(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh lớp 8 giải toán bất đẳng thức

MỤC LỤC uTran 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm mới của sáng kiến .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN…………………………… ………………………3 2.1 Cơ sở lý luận : 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18 KẾT LUẬN: ………………… 19 3.1 Kết luận: 19 3.2 Kiến nghị đề suất biện pháp: 19 4.Tài liệu tham khảo, Một số kí hiệu viết tắt Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá xếp loại TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình THCS, Tốn học có vai trị vơ quan trọng Tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà Tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt môn khoa học khác góp phần giúp em phát triển nhân cách cách tồn diện Do vai trị quan trọng mơn Tốn mà việc giúp em học sinh u thích, say mê Toán học, giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu mơn Tốn u cầu tất yếu giáo viên dạy Tốn nói chung Nhất điều kiện đất nước ta thới kỳ công nghiệp hố, đại hố, thời đại thơng tin 4.0 cần người giỏi Tốn, có phẩm chất tích cực, động, sáng tạo có tư logic khả phân tích, Trong chương trình tốn THCS tốn Bất đẳng thức có vị trí quan trọng Ở lớp bậc THCS em bắt đầu học Bất đẳng thức, việc giải loại tốn địi hỏi phải vận dụng cách hợp lí , độc đáo nhiều cách giải Các toán Bất đẳng thức thường xuyên xuất SGK, sách nâng cao mơn tốn lớp Các tốn bất đẳng thức hay giúp học sinh phát triển trí thơng minh, sáng tạo, khả tư Toán học cao Đồng thời, kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT, đặc biệt thi vào trường THPT chuyên thường gặp tốn Bất đẳng thức Nhưng thơng qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn trường THCS tơi nhận thấy phần đơng em học mơn Tốn rất sợ giải các bài toán về bất đẳng thức lí sau đây: - Khơng thuộc kiến thức không nắm vững kiến thức về giải tốn bất đẳng thức - Lí quan trọng em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, các em chưa nắm được phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải cho đúng, chưa biết cách vận dụng các bất đẳng vào giải toán Bởi chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp giải toán bất đẳng thức.” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà và chất lượng học sinh giỏi mơn Tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu đề tài mong muốn tìm giải pháp làm cho học sinh nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức, từ đó u thích và chủ đợng tích cực học toán qua đó nâng cao chất lượng học Toán đại trà chất lượng học sinh giỏi mơn Tốn Cũng mong muốn thông qua đó hình thành kỹ tư logic, kỹ tối ưu hóa giải quyết vấn đề gặp phải cuộc sống học sinh sau TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Minh Khai năm học 2019 -2020 1.4.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc tài liệu SGK, tài liệu mạng - Phương pháp vấn trực tiếp học sinh - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học Trên sở lý thuyết nghiên cứu các phương pháp, các giải pháp dạy học sinh giải các bài toàn bất đẳng thức điển hình để từ đó giúp học sinh vận dụng vào giải số toán bất đẳng thức khác (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn bất đẳng thức.” Có vai trò quan trọng việc giáo dục kỹ năng, phẩm chất trí tuệ học sinh Thông qua môn Tốn hình thành cho học sinh kỹ tìm giải pháp tối ưu cho nhiều dạng tốn mà em gặp sau Các toán bất đẳng thức đa dạng có nhiều đề thi kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường PTTH chuyên Việc nắm được phương pháp và kỹ giải các bài toán bất đẳng thức là yếu tố hết sức quan trọng giúp các em có thành tích cao học tập, các kỳ thi Trong viết này, mong muốn đóng góp thêm số kinh nghiệm dạy học sinh lớp giải toán bất đẳng thức 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn việc học mơn Tốn học sinh Trường THCS Minh Khai tồn số vấn đề như: Phương pháp giải tốn học sinh khối cịn yếu nhiều, đặc biệt giải toán bất đẳng thức Trong năm học vừa qua, nhà trường phân cơng giảng dạy tốn Qua thời gian giảng dạy thấy ý thức học tập tự giác, sáng tạo học sinh chưa cao, em quen với kiểu học làm thụ động, tồn lí sau đây: - Khơng thuộc kiến thức khơng nắm vững kiến thức, trình bày làm lúng túng khơng biết trình bày cho - Các em chưa biết cách làm Toán mà ta gọi phương pháp, phương pháp đặc trưng cho dạng Toán Hơn mơi trường gia đình xã hội cịn ảnh hưởng nhiều đến học tập em như: - Một số học sinh có phụ huynh làm ăn xa, làm công nhân, nên thời gian giám sát, theo dõi, đôn đốc học tập em chưa tốt - Một số gia đình có hồn cảnh khó khăn nên chưa đầu tư nhiều vào việc học em, loại sách tham khảo khơng có - Phong trào hiếu học địa phương chưa thực lớn mạnh nên em theo trào lưu mà khơng có tâm học - Mợt số em còn bị lôi cuốn bởi các trò chơi điện tử, còn bị các trào lưu mà các mạng xã hội tác động làm các em bị lôi cuốn vào các hình tượng, thần tượng ảo dẫn đến lười học, xao nhãng học tập 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.1 GIẢI PHÁP: Để thực hiện, áp dụng số giải pháp sau: - Soạn cách đầy đủ, chi tiết, phân dạng dạy theo đối tượng Mỗi dạng toán bất đẳng thức sẽ trình bày theo hình thức từ dễ đến khó dần, các bài toán bất đẳng thức được phát triển theo hướng từ đơn giản đến phức tạp Các bài TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc toán bất đẳng thức sau khó được phát triển, khái quát hóa từ bài toán trước, bài toán quen thuộc mà học sinh đã nắm được trước đó qua đó giúp học sinh hứng thú và cảm thấy các bài toán bất đẳng thức đỡ khó hơn, từ đó yêu, hứng thú học, giải toán bất đẳng thức - Hướng dẫn học sinh học tập Cho học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa, có đủ dạng tốn, bên cạnh cịn mở rộng tài liệu khác để củng cố, nâng cao Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể - Tổ chức cho các em học tập chuyên đề này bằng các lồng ghép vào các tiết luyện tập phần bất đẳng thức giờ luyện tập chính khóa, các buổi dạy phụ đạo cho các đối tượng học sinh tùy theo đối tượng và khả tiếp thu của học sinh để đưa bài tập ở các mức độ khác nhau, Đồng thời hướng dẫn định hướng cho học sinh khá giỏi tự học, tự nghiên cứu các dạng toán tại nhà - Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm - Bồi dưỡng học sinh thì phải thường xuyên kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, an ủi, động viên học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập 2.3.2 CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.2.1 Các kiến thức bản cần vận dụng a Định nghĩa bất đẳng thức a nhỏ b, kí hiệu a < b, a – b < a lớn b, kí hiệu a > b, a – b > a nhỏ b, kí hiệu a b, a - b a lớn b, kí hiệu a b, a - b b Các tính chất bất đẳng thức Tính chất 1: a > b b b, b > c a>c Tính chất 3: a > b a+c>b+c a>b a–c>b-c a+c>b a>b-c Tính chất 4: a > c, b > d a+b>c+d a > b, c < d a-c b, c > c > b.c a > b, c < a.c < b.c Tính chất 6: a > b 0, c > d a.c > b.c Tính chất 7: a > b > a >b a>b a > b với n lẻ > a > b với n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, suy A - B > (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: Giải Ta có Xét hiệu Do Suy với mọi a, b; với mọi a, c ; với mọi c, b Dấu “ = ” xảy Ví dụ 2: Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (a + b) (a + b ) Giải: Xét hiệu: (a + b) (a + b ) - (a + b ) = a(a +b ) + b (a +b ) - a - b = a + ab + ba + b - a - b = - a - b + ab + ba = a(b - a ) + b (a - b ) = a(b - a ) - b (b - a ) = - (a - b) (a- b) (a + ab + b ) = - (a - b) (a + ab + b ) Vì a, b, số thực dương nên: (a –b )2 Suy ra: (a + b ) , a + ab + b > Dấu “=” xảy a = b Cho học sinh các bài tập rèn luyện có cùng dạng cách làm cho học sinh giải tốn với mức độ từ dễ khó dần từ bài tập đã làm để học sinh luyện giải tại lớp và ở nhà Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R.Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) d) (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc e) f) k) a + b + c + d + e a (b + c + d + e) Hướng Dẫn a) Nhân hai vế với 2, rồi xét hiệu VT - VP  => Đpcm b ) Xét hiệu VT – VP = => Đpcm  c) d) Xét hiệu  f) Xét hiệu => Đpcm => Đpcm => Đpcm k ) Xét hiệu => Đpcm Bài : Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) b) ; với a, b  c) d) e) , với a, b, c > f) g) ; với a, b  ; với ab  h) với ab > Hướng Dẫn: Thực hiện xét hiệu các vế của bất đẳng thức a) ; b) Xét hiệu VT- VP = …= c) Xét hiệu VT- VP = …= d) Xét hiệu VT- VP = …= => Đpcm với a, b  => Đpcm => Đpcm (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc vì => Đpcm e) Chú ý: Xét hiệu VT- VP = …= f) Xét hiệu VP- VT = …= => Đpcm => Đpcm g) Xét hiệu VT- VP = …= h) Xét hiệu VT- VP = …= => Đpcm b Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta biến đổi tương đương (dựa vào tính chất bất đẳng thức) A > B … C > D cuối đạt bất đẳng thức C > D Khi ta kết luận A > B Ví dụ : Cho a, b số thực Chứng minh rằng Giải : Ta có Bất đẳng thức bất đẳng thức Mặt khác phép biến đổi tương đương Vậy bất đẳng thức phải bất đẳng thức Dấu “=” xảy a = b Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập Cho a, b, c, d  R.) Áp dụng bất đẳng thức a2  b2  2ab minh bất đẳng thức sau: a) a4  b4  c4  d4  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4)  256abcd Hướng Dẫn a) Sử dụng ; a2b2  c2d2  2abcd => Đpcm b) Sử dụng a2  1 a ; b2  1 b ; c2  1 c => Đpcm c) Sử dụng a2   a ; b2   b ; c2   c ; d2   d => Đpcm Ta đưa ví dụ mở rộng và bài tập ứng dụng sau Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Giải Ta có (*) chứng (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Vì Suy ; ; Dấu “ = ” xảy a=b=c Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập 4: Cho a, b, c  R Áp dụng bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a  b  c)2  3(a2  b2  c2) c) (a  b  c)  3(ab  bc  ca) 2 b) a  b  c   a  b c   4  d) a  b  c  abc(a  b c) Hướng dẫn a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) 2 b) a  b  c   a  b c    c) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần a4  b4  c4  abc(a  b c) c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụng + ( Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) ) Với x 0, y Dấu “=” xảy x = y Chứng minh: - Ta có với x 0, y Xét hiệu Dấu “=” xảy x = y + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) Với số a, b, x, y ta có: (a + b )(x + y ) (ax + by) Dấu “=” xảy ay = bx Chứng minh: Xét hiệu: (a + b )(x + y ) - (ax + by) = a x + a y + b x + b y - a x - b y - 2axby = a y - 2axby + b x = (ay - bx) Dấu “=” xảy ay = bx (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Với số a, b R ta có: + Dấu “=” xảy a.b Chứng minh: Ta có: + (1) với a, b a + + b a + 2ab + b (vì vế khơng âm) 2ab ab (2) Vì bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy a.b Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh (1) Giải : Ta có Vì theo BĐT cauchy ta có Dấu “ = ” xảy a = b = c > Hướng dẫn cho học sinh vận dụng ví dụ để giải bài toán sau: Bài tập 5: a) Cho a, b, c >0 Chứng minh BĐT sau b) Cho x, y, z > thoả Tìm GTLN biểu thức: c) Cho a, b, c > thoả Tìm GTNN biểu thức: P= d) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ta được:  VT  Chú ý: (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= = Suy ra: P  Ta có: *Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P= c) Ta có: P  d) VT  =  Chú ý: Ví dụ 6: Cho a, b > Chứng minh (1) Giải : Ta có a, b >0 vì Dấu “ = ” xảy a = b Bài tập 6: Áp dụng bất đẳng thức chứng minh các bất đẳng thức sau a) ; với a, b, c > b) ; với a, b, c > c) Cho a, b, c > thoả mãn Chứng minh: d) ; với a, b, c > (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc e) Cho x, y, z > thoả mãn Chứng minh: f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ba lần ta được: Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được:  d) Theo (1): Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) < x < Chứng minh rằng: A Giải: - Với < x < 2x > ; 16 – 2x > 64 Theo bất đẳng thức CơSi ta có: 64 2x(16 – 2x) Hay 2x(16 – 2x) 64 Hay A 64 Dấu “=” xảy 2x = 16 – 2x x = Ví dụ 8: Chứng minh : với a + b =1 m + n = Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (am + bn) (am + bn) ( a + b )( m + n ) Dấu “=” xảy : an = bm Ví dụ 9: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xz = Chứng minh rằng: x + y + z Giải: (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (xy + yz + xz) (x +y +z )(x +y +z ) 16 (x +y +z ) (1) Ta lại có: (x +y +z ) 1(1 + + 1) (x +y +z ) = 3(x +y +z ) Từ (1) (2) suy ra: 16 3(x +y +z ) 3(x +y +z ) 16 (2) x +y +z Ví dụ 10 : Cho : A = Chứng minh rằng: A Giải: với x Ta có: A = = Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A= =1 Hay : A với x Dấu “=” xảy : 2004 d Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > Chứng minh x 2005 (1) Giải Ta có với a > , b > ( Chia vế cho Vậy suy ) (1) Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ để làm bài toán sau : Bài tập ví dụ 11 : Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) b) c) Hướng dẫn : a) Sử dụng (1), ta được: ; ; (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 12 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm ( Điều phải chứng minh ) b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tự: ; ; Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Ví dụ 12: Chứng minh Với a, b ta có: a + b + Giải: a + b + ab + 2(a + b) 2a + 2b + 2ab + 4(a + b) (Nhân vế với 2) 2a + 2b + - 2ab - 4a - 4b (a - 2ab + b ) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4) (a - b) + (a – 2) + (b - 2) Với a, b Dấu “=” xảy a = b = ab + 2(a + b) Ví dụ 13: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z Chứng minh rằng: Giải: Nhân vế bất đẳng thức: x + y + z với Ta bất đẳng thức: (x + y + z) ( 1+( ) +1+( ) ) +1+( Vì x > 0, y > 0, z > nên ta có: ) 2, >0 6( ) 6( ) 2, Vì bất đẳng thức (1) tương đương với: 6( 6( ) 3+2+2+2 ) Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ 14: Cho a, b số dương Chứng minh rằng: a + b Giải: Ta có a + b ab(a + b) ab(a + b) (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 13 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc (a + b) (a - ab + b ) ab(a + b) (Chia vế cho a + b > 0) (a - ab + b ) ab (a - 2ab + b ) (a - b) Đúng với a, b Dấu “=” xảy a = b Ví dụ 15: Cho x, y số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y Chứng minh rằng: x + y < Giải: Ta có x + y < (x - y)(x + y ) < (x - y) (Nhân vế với x – y > ) (x - y)(x + y ) < x + y x (x + y ) - y(x + y ) < x + y x +xy -x y - y < x +y -2y + xy - x y < - y (x + 2y - xy) < y (x + 2y - xy) > (Nhân vế với – ) y[( x - ) - +2y ]>0 y[( x - ) - + y[( x - ) - ]>0 x-y>0 y ]>0 Với x, y Vậy : x + y < Ví dụ 16: Cho x, y, z số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: Giải: Ta có (x + y - z) x + y + z 2(yz - x y + xz) 2(yz - x y + xz) yz - x y + xz (Vì : x + y + z = ) (Chia vế cho ) yz - x y + xz yz - x y + xz < (Chia vế cho xyz > ) (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 14 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Ví dụ 17: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện: a + b = Chứng minh rằng: a + b Giải: Ta có: a + b = (a + b) = a + 2ab + b = Ta lại có : (a - b) a - 2ab + b Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2(a + b ) a +b Dấu “=” xảy a = b = Ví dụ 18: Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y xyz Giải: Ta có : (x - y) x +y 2xy x + y + xy 4xy (Cộng vế với 2xy > ) (x + y) 4xy Suy ra: [(x + y) + z ] 4(x + y)z 16 4(x + y)z (vì : x + y + z = 4) 16 (x + y) (x + y) z (Nhân vế với x + y > ) Theo (1) (x + y) 4xy Nên: 16 (x + y) (x + y) z 4.4xyz 16 (x + y) 16xyz x + y xyz e Phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 19: Chứng minh số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: a+ ; b+ ; c+ Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : a+ ; b+ ; c+ Cộng vế bất đẳng thức ta được: a+ + b+ +c+ (a + ) + (b+ 0, c > nên: a + Như : (a + ) + (b+ 2; ) + (c + b+ ) 2; c + Điều mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức cho Ví dụ 20: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (*) Ta lại có: 4a(1 - a) – = 4a - 4a – = - (2a – 1) Suy ra: 4a(1 - a) (1) Tương tự ta có: 4b(1 - b) (2) 4c(1 - c) (3) Từ giả thiết phản chứng từ a, b, c dương , suy ra: – a > 0; – b > 0; – c > Do nhân theo vế bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) (**) Điều mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức cho f Phương pháp quy nạp toán học Ví dụ 21: Chứng minh với số nguyên dương n : > 2n + (1) Giải: Với n = = ; 2n + = 2.3 +1 = Rõ ràng vế trái lớn vế phải Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k (k n ; k 3), tức : > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức : > 2(k + 1) + Hay: > 2k + Thật vậy: = 2 , mà > 2k + (theo giả thiết quy nạp) Do : > 2(2k+1) = (2k +3) + ( 2k + 1) > 2k +3 (vì : 2k + > ) Suy ra: > 2k+3 với k Kết luận: > 2n + với số nguyên dương n k) Phương pháp làm trợi Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn + Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S= (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 16 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Ta biến đổi số hạng tổng quát hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: S= + Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = Ta biến đổi số hạng thương hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: P = Ví dụ 22 : Chứng minh với số tự nhiên , ta có: a) Giải : Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1 Vậy với số tự nhiên Bài tập VD 22: Chứng minh với số tự nhiên a) , ta có: b) c) Hướng dẫn a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi bắt đầu học chứng minh bất đẳng thức nhiều học sinh bối rối, thường xuyên mắc phải sai lầm trình bày, lập luận tốn đơn giản , thơng qua buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thống đặc biệt phân dạng loại toán , học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động , nắm vững kiến thức đồng thời học sinh nắm điểm trọng yếu kỹ vận dụng phương pháp vào toán, em làm tập cách linh hoạt, xác lập luận chặt chẽ logic Kết học tập em nâng lên rõ rệt thể rõ bài kiểm tra chương và tinh thần học tập tích cực không ngại gặp bài toán bất đẳng thức Từ xố cảm giác khó, phức tạp học sinh gặp dạng tốn học sinh thấy dạng toán quan trọng, phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học tốn Góp phần giúp em tự tin, làm tốt kỳ thi quan trọng tiếp theo, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên, lớp chọn (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 17 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Trong thời gian hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy “ Bất đẳng thức” : Hệ thống tốt phương pháp vận dụng vào giải toán, chọn lựa toán phù hợp cho đối tượng học sinh từ đơn giản đến phức tạp Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Tình trạng TS Học sinh Học sinh Học sinh Ghi HS Khá - Giỏi Trung bình trung bình TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % Chưa áp dụng 90 28 31.1 38 42.2 24 26.7 Áp dụng 90 54 60.0 36 40.0 0 Kết cho thấy việc vận dụng phương pháp vào giảng dạy tốn giúp học sinh có kết cao học tập Đây là nội dung khó và có khối lượng kiến thức lớn của đề tài nên cảm thấy còn nhiều vấn đề chưa trình bày hết được sẽ tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện và cũng mong muốn sẽ nhận được thêm nhiều đóng góp để hoàn thiện để nó là tư liệu thân giảng dạy đề tài để đồng nghiệp nhà trường đóng góp xây dựng làm tư liệu chung quan KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 18 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc Phần “ chứng minh bất đẳng thức , lớp 8.” nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt ứng dụng hiệu cho em lên lớp Trên số phương pháp thường dùng có hiệu học sinh lớp trường THCS , ôn tập cho em tạo tiền đề để sau em thi vào lớp 10 trường chuyên lớp chọn Mới đầu học sinh bở ngở việc chứng minh bất đẳng thức , thông qua buổi bồi dưỡng với cách ôn tập chi tiết, có hệ thống, đa số học sinh nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức vận dụng vào làm tập cách linh hoạt Tuy nhiên, khuôn khổ viết thời gian có hạn, khơng thể tránh sai sót nên Tơi mong nhận xét, góp ý cấp lãnh đạo, đồng nghiệp tổ chuyên môn 3.1.Kiến nghị: Trên phương pháp để giải toán “ Bất đẳng thức”, để học sinh nắm kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo Với dạng tốn khơng có quy tắc tổng quát song giải giáo viên đặc điểm mà có hướng giải để gặp tốn tương tự học sinh liên hệ Những sáng kiến kinh nghiệm có tính vận dụng tốt, đạt giải cao huyện mong Phòng Giáo Dục tạo điều kiện cán bộ, giáo viên học hỏi kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ Người thực TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Thị Hồng TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHỤ LỤC (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 19 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TT Tên tài liệu tham khảo Tác giả Sách giáo khoa toán Tơn Thân (Chủ biên) Sách tập tốn tập Tôn Thân (Chủ biên) Sách : Ôn tập đại số Nguyễn Ngọc Đạm Sách: Toán nâng cao toán Vũ Hựu Sách: Kiến thức nâng cao toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: Những toán nâng cao chọn Lê Thị Hương lọc toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: 500 toán chọn lọc tốn Nguyễn Quang Hanh Ngơ Long Hậu Sách: Toán nâng cao đại số Nguyễn Vĩnh Cận Sách: Nâng cao phát triển toán Vũ Bình MỢT SỚ KÍ HIỆU VIẾT TẮT - Đpcm : Điều phải chứng Minh - VT : Vế trái - VP : Vế phải - BĐT : bất đẳng thức DANH MỤC (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 20 (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc (SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc(SKKN.moi.NHAT).huong.dan.hoc.sinh.lop.8.giai.toan.bat.dang.thuc