Thông tin tài liệu
Mục lục Mục lục Bảng số ký hiệu Bảng số thuật ngữ Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm đại số tuyến tính 1.2 Lược đồ nhóm affine 1.3 Đối đồng điều Galois 1.4 Đối đồng điều phẳng 1.5 Tơpơ tập, nhóm đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng 1.5.1 Trường hợp giao hoán 1.5.2 Trường hợp khơng giao hốn Tơpơ đặc biệt 1.5.3 Trường hợp khơng giao hốn Tơpơ tắc 14 14 20 23 26 29 29 30 30 Một số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm Grosshans 2.1 Các tính chất hữu tỷ nhóm quan sát 2.2 Các tính chất hữu tỷ nhóm toàn cấu 2.3 Các tính chất hữu tỷ nhóm Grosshans 2.4 Kết luận Chương 32 33 41 43 46 Về dạng tương đối cho Định lý Bogomolov trường hồn thiện ứng dụng 47 3.1 Một số khái niệm kết 48 3.2 Một số kết lý thuyết biểu diễn 52 TIEU LUAN MOI download :1 skknchat@gmail.com 3.2.1 3.3 3.4 3.5 Định lý biểu diễn nhóm reductive trường đóng đại số 3.2.2 Một số ký hiệu ∆-tác động 3.2.3 Lý thuyết Tits biểu diễn nhóm reductive trường 3.2.4 Trạng thái biểu diễn 3.2.5 Các nhóm parabolic P(λ) P(χ) 3.2.6 Đặc trưng nhóm tựa parabolic 3.2.7 Định lý Kempf 3.2.8 Định lý Ramanan Ramanathan 3.2.9 Liên hệ biểu diễn nhóm reductive biểu diễn nhóm nửa đơn Dạng tương đối cho định lý Bogomolov 3.3.1 Chứng minh thứ Định lý 3.1.5 3.3.2 Chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 Một số tính chất hữu tỷ nhóm tựa parabolic nhóm parabolic Kết luận Chương 53 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 65 68 77 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động nhóm đại số trường địa phương 79 4.1 Một số kết sơ 80 4.2 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ hoàn thiện 86 4.3 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ 97 4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động tách 97 4.3.2 Chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 98 4.3.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 99 4.3.4 Trường hợp nhóm dừng lũy đơn 100 4.3.5 Trường hợp nhóm giao hốn xuyến 102 4.3.6 Trường hợp nhóm dừng k-nhóm giải được, liên thơng 111 4.3.7 Trường hợp G k-nhóm tuyến tính lũy linh 114 4.3.8 Trường hợp nhóm dừng reductive 116 4.3.9 Trường hợp tác động tách 118 4.4 Một số tính tốn trường hợp trường có đặc số p 118 4.5 Kết luận Chương 126 Kết luận TIEU LUAN MOI download :2 skknchat@gmail.com 128 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 130 Tài liệu tham khảo 132 TIEU LUAN MOI download :3 skknchat@gmail.com Bảng số ký hiệu tập số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ trường số thực trường số phức trường hữu hạn gồm q phần tử trường số p-adic vành số nguyên p-adic trường chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số Fq bao đóng đại số trường k ks bao tách trường k kv đầy đủ hóa trường k định giá v Gal(K/k) nhóm Galois mở rộng Galois K/k H1 (k, G) đối đồng điều Galois bậc G k H1f l (k, G) đối đồng điều phẳng bậc G k Ga nhóm cộng tính Gm nhóm nhân tính GLn nhóm tuyến tính tổng qt PGLn nhóm tuyến tính xạ ảnh SLn nhóm tuyến tính đặc biệt SOn nhóm trực giao đặc biệt k[X] đại số hàm quy đa tạp X với hệ số k X∥G thương phạm trù đa tạp X theo tác động nhóm G X/G thương hình học đa tạp X theo tác động nhóm G G/H khơng gian G thương cho nhóm đóng H char k đặc số trường k G0 thành phần liên thơng chứa đơn vị nhóm G N Z Q R C Fq Qp Zp Fq ((T )) k¯ TIEU LUAN MOI download :4 skknchat@gmail.com Bảng số thuật ngữ ánh xạ đối biên đối compắc siêu cứng đa thức cộng tính đối đồng điều phẳng hàm tử (hạn chế) Weil k-đẳng hướng k-xoắn k-phân rã k-không đẳng hướng túy khơng tách lược đồ nhóm lược đồ nhóm vơ bé nhóm reductive nhóm lũy đơn nhóm parabolic chuẩn nhóm parabolic nhóm tựa parabolic nhóm parabolic ổn định nửa ổn định không nửa ổn định thiếu ổn định thực ổn định phần tử đơn trị hóa phép ngập tập với phần tử đánh dấu thương hình học thương phạm trù trọng trọng trội coboundary map cocompact super-rigidity additive polynomial flat cohomology Weil restriction k-isotropic k-wound k-split k-anisotropic purely inseparable group scheme infinitesimal group scheme reductive group unipotent group standard parabolic subgroup parabolic subgroup quasi-parabolic subgroup sub-parabolic subgroup stable semi-stable unstable instable properly stable uniformizing element submersion set with a distinguished element geometric quotient categorical quotient fundamental weight dominant weight TIEU LUAN MOI download :5 skknchat@gmail.com trường hàm toàn cục tách mạnh tách xoắn global function field strongly separable fairly separable twisting TIEU LUAN MOI download :6 skknchat@gmail.com Mở đầu Giả sử G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k Ta hiểu đơn giản G nhóm ma trận vuông cấp n với hệ số nằm bao đóng đại số trường k G đồng thời tập không điểm họ đa thức n2 biến với hệ số k Một hướng nghiên cứu quan trọng nằm Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính Hình học Đại số Lý thuyết bất biến hình học Một phần chủ yếu lý thuyết nghiên cứu tác động (cấu xạ) nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số cho trước, đặc biệt nghiên cứu tính chất quỹ đạo Lý thuyết bất biến hình học xuất từ lâu với việc nghiên cứu Bài toán số 14 Hilbert tính chất hữu hạn sinh đại số hàm bất biến Với đóng góp D Mumford, W Haboush, M Nagata, , lý thuyết phong phú trường hợp trường k đóng đại số Tuy nhiên, từ thời điểm ban đầu Lý thuyết bất biến hình học đại, mà D Mumford người đặt móng, ơng đặt vấn đề nghiên cứu tình tương đối, tức k trường nói chung khơng đóng đại số Chẳng hạn, với động nghiên cứu toán số học (cụ thể xây dựng không gian moduli đa tạp abel, đề cập Chương [30], [31]), D Mumford xét nhiều vấn đề lý thuyết lược đồ đủ tổng quát Ngoài ra, A Borel [58], J Tits [30], đặt số câu hỏi (hay giả thuyết) mở rộng kết biết lý thuyết bất biến hình học trường đóng đại số cho trường khơng đóng đại số (chẳng hạn mở rộng định lý tiếng D Hilbert D Mumford) Những kết điển hình theo hướng thuộc D Birkes [6], G Kempf [25], M S Raghunathan [35], cho câu trả lời (hoặc lời giải) số câu hỏi (hoặc giả thuyết) đề cập Những nghiên cứu theo cách nói chung gọi nghiên cứu tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số, đa tạp đại số, v.v ) Khó khăn gặp phải tốn nói tương tự tốn số học, ví dụ việc tìm nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học”) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học”) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc nghiên cứu Lý thuyết TIEU LUAN MOI download :7 skknchat@gmail.com bất biến hình học, lớp nhóm quan sát được, lớp nhóm tồn cấu, lớp nhóm Grosshans Từ số nghiên cứu Lý thuyết biểu diễn nhóm đại số, A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G Mostow [3, p 134] đưa khái niệm nhóm quan sát Ta hiểu nhóm đóng H G quan sát H nhóm dừng vectơ v G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều V Trong [3], tác giả đưa số điều kiện cần đủ để nhóm quan sát Sau đó, F Grosshans tìm thêm số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] tài liệu dẫn đó) Tuy nhiên, hầu hết kết chứng minh cho trường hợp k trường đóng đại số Một lớp nhóm khác quan trọng lớp nhóm toàn cấu A Borel F Bien đưa (trước S Bergman làm cơng việc tương tự Đại số Lie) Ta định nghĩa nhóm đóng H G tồn cấu đại số hàm quy k[G/H] khơng gian G/H k Những điều kiện cần đủ để nhóm đóng toàn cấu ban đầu đưa F Bien A Borel (xem [56], [57], [21] kết gần đây) Bên cạnh đó, F Bien, A Borel, J Kollar [5] nghiên cứu mối liên hệ tính chất H nhóm tồn cấu với tính chất liên thơng hữu tỷ khơng gian G/H Một số điều kiện tương đương để nhóm tồn cấu cho Định lý 2.2.1 Nhờ vào nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 Hilbert, F Grosshans đưa lớp nhóm quan sát mang tên ông Đó nhóm quan sát H G có tính chất đại số hàm bất biến k[G]H hữu hạn sinh, H tác động tịnh tiến phải lên đại số hàm quy k[G] Chính F Grosshans tìm số điều kiện cần đủ thú vị cho khái niệm nói Tuy nhiên, kết nói chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Gần đây, cần thiết phải có ứng dụng Số học Lý thuyết ergodic (xem chẳng hạn [53]), B Weiss có số kết tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm tồn cấu Như ta biết, nhóm đóng H G quan sát H = Gv , với v ∈ V, V G-môđun hữu hạn chiều Tuy nhiên, H nhóm dừng vectơ (đối với biểu diễn cho), ta khó nói thêm cấu trúc H Ở đây, A Sukhanov có kết sâu khẳng định nói Ơng chứng minh [45] định lý nói rằng, nhóm quan sát parabolic Để làm điều này, A Sukhanov phải dùng kết quan trọng F Bogomolov cấu trúc nhóm dừng vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa TIEU LUAN MOI download :8 skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 ∈ G · v) Tuy nhiên, kết F Bogomolov A Sukhanov chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Nội dung hai chương nói kết luận án (Chương 2, Chương 3) trình bày việc mở rộng khẳng định cho trường khơng đóng đại số Vì số lý kỹ thuật, kết F Bogomolov A Sukhanov Chương mở rộng lên cho truờng hợp k trường hoàn thiện Như nói trên, có nhiều kết Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập đến việc nghiên cứu tính chất đóng quỹ đạo tác động nhóm G thu trường hợp hình học, tức là, trường hợp trường k đóng đại số Bên cạnh đó, số địi hỏi nội Lý thuyết số mà trường địa phương, toàn cục quan tâm đặc biệt Chẳng hạn ta cho G nhóm đại số tuyến tính tác động lên k-đa tạp V x ∈ V(k) Khi đó, bước việc chứng minh kết tương tự Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trường hợp trường hàm toàn cục, xem [51], chứng minh tính chất đóng (địa phương) số quỹ đạo tương đối G(k) · x Vì thế, chúng tơi quan tâm đến mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo tác động nhóm đại số tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo tương đối Cụ thể hơn, giả sử k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường v có hạng thực 1, ví dụ trường địa phương trường p-adic trường số thực R Ta trang bị cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic k Cho x ∈ X(k), muốn nghiên cứu mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo hình học G · x X tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo (tương đối) G(k) · x X(k) Kết theo hướng thuộc A Borel Harish-Chandra [10], tiếp đến D Birkes [6] (xem thêm [55]) trường hợp trường số thực, sau R Bremigan [11] Thực tế, báo G R-nhóm reductive, G · x đóng Zariski G(R) · x đóng theo tơpơ thực ([6], [55]) Điều mở rộng cho trường p-adic R Bremigan [11] Mục đích chúng tơi chương kết thứ ba (Chương 4) mở rộng nghiên cứu sâu toán đề cập Bản luận án gồm chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức bản, cần thiết cho luận án Cụ thể là, Mục 1.1, 1.2, nhắc lại số khái niệm nhóm đại số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động nhóm đại số lên đa tạp) lược đồ nhóm affine Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng, Mục 1.5, chúng tơi trình bày số định nghĩa, kết biết tôpô tập đối đồng TIEU LUAN MOI download :9 skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 điều Các kết chúng tơi trình bày Chương 2, 3, Trong Chương 2, nghiên cứu số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Chương viết dựa báo [47] Kết đề cập đến nhóm quan sát được, cho định lý sau Định lý (xem Định lý 2.1.11) Cho G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k tùy ý H k-nhóm đóng G Khi khẳng định sau tương đương: (a) H quan sát được, tức là, H = H 00 (a’) H k-quan sát được, tức là, H = (k[G]H )0 (b’) Tồn biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) véctơ v ∈ V(k) cho H = Gv = {g ∈ G | g · v = v} (c’) Tồn số hữu hạn hàm f ∈ k[G/H] tách điểm G/H (d’) Không gian G/H đa tạp tựa affine xác định k (e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ ρ : H → GL(V) mở rộng thành biểu diễn k-hữu tỷ ρ0 : G → GL(V ) (f’) Tồn biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) véctơ v ∈ V(k) cho H = Gv k G/H G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G} (g’) Trường thương vành G0 ∩ H-bất biến k[G0 ] trường phân thức G0 ∩ H-bất biến k(G0 ) Hơn nữa, H(k) trù mật Zariski H khẳng định tương đương với tính chất quan sát tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) H k Kết thứ hai thu cho nhóm toàn cấu, phát biểu sau Định lý (xem Định lý 2.2.4) Cho k trường H k-nhóm đóng k-nhóm G Khi đó, khẳng định sau tương đương: (a’) H k-toàn cấu, tức (k[G]H )0 = G TIEU LUAN MOI download 10: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Trong chương này, giả sử k trường đầy đủ định giá không tầm thường v có hạng thực 1, chẳng hạn trường địa phương trường số thực R trường số p-adic Q p Ta trang bị cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic k Cho x ∈ X(k), quan tâm đến mối liên hệ tính đóng Zariski quỹ đạo G · x X tính đóng Hausdorff quỹ đạo (tương đối) G(k) · x x X(k) Kết theo hướng thuộc A Borel Harish-Chandra [10], tiếp đến D Birkes [6] (xem thêm [55]) trường hợp trường thực, sau R Bremigan [11] Thực tế, báo G R-nhóm reductive, G · x đóng Zariski G(R) · x đóng theo tơpơ thực ([6], [55]) Điều mở rộng cho trường p-adic R Bremigan [11] Lưu ý rằng, số chứng minh thu [6], [11], không mở rộng cho trường hợp trường có đặc số dương Mục đích chương nghiên cứu xem kết mở rộng cho lớp nhóm lớp trường Trong cách tiếp cận chúng tôi, câu hỏi liên quan chặt chẽ với tốn trang bị tơpơ nhóm (hoặc tập) đối đồng điều Đó khía cạnh quan trọng lý thuyết đối ngẫu đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng trường hợp tổng quát (xem [27], [40], [42], [43]) Một số kết sơ trình bày Mục 4.1, với định lý Định lý 4.1.5 Ở Mục 4.2, đưa số kết tổng qt tính đóng quỹ đạo tương đối, đặc biệt trường đầy đủ, hoàn thiện Định lý mục Định lý 4.2.4, 4.2.6 Trong Mục 4.3, xét trường hợp trường đầy đủ, khơng thiết hồn thiện tác động nhóm đại số với nhóm dừng nằm lớp nhóm đặc biệt, bao gồm nhóm lũy linh trường đầy đủ Kết cho Định lý 4.3.1.3 Kết triệt để thu cho nhóm giao hốn, nói riêng xuyến, nhóm lũy đơn lớp tổng quát nhóm trường compắc địa phương 4.1 Một số kết sơ Khẳng định sau cho mối liên hệ tơpơ tắc với tơpơ đặc biệt Định lý 4.1.1 ([14]) Cho k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực Khi với k-nhóm đại số tuyến tính G, phép nhúng xác định k vào k-nhóm đặc biệt H, tơpơ H-đặc biệt H1 (k, G) mạnh tơpơ tắc tập đối đồng điều H1 (k, G) Hơn nữa, G giao hốn liên thơng hai tơpơ trùng TIEU LUAN MOI download 80: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Nhận xét Từ trở nói tính chất P liên hệ với tôpô đặc biệt, ta không đề cập đến nhóm H Điều nghĩa tính chất cho nhóm đặc biệt H ta khơng nói đến nhóm H Định lý 4.1.2 ([14]) Với khái niệm trên, cho trước dãy khớp knhóm đại số tuyến tính → A → B → C → (∗) 1) Nếu ánh xạ đối biên tập đối đồng điều δ : C(k) → H1 (k, A), cảm sinh từ dãy khớp k-nhóm (∗) liên tục tơpơ H-đặc biệt đó, liên tục tơpơ tắc H1 (k, A) 2) Mọi ánh xạ nối tập đối đồng điều bậc ≤ cảm sinh từ (∗) liên tục tơpơ tắc (tương ứng, tơpơ đặc biệt) tập Để chứng minh ta dùng bổ đề sau Bổ đề 4.1.3 ([14]) Nếu π : K → L k-cấu xạ k-lược đồ nhóm affine phẳng, dạng hữu hạn ánh xạ cảm sinh H1f l (k, K) → H1f l (k, L) có dãy khớp → K → L → G → ánh xạ đối biên δ : H0f l (k, G) → H1f l (k, K) liên tục tôpô đặc biệt H1f l (k, K) H1f l (k, L) Hệ 4.1.4 ([14]) Với khái niệm trên, k đầy đủ định giá không tầm thường hạng thực 1, K ,→ L phép nhúng đóng, K, L trơn, ánh xạ cảm sinh H1 (k, K) → H1 (k, L) mở tôpô đặc biệt H1 (k, K) H1 (k, L) Nhận xét 1) Hiện chưa biết ánh xạ nối ∆ : H1 (k, L) → H2 (k, K) (nếu tồn tại) có liên tục tơpơ đặc biệt hay khơng Tuy nhiên, Hệ 4.1.8, chúng tơi chứng minh điều trường hợp đặc biệt 2) Lập luận chứng minh Phần a) định lý sau chủ yếu thuộc A Borel J Tits [59, Sec 9, Chứng minh Bổ đề 9.2], sau xuất lại [11] Điều thực lại [66] với mục đích khác Trong trường hợp k trường địa phương đặc số 0, kết tính chất hữu hạn thuộc A Borel J -P Serre [40] Định lý 4.1.5 ([14], so sánh với [59, Sec 9], [11, Sec 5], [66]) Cho k trường đầy đủ định giá không tầm thường hạng thực G k-nhóm đại số tuyến tính Khi TIEU LUAN MOI download 81: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 a) Tập {1} mở tơpơ đặc biệt H1 (k, G) Do đó, G giao hốn tơpơ đặc biệt H1 (k, G) rời rạc b) Nếu đặc số trường k tơpơ đặc biệt tập đối đồng điều H1 (k, G) rời rạc Nói riêng ra, k trường địa phương đặc số tập H1 (k, G) hữu hạn rời rạc tôpô đặc biệt Nếu k trường khơng Acsimet G giao hốn khẳng định nhóm Hi (k, G), i ≥ c) Cho G nhóm đại số tuyến tính tác động quy lên k-đa tạp affine X Nếu v ∈ X(k) điểm cho nhóm dừng trơn (chẳng hạn char k = 0) quỹ đạo tương đối G(k) · v mở (G · v)(k) theo tôpô Hausdorff Trước chứng minh, nhắc lại kết sau thường gọi Định lý hàm ẩn đa tạp giải tích (theo nghĩa Serre) Định lý 4.1.6 ([41, Part II, Chap 3, Sec 10, Theorem, pp LG 3.15-3.16]) Cho k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực 1, X Y đa tạp giải tích k Giả sử Φ : X → Y cấu xạ, x ∈ X, y ∈ Y cho Φ(x) = y Khi khẳng định sau tương đương: 1) Ánh xạ tiếp xúc T x (Φ) : T x (X) → T y (Y) toàn ánh 2) Tồn lân cận mở U x, V y W km−n (trong m = dim X, n = dim Y) đẳng cấu ψ : U → V × W cho (a) Φ(U) = V (b) Với p : V × W → V phép chiếu, ta có sơ đồ giao hốn U ψ y V ×W Φ −−−−→ V x p V ×W 3) Về mặt địa phương x y, cấu xạ Φ : X → Y giống toàn ánh tuyến ¯ : E → F, E, F tương ứng không gian vectơ km kn tính Φ 4) Tồn hệ tọa độ { fi } x {g j } y cho fi = gi ◦ Φ với i = 1, n 5) Tồn lân cận mở U x, V y, cấu xạ σ : V → U cho Φ(U) ⊆ V Φ ◦ σ = idV TIEU LUAN MOI download 82: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Nhận xét 1) Người đọc xem thêm [41, Part II, Chap 10, p LG 3.14] khái niệm nêu phần 3) Ta gọi ánh xạ Φ thỏa mãn điều kiện 1) định lý nêu phép ngập (submersion) x 2) Trong thực tế, thường áp dụng khẳng định sau (được dẫn từ Định lý 4.1.6, xem thêm [32, Chap 3, Corollary 2, p 114]), thường gọi Định lý hàm ẩn Định lý 4.1.7 Cho k trường đầy đủ định giá không tầm thường, hạng thực 1, G k-nhóm đại số tuyến tính tác động k-cấu xạ lên k-đa tạp đại số X Giả sử k-cấu xạ f : G → G · x, g 7→ g · x, tách Khi đó, ánh xạ f (k) : G(k) → (G · x)(k), g 7→ g · x, ánh xạ mở tôpô Hausdorff G(k) (G · x)(k) Chứng minh Vì G0 đa tạp trơn, bất khả quy nên theo [32, Chap 3, Lemma 3.2] [19, §9, Theorem 9.4], nhóm điểm hữu tỷ G0 (k) trù mật Zariski G0 Mặt khác cấu xạ f : G → G · x, g 7→ g · x, tách nên theo [9, Chap AG, Theorem 17.3], tồn tập mở trù mật U G cho với g ∈ U đạo ánh T g ( f ) : T g (G) → T g·x (G · x) tồn ánh Vì G0 mở G, U tập mở trù mật G nên U ∩ G0 , ∅ mở G0 Hơn nữa, G0 (k) trù mật Zariski G nên G0 (k) ∩ (U ∩ G0 ) , ∅ Vậy tồn g0 ∈ G0 (k) cho (1) T g0 ( f ) : T g0 (G) → T go ·x (G · x) tồn ánh Vì x ∈ X(k) nên cấu xạ f : G → G · x, g 7→ g · x xác định k Do đó, T g0 ( f ) gửi k-cấu trúc T g0 (G)k vào k-cấu trúc T g0 ·x (G · x)k (2) T g0 ( f )(k) : T g0 (G)k → T g0 ·x (G · x)k toàn ánh Vì G0 (k) trù mật G0 nên theo [32, Chap 3, Lemma 3.1], G0 (k) đa tạp giải tích khơng gian tiếp xúc giải tích T g,an (G0 (k)) điểm g ∈ G0 (k) trùng với phần k-cấu trúc T g (G0 )k T g (G0 ) Hơn nữa, G0 (k) nhóm mở với số hữu hạn G(k) nên (3) T g0 ,an (G0 (k)) = T g0 ,an (G(k)) Do đó, (4) T g0 ,an (G(k)) = T g0 (G)k Tương tự, ta có (G · x)(k) đa tạp giải tích với y0 := g0 · x (5) T y0 ,an ((G · x)(k)) = T y0 (G · x)k Vậy từ (4), (5), [32, Chap 3, Lemma 3.1], đạo ánh giải tích T g0 ,an ( f ) : T g0 ,an (G(k)) → T y0 ,an ((G · x)(k)) hạn chế T g0 ( f ) T g0 (G)k , tức TIEU LUAN MOI download 83: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 ta có sơ đồ giao hoán sau: T g0 ,an ( f ) T g0 ,an (G(k)) −−−−−−→ T y0 ,an ((G · x)(k)) T g0 (G)k T g0 ( f )(k) −−−−−−→ T y0 (G · x)k Vậy kết hợp với (2), đạo ánh giải tích T g0 ,an ( f ) toàn ánh hay f (k) : G(k) → (G · x)(k) ngập g0 ∈ G0 (k) Theo Định lý 4.1.6, ánh xạ f (k) mở địa phương lân cận g0 y0 = g0 · x Vì G(k) có cấu trúc nhóm nên f (k) mở địa phương điểm, hay f (k) ánh xạ mở ta rút điều cần chứng minh Chúng ta quay lại chứng minh Định lý 4.1.5 Chứng minh Định lý 4.1.5 a) Điều suy từ Hệ 4.1.4 Một lập luận khác cho sau Ta nhúng G vào GLn với n thích hợp Khi ta có dãy khớp sau: π δ → G(k) → GLn (k) → (GLn /G)(k) → H1 (k, G) → Tôpô đặc biệt H1 (k, G) tôpô cảm sinh từ tôpô (GLn /G)(k), ta biết tôpô không phụ thuộc phép nhúng vào nhóm đặc biệt Bằng cách xoắn (twist) phần tử ξ (xem [40, Chap I, Sec 5.3, Prop 35, pp 47-49]), thớ phần tử H1 (k, G) GLn (k)-quỹ đạo GLn (k) · xi , xi ∈ (GLn /G)(k), với tác động thông thường GLn lên GLn /G Nếu G trơn phép chiếu GLn → GLn /G tách theo Định lý hàm ẩn (Định lý 4.1.7), ta có ánh xạ mở π(k) : GLn (k) → (GLn /G)(k) Hơn nữa, ảnh Imπ (là mở (GLn /G)(k)) đồng thời nghịch ảnh δ−1 ({1}) Do đó, {1} mở H1 (k, G) Do đó, G trơn giao hốn H1 (k, G) nhóm, kiểm tra với tơpơ tắc đó, H1 (k, G) lập thành nhóm tơpơ Nếu G giao hốn tơpơ tắc trùng với tơpơ đặc biệt Vậy H1 (k, G) nhóm tơpơ với tơpơ đặc biệt Vì {1} tập mở nhóm tơpơ H1 (k, G) nên điểm H1 (k, G) mở Do đó, điểm tập đóng Vậy tơpơ H1 (k, G) tơpơ rời rạc Một cách lập luận khác sau Ta có, theo [27, Chap III, Sec 6, Lemma 6.5], H1 (k, G) = Z (k, G)/B1 (k, G), B1 (k, G) nhóm đóng TIEU LUAN MOI download 84: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Z (k, G) Do điểm H1 (k, G) đóng tơpơ tắc (hay tơpơ đặc biệt) Do đó, điểm vừa đóng, vừa mở tơpơ H1 (k, G) tơpơ rời rạc b) Vì nghịch ảnh điểm H1 (k, G) qua ánh xạ nối δ : (GLn /G)(k) → H1 (k, G) quỹ đạo GLn (k) (GLn /G)(k) nên để chứng minh tôpô H1 (k, G) rời rạc, ta cần quỹ đạo GLn (k) (GLn /G)(k) mở Chọn xi điểm tùy ý thuộc (GLn /G)(k), Gi nhóm dừng xi GLn Vì char k = xi ∈ (GLn /G)(k) nên Gi xác định k Do ánh xạ pi : GLn → Yi := GLn ·xi , cảm sinh GLn → GLn /Gi , ánh xạ trơn, với vi phân toàn ánh (do char k = 0) Vậy pi cảm sinh ánh xạ mở GLn (k) → Yi (k) Do đó, GLn (k) · xi mở Yi (k) = (GLn /G)(k) Vậy tôpô H1 (k, G) rời rạc Khi k trường địa phương đặc số tập H1 (k, G) hữu hạn theo Định lý Borel-Serre Hơn nữa, k trường địa phương đặc số khơng Acsimet theo [40, Chap III, Sec 3.1, p 139], k trường với số chiều đối đồng điều khơng vượt q Thế đối đồng điều Galois với bậc lớn nhóm lũy đơn giao hoán (xem [40]) Vậy khẳng định lại dẫn từ [27, Chap 3], [42], [43] c) Ta cần G nhóm đại số tuyến tính xác định k, H = Gv k-nhóm đóng G, với tác động tự nhiên G lên khơng gian thương G/H, quỹ đạo G(k) · v mở tôpô Hausdorff (G · v)(k) = (G/H)(k) Từ dãy khớp δ → H(k) → G(k) → (G/H)(k) → H1 (k, H), ta suy với x ∈ Im(δ), δ−1 (x) G(k)-quỹ đạo (G/H)(k) Với tôpô đặc biệt H1 (k, H), δ liên tục Hơn nữa, {1} tập mở H1 (k, H) (theo Phần a)) nên ta có khẳng định c) Hệ 4.1.8 ([14]) Với khái niệm Định lý 4.1.5, k trường ∆ đặc số 0, ánh xạ đối biên H1 (k, G) → H2 (k, K) (K nhóm nằm tâm G) liên tục tôpô đặc biệt Chứng minh Ta có dãy khớp dài ∆ → K(k) → L(k) → G(k) → H1 (k, K) → H1 (k, L) → H1 (k, G) → H1 (k, K) Vì tơpơ H1 (k, G) rời rạc nên ∆ liên tục TIEU LUAN MOI download 85: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 4.2 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ hồn thiện Trong mục thiết lập chứng minh kết tính chất đóng quỹ đạo (hình học tương đối) nhóm đại số tích trực tiếp nhóm reductive với nhóm lũy đơn Trước đến kết chính, cần đến số kết khác, mà số chúng có ý nghĩa độc lập Dưới đây, thuật ngữ “mở” “đóng”, khơng có thích thêm, hiểu theo tơpơ Zariski Bổ đề 4.2.1 ([14]) Cho G nhóm đại số tác động quy lên đa tạp X, x ∈ X, G0 thành phần liên thông G Khi quỹ đạo G · x đóng (tương ứng mở) X G0 · x S Chứng minh Giả sử G· x đóng, ta G0 · x đóng Đặt G = giG0 S phân tích G lớp kề trái G0 Khi đó, G · x = i∈I giG0 · x = S j∈J g jG · x, biểu thức thứ hai hợp rời, J ⊆ I, phân tích G · x thành phần bất khả quy Vì ánh xạ quỹ đạo G → G · x, g 7→ g · x, mở G0 mở G nên G0 · x mở G · x Vậy G0 · x phần bù hợp tập mở nên tập đóng G · x Vậy G0 · x tập đóng Điều đảo lại đương nhiên số G0 G hữu hạn, G · x = Sn i=1 giG · x hợp hữu hạn tập đóng Giả sử G · x mở X Theo trên, G0 · x mở G · x Vậy G0 · x mở X Đảo lại, giả sử H nhóm (khơng thiết đóng) G cho S S H · x mở X Khi đó, với G = gi H G · x = gi H · x hợp tập mở Vậy G · x tập mở Mệnh đề 4.2.2 ([14]) Với giả thiết Bổ đề 4.2.1, giả sử H nhóm đóng G Khi ta có: 1) Nếu G · x đóng X tồn nhóm liên hợp H H cho H · x đóng X Nói riêng, tồn xuyến cực đại (tương ứng, nhóm Cartan) H G cho quỹ đạo H · x đóng Hơn nữa, với nhóm parabolic chuẩn (standard) Pθ ứng với kiểu θ G, tồn nhóm parabolic P ⊆ G, liên hợp với Pθ cho P · x đóng 2) Với giả thiết khái niệm trên, giả sử G = L × U (tích trực tiếp), L nhóm reductive G U nhóm lũy đơn G Khi G · x đóng L · x đóng TIEU LUAN MOI download 86: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Trước chứng minh, nhắc lại kết quan trọng thương phạm trù tốt Về khái niệm thương phạm trù tốt, người đọc xem thêm [18, Sec 6.1, Definition, p 94; Prop 6.2, p 93] Bổ đề 4.2.3 ([18, Corol 6.1, p 94]) Giả sử cấu xạ p : X → Y thương phạm trù tốt Khi đó, cấu xạ p thỏa mãn điều kiện sau: a) Hai điểm x, x0 ∈ X có ảnh Y G · x ∩ G · x0 , ∅ b) Với y ∈ Y, thớ p−1 (y) y chứa quỹ đạo đóng Chứng minh Mệnh đề 4.2.2 1) Nhóm đại số H tác động quy lên G · x, đó, theo Bổ đề quỹ đạo đóng, tồn quỹ đạo H · y đóng trong G · x với y ∈ G · x Đặt y = g · x, ta có H · y = Hg · x = g(g−1 Hg)x Vì ta có phép đồng phơi ϕg : X → X, x 7→ g · x gửi (g−1 Hg)x vào g(g−1 Hg)x, g(g−1 Hg)x tập đóng, nên H · x đóng với H = g−1 Hg Vì nhóm Borel, xuyến cực đại, nhóm Cartan, nhóm parabolic kiểu θ liên hợp với nên ứng với lớp nhóm này, tồn P cho P · x đóng 2) Giả sử G · x đóng Theo 1), tồn liên hợp L0 = gLg−1 L cho L0 · x đóng Tuy nhiên, với g = lu, l ∈ L, u ∈ U, L0 = luL(lu)−1 = l(uLu−1 )l−1 = L Do đó, L · x đóng Đảo lại, lập luận tương tự [6, Lemma 9.7], ta rút G · x đóng Tuy nhiên, đầy đủ, ta trình bày chứng minh chi tiết Giả sử L · x đóng, ta cần G · x đóng Đặt Y = G · x bao đóng G · x X Vì L nhóm reductive nên thương phạm trù tốt f : Y −→ Y ∥ L tồn Ta f (y) = f (y0 ) f (g · y) = f (g · y0 ) Vì f : Y −→ Y ∥ L thương phạm trù tốt nên L · y ∩ L · y0 , ∅ Với g = lu = ul ∈ L × U, ta có L · gy = L · (ul)y = u · (Ly) Vậy L(gy) = u · (Ly) = u · Ly Vậy L(gy) = u · Ly = u · Ly Vì L · y ∩ L · y0 , ∅ nên u · Ly ∩ u · Ly0 , ∅ Do đó, L(gy) ∩ L(gy0 ) , ∅ Thế thì, theo Bổ đề 4.2.3, f (g · y) = f (g · y0 ) Vậy f (y) = f (y0 ) f (g · y) = f (g · y0 ) Vì thế, ta xác định tác động G lên Y ∥ L cho g · f (y) = f (g · y), ánh xạ f : Y → Y ∥ L G-đẳng biến Với G = L × U, f (G · x) = U · f (x) quỹ đạo đóng (do U nhóm lũy đơn) Do đó, nghịch ảnh Z := f −1 (G · f (x)) tập đóng Y chứa G · x Vậy Z = Y = G · x Mặt khác, L · x đóng theo giả thiết nên f −1 ( f (x)) = L · x Vì vậy, Z = f −1 (G · f (x)) = G · f −1 ( f (x)) = G · (L · x) = G · x Do đó, G · x = G · x = Z G · x đóng X Tiếp đến cần mở rộng định lý G Kempf cho trường hợp nhóm khơng reductive có dạng L × U TIEU LUAN MOI download 87: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Định lý 4.2.4 (Một mở rộng Định lý Kempf, [14]) Cho k trường hoàn thiện, G = L × U, nhóm L reductive U lũy đơn xác định k Cho G tác động k-chính quy lên k-đa tạp affine X, x điểm không ổn định X(k) (tức G · x khơng đóng) Giả sử Y tập đóng, G-bất biến tùy ý G · x \ G · x Khi đó, tồn nhóm tham số λ : Gm → G, xác định k, điểm y ∈ Y ∩ X(k) cho λ(t) · x → y t → Nhận xét Thực tế, trường hợp reductive, định lý gốc G Kempf mang nhiều thông tin chất quỹ đạo thiếu ổn định Ta đề cập mở rộng cho dạng đơn giản định lý Chứng minh Chứng minh sử dụng ý tưởng [6, Proposition 9.10] Thực tế, cho chứng minh chi tiết Ta cố định tập đóng khác rỗng Y G · x \ G · x, giả thiết định lý cho ứng với (G, Y, x) Vì G · x khơng đóng nên theo Mệnh đề 4.2.2, nên quỹ đạo L · x khơng đóng Ta nhận thấy quỹ đạo L G · x có dạng gLx, g ∈ G, có số chiều với L · x Vì vậy, L · x đóng G · x Ta chứng minh quy nạp theo số chiều G · x Nếu dim(G · x) = khẳng định đương nhiên Vì L · x khơng đóng nên áp dụng Định lý Kempf cho tập đóng L-ổn định Y0 := L · x \ L · x , ∅, tồn nhóm tham số λ : Gm → L xác định k, điểm y0 ∈ Y0 ∩ X(k), cho λ(t) · x → y0 , t → Vì quỹ đạo L G · x có số chiều nên L · x ∩ G · x = L · x Do y0 ∈ [λ(Gm ) · x \ L · x] ⊆ [G · x \ G · x] Đặt Z bao đóng Zariski G · x A = {z ∈ Z | L · z ∩ G · y0 , ∅} Ta A tập đóng Z Vì L nhóm reductive Z = G · x L-ổn định nên tồn thương phạm trù tốt π : Z → Z ∥ L Ta chứng minh (∗) A = π−1 (π(G · y0 )) Thật vậy, z ∈ A L · z ∩ G · y0 , ∅ Giả sử y ∈ L · x ∩ G · y0 Khi L · z ∩ L · y , ∅ Theo Bổ đề 4.2.3, π(z) = π(y) Vì y ∈ G · y0 nên π(z) ∈ π(G · y0 ) Do đó, z ∈ π−1 (π(G · y0 )), hay (1) A ⊆ π−1 (π(G · y0 )) Đảo lại, giả sử z ∈ π−1 (π(G · y0 )) Khi π(z) = π(y) với y ∈ G · y0 Vậy theo Bổ đề 4.2.3, L · z ∩ L · y , ∅ Do đó, L · z ∩ G · y0 , ∅, hay z ∈ A Vậy ta có (2) π−1 (π(G · y0 )) ⊆ A TIEU LUAN MOI download 88: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Từ (1) (2) suy A = π−1 (π(G · y0 )) Vì G · y0 tập đóng L-ổn định nên theo [18, Corollary 6.1, p 94], π(G · y0 ) đóng Z ∥ L Do đó, A = π−1 (π(G · y0 )) đóng Z Hơn nữa, ta A G-ổn định x ∈ A Vì λ(t)x → y0 t → nên x ∈ A Mặt khác, gL · z = L · gz, gG · y0 = G · y0 , với g ∈ G, nên a ∈ A L · a ∩ G · y0 , ∅, hay L · (g · a) ∩ G · y0 , ∅ Do đó, tập A G-ổn định Từ ta có, A G-ổn định, chứa x, đóng Z Thế A = Z = G · x Giả sử y ∈ Y (⊆ A) Khi L · y ∩ G · y0 , ∅ Vì Y đóng L-ổn định nên L · y ⊆ Y Do Y1 := Y ∩ G · y0 , ∅ Vì Y đóng G-ổn định nên Y1 đóng G-ổn định Z Nếu Y ∩ G · y0 , ∅ từ giả thiết Y G-ổn định ta có y0 ∈ Y lim λ(t) · x = y0 với λ nhóm tham số G Do t→0 ta có kết luận (∗) Nếu Y ∩G ·y0 = ∅ Y1 ∩G ·y0 = ∅ Do Y1 ⊆ G · y0 \G ·y0 Vì y0 ∈ G · x\G · x nên dim(G · y0 ) < dim(G · x) Vậy áp dụng giả thiết quy nạp cho (G, Y1 , y0 ), tồn nhóm tham số µ : Gm → G (thực tế µ : Gm → L, L nhóm reductive cực đại G) xác định k, cho µ(t) · y0 → y1 ∈ Y1 , t → Vì λ(t) · x → y0 , t → 0, nên µ(t)(λ(t) · x) = (µ(t)λ(t)) · x → y1 , t → Vậy định lý chứng minh Từ đây, ta có hệ sau Hệ 4.2.5 ([14]) Với ký hiệu trên, cho z ∈ X(k) cho nhóm dừng Gz chứa tất xuyến k-phân rã cực đại G Thế quỹ đạo G · z đóng X Chứng minh Đầu tiên ta khẳng định thay G L Giả sử L · z khơng đóng Khi Y := L · z \ L · z , ∅ Theo định lý G Kempf [25], tồn nhóm tham số λ : Gm → L, xác định k, y ∈ Y(k), cho λ(t) · z → y, t → Vì Lz chứa tất xuyến k-phân rã cực đại G nên z = y ∈ L · z \ L · z Điều mâu thuẫn Ta xét trường hợp tổng quát Theo Mệnh đề 4.2.2, G · z khơng đóng L · z khơng đóng Vì xuyến k-phân rã cực đại L nằm L ∩ Gz = Lz nên theo lập luận phần đầu ta thu điều vô lý Vậy hệ chứng minh Với kết chuẩn bị này, ta có kết sau tơpơ quỹ đạo Định lý 4.2.6 ([14]) Cho k trường hoàn thiện, đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực Cho G k-nhóm đại số tuyến tính tác động TIEU LUAN MOI download 89: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 k-chính quy lên k-đa tạp affine X, x ∈ X(k) k-điểm X Khi ta có khẳng định sau: 1) (Mở rộng số kết [6], [10], [59], [11]) Nếu quỹ đạo G · x đóng nhóm dừng G x k-nhóm trơn, quỹ đạo tương đối G(k) · x đóng theo tôpô Hausdorff X(k) 2) Đảo lại, giả sử G = L × U, L reductive U lũy đơn, tất xác định k Nếu G(k) · x đóng X(k) theo tơpơ Hausdorff G · x đóng theo tơpơ Zariski X 3) Với giả thiết 1), G(k) · x đóng X(k) G0 (k) · x đóng X(k) Chứng minh 1) Ký hiệu G x nhóm dừng x G, Y = G · x Theo giả thiết, nhóm dừng G x trơn xác định k (điều char k = 0) Do phép chiếu G → G/G x tách Mặt khác, Y đóng X Y(k) ln đóng X(k) theo tơpơ Hausdorff Ta nhóm dừng Gz ln trơn xác định k với z ∈ (G · x)(k) Thật vậy, Gz liên hợp với Gv nhóm dừng Gv trơn nên Gz trơn Vậy ta cần Gz xác định k Giả sử h ∈ G cho z = h · x ∈ (G · x)(k) s ∈ Gal(k s /k) Khi z = s z = s (h · x) = s h · s x = s h · x (vì x ∈ X(k)) Mặt khác z = h · x nên s h · x = h · x Thế g s := h−1 s h ∈ G x với s ∈ Gal(k s /k) Hơn nữa, Gz = h(G x )h−1 nên s −1 Gz = ( s h)( sG x ) s (h−1 ) = hg sG x g−1 = hG x h−1 = Gz , hay sGz = Gz với s h s ∈ Gal(k s /k) Vì k trường hồn thiện nên Gz xác định k Từ chứng minh Định lý 4.1.5, G(k)-quỹ đạo mở (G/G x )(k) = Y(k) theo tơpơ Hausdorff Do đó, quỹ đạo phần bù hợp tập mở đóng Vậy G(k) · x đóng Y(k) đóng X(k) 2) Giả sử G(k) · x tập đóng theo tơpơ Hausdorff giả sử ngược lại G · x khơng đóng Zariski Khi Y = G · x \ G · x , ∅ Từ mở rộng Định lý Kempf cho trường hoàn thiện (Định lý 4.2.4), tồn nhóm tham số λ : Gm → G xác định k, điểm y ∈ Y ∩ X(k) cho λ(t) · x → y, t → Vì λ x xác định k nên y thuộc bao đóng (theo tơpơ v-adic) λ(k∗ ) · x ⊆ G(k) · x X(k) Mặt khác, y < G · x nên y ∈ G · x \ G(k) · x Do đó, G(k) · x khơng đóng theo tơpơ Hausdorff (mâu thuẫn) Vậy G · x đóng theo tơpơ Zariski S 3) Ta nhận thấy G0 (k) có số hữu hạn G(k), G(k) = s g sG0 (k), với S g s ∈ G(k), s = 1, n Nếu G0 (k) · x đóng X(k) G(k) · x = s g sG0 (k) · x đóng X(k) Từ Phần 2) trên, G · x đóng Zariski Theo Mệnh đề 4.2.2, G0 · x đóng Zariski theo 1), G0 (k) · x đóng Hausdorff TIEU LUAN MOI download 90: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 Nhận xét Khẳng định 1) Định lý 4.2.6 có nguồn gốc từ báo A Borel Harish-Chandra [10] cho trường hợp trường thực R Trường hợp tổng quát suy từ lập luận [59, Sec 9, Chứng minh Bổ đề 9.2] mà có dùng đến Định lý hàm ẩn (Định lý 4.1.7) Lập luận xuất lại [11, Sec 5] [66] Sau đó, chiều đảo lại chứng minh cho nhóm reductive xác định trường thực D Birkes [6] (cũng xem [55]), R Bremigan [11] cho nhóm reductive xác định trường địa phương đặc số Ở chúng tơi có kết cho trường hoàn thiện, đầy đủ với định giá không tầm thường với hạng thực 1, trường hợp đó, Định lý hàm ẩn Từ lập luận trên, ta có kết sau đây, mở rộng kết biết A Borel-Harish-Chandra, D Birkes, R Bremigan (xem phần giới thiệu chương) Định lý 4.2.7 ([14]) Cho k, G, V Định lý 4.2.6 Giả sử Gv k-nhóm trơn Khi ta có 1) Nếu G = L × U, với L U nhóm reductive lũy đơn, G · v đóng Zariski G(k) · v đóng Hausdorff 2) Nếu G nhóm reductive lũy linh tập G · v đóng Zariski G(k) · v đóng Hausdorff 3) Giả sử G k-nhóm lũy linh trơn, T k-xuyến cực đại G Thế khẳng định sau tương đương: a) G · v đóng theo tơpơ Zariski b) T · v đóng theo tơpơ Zariski c) G(k) · v đóng theo tơpơ Hausdorff d) T (k) · v đóng theo tơpơ Hausdorff Nhận xét Một định lý tiếng G Mostow nói rằng, nhóm đại số tuyến tính liên thông xác định trường k đặc số có phân tích thành tích nửa trực tiếp G = L · U, U k-nhóm chuẩn tắc lũy đơn cực đại G, L k-nhóm reductive liên thơng cực đại (xem [28]) Những nhóm tích trực tiếp nhóm reductive nhóm lũy đơn lớp ví dụ tốt để khẳng định 2) Định lý 4.2.6 đúng, nghĩa cho G(k) · x đóng Hausdorff kéo theo G · x đóng Zariski Cụ thể, chúng tơi đưa ví dụ với chiều nhỏ TIEU LUAN MOI download 91: skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 (LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01(LUAN.an.TIEN.si).so.hoc hinh.hoc.cua.nhom.dia.so.va.cac.khong.gian.thuan.nhat.lien.quan.tren.truong.so.hoc.62.46.05.01 số nhóm giải khơng lũy linh, mà G · x khơng đóng Zariski Mệnh đề 4.2.8 ([14]) Cho B nhóm đại số tuyến tính giải chiều 2, tác động quy lên đa tạp affine X, x ∈ X, tất xác định trường k đặc số 1) Nếu nhóm dừng Bx x nhóm vơ hạn B, quỹ đạo B · x ln đóng 2) Cho G = SL2 , B nhóm Borel G bao gồm ma trận tam giác Ta chọn biểu diễn tiêu chuẩn G cách cho G tác động lên V2 không gian đa thức bậc với hệ số C, xem không gian C-không gian vectơ chiều Khi dim B = 2, với v = (1, 0, 1)t ∈ V2 , ta có a) Quỹ đạo G · v = {(x, y, z) | 4xz = y2 + 4} tập đóng theo tôpô Zariski b) Quỹ đạo B · v = {(x, y, z) | 4xz = y2 + 4} \ {z = 0} tập khơng đóng theo tơpơ Zariski c) B(k) · v = {(a2 + b2 , 2bd, d2 ) | ad = 1, a, b, c, d ∈ k} tập đóng theo tơpơ Hausdorff, với k trường thực R trường p-adic, p=2 p ≡ (mod 4) d) Nhóm dừng Bv v B hữu hạn Chứng minh 1) Theo Bổ đề 4.2.1, ta giả thiết B liên thơng Tiếp đến, ta giả sử B khơng lũy đơn chéo hóa trái lại kết biết Đặt B = T · Bu , T xuyến cực đại Bu lũy đơn B Theo giả thiết ta, Bu vô hạn nên dim T = dim Bu = Vì Bx nhóm đại số giải vơ hạn nên ta có phân tích Bx = S · R, S nhóm chéo hóa được, R lũy đơn Bx Sau lấy liên hợp ta giả sử S ⊆ T Nếu R khơng tầm thường R = Bu (do dim Bu = 1) Do Bx nhóm chuẩn tắc B khẳng định đương nhiên Nếu R tầm thường S vơ hạn Khi S = T Do ta có B · x = Bu T · x = Bu · x đóng X 2) a) Ta xem tất nhóm nhóm với điểm C (hoặc miền phổ dụng đủ lớn đó) Giả sử ( ) a b
Ngày đăng: 18/12/2023, 06:52
Xem thêm:
