(LUẬN văn THẠC sĩ) dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 4

Tập lồi

Tập lồi là một khái niệm quan trọng trong giải tích lồi và toán học, bao gồm các tập quen thuộc như không gian con, siêu phẳng và đoạn thẳng Bài viết này sẽ trình bày định nghĩa và tính chất của tập lồi, cùng với một số ví dụ về các tập lồi đặc biệt.

Cho X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff Định nghĩa I.1[2] Với x x 1 , 2  X, đoạn  x x 1 , 2  được định nghĩa

 x x 1 , 2  : ={ x  X : x   x 1  (1   ) x 2 ,     0,1 } Định nghĩa I.2[2] Tập A  X gọi là tập lồi nếu

Nhận xét Nếu  x x 1 , 2   A  x x 1 , 2   A thì A là tập lồi

Ví dụ 1 a- Trong  2 , Tập B   0,1   x   2 :   x  1  là tập lồi

Thật vậy, lấy x y ,  B  0,1    x   1 ,   y  1 , với     0,1 ta có:

 B là tập lồi b- Tập A    x y ,    2 : ax  by  c a b c ; , ,    là tập lồi

Mệnh đề I.1 Giả sử A   X , (   I ) là các tập lồi với I là tập chỉ số Khi đó, tập

  cũng là một tập lồi

Mệnh đề I.2 Cho A i  X là các tập lồi;  i   , i  1, n Khi đó, tập

  cũng là một tập lồi

Vậy A là một tập lồi

Mệnh đề I.3 Cho X i là các không gian tuyến tính A i  X i là các tập lồi (i= 1, n ) Khi đó, tập A= A 1  A 2   A n là một tập lồi trong X 1  X 2   X n

Vậy, A là tập lồi trong X 1  X 2   X n

Lớp các tập lồi là tập hợp đóng với phép giao, cộng đại số và tích đề các Theo định nghĩa I.3, véc tơ x thuộc X được gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ x1, x2, , xn nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Mệnh đề I.4 Tập A  X là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là: A lồi khi và chỉ khi

Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó thì

Giả sử A lồi Ta chứng minh bằng quy nạp

*Giả sử kết luận đúng với k điểm.Tức là:

*Ta chứng minh kết luận đúng với k+1 điểm

   Không mất tổng quát, ta giả sử  k  1  1 , ta có

  Theo giả thiết quy nạp,

Do A lồi    1  k  1  y   k  1 x k  1  A   x A Vậy A là tập lồi

Nhận xét Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, f X :  Y là ánh xạ tuyến tính Tập A  X là tập lồi Khi đó f (A) cũng là tập lồi

Thật vậy, lấy y y 1 , 2  f A ( )   x x 1 , 2  A sao cho: y 1  f x ( ), 1 y 2  f x ( ) 2

        f   x 1    1   x 2   f A   (Do  x 1    1   x 2  A ) Vậy, f A   là tập lồi Định nghĩa I.4 [2] Giả sử A  X Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của A và kí hiệu là CoA

CoA là bao lồi đóng của tập A, là tập lồi nhỏ nhất chứa A Tập A được xem là lồi khi và chỉ khi A bằng CoA.

Co A là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A, và A là tập lồi đóng nếu và chỉ nếu A bằng Co A Theo định lý I.4, bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A.

Trước hết, ta chứng minh bao đóng của một tập lồi là tập lồi Tức là, nếu A là tập lồi thì A cũng là tập lồi

Giả sử U là một lân cận lồi của 0 Do x i  A nên  x i  U    A   i  1, 2  Do đó   x i '  x i  U   A i   1, 2  Đặt   2 '

Vì A lồi nên x '  A Do đó

 x  U   A   Vậy, x  A , hay A là tập lồi

Vì CoA là lồi nên CoA lồi Như vậy CoA là một tập đóng chứa A

Mặt khác, do CoA là giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A nên:

Giả sử X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff Định nghĩa I.6 [2] Tập K  X gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

K gọi là nón có đỉnh tại x 0 nếu K – x 0 là nón có đỉnh tại 0 Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi

Ví dụ a) A :   x   x  0  là một nón, không lồi b) B :    x x 1 , 2 , , x n    n ; x i  0, i  1, n  là một nón lồi

Trong giải tích lồi, hai loại nón lồi điển hình thường được đề cập là nón lùi xa và nón pháp tuyến Theo định nghĩa I.7, cho tập lồi C trong không gian X, một vectơ y khác không được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ trong C theo hướng y đều nằm hoàn toàn trong C Điều này có nghĩa là y là hướng lùi xa khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện trên.

Tập ReC gồm tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc được gọi là nón lùi xa của C

Mệnh đề I.5 [1] Giả sử C là một tập lồi, đóng Khi đó, y là một hướng lùi xa của C khi và chỉ khi

  y C  x với một điểm x nào đó thuộc C Định nghĩa I.8 [1] Cho C  X là một tập lồi và x  C Tập

N C x    X  y     x y C là một nón lồi đóng Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x Tập

       gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x

Hiển nhiên, nón N C   x chứa đỉnh 0

I.13 Tập affine và bao affine

Trong đại số tuyến tính, các khái niệm như không gian con và siêu phẳng là những trường hợp đặc biệt của tập affine Theo định nghĩa, một tập C được coi là tập affine nếu nó bao gồm mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ trong tập đó.

1) Tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi

2) Mọi siêu phẳng trong  n đều là tập affine

Mệnh đề sau đây cho ta thấy tập affine chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

Mệnh đề I.6 khẳng định rằng tập M khác rỗng là một tập affine nếu và chỉ nếu nó có dạng M = L + a, trong đó L là một không gian con duy nhất và a thuộc M Để chứng minh, trước tiên, nếu M là một tập affine và a thuộc M, ta có thể xác định L = M - a là một không gian con Ngược lại, nếu M có dạng M = L + a với L là một không gian con và a thuộc M, thì điều này cũng thỏa mãn định nghĩa về tập affine.

Do x – a và y – a đều thuộc không gian con L nên

 1    x  a     y  a   L Vậy  1    x   y  M Suy ra M là một tập affine

Không gian con L ở trên là duy nhất Thật vậy, nếu M = L + a và M  L '  a ' , trong đó L, L ’ là những không gian con và a , a '  M thì

Do a '  M  L  a nên a '  a  L Suy ra L '  L  a  a '  L Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với

M Từ mệnh đề trên ta rút ra định nghĩa sau : Định nghĩa I.10[1] Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affine M là thứ nguyên (hay chiều) của không gian con song song với M và được ký hiệu là dimM

Mệnh đề sau đây cho ta thấy rằng, mọi tập affine đều là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

Mệnh đề I.7 [1] Mọi tập affine M   n có số chiều r khi và chỉ khi

M  x   Ax  b , trong đó b   m , A  Mat m n   ,   và rank A = n – r

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập affine có số chiều r và M = L +a với a  M Vậy

L = M – a là không gian con có số chiều là r của R n Do đó L có dạng:

L  x   Ax  , trong đó A  Mat m n   ,   và rank A = n – r từ M = L +a, suy ra

M là tập hợp các điểm x thuộc không gian thực n sao cho Ax = b, với A là ma trận m x n và b thuộc không gian thực m, đồng thời rank A = n - r Tập hợp M là một tập affine, và không gian con song song với M được định nghĩa là L = {x ∈ ℝⁿ | Ax = 0} Từ điều kiện rank A = n - r, ta suy ra rằng dim L = r, do đó dim M = r Theo định nghĩa, x được gọi là tổ hợp affine của các điểm (vector) x₁, x₂, , xₖ nếu tồn tại các hệ số j₁, j₂, , jₖ sao cho x = ∑ jₖ xₖ.

 j Định nghĩa I.12[1] Bao affine của C là giao của tất cả các tập affine chứa C Ký hiệu là aff C

Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết cấu trúc của aff C

Mệnh đề I.8 [1] AffC là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc C

Ta gọi M là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc C, tức là:

Vì C  affC và affC là tập affine nên M  affC

Ta chứng tỏ M là một tập affine Thật vậy, giả sử x , y  M Theo định nghĩa của

Với  bất kỳ, ta có

Z là một tổ hợp affine của các điểm thuộc tập C, do đó z thuộc M, từ đó suy ra M là một tập affine, nghĩa là M = aff C Định nghĩa thứ nguyên (hay chiều) của một tập C là thứ nguyên của bao affine của nó, tức là dim C = dim (aff C) Các điểm x0, x1, , xk trong không gian R^n được gọi là độc lập affine nếu bao affine căng bởi chúng có thứ nguyên k.

Mệnh đề dưới đây cho ta một tính chất đặc trưng của các điểm độc lập affine

Mệnh đề I.9 [1] Các điều sau đây tương đương: a Các điểm x 0 , x 1 , , x k độc lập affine b Với mỗi i, các véctơ x j  x i ,  j  0 , 1 , k ; j  i  độc lập tuyến tính trong  n

Chứng minh Đặt S   x 0 , x 1 , , x k  , L là không gian con song song với aff S Không mất tính tổng quát, ta giả sử i = 0 đặt y j  x j  x 0 suy ra y j  L ,  j  1 , 2 , , k Cho j k j j x x 

 là một tổ hợp affine bất kỳ của các điểm x 0 , x 1 , , x k Vì 1

Ta suy ra affS  x 0  span  y 1 , y 2 , , y k  trong đó span  y 1 , y 2 , , y k  là không gian con sinh bởi các véctơ  y 1 , y 2 , , y k  Theo mệnh đề 1.1.10, ta có L  span  y 1 , y 2 , , y k 

Vậy dim L = k khi và chỉ khi y 1 , y 2 , , y k độc lập tuyến tính trong  n

Mệnh đề I.10[1] Cho hai tập affine A và B trong  n Giả sử dim A = dim B, khi đó tồn tại một ánh xạ affine 1 – 1 T: A  B sao cho TA = B

Theo giả thiết, A và B là các tập affine đồng thời dim A = dim B = m nên chúng là bao affine của m + 1 điểm độc lập affine Giả sử

Do a 0 , a 1 , , a m là các điểm độc lập affine nên theo mệnh đề I.9, các véctơ

Tương tự, các véctơ b 1  b 0 , b 2  b 0 , , b m  b 0 cũng độc lập tuyến tính

Với mọi x  A đều biểu diễn duy nhất dưới dạng j m j x   j 

Trong đó  j  a j  a 0 Đặt  j  b j  b 0 , T    j   j ,  j  0 , 1 , , m Ta lấy

Dễ dàng kiểm tra được T là ánh xạ affine và TA = B

Trong tối ưu hóa và các lĩnh vực toán học ứng dụng khác, việc làm việc với các tập lồi trong không gian n có thứ nguyên không đầy đủ là rất phổ biến Mặc dù những tập lồi này không có điểm trong, nhưng nhờ vào cấu trúc lồi, chúng vẫn có điểm trong tương đối Khái niệm điểm trong tương đối đóng vai trò quan trọng trong giải tích lồi Theo định nghĩa, một điểm a thuộc tập C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó là điểm trong của C theo tôpô cảm sinh bởi affC.

Tập các điểm tương đối của C ký hiệu là riC Theo định nghĩa trên ta có:

 a C B a B affC C  riC    :    , trong đó B là một lân cận mở của gốc tọa độ 0

Tập hợp C được ký hiệu là bao đóng của C, trong khi đó tập hợp C \ riC được gọi là biên tương đối của C Tập C được xem là mở tương đối nếu C bằng riC Theo định nghĩa, mọi tập affine đều được coi là mở tương đối.

1 Nếu int C   thì riC  int C

2 Nếu C 1  C 2 thì chưa chắc riC 1  riC 2 Mệnh đề dưới đây cho chúng ta thấy điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm trong tương đối của một tập lồi

Mệnh đề I.11[1] Cho C   n là một tập lồi Khi đó a  riC khi và chỉ khi

Bằng cách sử dụng bao affine của tập hợp C, ta có thể giả định rằng kích thước của C là n mà vẫn giữ tính tổng quát Khi đó, nội dung của C sẽ được biểu diễn bởi riC = int C Điều kiện cần thiết là với mọi điểm a thuộc vào int C, sẽ tồn tại một hình cầu B[a, r] sao cho hình cầu này hoàn toàn nằm trong C.

Với  đủ nhỏ, ta có a    x  a  thuộc C Để đơn giản hóa, giả sử a = 0 Gọi e i (i = 1, 2, , n) là véctơ đơn vị thứ i trong  n Theo điều kiện đủ, với x = e i, tồn tại  i > 0 sao cho  i e i thuộc C Tương tự, khi x =  e i, tồn tại  i > 0 sao cho   i e i thuộc C.

Lấy   min   i ,  i i  1 , 2 , , n  và hình cầu  B   x R n : x 1    , trong đó

  với x T   x 1 , x 2 , , x n  Lấy u i   e i  i  1 , 2 , , n  Vì C là tập lồi nên

Do đó, x là tổ hợp lồi của 0  C , u i  C với i  I  ,  u i  C với i  I  Vì C là tập lồi nên x  C Vậy B  C

Hàm lồi

Hàm lồi là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc vẽ đồ thị và chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, tác giả giới thiệu định nghĩa tổng quát về hàm lồi, cùng với những tính chất nổi bật của nó Cụ thể, định nghĩa I.16 [2] chỉ ra rằng X là không gian lồi địa phương và D là tập con của X.

Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu: epif, được định nghĩa:

Epif:=    x r ,   D  : ( ) f x  r  Định nghĩa I.17 [3] Miền hữu dụng của hàm f, kí hiệu: domf , được định nghĩa

D   Định nghĩa I.18[2] Hàm f được gọi là lồi trên D nếu Epif là tập lồi trên X  Nhận xét Nếu f là hàm lồi trên D thì domf là tập lồi trên D

Domf là hình chiếu của Epif trên X

Suy ra, D omf là ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính

Vậy, D omf là tập lồi

  : :  1 2 2 2 n 2  1 2 f x    x  x  x   x là một hàm lồi Định lí I.1 Cho D là một tập lồi trong X, f: D        Khi đó, f lồi trênD khi và chỉ khi      0,1  x y ,  D :

*Điều kiện cần: Giả sử f lồi trên D,   (0,1) Nếu x domf  hoặc y d  omf thì

( ) f x   hoặc f y ( )   Suy ra nếu x  C nếu x  C

Nếu x y ,  d omf , nghĩa là f(x) < +  và f(y) < +  Theo nhận xét trên: Vì f là hàm lồi nên domf lồi Do đó ta có:

Vì Epif lồi nên  ( , ) x r  Ep if,  ( , ) y s  Ep if ta có:

( (1 ) ) 1 f  x    y   f x    f y *Điều kiện đủ: Ngược lại, lấy (x,r)  Epif, (y,s)  Epif,   [0,1] , Ta cần chỉ ra:

Epif là tập lồi, với f được định nghĩa là hàm lồi Theo định nghĩa I.19, cho C là tập lồi không rỗng trong không gian n chiều và hàm f từ C đến R, hàm f được gọi là chính thường nếu miền xác định của f không rỗng và giá trị của f luôn lớn hơn -∞ cho mọi x thuộc C Hàm f được coi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong không gian n+1 Theo định nghĩa I.20, cho hàm g từ C đến R, g được gọi là bao đóng của f nếu epi g bằng epi f, và bao đóng của f được ký hiệu là f.

1 Từ định nghĩa của epif, ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác định nếu biết epif

2 Nếu f là hàm lồi trên một tập lồi C   n thì ta có thể khai triển f lên toàn không gian  n bằng cách đặt

Ta thấy f e   x  f   x ,  x  C và f e lồi trên  n Hơn nữa, f e là chính thường khi và chỉ khi f chính thường, f e đóng khi và chỉ khi f đóng

3 Nếu f là một hàm lồi trên R n thì dom f là một tập lồi vì dom f chính là hình chiếu của epif trên tập  n , tức là

 : ,  domf  x     x   epif Định nghĩa I.21[2] Cho C   n là một tập lồi khác rỗng

Hàm f :  n       được gọi là lồi chặt trên C nếu  x y ,  C ,     0,1 ta có:

Hàm f :  n       được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số  nếu

Nhận xét f lồi mạnh trên C với hệ số   0 khi và chỉ khi hàm

Bất đẳng thức mà chúng ta sẽ thảo luận là một phần quan trọng trong chương trình phổ thông, liên quan đến các bất đẳng thức về hàm lồi Đây là một bất đẳng thức tổng quát, trong đó các bất đẳng thức Cauchy và Bunhia được coi là những trường hợp đặc biệt.

Mệnh đề I.14 (Bất đẳng thức Jensen) [1]

Nếu f là hàm lồi xác định và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì, với mọi

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với m = 2: Bất đẳng thức (1.5) được suy ra từ hàm lồi

Giả sử bất đẳng thức đúng với m – 1, ta chứng minh nó đúng với m Thật vậy, giả sử  m  1 , đặt  

    m   m m m x f y f x y f        Theo giả thiết quy nạp, ta có

Sau đây ta sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi

Mệnh đề I.15 [1] Một hàm f C :   là lồi trên C khi và chỉ khi

Để chứng minh điều kiện cần, giả sử f là hàm lồi trên tập C Khi đó, với mọi x, y thuộc C và mọi α ≥ f(x), β ≥ f(y), ta có thể suy ra rằng các điểm (x, α) và (y, β) đều thuộc vào tập epif Vì f là hàm lồi, nên tập epif cũng là một tập lồi.

  x  1   y      1     f Điều kiện đủ: Giả sử   x ,  và  y ,   thuộc epif suy ra f   x   và f   y  

Theo giả thiết điều kiện đủ,      0 , 1 ta có

 Vậy epif là tập lồi hay f là hàm lồi trên C Định nghĩa I.21[2] Hàm f xác định trên X gọi là thuần nhất dương nếu

( x f x f    ,  x  X     0 ,   Định lý I.2 Hàm thuần nhất dương f : X     ;   là hàm lồi khi và chỉ khi:

 x y  f     x f y f     x , y  X Chứng minh a) Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x , y  X Khi đó,

Lấy  x i , r i   epif  i  1 , 2  , vì f  x 1  x 2   f     x 1  f x 2  r 1  r 2 cho nên  x 1  x r 2 , 1  r 2   epif

Hơn nữa, vì f là hàm thuần nhất dương, nên nếu   x , r  epif thì f   x  r và

  , Vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Suy ra epif là nón lồi

Hệ quả 1 Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó,   x i X ,

Hệ quả 2 Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó,  x  X :

Các phép toán về hàm lồi

f m f 1   là một hàm lồi Định lý I.4 Giả sử F là tập lồi trong X   và

  x    x F  f  inf  : ,   Khi đó, f là hàm lồi trên X Định lý I.5 Giả sử f 1 , , f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, hàm

1 : , inf là hàm lồi trên X Định lý I.6 Giả sử f     I  là các hàm lồi trên X Khi đó, các hàm: Sup f   x

  inf là hàm lồi Để hiểu rõ hơn về các phép toán trên, độc giả có thể xem [2], từ trang 47 đến trang 50

Chương I của bài viết tập trung vào khái niệm tập lồi và hàm lồi, cùng với các tính chất liên quan như dấu hiệu nhận biết và các phép toán Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến một số tập lồi quan trọng như tập affine và nón Vấn đề dưới vi phân của hàm lồi sẽ được khám phá trong chương tiếp theo.

Dưới vi phân của hàm lồi 23

Dưới vi phân của hàm lồi

Cho f là hàm lồi trên X Định nghĩa II.2 a Phiếm hàm x *  X * được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x  X nếu x X

( ) ( ) * , f x  f x   x x   x b Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x Kí hiệu là  f x ( ) Như vậy,

        c Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu  f x ( )   Ở đây,  x x * ,   x là giá trị của phiếm hàm x * tại x  x Nghĩa là :

     Định lí II.2 Cho f là hàm lồi chính thường X; x domf Khi đó

Vì f có đạo hàm tại x theo phương d nên:

( ; ) * , f x d    x d  +, Ngược lại; giả sử f x d  ( ; )  x d * , Lấy x  X x :   d x Ta có:

Hệ quả sau nói lên mối quan hệ giữa dưới vi phân và đạo hàm theo phương

Hệ quả  f x ( )   d f x  ( ;0) (  d là dưới vi phân của f x d  ( ; ) theo d )

Theo định nghĩa của đạo hàm theo phương, ta có:

( ;0) 0 f x   Theo định lí II.2, ta có:

  Định lí II.3 Cho f là hàm lồi chính thường x  domf trên X Khi đó:

+, Giả sử x *  f x ( ) Khi đó,   x X ta có:

Lại theo bất đẳng thức young- Fenchel:

+, Ngược lại; giả sử f x ( )  f * ( ) x *   x x * ,  Theo bất đẳng thức young- Fenchel: f x ( )  f * ( ) x *   x x * ,  Lấy x   x  d ,   0;d  X , ta được:

  Sau đây là các ví dụ về dưới vi phân của một số hàm

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh x *  f x ( )

( ) ( ) , f x  f x   x x  Điều này không xảy ra vì   0 *  

2 Xét hàm chỉ f x ( )   ( / ) x A , Trong đó A là tập lồi khác 

* Với x  A Khi đó,   x X ta có: x *  f x ( )  f x ( )  f x ( )  x x ,  x

Vì x  A nên f x ( )  0 Thay vào bất đẳng thức trên, ta được:

Vậy x * là véctơ pháp tuyến của A tại x , suy ra

3 Cho X là không gian Banack f x ( )  x

Vậy,  f   0 là hình cầu đơn vị đóng B   0;1

+ Nếu x *  X * , x *  1 và x x * ,  x Khi đó,  x  X ta có

Từ đó ta có x z * ,  x  x z * ,  x x * ,  z  x Hay là f z    f x    x z * ,  x

Theo định nghĩa II.2 thì x *  f x ( ) + Nếu x *  f x ( ) Ta có:

2 x  x  x x * ,  x x * ,  x Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta được: x x * ,  x

Cho    ta được z  x z * , Từ đó ta có x *  1

   , ta suy ra x x * ,  x (Vô lý)

Vậy: x *  1 Định lý II.4 Cho f '   x ; là hàm lồi , đóng Khi đó  f   x   và

Ta cần mệnh đề sau: Nếu f là hàm lồi, đóng, thuần nhất dương thì

Mệnh đề II.2 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên  n Khi đó

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên tập X với x thuộc domf Định nghĩa II.3 nêu rõ rằng biên độ f tại x không rỗng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới tại 0 Hàm f được coi là khả vi Gâtteaux tại điểm x thuộc X nếu tồn tại x* thuộc X* thỏa mãn điều kiện nhất định.

Khi đó, ta gọi x * là đạo hàm Gâtteaux của hàm f tại x x f G   x

Định lý II.5 nêu rõ rằng nếu f là hàm lồi trên tập X, thì có hai trường hợp quan trọng Thứ nhất, nếu f khả vi Gâtteaux tại điểm x với đạo hàm Gâtteaux là x* và f cũng khả dưới vi phân tại x, thì đạo hàm riêng của f tại x sẽ là tập hợp {x*} Thứ hai, nếu f là hàm chính thường và liên tục tại x, đồng thời đạo hàm riêng tại x cũng là {x*}, thì f sẽ khả vi Gâtteaux tại x và đạo hàm Gâtteaux của f tại x sẽ bằng x*.

Chứng minh a) Từ định nghĩa về hàm khả vi Gâtteaux, ta có :

 x y d  x *  y *  0  x *  y * Vậy,  f   x    x * b) Giả sử  f   x    x * Ta có f '   x , liên tục Do đó f '   x , là hàm đóng Vì vậy,

Vậy, f khả vi Gâtteaux tại x và f G '   x  x *

Các định lý cơ bản về dưới vi phân

Cho X là không gian tuyến tính, lồi địa phương Hausdorff

Mệnh đề II.4 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và   0 Khi đó,  x  X

Với x  domf , do f lồi chính thường và   0 , nên  f lồi chính thường và

 f x f x Định lý II.6 (Moreau – Rockafellar) Giả sử f 1 , , f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó,  x  X ,

Hơn nữa, nếu tại điểm m i i domf x

 , tất cả các hàm f 1 , , f m liên tục ( có thể trừ ra một hàm), thì

Hệ quả Giả sử f 1 , , f m là các hàm lồi chính thường trên X và  1  0 , ,  m  0 Khi đó,  x  X ,

Hơn nữa, nếu tại m i i domf x

  , tất cả các hàm f 1 , , f m liên tục ( có thể trừ ra một hàm), thì  x  X ,

  1 1   1 1  Định lý II.7 Giả sử X, Y là các không gian lồi địa phương Hausdorff A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục f là hàm xác định trên Y Khi đó,

Hơn nữa, nếu f lồi và liên tục tại một điểm nào đó thuộc ImA thì  x  X ,

A *    Chứng minh a Lấy x *  A *  f   Ax Khi đó,  y *   f   Ax sao cho: x *  A * y * Do đó,

 A *  f   Ax      fA x b Giả thiết f là hàm lồi, liên tục tại điểm A x , x  X Xét hai trường hợp: b 1 ) Nếu     fA x   , theo (a), A *  f   Ax      b đúng b 2 ) Nếu     fA x   ta có     fA ' x ; z  f '  Ax ; Az 

Vì f '   Ax ;  liên tục tại điểm A   x  x  Im A , nên ta được:

 A *  f '  Ax ; 0   A *     fA x Định lý II.8 Giả sử f   s , x lồi theo x với mỗi s  S và nửa liên tục trên theo s với mỗi x  X Khi đó với mỗi x  X ,

Hơn nữa, nếu mỗi s  S , hàm f   s ; liên tục tại x , thì

  0 , trong đó, f s    là hàm trên X được xác định bởi f s   x  f   s ; x

Hệ qủa Giả sử X  R n hàm f   s ,  lồi, liên tục tại x và hàm f    , x nửa liên tục trên Khi đó, mọi y   f   x đều có thể biểu diễn dưới dạng: m m y y y   1 1    , trong đó m   n 1;  i  0,  1    m  1; y i  f S i   x , S i  S 0   x i   1, , m 

Dưới vi phân của hàm lồi địa phương

Định nghĩa II.4[2] Hàm f xác định trên X được gọi là lồi địa phương tại điểm X x  , nếu đạo hàm theo phương f '   x ; tại x tồn tại và lồi

Giả sử Y là một không gian lồi địa phương Hausdorff Định nghĩa II.5: Ánh xạ F: X → Y được coi là khả vi theo phương d tại điểm x nếu tồn tại giới hạn.

Ánh xạ F: X  Y được gọi là khả vi đồng đều theo phương d tại điểm x nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận U của d trong X và số  0 > 0 sao cho với mọi z thuộc U và mọi  trong khoảng (0,  0), điều kiện khả vi đồng đều được thỏa mãn.

Mệnh đề II.5 nêu rằng nếu ánh xạ F : X  Y khả vi đồng đều theo mọi phương tại điểm x, thì đạo hàm theo phương F, ký hiệu là F, (x;.) là ánh xạ liên tục từ X vào Y Định nghĩa II.7 chỉ ra rằng hàm f xác định trên X được gọi là lồi địa phương chính quy tại x nếu f lồi địa phương và khả vi đồng đều tại x Nhận xét cho thấy nếu f là hàm lồi địa phương chính quy tại x, thì F, (x;.) là hàm lồi liên tục Cuối cùng, theo định lý II.9, nếu f là hàm lồi chính thường trên X, thì f lồi địa phương chính quy tại x khi và chỉ khi f liên tục tại x.

Chứng minh a Giả sử f lồi địa phương chính quy tại x Khi đó,  d  X ,    0 , tồn tại lân cận

U của d và số  0  0 sao cho     z U ,  (0,  0 ) , ta có

Lấy d=0, ta suy ra f liên tục tại x b Ngược lại, Giả sử f liên tục tại x Do f là hàm lồi,   x domf , f x , ( ;.) là hàm lồi

Ta chỉ cần chứng minh, f khả vi đồng đều theo mọi phương, tức là  d  X ,    0 , tồn tại lân cận U của d và số  0  0 sao cho:

Do f liên tục tại x nên f liên tục trong lân cận U 0 của x Chọn  0  0 sao cho

Bởi vì x   0 d  U 0 , nên f liên tục tại x   0 d Do đó, tồn tại lân cận U của d sao cho:

Không mất tính tổng quát có thể xem tập U là đối xứng qua d, tức là: U chứa z cùng với điểm y z ( để cho 1   d  2 z  y ) Hay là, có thể thay U bằng tập

Mặt khác, nếu z U  thì y  2 d   z U Do đó,

Hàm f được xác định là hàm lồi địa phương chính quy tại điểm x Theo định nghĩa II.8, dưới vi phân của hàm lồi địa phương f trên tập X tại x thuộc miền xác định của f, ký hiệu là  f(x), được định nghĩa một cách cụ thể.

   , trong đó  d là dưới vi phân của hàm lồi f '   x d ; theo biến d

Mỗi phần tử   f x   được gọi là dưới đạo hàm của f tại x Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nếu  f x    

Nếu f là một hàm lồi, thì dưới vi phân của nó theo định nghĩa sẽ trùng với dưới vi phân của hàm lồi f Định lý II.10 cho biết rằng nếu f1 và f2 là các hàm lồi địa phương chính quy tại điểm x, thì tổng f1 + f2 cũng sẽ là một hàm lồi địa phương chính quy tại điểm x.

Ứng dụng dưới vi phân vào bài toán tối ưu 37

Định nghĩa bài toán tối ưu

Min  f x ( ) | x  C } , trong đó, C  X là tập chấp nhận được (tập rằng buộc), X là không gian nào đó, : f C  R là hàm mục tiêu Mỗi x  C gọi là một phương án chấp nhận được

Một lời giải x  gọi là tối ưu (toàn cục) nếu x *  C , f x ( ) *  f x ( )   x C Một lời giải x  gọi là tối ưu địa phương nếu có một lân cận w của x * sao cho:

Vì rằng, Max { ( ) : f x x  C } = -Min   f x ( ) : x  C } , nên chỉ cần bàn đến các bài toán tìm cực tiểu

Một câu hỏi quan trọng là liệu bài toán có tồn tại lời giải tối ưu hay không Theo định lý III.1, một hàm f(x) nửa liên tục dưới trên tập compact C sẽ đạt cực tiểu trong tập này.

Nhắc lại rằng, hàm số f C :  R là nửa liên tục dưới tại x  C nếu:

Theo định nghĩa của số   inf{ ( ) : f x x  C } , có dãy { } x * k  C sao cho:

Do C compack nên dãy { } x k * có dãy con hội tụ Có thể giả sử 0 k n x   x C Theo định nghĩa về nửa liên tục dưới,   f x ( ) 0 Vì f x ( 0 )  R nên   

Mặt khác, Vì x 0  C nên f x ( ) 0   Vậy f x ( ) 0  

Chú ý rằng, nếu tập C chỉ là tập đóng mà không có tính chất compact, thì hàm f(x) nửa liên tục dưới trên C có thể không đạt cực tiểu Để hàm f(x) thỏa mãn điều kiện cần thiết, theo Định lý III.2, hàm này phải nửa liên tục dưới trên tập đóng C khác rỗng và đồng thời thỏa mãn điều kiện bức trên C.

( ) f x   khi x  C , x   thì f phải có cực tiểu trên C

Lấy a  C , f a ( )   Tập D   x  C f x / ( )  f a ( )}  C là tập đóng Ta chỉ ra D là tập compack

Thật vậy, ta chỉ ra D bị chặn Nếu D không bị chặn thì có dãy   x k  C với:

( k ) ( ) f x  f a và x   do điều kiện bức, nên f x ( k )   (mâu thuẫn).Vậy D bị chặn.Từ đó D compack

Hàm f x ( ) đạt cực tiểu trên miền D, và cực tiểu này cũng là cực tiểu trên miền C Theo định lý III.3, với hàm f: R^n → R là hàm lồi, mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên tập lồi đều là cực tiểu toàn cục Hơn nữa, tập hợp các điểm cực tiểu tạo thành một tập lồi Nếu hàm f lồi chặt, thì điểm cực tiểu (nếu tồn tại) là duy nhất.

Cho tập lồi C  R n Gọi x * là điểm cực tiểu địa phương của f trên C Khi đó tồn tại lân cận U của x * sao cho: f x ( ) *  f x ( )    x U C Suy ra

Ta có: f x ( ) *  f x (  )   (1  ) ( ) f x *   f x ( )  f x ( ) Vậy, x * là cực tiểu toàn cục

Nếu x * ; y * là các cực tiểu toàn cục thì f x ( ) *  f y ( * ) ; f y ( * )  f x ( ) * Do đó

Lấy z *   x *   (1  ) y * Do C là tập lồi nên

Vậy, z * cũng là điểm cực tiểu toàn cục

Như vậy, tập các điểm cực tiểu của f trên C là tập lồi Dễ thấy, nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu (nếu tồn tại) là duy nhất

Bây giờ ta xét kỹ hơn đến điều kiện để có cực tiểu của một hàm lồi f Cụ thể là 8 bài toán cực trị sau.

Bài toán lồi

(P1): Min f x  ( )  Định lý III.4 Để x * là nghiệm của bài toán (P1), điều kiện cần và đủ là:

0  f x Chứng minh x * là nghiệm của (P1) thì   x X , ta có

III.2.2 Bài toán lồi có rằng buộc đẳng thức Cho f là hàm lồi trên X, C là đa tạp tuyến tính song song với không gian con M trong X Xét bài toán:

(P2): Min f x  ( ) : x  C  Định lý III.5 a Nếu f liên tục tại một điểm của C, x * là nghiệm của (P2) Khi đó,

   b Nếu x *  C :  f x ( ) *  M    Khi đó x * là nghiệm của (P2)

L x là hàm lồi trên X Với x  C thì L x ( )  f x ( ) Nếu x  là nghiệm của (P2) thì x *  C , f x ( ) *  f x ( ) Suy ra

L x  L x   x X Vậy, x  là nghiệm của bài toán Min L x  ( )  Theo định lí III.4,

Do f liên tục, áp dụng định lý Moreau-Rockerfellar ta được:

0   f x ( ) *  M  b Giả sử x *  C thỏa mãn:  f x ( ) *  M    Khi đó,  x   f x ( ) *  M 

    f x ( )  f x ( ) * Với x  M  , Mà với x  C thì x   x * M nên

( ) ( ) * 0 f x  f x   f x ( ) *  f x ( )   x C Hay là, x * là nghiệm của (P2) Định lí III.6 Cho X là không gian Banach; x * i  X * ;  i   (i = 1,…,m) và

Giả sử f là hàm lồi trên X và liên tục tại một điểm của M Khi đó, x đạt cực tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi tồn tại  i   , ( i  1, , ) m sao cho:

Bổ đề Cho X là không gian Banach; x * i  X * ; (i = 1,…,m) Đặt:

Khi đó, M   lin x { , , 1 * x * m } Chứng minh định lý Đa tạp tuyến tính C song song với không gian con M:

Từ định lý trên, ta suy ra: x đạt cực tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi tồn tại

Theo bổ đề trên: x *  M   lin x { , , 1 * x * m }

Do vậy, tồn tại các số  1 , ,  m sao cho  1 1 x *    m m x *  f x ( ) (Đpcm)

III.2.3 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức

Cho X là không gian lồi địa phương Hausdorff; f 0 , , f m là các hàm hữu hạn trên

 Hàm số sau đây được gọi là hàm Lagrange của bài toán (P3):

  Định lý III.7(Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử các hàm f 0 , , f m và tập A lồi x là điểm chấp nhận được của bài toán P(3) Khi đó:

Nếu x là nghiệm của bài toán P(3), thì tồn tại các nhân tử Lagrange  i  0 ( i  1, , ) m không đồng thời bằng không sao cho:

(Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker) Hơn nữa, nếu điều kiện Slater sau đây thỏa mãn:

Giả sử các hàm f_0, , f_m và tập A lồi, với f_0, , f_m liên tục tại một điểm của A Nếu x là điểm chấp nhận được của bài toán (P3) và là nghiệm của bài toán này, thì tồn tại các nhân tử Lagrange không đồng thời bằng 0, với điều kiện λ_i ≥ 0 (i = 1, , m).

Nếu điều kiện Slatter được thỏa mãn, thì có thể khẳng định rằng  0  0 và xem như  0  1 Nếu giả thiết của phần (a) thỏa mãn với  0  1, thì x sẽ là nghiệm của bài toán (P3) Để chứng minh, chúng ta xem xét hàm Lagrange của bài toán (P3) theo dạng:

Do x là nghiệm của (P3), ta thu được điều kiện cần:

  , ( i  1, , ) m (Định lí Karush- Kuhn-Tucker)

Vì thế, hàm L 1 (.;  0 , ,  m ) đạt cực tiểu tại x Từ đó suy ra:

Vì   ( / ) x A  N x A ( / ) , Theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có:

0    f x ( )     m f m ( ) x  N x A ( / ) b Giả sử (1) và (2) thỏa mãn với  0  1 Khi đó, tồn tại x i *  f x i ( ) , ( i  1, , ) m và

Từ định lý Karush- Kuhn-Tucker, x là nghiệm của (P3) (Đpcm)

Bài toán trơn

Giả sử X là không gian banach, Tập M  X Định nghĩa III.2.[2] Véc tơ v  X được gọi là tiếp xúc với tập M tại điểm x 0  M , nếu    0 và ánh xạ f : 0;     X sao cho:

Tại điểm x₀, tập hợp tất cả các véc tơ tiếp xúc với tập M được gọi là nón tiếp tuyến và được ký hiệu là T M(x₀) Nón tiếp tuyến này bao gồm véc tơ 0, cho thấy rằng 0 thuộc về T M(x₀).

T M x   Định lý Ljusternik [2] Giả sử X, Y là các không gian Banach; U là một lân cận của điểm x 0  X ; Ánh xạ F U :  Y khả vi liên tục theo nghĩa Frechet tại x 0 và

Im F x 0  Y Đặt M   x U F x  :    F x    Khi đó, không gian tiếp xúc với tập M tại x trùng với KerF ,   x 0 Nghiã là:

T M x  KerF x Đồng thời, tồn tại lân cận U '  U của x 0 , số k  0 và ánh xạ   x    từ U ' vào

III.3.2 Bài toán trơn không có ràng buộc

Cho X là không gian tôpô tuyến tính Hàm f xác định trên X Xét bài toán

(P4): f x ( )  min Định lý III.9 Giả sử f là hàm khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm Gâteaux f G ' ( ) x , x là nghiệm của bài toán (P4) Khi đó:

Do f khả vi Gâteaux tại x , ta có thể khai triển: f x tv       f x   t f G '   x v ,   0   t    v X 

Vì vậy, tồn tại giới hạn    

  Do đó, hàm    t  f x tv    có đạo hàm tại điểm 0 là  ’(0):

Do x là cực tiểu địa phương của (P4), nên t=0 là cực tiểu địa phương của hàm  (t) trên  Vì vậy,

Hệ quả Giả sử X là không gian banach, hàm f khả vi Fréchet tại x với đạo hàm

Féchet F x '   ; x là nghiệm của (P4) Khi đó,

III.3.3 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức

Giả sử X, Y là các không gian Banach, hàm f xác định trên X, ánh xạ F X :  Y Xét bài toán:

 Hàm Lagrange của bài toán (P5) được thiết lập như sau:

L x  y   f x  y F x   0  R y , *  Y *  Định lý III.10 (Quy tắc nhân tử Lagrange)

Giả sử hàm f và F khả vi Fréchet tại điểm x, với các đạo hàm Fréchet f' và F x' tương ứng Nếu x là cực tiểu địa phương của bài toán (P5) và tập F x' (X) là đóng, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ ≠ 0 và y* ≠ 0.

Hơn nữa, nếu F khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet tại x và F x X '    Y , thì  0  0 và có thể xem như  0  1 Chứng minh

Theo giả thiết, F(x, X') là không gian con đóng trong Y, có thể xảy ra hai trường hợp: F(x, X') = Y hoặc F(X') ⊆ Y Trường hợp F(x, X') = Y: Theo định lý Ljusternik, không gian tiếp xúc với tập

M  x  X F x  tại x trùng với K F x er '   Do đó, nếu v  K F x er '   , thì

  , và tồn tại số   0 , ánh xạ r :     ,   X sao cho:

F x t v  Đặt    t  f x t v    ,  Khi đó,    t đạt cực tiểu địa phương tại t = 0 Do đó,

Từ giải tích hàm, do F x '   là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X lên không gian Banach Y, nên

Suy ra, tồn tại y *  Y * sao cho:

Từ đó suy ra, với  0  1 , ta có:

L x x  y   f x  F x y  b Trường hợp F x '   X   Y: Khi đó,   y 0 Y F x X / '   Do Y F x X / '   mở, tồn tại lân cận mở V của y 0 sao cho V  F x X '     Khi đó,   y * Y * , y *  0 , sao cho:

Bài toán trơn - lồi

Giả sử X, Y là các không gian banach, W là một tập bất kì, các hàm f 0 , f 1 , , f m xác định trên X W  và ánh xạ F X W :   Y Xét bài toán:

 Tập chấp nhận được của bài toán (P6) là:

Q  x u   X W F x u  f x u  i  m Định nghĩa III.11[2] Cặp   x u ,  Q được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán

(P6), nếu tồn tại lân cận U của x sao cho:

Hàm Lagrange của bài toán (P6), được thiết lập như sau:

   trong đó,  i    i  1, , m  , y *  Y * Định lý III.12 (nguyên lý cực trị )

Giả sử \( x \) là cực tiểu địa phương của bài toán (P6), tồn tại lân cận \( U \) của \( x \) trong \( X \) sao cho: a Với mỗi \( u \in W \), ánh xạ \( F(., u) \) và các hàm \( f_i(., u) \) (với \( i = 0, , m \)) khả vi liên tục theo nghĩa Frechet tại \( x \) b Với mỗi \( u \in U \), ánh xạ \( F(., u) \) và các hàm \( f_i(., u) \) thỏa mãn điều kiện lồi: với mọi \( u_1, u_2 \in U \) và \( \alpha \in [0,1] \), tồn tại \( u \in W \) sao cho:

  ,  , 1   1   , 2  i i i f x u   f x u    f x u (i=1,…,m) c Ánh xạ F x u x '   , : X  Y có đối chiều hữu hạn: co dim F x u x '   ,   Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrangge  0  0, ,  m  0 và y *  Y * không đồng thời bằng 0 sao cho:

F x u X  F x  F x u  F x u x u   X , chứa một lân cận của 0 trong Y, và tồn tại x u ,

        với mọi i mà f x u i   ,  0 , thì  0  0 và có thể xem như  0  1

Bây giờ, ta xét bài toán sau:

 trong đó, các hàm f 0 , f 1 , , f m xác định trên X W  ; h 1 , , h n là các hàm thực xác định trên X  W ; G X :  W  Y 1 với Y 1 là không gian Banach

Hàm Lagrange của bài toán (P7) có dạng:

Giả sử \( u \) là cực tiểu địa phương của bài toán (P7); tồn tại lân cận \( U \) của \( x \) trong \( X \) sao cho: a Với mỗi \( u \in W \), ánh xạ \( G(.,u) \) và các hàm \( f_{x_i}(.,) \), \( h_{j}(x,.) \) (với \( i=1,…,m; j=1, ,n \)) khả vi liên tục theo nghĩa Frechet tại \( x \) b Với mỗi \( x \in U \), ánh xạ \( F(x,.) \) và các hàm \( f_{i}(., u) \), \( h_{j}(., u) \) (với \( i=1,…,m; j=1, ,n \)) thỏa mãn điều kiện lồi sau: với mọi \( u_1, u_2 \in W \) và \( \alpha \in [0,1] \), tồn tại \( u \in W \) sao cho:

  ,  , 1   1   , 2  j j h x u   h x u    hj x u (j=1,…,n) c G x '   x u , : X  Y 1 là ánh xạ lên Im G ' x   x u ,  Y 1

Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrange  i  0 (i=1,…,m),  j  (j=1,…,n), y *  Y 1 * không đồng thời bằng 0 sao cho:

Cuối cùng, ta xét bài toán:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét ánh xạ F từ không gian Banach X đến không gian Banach Y, với các hàm f_0, , f_m xác định trên X Định lý III.13 khẳng định rằng nếu x là nghiệm của bài toán (P8) với A = X và các điều kiện sau được thỏa mãn: (a) Ánh xạ F và các hàm f_0, , f_m liên tục khả vi theo định nghĩa Fréchet tại điểm x; (b) CodimIm F(x) < +∞, thì sẽ có những kết luận quan trọng về nghiệm của bài toán.

Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrange  0  0, ,  m  0, y *  Y * không đồng thời bằng 0 sao cho:

Hơn nữa, nếu F x '   là ánh xạ lên  Im F x '    Y  và tồn tại  x  X sao cho:

F x x  f i '   x x   0 với các chỉ số i mà f x i    0 , thì  0  0 và có thể xem như  0  1

Áp dụng nguyên lý cực trị cho bài toán trơn (P8) cho thấy rằng nếu x là nghiệm của bài toán này và các hàm f0, , fn đều là các hàm lồi trên tập X, thì F sẽ là ánh xạ affine.

F x    x y , trong đó  là toán tử tuyến tính từ X vào Y, y 0  Y ; c A là tập lồi

Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrange  0  0, ,  m  0, y *  Y * sao cho:

Hơn nữa, nếu điều kiện Slater sau đây thỏa mãn: F(A) chứa một lân cận của 0 trong Y, và tồn tại  x  A sao cho:

F x  f x   i  1, , m  , thì  0  0 và có thể xem như  0  1

Ngược lại, giả sử x là điểm chấp nhận được của bài toán (P8), các điều kiện a) - c) và điều kiện Slater thỏa mãn Khi đó, x là nghiệm của bài toán (P8)

Để chứng minh bài toán lồi (P8), ta cần áp dụng nguyên lý cực trị, từ đó rút ra điều phải chứng minh Điều kiện đủ được xác định bằng cách lấy x chấp nhận được của (P8), tức là F(x) = 0 và f(x_i) ≤ 0.

 i  1, , m x  ,  A Khi đó, từ (5.38) – (5.40), ta có:   x A ,

Vậy, x là nghiệm của bài toán (P8)

Nhận xét Định lý III.14 vẫn đúng cho trường hợp X là không gian tuyến tính

Trong toán phổ thông, học sinh đã học cách sử dụng đạo hàm để xác định cực tiểu của hàm lồi, cho thấy rằng ứng dụng dưới vi phân trong bài toán tối ưu hóa là rất quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tiễn Luận văn này sẽ đề cập đến các vấn đề liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong tối ưu hóa.

1 Định nghĩa, tính chất của tập lồi và hàm lồi Các phép toán về tập lồi và hàm lồi và trình bày một số tập lồi quan trọng: Tập affine, nón,…

2 Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi, của hàm lồi địa phương Điều kiện khả dưới vi phân tại một điểm Điều kiện để hàm khả vi Gaatteaux và các định lý cơ bản về dưới vi phân

3 Định nghĩa tổng quát về bài toán tối ưu, điều kiện để bài toán tồn tại nghiệm tối ưu Tám bài toán tối ưu và điều kiện có nghiệm của chúng

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, luận văn này không thể tránh khỏi một số sai sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành từ thầy cô và các bạn quan tâm để hoàn thiện luận văn tốt hơn.