Ôn tập toán 3

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐHSP HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi 04 I Câu 1: PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập số thực  ? A y x  3x Câu 2: B y x  3x C y  x  x D y x  3x Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Biết A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 2  i, z2   3i z3 1  2i Điểm D điểm biểu diễn số thức đây? A  2i B  2i C  2i D  2i Câu 3: Ông Ba gửi 200 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép theo kỳ hạn năm, với lãi suất 6,5% năm lãi suất không đổi suốt thời gian ông Ba gửi Sau năm, số tiền lãi (làm tròn đến hàng triệu đồng) ông Ba A 92 triệu Câu 4: B 96 triệu C 78 triệu D 69 triệu x x Tập hợp số thực m để phương trình  3.2  m 0 có hai nghiệm dương phân biệt          ;0   ;  2   ;0   ; 2     A   B   C  D   0;2022  phương trình sin x  0 có tất nghiệm? B 2022 C 2021 D 1011 Câu 5: Trên đoạn A 2020 Câu 6: Một bốn hàm số có đồ thị hình sau: y O x Hỏi đồ thị hàm số bốn hàm số đó? A y x  3x  Câu 7: Biết 3 B y  x  x  C y  x  x   f  x   3 dx 2 f  x  dx Giá trị D y  x  x  A 12 Câu 8: C B D  2x  f  x  x  x  Đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận Cho hàm số đứng đường tiệm cận ngang? A Câu 9: C B Cho hàm số điểm cực trị? A f  x có f   x   x  1, x   B D Hàm số g  x   f  x2  C có tất D A  2;0;0  B  0;3;0  C  0;0;6  Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Khối tứ diện OABC tích A 36 B D 18 C 12 Câu 11: Cho hình nón có bán kính đáy a góc đỉnh 120 Diện tích xung quanh hình nón cho A 3 a B 3 a C 3 a D 2 a M  1;  2;3  Oxz  có Câu 12: Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm song với mặt phẳng phương trình A x  0 B y  0 C z  0 D x  y 0 I  2;  3;1 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho điểm mặt phẳng  P : 2x  y  z  0 Mặt  P  có phương trình cầu tâm I tiếp xúc với  x  2 A  x  2 C 2 2   y  3   z  1 9   y  3   z  1 9  x  2 B  x  2 D 2 2   y  3   z  1 3   y  3   z 1 3  x 2  t  d  :  y   t x 1 y  z  d:    z 1   Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Đường thẳng  vng góc với d d  có vectơ phương có tọa độ A  1;1;3 B  1;1;0  C  0;1;1 D  1;  1;3 Câu 15: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử Lấy ngẫu nhiên phần tử từ tập hợp A, hỏi có tất cách lấy? A B C 120 D 720 Câu 16: Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Xác xuất để lấy viên bi khác màu theo đôi 3 1 A 55 B 11 C 110 D 22 Câu 17: 2 Gọi S tập nghiệm phương trình A x2  x 4 B   log x 0 Số phần tử S C D z  2 Câu 18: Có số phức z thỏa mãn z số ảo? A B C Câu 19: Cho hàm số f  x   x2  4x A Câu 20: Cho hàm số B y  f  x  Giá trị f    f   1 D D C  có đồ thị hàm số y  f  x  đoạn   1;3 hình vẽ sau: y f'(x) -1 Giá trị biểu thức A f  3  f   1 B O x D C y log  x  1 Câu 21: Tổng số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C D Câu 22: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giá cạnh 2a, hình chiếu vng  ABC  trùng với trung điểm H AC Biết góc BB góc A mặt phẳng  AABB  mặt đáy 45 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng 21a A 21 21a B 14 C 21a 2 21a D 2 S : x  1   y     z   9 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    hai điểm M  4;  4;2  , N  6;0;6   S  cho EM  EN đạt giá trị nhỏ Gọi E điểm thuộc Mặt phẳng tiếp xúc với A x  y  z  0 C x  y  z  0  S điểm E có phương trình B x  y  z  0 D x  y  z  0 Câu 24: Trong không gian cho hai đường thẳng a b chéo Trên đường thẳng a cho điểm phân biệt đường thẳng b cho 10 điểm phân biệt Hỏi có tất tứ diện có đỉnh từ điểm cho? A 55 B 1365 C 450 D 32760 Câu 25: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin x  sin x  cos x  Giá trị M  m B A Câu 26: Trong không gian Oxyz ,    : x  y  0 Gọi M A Câu 27: Cho A   3x  1 B n hai Câu 28: Cho phương trình điểm   , mặt phẳng D 17 Biết a0  a1  a2   an 2 Giá trị a3 C 3x  a.3x.cos   x   giá trị nhỏ MA  MB C B   2022;2022 A  3;1;0  , B  0;  1;2  điểm a0  a1 x  a2 x   an x n 10 đoạn  A cho D C  10 D Có giá trị thực tham số a thuộc để phương trình cho có nghiệm thực ? B C 2022 D 2023 PHẦN TỰ LUẬN (2 câu) Câu 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  20 0 , z1 có phần ảo dương Tính mô đun số phức w 2 z1  z2 Câu 2: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh 2a Tam giác AAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập số thực  ? A y x  3x B y x  3x C y  x  x Lời giải D y x  3x Chọn B - Trong hàm số cho, hàm số bậc bốn ln có điểm cực trị nên chúng khơng đồng biến  Do loại A D  - Xét hàm số y  x  3x có y 3 x   0, x   nên đồng biến  Câu 2: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Biết A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 2  i, z2   3i z3 1  2i Điểm D điểm biểu diễn số thức đây? A  2i B  2i C  2i D  2i Lời giải Chọn A - Từ giả thiết ta có A  2;  1 , B   1;3 C  1;   xD  x A  xC  xB  x 4   D  y  y A  yC  y B  yD  - Tứ giác ABCD hình bình hành nên ta có  D Suy đỉnh D điểm biểu diễn số phức  2i Câu 3: Ông Ba gửi 200 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép theo kỳ hạn năm, với lãi suất 6,5% năm lãi suất không đổi suốt thời gian ông Ba gửi Sau năm, số tiền lãi (làm tròn đến hàng triệu đồng) ông Ba A 92 triệu B 96 triệu C 78 triệu Lời giải D 69 triệu Chọn A - Đặt A số tiền gốc tiền lãi ông Ba sau năm - Áp dung công thức tốn lãi kép ta có A 200   6,5%   A 291,83 triệu Suy số tiền lãi ông Ba nhận sau năm gần 92 triệu đồng Câu 4: x x Tập hợp số thực m để phương trình  3.2  m 0 có hai nghiệm dương phân biệt          ;0   ;  2   ;0   ; 2     A   B   C  D  Lời giải Chọn C - Ta có x  3.2 x  m 0   x   3.2 x m x - Đặt t 2 với t   x log t  t  Ta phương trình t  3t m Phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt phương trình t  3t m có hai nghiệm phân biệt khơng âm f t  t  3t - Xét hàm số  Bảng biến thiên: t 0  với t  f  t   Từ bảng biến thiên suy Câu 5: Trên đoạn A 2020  0;2022    t   phương trình sin x  0 có tất nghiệm? B 2022 C 2021 D 1011 Lời giải Chọn B   sin x  0  sin x 1  x   k 2  x   k - Ta có  1   k   2022     k   2022 x   0;2022  4 - Do nên Suy Câu 6: k   0,1, 2, , 2021 Vậy phương trình cho có 2022 nghiệm Một bốn hàm số có đồ thị hình sau: y O x Hỏi đồ thị hàm số bốn hàm số đó? A y x  3x  3 B y  x  x  C y  x  x  Lời giải D y  x  x  Chọn B - Đường cong hình đồ thị hàm bậc ba với hệ số a  nên ta chọn đáp án B Câu 7: Biết  f  x   3 dx 2 f  x  dx A 12 Giá trị B C Lời giải D Chọn C 2 2  f  x   3 dx 2  2f  x  dx 2  3dx  2f  x  dx 8  f  x  dx 4 - Ta có t 2 x  dx  dx Ta có - Đặt Câu 8: 0 f  x  dx  f  t  dt   20 0 f  x  dx 2  2x  f  x  x  x  Cho hàm số Đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang? A B C D Lời giải Chọn - Điều kiện xác định  x    x 1 2 x  0    x  x  0    2x  x x x 0  y 0 lim f  x   lim  lim x   x   x  x  x   1  x x TCĐ 21 x  2x  lim f  x  lim lim x x x  x  x  x  1  x    x   -  lim f  x  lim x Câu 9: Cho hàm số điểm cực trị? A x f  x 2  x  2   có 2x    Suy x 1 TCĐ f   x   x  1, x   B  Hàm số g  x   f  x2  C Lời giải có tất D Chọn B  x  f   x  0  x  0    x 1  - Ta có g  x  0  x f  x  - g  x  2 xf  x  Do hàm số g  x   f  x2   f  3 0  f  x  0    f  1 0  x 0 0     f  x  0  x 1  x 3   x 0   x 1   x 3   x 0   x 1  x   có điểm cực trị A  2;0;0  B  0;3;0  C  0;0;6  Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Khối tứ diện OABC tích A 36 B C 12 Lời giải D 18 Chọn C VOABC  OA.OB.OC  VOABC 6 - Ta có OA 2, OB 3 OC 6 Câu 11: Cho hình nón có bán kính đáy a góc đỉnh 120 Diện tích xung quanh hình nón cho A 3 a Chọn B B 3 a C 3 a Lời giải D 2 a - Ta có tam giác OIA vng O O AOI 600 , AB  3a nên AI a  OA   OA 2a OA S xq  IA.OA 2 3 a sin 600  - Do A B I M M  1;  2;3  Oxz  có Câu 12: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm song với mặt phẳng phương trình A x  0 B y  0 C z  0 D x  y 0 Lời giải Chọn B - Gọi ( P ) mặt phẳng cần tìm Ta có ( P) / /  Oxz   ( P) : By  D 0 với B 0 D 0 M  1;  2;3 Mặt khác ( P) qua điểm nên  B  D 0  D 2 B Do B 0 nên chọn B 1  D 2 Suy ( P) : y  0 I  2;  3;1 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho điểm mặt phẳng  P : 2x  y  z  0 Mặt  P  có phương trình cầu tâm I tiếp xúc với  x  2 A  x  2 C 2 2   y  3   z  1 9   y  3   z  1 9  x  2 B D  Lời giải 2 2   y  3   z  1 3 x     y  3   z 1 3 Chọn A - Do mặt cầu tiếp xúc với ( P) nên ta có Do R d  I ,  P    R  2.2  1.( 3)  2.1  1   R 2 ( S ) :  x     y  3   z  1 9  x 2  t  d  :  y   t x 1 y  z  d:    z 1   Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Đường thẳng  vng góc với d d  có vectơ phương có tọa độ A  1;1;3 B  1;1;0  C  0;1;1 D  1;  1;3 Lời giải Chọn A  u  1;  1;0  - Ta có VTCP d d       v  u   v u  u   1;  1;  3   1;1;3     v  u  - Gọi v VTCP  Ta có   u  2;1;  1 Câu 15: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử Lấy ngẫu nhiên phần tử từ tập hợp A, hỏi có tất cách lấy? A B C 120 D 720 Lời giải Chọn C Số cách lấy ngẫu nhiên phần tử từ 10 phần tử tập A C10 120 Câu 16: Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Xác xuất để lấy viên bi khác màu theo đôi 3 1 A 55 B 11 C 110 D 22 Lời giải Chọn B n  C 220 12 - Số phần tử không gian mẫu   - Gọi A biến cố “lấy viên bi khác màu theo đơi một: Ta có n  A  3.4.5 60 P  A  - Vậy Câu 17: n  A  P  A  n    11 2 Gọi S tập nghiệm phương trình A x2  x B 4   log x 0 Số phần tử S C Lời giải D Chọn D - Điều kiện xác định  log x 0  log x 2   x 4 - Ta có 2 x2  x 4   x  x  0  log x 0      log x 0  x  x 2  x  x 2     log x 2  x 4  x  x  0   x    1, 2, 4 S  1, 4 x   Đối chiếu với điều kiện ta có z  2 Câu 18: Có số phức z thỏa mãn z số ảo? A B C Lời giải Chọn B - Gọi z a  bi Ta có D +) z  2   a    bi 2   a    b 4 +) z  a  bi  a  b  2abi 2 số ảo nên a  b 0  a    b 4  a    a 4 a  2a 0    2 2 a b a  b  a  b     Từ ta có hệ phương trình  a 0   b 0 a 0  a 2  a 2     b  a  b      a 2  b  có số phức thỏa mãn toán Câu 19: Cho hàm số f  x   x2  4x A B  Giá trị f    f   1 D C  Lời giải Chọn C f  x   x2  4x  x  4x  - Ta có  f  x   Câu 20: Cho hàm số  x  2  x2  4x  x2  x y  f  x Suy có đồ thị hàm số   x2  x       f  x    2  x2  4x  f    f   1  y  f  x  đoạn   1;3 hình vẽ sau: y f'(x) -1 Giá trị biểu thức A Chọn A f  3  f   1 B O x C Lời giải D y E f'(x) D A -1 C B O x y  f  x  - Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x  x 3 - Ta có S  f  x  dx  S  f  3  f   1 1 f  3  f   1 6 - Mặt khác S SABCD  S CDE  S 4  6 Suy y log  x  1 Câu 21: Tổng số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C D Lời giải Chọn C - Tập xác định D   ;  1   1;   - Ta có: lim y  lim  log  x  1   y log  x  1 x    +) nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận x   ngang +) lim y lim  log  x  1    x x Nên đồ thị hàm số y log  x  1 Vậy đồ thị hàm số lim  y  lim   log  x  1    x    1 x    1 có đường tiệm cận đứng y log  x  1 có đường tiệm cận Câu 22: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giá cạnh 2a, hình chiếu vng  ABC  trùng với trung điểm H AC Biết góc BB góc A mặt phẳng  AABB  mặt đáy 45 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng 21a A 21 Chọn D 21a B 14 C Lời giải 21a 21a D B' C' A' K B M C H I A d  C ,  AABB   2d  H ,  AABB   +) Ta có CA 2 HA nên suy +) AH   ABC  Suy  BB,  ABC    AA,  ABC    AAH 45 Do AAH vuông cân H  HA HA a Gọi M trung điểm AB  CM  AB CM a Gọi I trung điểm MA  HI  AB HI  a HK   AABB  Gọi K hình chiếu vng góc H AI suy d  H ,  AABB   HK  HI HA HI  HA2  HK  21a 21a  d  C ,  AABB    7 2  S  :  x  1   y     z   9 hai điểm Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu M  4;  4;2  , N  6;0;6   S  cho EM  EN đạt giá trị nhỏ Gọi E điểm thuộc Mặt phẳng tiếp xúc với A x  y  z  0  S điểm E có phương trình B x  y  z  0 C x  y  z  0 D x  y  z  0 Lời giải Chọn D - Xét mặt cầu  S  :  x  1 2   y     z   9 có tâm I  1;2;  bán kính R 3  S Ta có IM IN 3  R nên hai điểm M , N nằm mặt cầu MN  H  5;  2;4  Gọi H trung điểm EH  EM  EN MN   MN  2 2 EM  EN  EM  EN  EM  EN  EH            Lại có E IH   S  Ta có EM  EN lớn EH lớn hay  x 1  2t   y 2  2t  z 2  t Đường thẳng IH có phương trình   x 1  2t  y 2  2t   z 2  t   x  1   y     z   9  E Suy tọa độ  x 1  2t  y 2  2t    z   t  t 1 nghiệm hệ  x 1  2t   y 2  2t   z   t  t 1  E  3;0;3    E   1;4;1   P  : x  y  z  0    P  : x  y  z  0 Câu 24: Trong không gian cho hai đường thẳng a b chéo Trên đường thẳng a cho điểm phân biệt đường thẳng b cho 10 điểm phân biệt Hỏi có tất tứ diện có đỉnh từ điểm cho? A 55 B 1365 C 450 D 32760 Lời giải Chọn C - Để có tứ diện ta cần lấy hai điểm phân biệt thuộc a hai điểm phân biệt thuộc b 2 - Số tứ diện có C5 C10 450 Câu 25: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin x  sin x  cos x  Giá trị M  m A B D C Lời giải Chọn B   sin x  cos x   sin  x       4  - Ta có xác định với x   - Xét phương trình nếu: y 2;   hàm số y sin x  sin x  cos x  sin x    y  1 sin x  y.cos x  y  0 sin x  cos x  có nghiệm y   y  1  y  1 0  y  y  0  2 24 y  7  24 M    M  m  m    Suy  Câu 26: Trong không gian Oxyz ,    : x  y  0 Gọi M A B cho hai điểm điểm A  3;1;0  , B  0;  1;2    , mặt phẳng giá trị nhỏ MA  MB C Lời giải D 17 Chọn C   - Ta có A, B hai điểm phía so với   - Gọi H hình chiếu vng góc A  x 3  t  y 1  t  x 3  t     y 1  t  z 0  z 0  x; y; z  hệ  x  y  0 Ta có  tọa độ H nghiệm  x 3  t  x 3  t  y 1  t    y 1  t      H  2;0;0  z  z      t     t   0 t     A A H AA - Gọi điểm đối xứng với - Gọi điểm thuộc qua suy trung điểm    , MA  MB MA  MB  AB , ta có A 1;  1;0  đạt giá trị nhỏ nêu M  AB     ba điểm A, M , B thẳng hàng hay  - Ta có AB  1;0;    AB   3x  1 Câu 27: Cho A  56 n a0  a1 x  a2 x   an x n B 56 Biết a0  a1  a2   an 2 Giá trị a3 C  1512 Lời giải D 1512 Chọn C n 3.1  1 a0  a1 x  a2   an  a0  a1 x  a2   an 2 n - Cho x 1 ta  n n Suy a0  a1  a2   an 2  2  n 8 - Ta có  3x  1 8  C8k   1 k 0 8 k 3k x k  ak C8k   1 8 k 3k  a3  1512 Câu 28: Cho phương trình đoạn  A 3x  a.3x.cos   x    2022;2022 Có giá trị thực tham số a thuộc để phương trình cho có nghiệm thực ? B C 2022 D 2023 Lời giải Chọn A - Ta có 3x  a.3x.cos   x    32 x a.3x.cos   x    3x  32 x a.cos   x   1  1  x0 nghiệm  1 Do  1 - Điều kiện cần: Ta thấy x0 nghiệm có nghiệm thực x0 2  x0  x0 1  a     2022;2022 3x  32 x  6cos   x  a  - Điều kiện đủ: Với ta có phương trình  2 Ta có x 2 x x 2 x x 2 x +)  2    6 Dấu  xảy x 1 +)  cos   x  1    6cos   x  6 Dấu  xảy  3 cos   x    x 1  2k   Từ  3   suy   có nghiệm x 1 Vậy a  giá trị với k   để phương trình cho có nghiệm thực PHẦN TỰ LUẬN (2 câu) Câu 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  20 0 , z1 có phần ảo dương Tính mơ đun số phức w 2 z1  z2 Lời giải  z 2  4i z  z  20 0    z 2  4i - Ta có Do z1 có phần ảo âm nên ta có z1 2  4i, z2 2  4i Suy Câu 2: w 2 z1  z2 2   4i     4i  2  8i Do w   64 2 17 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh 2a Tam giác AAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABC ABC  Lời giải  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ B' C' A' B C H A AH   ABC  - Gọi H trung điểm AB suy AH a S ABC  AB AC sin A - Tam giác ABC tam giác có cạnh 2a nên ta có  SABC  2a.2a.sin 600  S ABC a 3 Vậy VABC ABC  3a