(LUẬN văn THẠC sĩ) đặc trưng họ phân phối có chứa thống kê đủ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI CÓ CHỨA THỐNG KÊ ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI CÓ CHỨA THỐNG KÊ ĐỦ Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Thống kê đủ số kết cần dùng 1.1 Định nghĩa thống kê đủ 1.2 Định lý tách 1.3 Hai tính chất đặc trưng thống kê đủ 11 1.3.1 Tính bất biến lượng thơng tin Fisher 11 1.3.2 Định lý Bahudur 13 1.4 Hai kết đặc trưng phân phối xác suất thơng qua tính hồi quy số 15 1.4.1 Đặc trưng phân phối Gamma 15 1.4.2 Đặc trưng phân phối chuẩn 17 Đặc trưng họ phân phối có chứa thống kê đủ 2.1 18 Đặc trưng phân phối chiều mà lũy thừa chứa thống kê đủ khơng tầm thường 18 2.2 Họ mũ với tham số tịnh tiến tỷ lệ 23 2.3 Tính đủ riêng đặc trưng phân phối 34 2.4 Không gian đủ đặc trưng phân phối với không gian đủ 40 2.4.1 40 Không gian đủ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du 2.4.2 Đặc trưng phân phối với không gian đủ 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Chương Thống kê đủ số kết cần dùng 1.1 Định nghĩa thống kê đủ Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n: X = (X1 , , Xn ), Xi độc lập phân phối (X , A ) không gian mẫu, họ phân bố {Pθ , θ ∈ Θ} không gian (X , A ) thống kê S ánh xạ từ (X , A ) vào không gian (S , B) Định nghĩa 1.1.1 Thống kê S gọi thống kê đủ họ {Pθ } ∀A ∈ A , ta tìm hàm ψA = ψ[S(x)] cho Pθ (A/S) = ψA Pθ − h.k.n, ∀θ ∈ Θ, (1.1.1) đó, Pθ - h.k.n hiểu hầu khắp nơi họ độ đo Nói cách khác: Thống kê S gọi thống kê đủ xác suất có điều kiện biến cố với điều kiện thống kê S nhận giá trị xác định không phụ thuộc vào tham số θ Dễ dàng nhận thấy thống kê sau đủ cho họ phân phối tương ứng: (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du S(X) = X1 + X2 + + Xn đủ cho tham số p phân phối nhị thức S(X) = X1 + X2 + + Xn đủ cho tham số λ phân phối Poisson S(X) = X = n 1P n i=1 Xi đủ cho tham số kì vọng θ phân phối chuẩn Đối với phân phối Gamma Γ(α, β) ( n Q i=1 Xi , n P Xi ) thống kê i=1 đủ hai chiều cho (α, β) Thống kê thứ tự (X(1) , X(2) , , X(n) ) đủ họ {Pθ } Rõ ràng tồn thống kê đủ khác họ phân phối {Pθ } (vì thống kê thứ tự ln đủ cho {Pθ } ) nên người ta mong muốn tìm thống kê đủ " bé nhất" theo nghĩa đó, từ ta đưa định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.1.2 Thống kê T : (X , A ) → (T, T ) gọi thống kê đủ cực tiểu họ {Pθ } T hàm thống kê đủ S khác ( Ở đây, kí hiệu T vừa hiểu thống kê T , vừa hiểu không gian giá trị T Sự trùng khơng gây hiểu lầm nào.) Chính xác hơn, T gọi đủ cực tiểu họ {Pθ } thống kê đủ S : (X , A ) → (S , B), ta có T −1 (T ) ⊂ S −1 (B), T −1 (T ) ⊂ A S −1 (B) ⊂ A nghịch ảnh đại số T B ánh xạ Ta thấy có điều hiển nhiên là: Nếu T đủ cực tiểu thống kê đủ S thỏa mãn S −1 (B) ⊂ T −1 (T ) S −1 (B) = T −1 (T ) S thống kê đủ cực tiểu (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Dễ dàng thấy tập tỷ số hợp lý cực đại    L(θ1 | X)  L(θ2 | X) thống kê đủ cực tiểu {Pθ , θ = θ1 ∪ θ2 } Đối với họ phân phối Poisson P (λ) P S(X) = Xi đủ cực tiểu cho λ 1.2 Định lý tách Định lý tách định lý cho mô tả phân bố mà thống kê S(x) cho thống kê đủ Định lý lần thiết lập Holmos Savage (xem [4]), dạng tổng quát chứng minh sớm Fisher Neyman (xem [1]) Giả sử tất phân bố {Pθ , θ ∈ Θ} liên tục tuyệt đối độ đo µ Trong trường hợp ta nói họ {Pθ } làm trội độ đo µ Định lý 1.2.1 Để thống kê S : (X , A ) → (S , B) đủ họ {Pθ } làm trội µ, điều kiện cần đủ hàm mật độ dPθ /dµ = p(., θ) phân tích thành: µ − h.k.n, p(x, θ) = R[S(x); θ]r(x) θ ∈ Θ, (1.2.1) đó, R(., θ) hàm B - đo không âm r hàm A - đo không âm Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta sử dụng bổ đề đặc trưng metric mà chứng minh bỏ qua (xem [8]) Bổ đề 1.2.2 Nếu họ {Pθ } bị làm trội độ đo µ , tồn họ đếm {Pθ1 , Pθ2 , } cho Pθi (A) = với i = 1, 2, ta suy Pθ (A) ≡ với θ Xét độ đo xác suất λ = P ci Pθi , ∀ci > i P ci = Độ đo hiển i nhiên có tính chất λ(A) = Pθ (A) ≡ với θ ngược lại (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Điều kiện cần: Giả sử thống kê S đủ {Pθ } Khi đó, Pθ (A|S) = ψA λ(A|S) = ψA Thật ra, với B ∈ S −1 (B), ta có X  X Z Z Z X Z ψA dλ = ψA d ci P θi = ci ψA dPθi = ci dPθi B i B = X i B i B∩A ci Pθi (B ∩ A) = λ(B ∩ A) i Đặt dPθ /dλ = fθ Kí hiệu IA hàm tiêu tập hợp A, ta có với A ∈ A , Eλ (IA fθ ) = Pθ (A) = Eθ [Pθ (A|S)] = Eλ [fθ Pθ (A|S)] = Eλ [fθ λ(A|S)] = Eλ [Eλ (fθ |S)λ(A|S)] = Eλ [Eλ {IA Eλ (fθ |S)|S}] = Eλ (IA Eλ (fθ |S)) Do fθ = Eλ (fθ |S) λ − h.k.n, tức hàm mật độ fθ B - đo Hơn p( ; θ) = dPθ \dµ = (dPθ /dλ)(dλ/dµ) = fθ r fθ = fθ (S), ta nhận dạng phân tích (1.2.1) P Điều kiện đủ: Từ (1.2.1), suy dλ/dµ = r R(S, θi ) = r.G(S) i ( R[S(x), θ]/G[S(x)] G[S(x)] > Ta đặt: f˜θ (x) = G[S(x)] = Dễ thấy hàm f˜θ B - đo được, phương án đạo hàm dPθ /dλ , f˜θ = fθ λ − h.k.n Với A ∈ A , ta có: Eθ [Pθ (A|S)] = Pθ (A) = Eλ [fθ IA ] = Eλ [Eλ (fθ IA |S)] = Eλ [fθ Eλ (IA |S)] = Eθ [Eλ (IA |S)] = Eθ [λ(A|S)] Vì quan hệ với A ∈ A , nên với biến cố A ∩ B, B ∈ S −1 (B) Với biến cố hệ thức có dạng: Eθ [IB Pθ (A|S)] = Eθ [IB λ(A|S)] Từ đó, rõ ràng Pθ (A|S) = λ(A|S) Pθ − h.k.n Điều nói lên cách xác thống kê S đủ (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Ví dụ: Chẳng hạn xét X1 , X2 , , Xn độc lập phân phối chuẩn N (θ, σ ) Khi mật độ đồng thời là:   n n  X θ X n  √ Xi2 + Xi − θ exp −  2σ σ i=1 2σ  ( 2πσ )n i=1 theo định lý 1.2.1, thống kê S(X) = ( n P Xi , i=1 n P Xi2 ) đủ cho i=1 (θ, σ ) Nhận xét: Chúng ta S thống kê đủ họ làm trội {Pθ } với hàm đo giá trị thực φ(x) với Eθ |φ| < ∞, ∀θ ∈ Θ, tồn hàm φ˜ thỏa mãn: Eθ (φ|S) = φ˜ Pθ − h.k.n, θ ∈ Θ (1.2.2) Chứng minh Đặt ΘN = {θ ∈ Θ : N < Eθ |φ| ≤ N + 1}; rõ ràng ∞ [ ΘN = Θ N =0 Ứng với ΘN , ta xây dựng độ đo λN tương tự ta xây dựng độ đo λ Θ, đặt: v= ∞ X λN /2N +1 N =0 Độ đo v khác với độ đo λ mà xây dựng trước đó, chỗ Ev |φ| < ∞, Eλ |φ| vơ hạn Bây ta tiến hành tương tự chứng minh điều kiện đủ định lý 1.2.1 nhận được: Eθ (φ|S) = Ev (φ|S) Pθ − h.k.n, θ ∈ Θ (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Do (1.2.2) dùng làm định nghĩa thống kê đủ S(x) Thực ra, công thức (1.2.2) thống kê đủ sử dụng lý thuyết ước lượng Kết sau cần thiết cho phần Định lý 1.2.3 Giả sử {Pθ } họ làm trội, thống kê S : (X , A ) → (S , B) đủ họ {Pθ1 , Pθ2 }, θ1 ∈ Θ, θ2 ∈ Θ Khi đó, S(x) đủ họ {Pθ } Nói cách khác, họ làm trội, tính đủ theo cặp tương đương với tính đủ họ Chứng minh Giả sử {Pθ1 , Pθ2 , } họ đếm được, chọn chứng minh bổ đề 1.2.2, cố định θ ∈ Θ Sử dụng tính đủ S(x) họ {Pθ1 , Pθ2 , } lập luận chứng minh định lý 1.2.1, nhận hàm: fj (., θ) = dPθ cj d(Pθ + Pθj ) B - đo được, với cj > Giả sử Sj (θ) = {x : fj (x, θ) = 0} Trên S X − Sj (θ), Pθ liên tục tuyệt Pθ + λ λ Hơn j S nữa, với x ∈ X − Sj (θ), j dPθ dλ = =P (1/fj ) − dλ/dPθ Sj (θ) ∈ B , dPθ /dλ B - đo Điều có nghĩa thống kê S(x) đủ với họ {Pθ } Cấu trúc thống kê đủ cực tiểu mô tả cách dễ dàng với giúp đỡ định lý tách 1.2.1 giả định p(x, θ) > với x ∈ X với θ ∈ Θ Xét thống kê (θ0 phần tử Θ): T : x → gx (θ) = log p(x, θ) p(x, θ0 ) (1.2.3) 10 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (2.1.3) Chúng ta từ (2.1.3) dẫn đến tính phụ thuộc tuyến tính hàm 1, φ1 , , φr Điều rõ ràng với r = Giả sử điều khẳng định r − Khi đó, nếu: ∂(χ1 , , χr−1 ) ∂(x1 , , xr−1 ) =0 hàm 1, φ1 , , φr−1 hàm 1, φ1 , , φr−1 , φr phụ thuộc tuyến tính Do đó, giả sử: ∂(χ1 , , χr−1 ) ∂(x01 , , x0r−1 ) 6= Khai triển định thức (2.1.3) điểm (x01 , , x0r−1 , x) theo phần tử cột cuối cùng, nhận được: A1 φ01 (x) + · · · + Ar φ0r (x) ≡ 0, x ∈ I, Ar 6= Do kết luận hàm 1, φ1 , , φr phụ thuộc tuyến tính I Khi điều khẳng định mâu thuẫn với giả thiết 1, φ1 , , φr tạo thành sở L, tính độc lập hàm thống kê χ1 (x), , χr (x) chứng minh 20 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Hơn thế: log p(x, θ) p(x, θ0 ) = = n X log f (xi , θ) f (xi , θ0 ) i=1 " r n X X i=1 = n X gθ (xi ) i=1 # ck (θ)φk (xi ) + c0 (θ) = n X ck (θ)χk (x) + nc0 (θ), k=1 k=1 p(x, θ) = R[S(x), θ]r(x), với: # " n X ck (θ)χk (x) + nc0 (θ) , r(x) = p(x, θ0 ) R[S(x), θ] = exp k=1 Như S(x) thống kê đủ họ (2.1.2) Theo định nghĩa không gian L, X φk (x) = cks gθs (x) + ck0 , s χk (x) = n X φk (xi ) = i=1 = X s n X X i=1 cks n X cks gθs (xi ) + nck0 s gθs (xi ) + nck0 i=1 Từ mục 1.2 ta biết thống kê T : x → log p(x, θ) p(x, θ0 ) = n X gθ (xi ) i=1 đủ cực tiểu Nhưng từ hệ thức trước, có: χk (x) = χ˜k [T (x)] S(x) = {χ1 (x), , χr (x)} : (Rn , A n ) → (Rr , A r ) thống kê đủ cực tiểu họ (2.1.2) 21 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Bây với r ≥ n, họ (2.1.2) không chấp nhận thống kê đủ không tầm thường Trong L, chọn hàm 1, φ1 , , φn cho chúng độc lập tuyến tính Như thấy ∂(χ1 , , χn ) chứng minh khẳng định bổ đề, định thức ∂(x1 , , xn ) 0 khác không điểm (x1 , , xn ) Theo định lý hàm số nghich đảo, có: xi = xi (χ1 , , χn ), i = 1, , n, A n ∩ U ⊂ χ−1 (A n ) ∩ U = T −1 (T ) ∩ U (2.1.4) đó, T thống kê đủ cực tiểu từ mục 1.2 Khi đó, theo (2.1.4), chí thống kê đủ cực tiểu tầm thường điểm x0 , nên kết luận họ (2.1.2) khơng có thống kê đủ khơng tầm thường Kết luận kết thúc chứng minh bổ đề 2.1.1 Theo bổ đề Dynkin [xem 2], mơ tả tất mật độ quy thỏa mãn hệ thức (2.1.2) Định lý 2.1.2 Nếu mật độ quy f (x, θ) thỏa mãn (2.1.2) với S(x) khơng tầm thường, với r đó, r ≤ n − 1, ta có ( r ) X f (x, θ) = exp cj (θ)φj (x) + c0 (θ) + φ0 (x) , (2.1.5) j=1 đó, φj (x) khả vi liên tục hàm 1, φ1 , , φr độc lập tuyến tính Như vậy, số họ quy, họ mật độ mũ dạng (2.1.5) có tính chất có lũy thừa chúng thỏa mãn (2.1.2) với S(x) không tầm thường Chứng minh Theo bổ đề 2.1.1, S(x) thống kê đủ không tầm thường ta suy dim L = r + ≤ n Giả sử 1, φ1 , , φr sở không 22 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du gian L, đó: gθ (x) = log f (x, θ) f (x, θ0 ) = r X cj (θ)φj (x) + c0 (θ) (2.1.6) j=1 Đặt φ0 (x) = f (x, φ0 ) , thấy (2.1.6) tương đương với (2.1.5) Ngược lại, f (x, θ) có dạng (2.1.5), đó: p(x, θ) = n Y f (xi , θ) i=1 = exp ( r X cj (θ) j=1 n X φj (xi ) + nc0 (θ) + n X i=1 ) φ0 (xi ) i=1 = R(χ1 , , χr , θ)r(x); với χj = n P φj (xi ) i=1 Chúng ta thấy trường hợp thống kê: S(x) = {χ1 (x), , χr (x)} đủ họ (2.1.2) Vì r ≤ n − hàm 1, φ1 , , φr khả vi liên tục, theo suy xét số chiều ta suy thống kê đủ không tầm thường trường hợp 2.2 Họ mũ với tham số tịnh tiến tỷ lệ Nếu hàm phân bố Pσ véctơ quan sát (X1 , , Xn ) ∈ Rn phụ thuộc vào tham số σ ∈ R1+ ( tức σ > 0) theo nghĩa sau đây: Z Z Pσ (A) = dF (x1 |σ, , xn |σ), A nói σ tham số tỷ lệ 23 (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du(LUAN.van.THAC.si).dac.trung.ho.phan.phoi.co.chua.thong.ke.du Nếu hàm phân bố Pσ véctơ quan sát (X1 , , Xn ) ∈ Rn phụ thuộc vào tham số σ ∈ R1 theo nghĩa sau đây: Z Z Pσ (A) = dF (x1 − σ, , xn − σ), A nói σ tham số tịnh tiến Họ mũ (2.1.5) phụ thuộc vào tham số trừu tượng θ ∈ Θ Trong trường hợp θ có tính chất đặc biệt, chẳng hạn là, tham số tịnh tiến hay tỷ lệ, ta dạng xác họ mũ Bây xem xét đến vấn đề này, dựa cơng trình Dynkin (xem [2]) Ferguson (xem [3]), điều kiện quy nới lỏng Định lý 2.2.1 Nếu mật độ quy f (x − θ), phụ thuộc vào tham số tịnh tiến θ ∈ R1 (tuy nhiên không thay đổi giả sử θ nhận trị số khoảng R1 ), có dạng mũ (2.1.5), với s " f (x) = exp s X # ci xni eµi x , x ∈ R1 , (2.2.1) i=1 đó, ni số ngun khơng âm µi , ci số phức Chứng minh Từ tính quy f (x − θ) ta suy f (x − θ) > với số thực x θ Đặt φ(x) = log f (x); đó, từ tính hữu hạn số chiều không gian hàm φ(x − θ), θ ∈ R1 , có: φ(x − θ) = k X aj (θ)φj (x), (2.2.2) j=1 đó, φj (x) = φ(x − θj ) Lập luận mục trước, ta có tồn x1 , , xk cho: φ (x ) φ (x ) 1 k φ1 (xk ) φk (xk )