Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số : 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình PGS.TS Hồng Quốc Toàn Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy phản biện: GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Thầy Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG bỏ công sức đọc thảo cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để hồn thành tốt luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh hồn thành luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy Khoa Toán-Cơ-Tin học, thành viên Seminar Bộ mơn Giải tích Khoa Tốn- Cơ Tin học bạn đồng nghiệp mơn Tốn học trường Đại học Xây dựng Hà nội động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập cơng tác Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận án Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục kí hiệu, định nghĩa định lí sở Mở đầu BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH 17 1.1 1.2 1.3 Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với tốn tử p-laplacian miền không bị chặn 18 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn 33 Sự không tồn tồn đa nghiệm dương hệ (p, q)Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính phụ thuộc tham số 43 BÀI TỐN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu toán 53 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không âm tốn Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng 55 2.3 Sự tồn nghiệm yếu tốn biên Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng có tham số 68 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận 81 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 82 Tài liệu tham khảo 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ Các kí hiệu Ω ⊂ RN tập đo RN , Ω’ ⊂⊂ Ω tập compact chứa Ω u : Ω −→ R hàm đo Lebesgue R Lp (Ω) = {u : Ω −→ R : |u|p dx < +∞}, ≤ p < +∞ với chuẩn Ω p1 Z ||u||Lp = |u|p dx Ω L∞ (Ω) = {u : Ω −→ R bị chặn Ω} với chuẩn ||u||L∞ = ess sup |u(x)| x∈Ω Lploc (Ω) = {u : Ω −→ R cho ∀Ω’ ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp (Ω’ )} C0∞ (Ω) khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω H m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ m} với chuẩn X ||u||H m,p = ||Dα u||Lp |α|≤m H0m,p (Ω) bao đóng khơng gian C0∞ (Ω) H m,p (Ω) Nếu Ω miền bị chặn trang bị chuẩn tương đương X ||u||H0m,p = ||Dα u||Lp |α|=m H m,q (Ω) không gian đối ngẫu H m,p (Ω) với 1 + = Trong trường hợp p q p = q = 2, ta vit ngn gn l H m () ă Bt đẳng thức Holder 1 Với u ∈ Lp (Ω) v ∈ Lq (Ω) với + = 1, ta có p q Z (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.2.2 ta có T (w) ≤ lim inf T (wmk ) (1.28) k→+∞ Từ (1.27), (1.28) ta thu lim T (wmk ) = T (w) k−→+∞ Cuối cùng, ta chứng tỏ dãy {wmk } hội tụ mạnh tới w G Thật vậy, ta giả sử phản chứng {wmk } không hội tụ mạnh đến w G Khi tồn số 0 > dãy {wmkj } dãy {wmk } cho ||wmkj −w||G ≥ 0 với j = 1, Sử dụng bất đẳng thức | α−β α+β | +| | = (|α|2 + |β|2 ), 2 ∀α, β ∈ R Ta suy với j = 1, 2, wmkj + w 1 T (wmkj ) + T (w) − T ( ) 2 (1.29) 0 ≥ ||wmkj − w||2G = ( )2 Chú ý { có wmkj + w } hội tụ yếu đến w G, áp dụng Mệnh đề 1.2.2 ta T (w) ≤ lim inf T ( wmkj + w j→+∞ ) Vì từ (1.29), cho j −→ ∞ ta thu T (w) − lim inf T ( j→+∞ wmkj + u 0 ) ≥ ( )2 > Hai bất đẳng thức dẫn đến mâu thuẫn Từ đó, {wmk } hội tụ mạnh đến w G Do phiếm hàm J thoả mãn điều kiện Palais-Smale G Mệnh đề 1.2.3 chứng minh xong Sau ta chứng minh số mệnh đề phiếm hàm J thoả mãn điều kiện hình học Định lí qua núi Mệnh đề 1.2.4 i) Tồn α > ρ > cho J(w) ≥ α > với w ∈ G, ||w||G = ρ ii) Tồn w0 ∈ G, ||w0 ||G > ρ J(w0 ) < 40 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Chứng minh i) Từ điều kiện G3), ta dễ dàng thấy F (x, z) ≥ F (x, s)|z|µ |s|=1 ∀x ∈ Ω, z = (z1 , z2 ) ∈ R2 , |z| ≥ < F (x, z) ≤ max F (x, s)|z|µ , ∀x ∈ Ω, z = (z1 , z2 ) ∈ R2 , |z| ≤ |s|=1 (1.30) (1.31) max F (x, s) ≤ c theo giả thiết G2) |s|=1 Từ µ > (1.31) ta suy F (x, z) = với x ∈ Ω |z|−→0 |z|2 lim (1.32) Từ (1.32), với ε > tồn δ ∈ (0, 1) cho < F (x, z) < ε|z|2 với z : |z| < δ (1.33) Từ sử dụng phép nhúng liên tục H ,→ E ,→ L2 (Ω, R2 ), với vài tính tốn đơn giản, từ (1.33) ta có inf ||w||H =ρ J(w) = α > với ρ > đủ nhỏ ii) Từ (1.30), lấy tập compac B ⊂ Ω tồn c = c(B) cho F (x, z) ≥ c|z|µ với x ∈ B, |z| ≥ Lấy ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (Ω, R2 ), ϕ 6= 0, t > đủ lớn, từ (1.31) ta có Z 2 J(tϕ) = t ||ϕ||H − F (x, tϕ)dx (1.34) (1.35) Ω ≤ t2 ||ϕ||2H − tµ c Z |ϕ|µ dx Ω chọn c = c(B) B = supp ϕ1 ∪ supp ϕ2 Vì µ > nên vế phải (1.35) dần tới −∞ t −→ +∞ Từ ta kết luận ii) Mệnh đề 1.2.4 chứng minh xong Mệnh đề 1.2.5 i) J(0)= ii) Tập Γ = {γ ∈ C([0, 1], G) : γ(0) = 0, γ(1) = w0 } không rỗng ( với w0 Mệnh đề 1.2.4) Chứng minh i) giả thiết G1) định nghĩa J ii) Đặt γ(t) = tw0 , ta có γ(t) ∈ Γ 41 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Chứng minh Định lí 1.2.1 Từ Mệnh đề 1.2.1-1.2.5, tất giả thiết Định lí qua núi [16] ˆ ∈ G cho thoả mãn Khi tồn w ˆ = inf{max J(γ([0, 1])) : γ ∈ Γ} < α ≤ J(w) ˆ v = với v ∈ G, tức w ˆ nghiệm yếu toán (1.16) Hơn DJ(w), ˆ > = J(0), w ˆ nghiệm khơng tầm thường tốn (1.16) J(w) Định lí 1.2.1 chứng minh xong 42 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic 1.3 Sự không tồn tồn đa nghiệm dương hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính phụ thuộc tham số Trong báo [25], Perera K nghiên cứu phương pháp biến phân tồn đa nghiệm dương, không tồn nghiệm dương tốn elliptic tựa tuyến tính sau −∆ u = λf (x, u) Ω, p (1.36) u = ∂Ω, Ω miền bị chặn, biên trơn RN , ∆p u = div(|∇u|p−2 ∇u) toán tử p-Laplacian , < p < ∞, λ tham số dương f (x, u) hàm Carathéodory Ω × [0, ∞) Họ chứng minh có λ λ, < λ < λ, cho tốn (1.36) khơng có nghiệm λ < λ có hai nghiệm dương λ > λ Trong [19], J Fernandez Bonder mở rộng kết cho toán Dirichlet với hệ gradient toán tử p-Laplace: −∆p u = λf (x, u, v) Ω, −∆q v = λg(x, u, v) u = 0, v = Ω, (1.37) ∂Ω, cho tốn elliptic tựa tuyến tính với điều kiện biên khơng tuyến tính −∆p u + |u|p−2 u = Ω, (1.38) ∂u |∇u|p−2 = λf (x, u) ∂Ω, ∂n ∂ với đạo hàm theo hướng pháp tuyến đơn vị ∂n Trong mục này, mở rộng kết [19] cho hệ elliptic tựa tuyến tính với điều kiện biên khơng tuyến tính sau −∆p u + |u|p−2 u = Ω, q−2 −∆q v + |v| v = Ω, (1.39) ∂u |∇u|p−2 = λGu (x, u, v) ∂Ω, ∂n |∇v|q−2 ∂v = λG (x, u, v) ∂Ω, v ∂n với Ω miền bị chặn biên trơn RN , N > 2, p, q < ∞, λ tham số dương 43 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Chúng đưa vào giả thiết sau N1) G(x, u, v) hàm Carathéodory Ω × [0, ∞) × [0, ∞) cho G(x, ·, ·) hàm thuộc lớp C với h.k x ∈ Ω Gu (x, u, v) = f (x, u, v), Gv (x, u, v) = g(x, u, v) hàm Carathéodory ∂Ω × [0, ∞) × [0, ∞) N2) G(x, 0, 0) = f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0, |uf (x, u, v) + vg(x, u, v)| C(|u|p + |v|q ), |G(x, u, v)| C(|u|p + |v|q ), với số C > Đặt G(x, u, v) = u < v < 0, f (x, u, v) = g(x, u, v) = u < v < N3) Tồn số dương δ, to , so cho với x ∈ ∂Ω G(x, u, v) |u|p + |v|q δ, G(x, to , so ) > G(x, u, v) với điều kiện x ∈ ∂Ω p q |(u,v)|−→∞ |u| + |v| N4) lim sup Định nghĩa 1.3.1 Cặp (u, v) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) gọi nghiệm yếu toán (1.39) (u, v) thoả mãn: Z (|∇u|p−2 ∇u∇ϕ + |∇v|q−2 ∇v∇ψ + |u|p−2 uϕ + |v|q−2 vψ)dx Ω Z −λ [ϕf (x, u, v) + ψg(x, u, v)]dσ = ∂Ω ∀ϕ, ψ ∈ C ∞ (Ω) Sử dụng phương pháp biến phân ta chứng minh định lí sau Định lí 1.3.1 Giả sử giả thiết N 1) − N 2) thoả mãn, tồn số dương λ cho với λ < λ tốn (1.39) khơng có nghiệm dương Định lí 1.3.2 Với giả thiết N 1) − N 4), tồn số dương λ cho tốn (1.39) có hai nghiệm dương phân biệt (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) với λ > λ 44 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic 1.3.1 Chứng minh Định lí 1.3.1 Trước toán giá trị riêng (xem [5],[18]) −∆r u + |u|r−2 u = ∂u |∇u|r−2 = λ|u|r−2 u ∂n (1 < r < +∞) Ω ∂Ω (1.40) có giá trị riêng thứ λ1r xác định bởi: R (|∇u|r + |u|r )dx Ω R = |u|r dσ u∈W 1,r (Ω)\W01,r (Ω) λ1r ∂Ω Bây cho p, q < +∞ ta đặt λpq = min{λ1p , λ1q } Vậy ta thu được: R λpq (|∇u|p + |∇v|q + |u|p + |v|q )dx R 6Ω (|u|p + |v|q )dσ (1.41) ∂Ω 1,p 1,q Giả sử (u, v) ∈ W (Ω) × W (Ω) nghiệm dương toán (1.39) Nhân phương trình thứ (1.39) với u phương trình thứ hai với v, lấy tích phân phần cộng hai vế ta thu Z (|∇u|p + |u|p + |∇v|q + |v|q )dx Ω Z [(|∇u|p−2 = ∂v ∂u )u + (|∇v|q−2 )v]dσ ∂n ∂n ∂Ω Z =λ (uGu (x, u, v) + vGv (x, u, v))dσ ∂Ω Từ đó, theo giả thiết N 2) ta thấy: Z Z p p q q (|∇u| + |u| + |∇v| + |v| )dx λC (|u|p + |v|q )dσ Ω ∂Ω Từ (1.41), (1.42) ta suy : R (|∇u|p + |∇v|q + |u|p + |v|q )dx λpq Ω R λ> > p q C C (|u| + |v| )dσ ∂Ω 45 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1.42) (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic λpq , với λ < λ tốn (1.39) khơng có nghiệm dương Vậy chọn λ = C Định lí 1.3.1 chứng minh xong 1.3.2 Chứng minh Định lí 1.3.2 Để chứng minh Định lí 1.3.2 ta sử dụng lí thuyết điểm tới hạn Từ giả thiết N2) ta có G(x, u, v) = u < v < 0, f (x, u, v) = g(x, u, v) = u < v < Với giả thiết N 1) − N 4), ta xét phiếm hàm lượng liên kết với toán (1.39) Z Z |∇u|p + |u|p |∇v|q + |v|q + dx − λ G(x, u, v)dσ (1.43) Gλ (u, v) = p q Ω ∂Ω (u, v) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Theo Định lí 0.0.2 phiếm hàm Gλ khả vi liên tục Fréchet W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) ta có Z DGλ (u, v), (ϕ, ψ) = (|∇u|p−2 ∇u∇ϕ + |∇v|q−2 ∇v∇ψ)dx (1.44) Ω Z + p−2 (|u| q−2 uϕ + |v| Z vψ)dx − λ Ω (f (x, u, v)ϕ + g(x, u, v)ψ)dσ ∂Ω với (u, v), (ϕ, ψ) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Rõ ràng nghiệm yếu toán (1.39) tương ứng điểm tới hạn phiếm hàm Gλ Mệnh đề 1.3.1 Nếu (u, v) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) điểm tới hạn Gλ u > 0, v > Ω Chứng minh Giả sử (u, v) điểm tới hạn Gλ Đặt u− = min{u, 0}, v − = min{v, 0} Chú ý Z (u− f (x, u, v) + v − g(x, u, v))dσ = ∂Ω 46 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Ta có = DGλ (u, v), (u− , v − ) Z = (|∇u|p−2 ∇u∇u− + |∇v|q−2 ∇v∇v − + |u|p−2 uu− + |v|q−2 vv − )dx Ω Z (u− f (x, u, v) + v − g(x, u, v))dσ −λ ∂Ω Z (|∇u− |p + |∇v − |q + |u− |p + |v − |q )dx = Ω =||u− ||pW 1,p (Ω) + ||v − ||qW 1,q (Ω) Vậy ||u− ||W 1,p (Ω) = 0, ||v − ||W 1,q (Ω) = 0, từ ta suy u > 0, v > Ω Mệnh đề chứng minh xong Chú ý 1.3.1 Nếu (u, v) điểm tới hạn Gλ , u > 0, v > Ω Theo Bất đẳng thức Harnack (xem [36]), ta suy u > 0, v > u = v = Ω Từ điểm tới hạn khơng tầm thường Gλ nghiệm dương toán (1.39) Mệnh đề 1.3.2 Gλ coercive bị chặn W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Chứng minh Từ giả thiết N 2) N 4), với λ > tồn số Cλ > cho λpq |u|p |v|q λG(x, u, v) + + Cλ p q Vậy Z Gλ (u, v) = |∇u|p + |u|p |∇v|q + |v|q + p q Z dx − λ Ω Z p G(x, u, v)dσ ∂Ω p |∇u| + |u| dx + p Z q q |∇v| + |v| dx − q Z λ1p p λ1q q |u| + |v| + Cλ )dσ 2p 2q Ω Ω ∂Ω R (|∇u|p + |u|p )dx Z Z Z q q p p |∇u| + |u| |∇v| + |v| Ω R |u|p dσ > dx + dx − p q 2p |u|p dσ > Ω Ω R − Ω 2q ∂Ω > 2p Ω ∂Ω (|∇v|q + |v|q )dx Z Z q R |v| dσ − Cλ dσ |v|q dσ ∂Ω ∂Ω Z ( (|∇u|p + |u|p )dx + 2q Z ∂Ω (|∇v|q + |v|q )dx − Cλ µ(∂Ω) Ω 47 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Từ ta có Gλ (u, v) > 1 ||u||pW 1,p (Ω) + ||v||qW 1,q (Ω) − Cλ µ(∂Ω), 2p 2q (1.45) với µ(∂Ω) độ đo Lebesgue ∂Ω Vậy Gλ coercive bị chặn Chú ý 1.3.2 Từ Mệnh đề 1.3.2 Gλ (u, v) nửa liên tục yếu, ta thu điểm cực tiểu toàn cục (u1 , v1 ) Gλ (u, v) W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Mệnh đề 1.3.3 Tồn số dương λ cho λ > λ, inf Gλ (u, v) < (u,v) (u1 , v1 ) 6= (0, 0) Chứng minh Lấy hàm uo (x) = to , vo (x) = so với to , so N 3) Khi Z Z G(x, uo , vo )dσ = G(x, to , so )dσ > ∂Ω ∂Ω Vậy tồn số λ > cho với λ > λ 1 Gλ (uo , vo ) = ||uo ||pW 1,p (Ω) + ||vo ||W 1,q (Ω)q − λ p q Z G(x, uo , vo )dσ < ∂Ω Từ ta suy inf Gλ (u, v) Gλ (uo , vo ) < với λ > λ (u,v) Vậy Gλ (u1 , v1 ) < với λ > λ, (u1 , v1 ) 6= Mệnh đề 1.3.3 chứng minh xong Mệnh đề 1.3.4 Điểm (0, 0) điểm cực tiểu địa phương tuyệt đối Gλ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Chứng minh Đặt Γ = {x ∈ ∂Ω : |u(x)|p + |v(x)|q > δ} với δ N 3) R G(x, u(x), v(x)) x ∈ ∂Ω \ Γ nên −λ G(x, u, v)dσ > với λ > λ > ∂Ω\Γ Vậy λ > λ > ta thu 1 Gλ (u, v) = ||u||pW 1,p (Ω) + ||v||qW 1,q (Ω) − λ p q Z Z G(x, u, v)dσ − λ Γ ∂Ω\Γ 1 > ||u||pW 1,p (Ω) + ||v||qW 1,q (Ω) − λ p q G(x, u, v)dσ Z G(x, u, v)dσ Γ 48 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Theo N 2), Bất đẳng thức Holder Định lí nhúng Sobolev, ta có Z Z G(x, u, v)dσ C(|u|p + |v|q )dσ Γ Γ p q C(||u||pW 1,p (Ω) µ(Γ)1− s + ||v||qW 1,q (Ω) µ(Γ)1− r ), với (n − 1)p s = p < n n−p r = (n − 1)q q < n n−q s > p p > n r > q q > n (1.46) Để kết thúc chứng minh ta cần µ(Γ) −→ ||u||pW 1,p (Ω) −→ ||v||qW 1,q (Ω) −→ Ta nhắc lại công thức λpq R (|∇u|p + |u|p + |∇v|q + |v|q )dx Ω R > λpq = (λ1p , λ1q ) > (|u|p + |v|q )dσ ∂Ω Khi ||u||pW 1,p (Ω) + ||v||qW 1,q (Ω) Z p Z q (|u| + |v| )dσ > λpq > λpq (|u|p + |v|q )dσ Γ ∂Ω Z > λpq δdσ = λpq δµ(Γ) Γ µ(Γ) −→ |u||pW 1,p (Ω) + ||v||qW 1,q (Ω) −→ Vậy Gλ (u, v) > Gλ (0, 0) ||u||pW 1,p (Ω) −→ 0, ||v||qW 1,q (Ω) −→ Mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề 1.3.5 Gλ thoả mãn điều kiện Palais-Smale W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) 1,p Chứng minh Lấy {um , vm }+∞ (Ω) × m=1 dãy Palais-Smale Gλ W 1,q W (Ω) Khi |Gλ (um , vm )| c với m DGλ (um , vm ) −→ m −→ +∞ Theo Mệnh đề 1.3.2, Gλ coercive bị chặn theo (1.45) ta có Gλ (um , vm ) > 1 ||um ||pW 1,p (Ω) + ||vm ||qW 1,q (Ω) − Cλ µ(∂Ω) 2p 2q Vậy (um , vm ) dãy bị chặn W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Do tồn dãy ∞ 1,p {umj , vmj }∞ (Ω) × W 1,q (Ω) j=1 {(um , vm )}m=1 hội tụ yếu đến (uo , vo ) W 49 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Ta chứng minh {(umj , vmj )} hội tụ mạnh đến (uo , vo ) W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Trước hết, theo Định lí Rellich-Kondrachov (xem [1], p.144), phép nhúng W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) vào Lp (Ω) × Lq (Ω) liên tục compac Do đó, dãy {(umj , vmj )}j hội tụ mạnh đến (uo , vo ) Lp (Ω) × Lq (Ω) Kéo theo dãy {umj , vmj )}j bị chặn Lp (Ω) × Lq (Ω), dãy {|umj |p−2 umj , |vmj |q−2 vmj }j q p ’ ’ , q’ = Vì bị chặn Lp (Ω) × Lq (Ω), với p’ = p−1 q−1 Z (|umj |p−2 umj (umj − uo ) + |vmj |q−2 vmj (vmj − vo ))dx = (1.47) lim j−→+∞ Ω ’ Mặt khác, từ giả thiết N 2), ta suy f (x, umj , vmj ) bị chặn Lp ’ g(x, umj , vmj ) bị chặn Lq , nên Z lim [(umj − mo )f (x, umj , vmj ) + (vmj − vo )g(x, umj , vmj )]dσ = (1.48) j−→+∞ ∂Ω Bên cạnh lim j−→+∞ DGλ (umj , vmj ), (umj − uo , vmj − vo ) = Áp dụng Bất đẳng thức (1.44) ta có Z (|∇u|p−2 ∇u∇ϕ + |∇v|q−2 ∇v∇ψ)dx = DGλ (u, v), (ϕ, ψ) Ω Z − (|u|p−2 uϕ + |v|q−2 vψ)dx Ω Z +λ [ϕf (x, u, v) + ψg(x, u, v)]dσ ∂Ω với (u, v), (ϕ, ψ) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Chọn u = umj , v = vmj , ϕ = umj − uo , ψ = vmj − vo , ta thu Z (|∇umj |p−2 ∇umj ∇(umj − uo ) + |∇vmj |q−2 ∇vmj ∇(vmj − vo ))dx Ω = DGλ (umj , vmj ), (umj − uo , vmj − vo ) Z − (|umj |p−2 umj (umj − uo ) + |vmj |q−2 vmj (vmj − vo ))dx Ω Z +λ [(umj − uo )f (x, umj , vmj ) + (vmj − vo )g(x, umj , vmj )]dσ ∂Ω 50 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1.49) (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Cho j −→ +∞ từ (1.47), (1.48), (1.49) ta có Z (|∇umj |p−2 ∇umj ∇(umj − uo ) + |∇vmj |q−2 ∇vmj ∇(vmj − vo ))dx = (1.50) Ω Tương tự ta thu Z (|∇uo |p−2 ∇uo ∇(umj − uo ) + |∇vo |q−2 ∇vo ∇(vmj − vo ))dx = (1.51) Ω Chú ý với r > 2, tồn số dương Cr cho (|s|r−2 s − |s|r−2 s)(s − s) > Cr |s − s|r với s, s ∈ Rn (Mệnh đề 2, [37]) Áp dụng (1.52) với s = ∇umj (∇vmj ), s = ∇uo (∇vo ) ta được: Z (|∇umj |p−2 ∇umj − |∇uo |p−2 ∇uo )(∇umj − ∇uo )dx (1.52) (1.53) Ω Z + (|∇vmj |q−2 ∇vmj − |∇vo |q−2 ∇vo )(∇vmj − ∇vo )dx Ω > Cp ||∇umj − ∇uo ||pLp (Ω) + Cq ||∇vmj − ∇vo ||qLq (Ω) Cho j −→ ∞ , sử dụng (1.50), (1.51), (1.53), ta có lim ||∇umj − ∇uo ||Lp (Ω) = j−→∞ lim ||∇vmj − ∇vo ||Lq (Ω) = j−→∞ Bên cạnh đó, (umj , vmj ) −→ (uo , vo ) Lp (Ω) × Lq (Ω) Vậy dãy {(umj , vmj )}j hội tụ mạnh đến (uo , vo ) W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Mệnh đề 1.3.5 chứng minh xong Cuối cùng, ta chứng minh Định lí 1.3.2 Chứng minh Từ Mệnh đề 1.3.4 Mệnh đề 1.3.5, Gλ thoả mãn điều kiện Palais-Smale W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω), điểm gốc (0, 0) điểm cực tiểu tuyệt đối Gλ Gλ (0, 0) = Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.3.2 ý 1.3.2, Gλ có điểm cực tiểu toàn cục (u1 , v1 ) 6= (0, 0), Gλ (u1 , v1 ) < Vậy áp dụng Định lí qua núi (Định lí 10.3 [30]), tồn điểm tới hạn (u2 , v2 ) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) Gλ khơng điểm cực tiểu Vậy (u2 , v2 ) 6= (u1 , v1 ) Định lí 1.3.2 chứng minh xong 51 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Tóm tắt kết chương Trong chương 1, ta nhận kết sau đây: Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường phương trình elliptic tựa tuyến tính loại p-Laplacian ( p ≥ 2) với điều kiện biên Neumann miền không bị chặn Ω ⊂ RN Sự tồn nghiệm yếu hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên Neumann miền không bị chặn Ω ⊂ RN Sự không tồn tồn đa nghiệm yếu dương hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính phụ thuộc tham biến 52 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Chương BÀI TỐN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH KHƠNG ĐỀU, KHƠNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 2.1 Giới thiệu toán Trong chương chúng tơi xét tồn nghiệm yếu tốn Dirichlet lớp phương trình elliptic khơng miền bị chặn cách nghiên cứu tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với Như ý phần mở đầu, dáng điệu phần phi tuyến phương trình quan trọng việc khẳng định tồn nghiệm yếu toán biên Năm 1973, Ambrosetti Rabinowitz [4] thiết lập tồn nghiệm khơng tầm thường cho tốn: −∆u = λf (x, u) Ω (2.1) u = ∂Ω với điều kiện sau: f (x, s) = với h.k x ∈ Ω s→0 s a1) f (x, s) liên tục Ω × R f (x, 0) = 0, lim a2) Tồn số dương c1 , c2 cho N +2 |f (x, s)| ≤ c1 + c2 |s|p , ≤ p < , ∀s ∈ R, x ∈ Ω N −2 a3) Tồn số θ > s0 > cho < θF (x, s) ≤ sf (x, s), |s| ≥ s0 , x ∈ Ω với F (x, s) = Rs f (x, t)dt 53 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic Giả thiết a3) (điều kiện A-R) tự nhiên quan trọng không khẳng định phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với tốn (2.1) có điểm yên ngựa mà đảm bảo dãy Palais-Smale phiếm hàm Euler-Lagrange bị chặn Nhưng rõ ràng giả thiết a3) hạn chế nhiều tính phi tuyến phương trình Vì nhiều nhà tốn học nghiên cứu toán cố gắng thay giả thiết a3) số giả thiết yếu ( xem [22],[24],[31],[38] ) Hơn ta để ý giả thiết a3) kéo theo điều kiện yếu F (x, s) ≥ c|s|θ − d, c, d > 0, x ∈ Ω (2.2) Điều kiện (2.2) kéo theo điều kiện yếu nữa, F (x, s) = +∞ h.k.x ∈ Ω |s|−→+∞ s2 lim (2.3) Costa Magalhães [9] nghiên cứu toán (2.1) cách thay điều kiện a3) điều kiện khác sf (x, s) − 2F (x, s) ≥ k > với h.k.x ∈ Ω với µ ≥ µ0 > |s|−→+∞ |s|µ lim inf (2.4) Gần [24], Miyagaki Souto nghiên cứu toán (2.1) với giả thiết a1), a2), (2.3) thêm giả thiết sau: f (x, s) tăng s ≥ s0 > giảm s ≤ −s0 , ∀x ∈ Ω s (2.5) Các tác giả chứng minh tốn (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường với λ > Mục đích chương đưa điều kiện yếu thay cho điều kiện (A-R) Chương viết dựa vào báo [4],[5] phần danh mục cơng trình liên quan đến luận án 54 (LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic(LUAN.an.TIEN.si).ung.dung.phuong.phap.bien.phan.de.nghien.cuu.su.ton.tai.nghiem.cua.cac.bai.toan.bien.doi.voi.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 18/12/2023, 06:55
Xem thêm:
