω × X → Y tốn tử ngẫu nhiên T : Ω × X → 2Y toán tử ngẫu nhiên đa trị Ta nói với hầu hết ω, f (ω, ) T (ω, ) có điểm trùng tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) x 7→ T (ω, x) có điểm trùng Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi điểm trùng ngẫu nhiên f T f (ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω)) h.c.c Ta thấy X tập đóng Y f (ω, x) = x với ω ∈ Ω, x ∈ X điểm trùng ngẫu nhiên f T điểm bất động ngẫu nhiên T Như khái niệm điểm trùng ngẫu nhiên mở rộng khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên Định lý 4.3.10 Cho X khơng gian Polish, C tập đóng X, f : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên đo S, T : Ω × C → C(X) tốn tử ngẫu nhiên đa trị đo Khi Tốn tử ngẫu nhiên T có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, toán tử tất định T (ω, ) có điểm bất động (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 86 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Các toán tử ngẫu nhiên f T có điểm trùng ngẫu nhiên với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) T (ω, ) có điểm trùng Hai toán tử ngẫu nhiên đa trị S T có điểm bất động chung với hầu hết ω, toán tử tất định đa trị S(ω, ) T (ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh Áp dụng định lý 4.2.12 cho phương trình ngẫu nhiên T (ω, x) ∩ R(ω, x) 6= ∅, với R : Ω × C → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị xác định S(ω, x) = {x} với ω ∈ Ω, x ∈ X Áp dụng định 4.2.12 cho phương trình ngẫu nhiên T (ω, x) ∩ R(ω, x) 6= ∅, với R : Ω × C → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị xác định S(ω, x) = {f (ω, x)} với ω ∈ Ω, x ∈ X Áp dụng định lý 4.2.12 cho phương trình ngẫu nhiên cho phương trình ngẫu nhiên T (ω, x) ∩ S(ω, x) ∩ R(ω, x) 6= ∅, với R : Ω × C → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị xác định S(ω, x) = {x} với ω ∈ Ω, x ∈ X Hệ 4.3.11 Cho X không gian Polish, C tập đóng X, f : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên liên tục S, T : Ω × C → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục Khi Tốn tử ngẫu nhiên T có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, toán tử tất định T (ω, ) có điểm bất động Các tốn tử ngẫu nhiên f T có điểm trùng ngẫu nhiên với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) T (ω, ) có điểm trùng (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 87 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Hai toán tử ngẫu nhiên đa trị S T có điểm bất động chung với hầu hết ω, toán tử tất định đa trị S(ω, ) T (ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh Từ định lý 4.3.10 suy f đo Từ hệ 4.2.13 suy S T đo Áp dụng định lý 4.3.10 ta có điều phải chứng minh Áp dụng định lý 4.3.10 ta thu phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định Định lý 4.3.12 Cho X không gian Polish f : Ω × X → X tốn tử ngẫu nhiên, T : Ω × X → CB(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị cho với ω ta có T (ω, X) ⊂ f (ω, X) với x, y ∈ X H(T (ω, x), T (ω, y)) ≤λ(ω) max{d(f (ω, x), f (ω, y)), d(f (ω, x), T (ω, x)), d(f (ω, y), T (ω, y)), [d(f (ω, x), T (ω, y)) + d(f (ω, y), T (ω, x))]}, λ : Ω → [0, 1] Thêm nữa, với ω, điều kiện sau thỏa mãn ánh xạ tất định f (ω, ) T (ω, ) liên tục tương thích, hai tập T (ω, X) f (ω, X) tập đầy đủ toán tử ngẫu nhiên f, T đo Khi đó, tốn tử f T có điểm trùng ngẫu nhiên Chứng minh Theo định lý 2.3.1 2.3.2, với ω cố định, f (ω, ) T (ω, ) có điểm trùng Từ định lý 4.3.10 suy f T có điểm trùng ngẫu nhiên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 88 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến Định lý 4.3.13 Cho X không gian Polish S, T : Ω × X → C(X) toán tử ngẫu nhiên đa trị đo Nếu  H(S(ω, x), T (ω, y)) ≤λ(ω) max d(x, y), d(x, S(ω, x)), d(y, T (ω, y)), [d(y, S(ω, x)) + d(x, T (ω, y))] với ω ∈ Ω, x, y ∈ X,trong λ : Ω → (0, 1) S T có điểm bất động ngẫu nhiên chung Chứng minh Theo định lý 2.3.5 toán tử S(ω, ) T (ω, ) có điểm bất động tất định chung Áp dụng định lý 4.3.10 suy điều phải chứng minh (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 89 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Như ta định nghĩa, toán tử ngẫu nhiên phi tuyến f : Ω × X → Y coi phép biến đổi f tác động lên giá trị đầu vào tất định x ∈ X thành đầu ngẫu nhiên f (ω, x) nhận giá trị Y Tuy nhiên, số trường hợp, đầu vào bị ảnh hưởng môi trường ngẫu nhiên Một tác động lên phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị X thành đầu ngẫu nhiên nhận giá trị Y gọi tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ X vào Y Trong chương ta tìm hiểu khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, kết điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, ứng dụng chúng vào phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 5.1 Các khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cho X khơng gian Banach khả ly (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ Nếu f : Ω×X → X tốn tử ngẫu nhiên liên tục với biến ngẫu nhiên X-giá trị u : Ω → X, theo định lý 4.1.5, ánh xạ ω 7→ f (ω, u(ω)) đo được, biến ngẫu nhiên X-giá trị Như vậy, có tốn X tử ngẫu nhiên f ta xây dựng ánh xạ Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 90 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên theo quy tắc Φ(ω) = f (ω, u(ω)) với u(ω) ∈ LX (Ω) Chú ý X có X thể xem tập L0 (Ω), gồm biến ngẫu nhiên suy biến (chỉ nhận giá trị cụ thể với xác suất 1), đồng thời hạn chế Φ X trùng với toán tử ngẫu nhiên f Do Φ mở rộng f lên toàn tập biến ngẫu nhiên X-giá trị Φ gọi tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Một cách tốn học, ta có Định nghĩa 5.1.1 Cho X, Y không gian Banach khả ly Ánh xạ Y Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) gọi tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Định nghĩa 5.1.2 Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ gọi liên tục với dãy (un ) thuộc LX (Ω) thỏa mãn limn un = u h.c.c., ta có limn Φun = Φu h.c.c Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ gọi liên tục theo xác suất với dãy (un ) LX (Ω) thỏa mãn limn un = u theo xác suất, ta có limn Φun = Φu theo xác suất Ta xét toán thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Y Định nghĩa 5.1.3 Tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) gọi mở rộng toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y với x∈X Φx(ω) = f (ω, x) h.c.c (5.1) với x ∈ X, x ký hiệu biến ngẫu nhiên u ∈ LX (Ω) cho u(ω) = x h.c.c Ta chứng minh định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Định lý 5.1.4 Cho f : Ω × X → Y tốn tử ngẫu nhiên có liên tục Khi tồn tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục Φ : LX (Ω) → LY0 (Ω) cho Φ mở rộng f (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 91 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chứng minh Gọi g liên tục f Định nghĩa Φ : LX (Ω) → LY0 (Ω) Φu(ω) = g(ω, u(ω)) (5.2) với biến ngẫu nhiên u ∈ LX (Ω) Ta chứng minh định nghĩa xác định tốt Thật vậy, theo định lý 4.1.5, g : Ω × X → Y đo được, ω 7→ g(ω, u(ω)) đo Tiếp theo ta chứng minh h liên tục khác f g(ω, u(ω)) = h(ω, u(ω)) h.c.c (5.3) Do X không gian khả ly, tồn dãy (xn ) trù mật X Với xn , tồn tập Ωn có xác suất cho g(ω, xn ) = h(ω, xn ) với ω ∈ Ωn ∞ T Đặt Ω0 = Ωn , ta nhận Ω0 có xác suất n=1 g(ω, xn ) = h(ω, xn ) ∀ω ∈ Ω0 ∀n (5.4) Cố định ω ∈ Ω0 , dãy (xn ) trù mật X nên tồn dãy (xnk ) hội tụ đến u(ω) Từ tính liên tục ánh xạ x 7→ g(ω, x) ánh xạ x 7→ h(ω, x) lim g(ω, xnk ) = g (ω, u(ω)) , k lim h(ω, xnk ) = h (ω, u(ω)) k (5.5) Từ (5.4) (5.5) ta thu h(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)) với ω ∈ Ω0 Từ (5.2) dễ dàng chứng minh tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ liên tục mở rộng f Y Định nghĩa 5.1.5 Cho Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên Φ gọi k(ω)-Lipschitz tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm k(ω) cho với cặp u, v ∈ LX (Ω) kΦu(ω) − Φv(ω)k ≤ k(ω)ku(ω) − v(ω)k h.c.c (5.6) Chú ý tập bỏ phụ thuộc vào u, v (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 92 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien Chương Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ gọi k(ω)-Lipschitz theo xác suất tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm k(ω) cho với cặp u, v ∈ LX (Ω) t > P (kΦu(ω) − Φv(ω)k > t) ≤ P (kku(ω) − v(ω)k > t) (5.7) Φ gọi k(ω)-co Φ k(ω)-Lipschitz với k(ω) < h.c.c Φ gọi k(ω)-co theo xác suất Φ k(ω)-Lipschitz theo xác suất với k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω Φ gọi không giãn Φ 1-Lipschitz Φ gọi không giãn theo xác suất Φ 1-Lipschitz theo xác suất Ta dễ thấy Φ k(ω)-Lipschitz Φ k(ω)-Lipschitz theo xác suất Y Nhận xét 5.1.6 Cho Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Khi tính liên tục Φ suy tính liên tục theo xác suất Φ Y Nếu Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) toán tử hồn tồn ngẫu nhiên k(ω)- Lipschitz Φ liên tục Y Nếu Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên k(ω)- Lipschitz theo xác suất Φ liên tục theo xác suất 5.2 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cho f : Ω × X → X tốn tử ngẫu nhiên liên tục Khi theo định lý X 5.1.4 ánh xạ Φ : LX (Ω) → L0 (Ω) xác định Φu(ω) = f (ω, u(ω)) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).mot.so.khia.canh.trong.ly.thuyet.toan.tu.ngau.nhien 93 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com