Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THÀNH TRUNG DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THÀNH TRUNG DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy cô giáo tham gia giảng dạy trường giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Văn Mậu – người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo tác giả trình nghiên cứu, thực đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo trường THPT chuyên Bắc Giang, trường THPT Yên Dũng số 2, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, nhiên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong lượng thứ mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thành Trung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt THPT: Trung học phổ thông GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa NXB: Nhà xuất TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu 1 Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Đặc điểm cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường trung học phổ thông 1.1.1 Học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh giỏi 1.1.2 Khó khăn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT không chuyên Tư vai trò tư 1.2.1 Khái niệm tư 1.2.2 Các bước hoạt động trình tư 1.2.3 Vai trò tư 1.3 Sáng tạo 1.4 Tư sáng tạo biện pháp phát triển tư sáng tạo 1.4.1 Các quan điểm tư sáng tạo 1.4.2 Một số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo 1.4.3 Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng phát triển tư 1.2 sáng tạo thơng qua dạy học mơn Tốn 1.5 1.6 Thực trạng việc dạy học đa thức bậc bốn dạng toán liên quan số trường trung học phổ thông 19 Kết luận chương 22 Dạy học đa thức bậc bốn số dạng toán liên quan 2.1 13 23 Các hệ thức lượng giác liên quan đến cơng thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn 23 2.1.1 23 Cơng thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.2 2.2 Các hệ thức đại số liên quan đến cơng thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn 25 Phương pháp giải phương trình đa thức bậc bốn 27 2.2.1 Phương trình đa thức bậc bốn có hai nghiệm “đẹp” 28 2.2.2 Phương trình đa thức bậc bốn có nghiệm “đẹp” 28 2.2.3 Một số phương trình đa thức bậc bốn có dạng đặc biệt 2.2.4 Phương trình đa thức bậc bốn khơng có nghiệm “đẹp” khơng có dạng đặc biệt 2.3 2.4 33 37 Một số toán liên quan đến đa thức bậc bốn 43 2.3.1 Phương pháp giải hệ bậc hai tổng quát 43 2.3.2 Một số toán liên quan đến định lý Viet phương trình bậc bốn 48 2.3.3 Đa thức bậc bốn với yếu tố cạnh tứ giác 64 2.3.4 Một số bất đẳng thức cực trị theo đa thức đối xứng bốn biến 78 Kết luận chương 91 Thực nghiệm sư phạm 92 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 92 3.2 Phương pháp thức nghiệm 92 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 93 3.4 Giáo án thực nghiệm đề kiểm tra 94 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 102 3.6 Kết luận chương 106 Kết luận 107 Tài liệu tham khảo 109 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh sách bảng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 Mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học mơn học ưu tiên trọng phát triển hàng đầu giáo dục Bởi ứng dụng thiết thực sống hay mang vai trị cơng cụ khơng thể thiếu cho nhiều mơn học khác Tốn học cịn mơn học giúp rèn khả tư cho học sinh Trong Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ương Đảng khố XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tào nêu rõ “Đối với giáo dục phổ thơng, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất lực cơng dân, phát huy bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời” Nhiệm vụ dạy học mơn Tốn trang bị kiến thức cần thiết cho học sinh, từ phát triển lực tư sáng tạo, lực tự học Tốn, lực tính tốn Qua hình thành phát triển phẩm chất người đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội Đặc biệt số học sinh có tố chất mơn Tốn, trường tập hợp quan tâm, bồi dưỡng học sinh giỏi bước chuẩn bị cho việc đào tạo nhân tài nhằm học tập, tiếp cận, sáng tạo cơng nghệ mới, tiên tiến có giá trị cao giới Những học sinh giỏi đầu tàu phát triển đất nước tương lai Để tạo người lao động mới, lực khơng thể thiếu lực sáng tạo Khi cần phải có phương pháp dạy học phù hợp để khơi gợi phát huy lực người học Cũng Hội nghị Trung ương lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương tiếp tục khẳng định “Cần tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khố, nghiên cứu khoa học" Chính vậy, nhiệm vụ người dạy mở rộng trí tuệ, hình thành lực, kỹ định hướng phát triển đạo đức cho học sinh, làm đầy trí tuệ cho học sinh cách truyền thụ tri thức có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi người dạy phải vận dụng phương pháp dạy học tích cực kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển lực sáng tạo, giải vấn đề điều kiện cụ thể tình hình thực tế sống Các toán đa thức bậc bốn vấn đề liên quan đến nội dung cần khai thác mở rộng việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT Với mục đích giúp học sinh nắm vững kiến thức đa thức; định hướng tư việc tiếp cận giải số tốn liên quan đến đồng thời thông qua việc học chủ đề giúp người học hình thành lực giải vấn đề sáng tạo toán Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề tài “Dạy học đa thức bậc bốn dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh định hướng tư việc tiếp cận giải số toán đa thức bậc bốn dạng tốn liên quan Từ hình thành lực giải vấn đề, sáng tạo tốn Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu vấn đề đến đa thức bậc bốn dạng toán liên quan; thực trạng khó khăn giáo viên học sinh dạy học chủ đề - Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ số vấn đề tư duy, đặc biệt tư sáng tạo Nghiên cứu biểu tư sáng tạo học sinh THPT, đặc biệt học sinh trường THPT không chuyên; cần thiết phải rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải vấn đề sáng tạo toán (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 - Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Khách thể đối tượng nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Giáo viên học sinh trung học phổ thông - Đối tượng nghiên cứu: Đa thức bậc bốn dạng toán liên quan trung học phổ thông Phạm vi nghiên cứu Đa thức bậc bốn dạng toán liên quan bậc trung học phổ thông trường trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu tài liệu giáo dục học mơn tốn, tâm lý học, lý luận dạy học mơn tốn Các sách báo, viết khoa học toán phục vụ cho đề tài Các cơng trình nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng lớp đối tượng Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống toán chủ đề đa thức bậc bốn dạng toán liên quan giúp hình thành lực tư sáng tạo, khả tự học, tự nghiên cứu học sinh Từ hình thành lực giải giải vấn đề sáng tạo tốn Đóng góp đề tài Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho trường THPT chuyên lớp chọn trường THPT không chuyên Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phân nội dung phần kết luận Nội dung luận văn gồm ba chương Chương Cơ sở lí luận thực tiễn Chương Dạy học đa thức bậc bốn dạng toán liên quan Chương Thực nghiệm sư phạm (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 60 5π 9π 13π π + tan + tan − tan 11) A11 = tan 16 16 16 16 5π 13π 9π π + tan + tan − tan tan 16 16 16 16 π 9π 13π 5π tan + tan + tan − tan 16 16 16 16 9π 13π π 5π + tan + tan − tan tan 16 16 16 16 π 5π 5π 9π 12) A12 = tan − tan + tan − tan 16 16 16 16 2 9π 13π 13π π + tan − tan + tan − tan 16 16 16 16 2 π 9π 5π 13π − tan + tan − tan + tan 16 16 16 16 π 5π 9π π 5π 13π tan + tan + tan tan + tan + tan 16 16 16 + 16 16 16 13) A13 = 13π 9π tan tan 16 16 9π 13π 9π 13π π 5π + tan + tan + tan + tan tan tan 16 16 16 + 16 16 16 + π 5π tan tan 16 16 π 5π 9π 13π 14) A14 = tan3 + tan3 + tan3 + tan3 16 16 16 16 Lời giải π 5π 9π 13π bốn nghiệm Chúng ta chứng minh tan , tan , tan , tan 16 16 16 16 phương trình x4 + 4x3 − 6x2 − 4x + = Gọi T1 , T2 , T3 , T4 tổng, π 5π 9π 13π tích đối xứng sở bốn nghiệm tan , tan , tan , tan Khi 16 16 16 16 theo định lý Viet, ta có T1 = −4, T2 = −6, T3 = 4, T4 = Sử dụng hệ tính tổng đối xứng nghiệm theo tổng, tích đối xứng sở Như khẳng định x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phương trình bậc bốn tính tổng đối xứng bốn nghiệm Việc xây dựng phương trình bậc bốn có nghiệm theo giá trị lượng giác thường xuất phát từ đồng thức lượng giác (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 61 Theo định lý Viet xây dựng phương trình bậc bốn nhận bốn số t1 = g (x1 ) , t2 = g (x2 ) , t3 = g (x3 ) , t4 = g (x4 ) làm bốn nghiệm cách tính tổng, tích sở Từ lại xây dựng đẳng thức tương ứng 2.3.2.5 Xây dựng phương trình bậc bốn nhận bốn số cho trước làm nghiệm 5π 9π 13π π bốn Bài toán 2.22 Chứng minh cot , cot , cot , cot 16 16 16 16 nghiệm phương trình x4 − 4x3 − 6x2 + 4x + = Lời giải π 5π 9π 13π , tan , tan , tan bốn nghiệm 16 16 16 16 Chúng ta chứng minh tan phương trình x4 + 4x3 − 6x2 − 4x + = Chúng ta xuất phát từ đồng thức lượng giác tan 4t = để xây dựng toán Bây tiếp cận toán theo số cách sau Cách 1: Chúng ta có T1 = −4, T2 = −6, T3 = 4, T4 = tan 5π 9π 13π π = , tan = , tan = , tan = π 5π 9π 13π 16 cot 16 16 16 cot cot cot 16 16 16 16 nên cot π 5π 9π 13π , cot , cot , cot bốn nghiệm phương trình 16 16 16 16 x4 − T3 T2 T1 x + x − x+ =0 T4 T4 T4 T4 hay x4 − 4x3 − 6x2 + 4x + = Cách 2: Vì tan π = 16 cot π 16 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 62 nên ta có 4 3 2 + 4 − 6 − 4 π π π π +1=0 cot2 cot2 cot2 cot2 16 16 16 16 π π π π − 4cot − 6cot + cot +1=0 ⇔ cot 16 16 16 16 π nghiệm phương trình Suy cot 16 t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = 5π 9π 13π , cot , cot nghiệm 16 16 16 phương trình t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = 5π 9π 13π π bốn nghiệm phương Vậy ta suy cot , cot , cot , cot 16 16 16 16 trình x4 − 4x3 − 6x2 + 4x + = Chúng ta có điều phải chứng minh π 1 Cách 3: Ta có tan = Thay x vào phương trình x4 + 4x3 − π 16 cot t 16 6x2 − 4x + = 3 2 4 1 1 +4 −6 −4 + = ⇔ t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = t t t t Chứng minh tương tự cot π 5π 9π 13π , cot , cot , cot bốn nghiệm phương 16 16 16 16 trình x4 − 4x3 − 6x2 + 4x + = Chúng ta có điều phải chứng minh Sử dụng toán xuất phát kết hợp với việc sử dụng tính chất nghiệm phương trình đa thức bậc bốn thu toán đẳng thức liên quan đến lượng giác Giáo viên yêu cầu học sinh tìm phương trình bậc bốn nhận bốn số tương ứng sau làm nghiệm thơng qua tốn Bài toán 2.23 Chứng minh π 5π 9π 13π nghiệm phương trình 1) cot2 , cot2 , cot2 , cot2 16 16 16 16 Từ suy cot x4 − 28x3 + 70x2 − 28x + = 2) tan2 π 5π 9π 13π , tan2 , tan2 , tan2 nghiệm phương trình 16 16 16 16 x4 − 28x3 + 70x2 − 28x + = (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 63 3) 1 , , , nghiệm phương trình π 5π 9π 13π 2 cos2 16 cos 16 cos 16 cos 16 x4 − 32x3 + 160x2 − 256x + 128 = π 5π 9π 13π , cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 16 16 16 16 4) cos2 1 x4 − 2x3 + x2 − x + = 4 128 5π 9π 13π π , cos4 , cos4 , cos4 nghiệm phương trình 16 16 16 16 5) cos4 37 11 x4 − x3 + x2 − x+ = 64 126 16384 6) sin2 π 5π 9π 13π , sin2 , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 16 16 16 16 1 x4 − 2x3 + x2 − x + = 4 128 7) 1 , , , nghiệm phương trình π 5π 9π 13π sin2 16 sin 16 sin 16 sin 16 x4 − 32x3 + 160x2 − 256x + 128 = 8) sin4 π 5π 9π 13π , sin4 , sin4 , sin4 nghiệm phương trình 16 16 16 16 37 11 x4 − x3 + x2 − x+ = 64 126 16384 9) tan4 π 5π 9π 13π , tan4 , tan4 , tan4 nghiệm phương trình 16 16 16 16 x4 − 644x3 + 3334x2 − 644x + = Như chứng minh số toán nghiệm phương trình đa thức bậc bốn kiểu kết hợp với định lý Viet phương trình bậc bốn, thu nhiều đẳng thức lượng giác tương ứng (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 64 2.3.3 Đa thức bậc bốn với yếu tố cạnh tứ giác Chúng ta biết tam giác ln có đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp Khi chứng minh ba cạnh a, b, c tam giác ABC ba nghiệm phương trình t3 − 2pt2 + p2 + r2 + 4Rr t − 4pRr = p nửa chu vi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Từ tiếp tục xây dựng phương trình bậc ba nhận yếu tố liên quan đến cạnh, đến góc, đến đường cao làm nghiệm Sử dụng định lý Viet phương trình bậc ba với việc sử dụng bất đẳng thức đối xứng ba biến thu nhiều đẳng thức bất đẳng thức Vậy tứ giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp đường trịn liệu cạnh nghiệm phương trình bậc bốn hay khơng? Trong mục tìm cách xây dựng phương trình bậc bốn nhận bốn cạnh tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại làm nghiệm 2.3.3.1 Một số định nghĩa tính chất tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp Định nghĩa 2.1 Tứ giác lồi ABCD có bốn đỉnh A, B, C, D nằm đường tròn (O) gọi tứ giác nội tiếp hay tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) OA = OB = OC = OD Tính chất 2.4 1) Tứ giác ABCD nội tiếp hai đỉnh kề nhìn cạnh góc vng 2) Tứ giác ABCD nội tiếp tổng hai góc đối diện 1800 3) Tứ giác ABCD có hai đường thẳng chứa hai cạnh AB CD cắt I Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp IA.IB = IC.ID 4) Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt tịa K Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp KA.KC = KB.KD 5) Tứ giác ABCD nội tiếp AC.BD = AB.CD + AD.BC (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 65 (Định lý Ptoleme) Định nghĩa 2.2 Tứ giác ABCD gọi tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O) đường tròn (O) tiếp xúc với tất cạnh tứ giác Tính chất 2.5 1) Tứ giác ABCD ngoại tiếp tổng cặp cạnh đối nhau, tức AB + CD = BC + DA 2) Cho tứ giác ABCD có tia AD BC cắt E ; tia AB, CD cắt F Khi điều kiện sau tương đương i) Tứ giác ABCD ngoại tiếp ii) BE + BF = DE + DF iii) F A + CE = EA + CF Định nghĩa 2.3 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường trịn (I) tứ giác ABCD gọi tứ giác hai tâm Tính chất 2.6 Tứ giác hai tâm có đầy đủ tính chất tứ giác nội tiếp ngoại tiếp 2.3.3.2 Đẳng thức sinh từ phương trình bậc bốn tứ giác hai tâm Một tam giác hoàn toàn xác định biết độ dài ba cạnh Khi yếu tố xác định diện tích, góc, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác tính xây dựng hệ thống công thức đa dạng tam giác Vậy tứ giác xem xác định nào? Chúng ta nhận thấy tứ giác nội tiếp biết độ dài bốn cạnh xác định Khi yếu tố xác định diện tích, đường chéo, góc tính theo cạnh Một toán đặt cho tứ giác nội tiếp, biết độ dài bốn cạnh Chúng ta cần xây dựng cơng thức tính diện tích, đường chéo tứ giác theo cạnh Giáo viên đưa toán sau yêu cầu học sinh chứng minh Bài toán 2.24 Cho tứ giác ABCD nội tiếp, có độ dài cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Khi p 1) Diện tích tứ giác S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d), với a+b+c+d p= nửa chu vi tứ giác ABCD r r (ac + bd) (ad + bc) (ac + bd) (ab + cd) 2) Đường chéo AC = , BD = ab + cd ad + bc Chứng minh (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 66 1 1) Ta có S = SABC + SACD = ab sin B + cd sin D 2 Từ suy 4S = 2ab sin B + 2cd sin D Lại có a2 + b2 − 2ab cos B = AC = c2 + d2 − 2cd cos D Từ suy a2 + b2 − c2 − d2 = 2ab cos B − 2cd cos D Vậy ta có 2 16S + a2 + b2 − c2 − d2 = 4a2 b2 + 4c2 d2 − 8abcd cos (B + D) = 4a2 b2 + 4c2 d2 + 8abcd (do B + D = 1800 ) =(2ab + 2cd)2 Như ta có 2 16S = (2ab + 2cd)2 − a2 + b2 − c2 − d2 h ih i 2 2 = (a + b) − (c − d) (c + d) − (a − b) = (a + b + c − d) (a + b + d − c) (a + c + d − b) (b + c + d − a) = (2p − 2d) (2p − 2c) (2p − 2b) (2p − 2a) q ⇒S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) 2) Theo định lý hàm số cosin, ta có AC = a2 + b2 − 2ab cos B AC = c2 + d2 − 2cd cos D = c2 + d2 + 2cd cos B Từ suy (cd + ab) AC = cd a2 + b2 + ab c2 + d2 =ac (ad + bc) + bd (ad + bc) = (ac + bd) (ad + bc) r (ac + bd) (ad + bc) (ac + bd) (ad + bc) Do AC = hay AC = ab + cd ab + cd (ac + bd) (ab + cd) Chứng minh tương tự ta BD2 = hay ad + bc s (ac + bd) (ab + cd) BD = ad + bc Nhận xét: Qua việc dẫn dắt để đến toán kiểu giúp học sinh nhận thấy tốn khơng phải tự nhiên mà có, để có tốn (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 67 cần có tư lơgic hợp lý Tiếp theo kiểm tra xem tứ giác ngoại tiếp biết độ dài cạnh diện tích tính nào? Giáo viên đề xuất chứng minh tốn Bài tốn 2.25 Diện tích tứ giác ngoại tiếp ABCD với độ dài cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d √ B+D S = abcd sin Chứng minh Ta có 1 S = SABC + SACD = ab sin B + cd sin D 2 hay 4S = 2ab sin B + 2cd sin D Lại có a2 + b2 − 2ab cos B = AC = c2 + d2 − 2cd cos D Từ suy a2 + b2 − c2 − d2 = 2ab cos B − 2cd cos D Vậy ta có 2 16S + a2 + b2 − c2 − d2 = 4a2 b2 + 4c2 d2 − 8abcd cos (B + D) 2 ⇒ 16S = 4a2 b2 + 4c2 d2 − a2 + b2 − c2 − d2 − 8abcd cos (B + D) 2 = (2ab + 2cd)2 − a2 + b2 − c2 − d2 − 8abcd (1 + cos (B + D)) = 16 (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − 8abcd (1 + cos (B + D)) B+D Do S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − abcdcos2 Do tứ giác ABCD ngoại tiếp nên ta có a+c = b+d = (a + b + c + d) = p B + D B+D Vậy ta có S = abcd − abcdcos2 = abcdsin √ B+D Do S = abcd sin Từ hai toán trên, nhận thấy tứ giác ABCD vừa nội √ tiếp vừa ngoại tiếp diện tích S = abcd Chúng ta có tốn sau: Bài tốn 2.26 Cho tứ giác lồi ABCD tứ giác hai tâm với độ dài cạnh √ a+b+c+d AB = a, BC = b, CD = c, DA = d; p = Khi S = abcd (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 68 Chứng minh Do tứ giác ABCD tứ giác hai tâm nên ABCD tứ giác nội tiếp tứ giác ngoại tiếp Tứ giác ABCD ngoại tiếp nên ta có √ S = abcd sin B+D Tứ giác ABCD nội tiếp nên B + D = 1800 √ Vậy ta có S = abcd Tiếp theo đặt mục tiêu xây dựng phương trình đa thức bậc bốn nhận bốn cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d tứ giác hai tâm ABCD làm nghiệm Tương tự tốn xây dựng phương trình bậc ba nhận ba cạnh tam giác làm nghiệm theo yếu tố xác định nửa chu vi bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp R, r Vậy nghĩ đến cần biểu diễn tổng tích sở bốn cạnh a, b, c, d theo a+b+c+d đại lượng xác định nửa chu vi p = , bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r Theo định lý Viet độ dài bốn cạnh a, b, c, d tứ giác ABCD nghiệm phương trình x4 − (a + b + c + d) x3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) x2 − (abc + abd + acd + bcd) x + abcd = Chúng ta cần biểu diễn hệ số phương trình nói theo đại lượng nửa chu vi p; bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp R, r Chúng ta thấy Hệ số x3 là: − (a + b + c + d) = −2p Hệ số x2 ab + ac + ad + bc + bd + cd = (a + c) (b + d) + ac + bd Theo tính chất tứ giác ngoại tiếp a + c = b + d Do p= a + b + c + d (a + c) (b + d) = = hay p = a + c = b + d 2 Vậy (a + c) (b + d) = p2 Mặt khác theo định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD, ta có ac + bd = ef Theo kết biết Fukagawa Hidetoshi Tony Rothman sách Sacred-mathematics-japanesetemple-geometry trang 271 đến 275 chứng minh √ 2 ef = 2r r + 4R + r nên thay kết vào hệ số p2 + ef x2 , ta hệ số x2 √ p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 69 Hệ số x là: − (abc + abd + acd + bcd) = − (ac (b + d) + bd (a + c)) = − (a + c) (ac + bd) = −pef Mà √ 2 ef = 2r r + 4R + r √ 2 4R + r + r nên hệ số x là: −2rp Cuối có abcd = S , mặt khác S = pr nên abcd = p2 r2 Vậy chứng minh bốn cạnh a, b, c, d tứ giác hai tâm ABCD nghiệm phương trình đa thức bậc bốn sau √ √ 2 2 2 x −2px + p + 2r + 2r 4R + r x −2rp 4R + r + r x+r2 p2 = Vậy với tứ giác hai tâm ABCD có bốn cạnh a, b, c, d có +) a + b + +c + d = 2p √ 2 2 +) ab + ac + ad + bc + bd + cd = p + 2r + 2r √ 4R + r +) abc + abd + acd + bcd = 2rp 4R2 + r2 + r +) abcd = p2 r2 Như vây xây dựng phương trình bậc bốn với hệ số liên quan đến p, R, r nhận bốn cạnh tứ giác hai tâm ABCD làm nghiệm Chúng ta có toán quan trọng sau Bài toán 2.27 Cho tứ giác hai tâm ABCD với độ dài bốn cạnh a, b, c, d Chứng minh a, b, c, d nghiệm phương trình √ √ x4 −2px3 + p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 x2 −2rp 4R2 + r2 + r x+r2 p2 = Đến giáo viên yêu cầu học sinh xây dựng phương trình bậc bốn nhận 1 1 , , , nghiệm nhận a2 , b2 , c2 , d2 nghiệm nhận abc, abd, acd, bcd a b c d nghiệm Theo định lý Viet tính chất nghiệm phương trình bậc bốn, học sinh suy toán sau Bài toán 2.28 Cho tứ giác hai tâm ABCD với cạnh a, b, c, d Chứng minh 1 1 1) , , , nghiệm phương trình a b c d √ √ 2 2 4R + r + r p + 2r + 2r 4R2 + r2 2 x −2 x + x x + = − rp r p2 r2p r p2 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 70 2) a2 , b2 , c2 , d2 nghiệm phương trình i h √ 2 2 x3 x − 2p − r + r 4R + r h √ i √ 2 2 2 + p + 2r + 2r 4R + r − 8p r 4R + r + r x2 √ 2 2 2 − 2r p 8R + 2r + 2r 4R + r − p x + r4 p4 = 3) abc, abd, phương trình√ √acd, bcd cácnghiệm 4R2 + r2 + r x3 + r2 p2 p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 x2 x4 − 2rp −2r4 p5 x + r6 p6 = Sử dụng định lý Viet tính chất nghiệm phương trình bậc bốn phương trình tốn 2.28, có tốn sau Bài tốn 2.29 Cho tứ giác hai tâm ABCD với cạnh a, b, c, d Chứng minh √ 2 2 1) ab + ac + ad + bc + bd + cd = p + 2r + 2r √ 4R + r 2) abc + abd + acd + bcd = 2rp 4R2 + r2 + r 3) abcd = r2 p2 √ 2 4R + r + r 1 4) + + 1c + = a b d rp √ 1 1 1 p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 5) + + + + + = ab ac ad bc bd cd r p2 1 1 6) + + + = abc abd acd bcd rp √ 2 2 2 2 7) a + b + c + d = 2p − r + r 4R + r 2 √ 8) a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 √ − 8p2 r 4R2 + r2 − 6p2 r2 √ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9) a b c +a b d +a c d +b c d = 2r p 8R + 2r + 2r 4R + r − p √ 2 2 2 10) abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = r p p + 2r + 2r 4R + r 11) a2 b2 c2 d2 (a + b + c + d) = 2r4 p5 2.3.3.3 Bất đẳng thức sinh từ phương trình bậc bốn tứ giác hai tâm Tiếp theo xây dựng số bất đẳng thức sinh từ phương trình bậc bốn tứ giác hai tâm Giáo viên yêu cầu học sinh đọc trước tài liệu xác định toán tảng để xây dựng bất đẳng thức sinh từ phương trình bậc bốn tứ giác hai tâm xác định số (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 71 toán tảng sau Bài tốn 2.30 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d độ dài hai đường chéo AC = e, BD = f Khi diện tích tứ giác ABCD q 4e2 f − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 S= Chứng minh Gọi E giao điểm AC BD Đặt AE = e1 , EC = e2 , BE = f1 , ED = f2 , θ góc hai đoạn e1 , f1 θ góc bù với θ Ta có s = ef sin θ nên 16S = 4e2 f sin2 θ = 4e2 f − cos2 θ = 4e2 f − (2ef cos θ)2 Lại có 2ef cos θ = (e1 + e2 ) (f1 + f2 ) cos θ 0 = 2e1 f1 cos θ − 2e1 f2 cos θ − 2e2 f1 cos θ + 2e2 f2 cos θ = −a2 + b2 − c2 + d2 (dựa vào việc áp dụng định lý Cosin) Vậy có q S= 4e2 f − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 Bài toán 2.31 Cho tứ giác hai tâm ABCD có R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp θ góc hai đường chéo AC, BD Khi diện tích tứ giác √ S = r r + 4R2 + r2 sin θ Chứng minh Theo định lý Sin, có e = 2R sin A, f = 2R sin B Từ S = ef sin θ = 2R2 sin A sin B sin θ Mặt khác [5] Zhang Yun chứng minh √ r2 + r 4R2 + r2 sin A sin B = 2R2 √ Vậy ta có S = r r + 4R2 + r2 sin θ Bài toán 2.32 Mọi tứ giác hai tâm ABCD có 4r2 ≤ S ≤ 2R2 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 72 Chứng minh Trước hết ta chứng minh S ≤ 2R2 Kẻ AH CK vng góc với BD Chúng ta có e (AH + CK) ef Mặt khác AH + CK ≤ AC = f nên S ≤ Đẳng thức xảy AC⊥BD Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên e ≤ 2R, f ≤ 2R Do S= S≤ ef 2R.2R ≤ = 2R2 2 Tiếp theo chứng minh S ≥ 4r2 Từ tâm I đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD; kẻ IE, IF, IG, IH vng góc với AB, BC, CD, DA Chúng ta có IE = IF = IG = IH = r Đặt BE = BF = a, CF = CG = [ = α, ADI [ = β y, DG = DH = z, AH = AE = t ABI π Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có 2α + 2β = π hay α + β = r z Trong tam giác vuông BEI DHI có = tan α = cot β = x r Từ suy r2 = xz Tương tự có r2 = ty Diện tích tứ giác ABCD √ √ x+z t+y S = r (x + y + z + t) = 2r + ≥ 2r xz + ty = 4r2 2 Dấu đẳng thức xảy x = y = z = t Khi tứ giác ABCD hình vng Vậy định lý chứng minh Từ kết tốn trên, có toán sau Bài toán 2.33 Cho tứ giác hai tâm ABCD có R, r bán kính √ đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Khi R ≥ r (Bất đẳng thức Fejes T’oth) Đẳng thức xảy tứ giác ABCD hình vng Bài tốn 2.34 Cho tứ giác hai tâm ABCD có R, r bán kính √ đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Khi p ≤ r + 4R2 + r2 Chứng minh Chúng ta có diện tích tứ giác ABCD √ S = r r + 4R2 + r2 sin θ , với θ góc hai đường chéo AC, BD (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 73 √ Mặt khác S = pr nên pr = r r + 4R2 + r2 sin θ, suy √ p = r + 4R2 + r2 sin θ Từ suy p ≤ r + √ 4R2 + r2 Đẳng thức xảy chi θ = 900 √ Ngoài bất đẳng thức p ≤ r + 4R2 + r2 thể mối quan hệ p, R, r sách Recent Advances in Geometric Inequalities tác giả W.J Bludon R.H Eddy chứng minh bất đẳng thức √ 2 p ≥ 8r 4R + r − r thể thược mối quan hệ p, R, r Chúng ta có toán sau: Bài toán 2.35 Cho tứ giác hai tâm ABCD có R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Khi √ 2 p ≥ 8r 4R + r − r Từ bất đẳng thức p ≥ 8r √ 4R2 + r2 − r , suy r √ √ 2 p ≥ 2r 4R + r − r p2 + 8r2 ≥ 8r 4R2 + r2 hay √ p2 + 8r2 r + ≤ Từ tốn tảng nói kết hợp với việc sử dụng bất đẳng thức bản, Giáo viên học sinh xây dựng toán sau: Bài toán 2.36 Cho tứ giác hai tâm ABCD với cạnh a, b, c, d Chứng minh 1) p2 + 8r2 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ p2 − 8r2 p3 + 4pr2 2) 8r p ≤ abc + abd + acd + bcd ≤ 1 1 p2 + 16r2 3) ≤ + + + ≤ p a b c d 4r2 p p2 + 8r2 1 1 5p2 + 16r2 4) ≤ + + + + + ≤ r p2 ab ac ad bc bd cd 4r2 p2 5) p2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ p2 − 8r2 4R2 r2 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 74 p2 + 8r2 6) 2 ≤ a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 25p4 − 320p2 r2 + 256r4 ≤ 16 7)2r2 p2 24r2 − p2 ≤ a2 b2 c2 + a2 b2 d2 + a2 c2 d2 + b2 c2 d2 p2 p4 − 8p2 r2 + 128r4 ≤ 16 8)r2 p2 p2 + 8r2 ≤ abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) r2 p2 5p2 + 16r2 ≤ √ 9)10r 4R2 + r2 − 6r2 ≤ ab + bc + cd + da + bd + ca √ ≤ R2 + r2 + r 4R2 + r2 r √ 2 10)16r 2r 4R + r − r ≤ abc + abd + acd + bcd √ 2 2 ≤ 2r 4R + r + r √ 2 √ 2 2 4R + r − r ≤ abcd ≤ r 4R + r + r 11) 8r √ 4R2 + r2 + r 1 1 12) ≤ + + + ≤ r a b c d 2r2 Chứng minh 1) Theo toán 2.29 tốn 2.33, có √ ab + ac + ad + bc + bd + cd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 ≥ p2 + 8r2 Theo bất đẳng thức Cauchy, có ab + ac + ad + bc + bd + cd a2 + b2 b2 + c2 c2 + d2 d2 + a2 b2 + d2 a2 + c2 ≤ + + + + + 2 2 2 a2 + b2 + c2 + d2 = Theo tốn 2.29 2 2 2 a + b + c + d = 2p − r + r √ 4R2 + r2 Vậy có ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ p − r + r √ 4R2 + r2 (LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11(LUAN.van.THAC.si).day.hoc.da.thuc.bac.bon.va.cac.dang.toan.lien.quan.cho.hoc.sinh.kha gioi.o.trung.hoc.pho.thong.luan.van.ths.ly.luan.va.phuong.phap.day.hoc.bo.mon.toan.60.14.01.11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 18/12/2023, 04:49
Xem thêm:
