(Luận văn thạc sĩ) cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY h THỪA HÌNH THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY h THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự đơn thức h CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 14 2.1 Định lý chia Grauert 15 2.2 Cơ sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc 22 2.3 Một áp dụng sở chuẩn tắc 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa hình thành từ cơng trình Hironaka (1964) Grauert (1972) Lý thuyết đóng vai trị quan trọng, sở cho tính tốn hình học giải tích địa phương, có nhiều áp dụng lĩnh vực hình học đại số lý thuyết kỳ dị Do đó, việc tìm hiểu lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa cần thiết tiền đề cho việc nghiên cứu toán liên quan lĩnh vực h Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức liên quan đến vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức dùng luận văn Chương tìm hiểu trình bày Định lý chia Grauert, sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc, áp dụng sở chuẩn tắc vấn đề tính tốn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS.Phạm Thùy Hương, cô trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn học trường đại học Quy Nhơn quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý q thầy giáo, giáo độc giả để luận văn hoàn thiện Ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực h Võ Thanh Thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức, sở cho việc nghiên cứu sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức chương luận văn Trong toàn luận văn, K[x] = K[x1 , , xn ] ký hiệu vành đa thức h n biến trường K Ký hiệu x = (x1 , , xn ) biến α = (α1 , , αn ) ∈ Nn Với α = (α1 , , αn ) ∈ Nn , ta viết xα = xα1 · · xαnn gọi đơn thức n biến Ký hiệu M onn = {xα | α ∈ Nn } tập hợp đơn thức n biến K[x] Ký hiệu hxi = hx1 , , xn i ⊂ K[x] 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức Mục trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Các kết mục trích dẫn từ [3] [5] Định nghĩa 1.1.1 (1) Một biểu diễn P aα xα , aα ∈ K, α∈Nn gọi chuỗi lũy thừa hình thức Một chuỗi lũy thừa hình thức ∞ P P ký hiệu aα xα aα x α |α|=0 (2) Ký hiệu K[[x]] = { P aα xα | aα ∈ K, α ∈ Nn } tập tất α∈Nn chuỗi lũy thừa hình thức n biến với hệ số K Trên K[[x]] ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau X aα xα + bα xα := n n α∈N  X X aα x α α∈Nn α∈N  X X (aα + bα )xα , n  α∈N X  X α aα bβ xγ bα x := γ∈Nn α∈Nn α+β=γ Khi K[[x]] với hai phép tốn vành giao hốn có đơn vị, gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K Ký hiệu m = hx1 , , xn i ⊂ K[[x]] Mệnh đề 1.1.2 K[[x]] vành địa phương với iđêan cực đại m Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 6.1.2]  ∞ k=1 h Bổ đề 1.1.3 ∩ mk = h0i Chứng minh Xem [[5],Bổ đề 6.1.5]  Định nghĩa 1.1.4 (1) K[[x]] với tập hợp F = {mk | k ∈ N} không gian tơpơ, F hệ lân cận Tôpô gọi tôpô m-adic (2) Một dãy {fν }ν∈N , fν ∈ K[[x]], gọi dãy Cauchy với k ∈ N, tồn l ∈ N cho fν − fm ∈ mk với ν, m ≥ l (3) Một dãy {fν }ν∈N , fν ∈ K[[x]] gọi dãy hội tụ tồn f ∈ K[[x]] cho với k ∈ N, tồn l ∈ N thỏa mãn f − fν ∈ mk với ν ≥ l Khi f xác định ta viết f = lim fν ν→∞ ∞ P (4) Một chuỗi fν K[[x]] hội tụ dãy tổng riêng ν=0 hội tụ Chú ý 1.1.5 Nếu {fν }ν∈N , {gν }ν∈N dãy hội tụ lim (fν + gν ) = lim fν + lim gν ν→∞ ν→∞ ν→∞ lim (fν gν ) = lim fν · lim gν ν→∞ ν→∞ ν→∞ Định lý 1.1.6 K[[x]] đầy đủ, nghĩa dãy Cauchy K[[x]] hội tụ, Hausdorff tôpô m-adic Chứng minh Xem [[5], Định lý 6.1.8] Mệnh đề 1.1.7 Một chuỗi ∞ P  fν K[[x]] hội tụ tôpô m-adic ν=0 h lim fν = ν→∞ Chứng minh Xem [[3], Mệnh đề 4.4.8] 1.2  Iđêan đơn thức Trong mục này, ta nhắc lại định nghĩa số tính chất iđêan đơn thức Các kết trích dẫn từ [1], [5] [7] Sau đó, ta đưa tính chất tương tự cho iđêan sinh đơn thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Từ sau toàn luận văn R ký hiệu vành K[[x]] = K[[x1 , , xn ]] chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K, trừ có khẳng định khác Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan I ⊂ K[x] gọi iđêan đơn thức I có hệ sinh tập đơn thức Cho xα , xβ ∈ M onn Ta nói xβ chia hết cho xα hay xα chia hết xβ , ký hiệu xα |xβ , tồn γ ∈ Nn cho β = γ + α, tức βi ≥ αi , với i = 1, , n Bổ đề 1.2.2 Cho I = hAi iđêan đơn thức, A ⊂ M onn xβ ∈ M onn Khi xβ ∈ I tồn xα ∈ A cho xβ chia hết cho xα Chứng minh Xem [[1], Bổ đề 2]  Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề Gordan-Dickson) Một tập hợp khác rỗng M đơn thức K[x] chứa tập hữu hạn E ⊂ M cho đơn thức M bội đơn thức E h E thường gọi sở Dickson M Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 1.2.6]  Từ Bổ đề 1.2.2 Bổ đề 1.2.3 ta suy hệ sau Hệ 1.2.4 Mọi iđêan đơn thức I ⊂ K[x] có hệ sinh gồm hữu hạn đơn thức Chứng minh Gọi I = hM | M ⊂ M onn i ⊂ K[x] Theo Bổ đề GordanDickson, tồn tập hữu hạn E = {m1 , , mr } ⊂ M cho với m ∈ M , m chia hết cho mi0 với i0 ∈ {1, , r} Khi đó, áp dụng Bổ đề 1.2.2 ta có I = hm1 , , mr i  Bổ đề 1.2.5 Cho I J hai iđêan đơn thức Khi I ∩ J I : J iđêan đơn thức Hơn nữa, I = hm1 , , mr i J = hn1 , , ns i, mi , nj đơn thức, (1) I ∩ J = hBCN N (mi , nj ) | ≤ i ≤ r, ≤ i ≤ ji (2) I : nj = hmi /U CLN (mi , nj ) | ≤ i ≤ ri s Do I : J tính theo cơng thức I : J = ∩ (I : nj ) (1) j=1  Chứng minh Xem [[7], Mệnh đề 4.7] Một iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức sinh đơn thức có tính chất tương tự iđêan đơn thức, thể qua bổ đề sau Bổ đề 1.2.6 Cho I = hM | M ⊂ M onn i ⊂ R iđêan Cho m ∈ M onn Khi m ∈ I tồn m0 ∈ M cho m chia hết cho m0 h Chứng minh Lập luận chứng minh Hệ 1.2.4, tồn sở Dickson E = {m1 , , mr } ⊂ M M Khi đó, rõ ràng I = hEi ⊂ R r P Giả sử m ∈ I Khi m = mi gi , với g1 , , gr ∈ R Đặt hi = i=1 mi gi , i = 1, , r Vì m đơn thức r P hi nên tồn i0 ∈ i=1 {1, , r} cho m đơn thức hi0 Vì đơn thức hi0 chia hết cho mi0 nên m chia hết cho mi0 Ngược lại, giả sử tồn m0 ∈ M cho m chia hết cho m0 , tức tồn m0 ∈ M onn cho m = m0 m0 Suy m ∈ hM | M ⊂ M onn i = I