Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HẠNH DUNG QUẠT GRÖBNER CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH HNH DUNG ă QUT GROBNER CA IấAN TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HẠNH DUNG ă QUT GROBNER CA IấAN TRONG VNH A THC Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGƠ LÂM XN CHÂU e Mục lục Lời nói đầu i Một số ký hiệu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] 1.2 Thuật toán chia K [x1 , , xn ] 1.3 Iđêan đơn thức 2 ă QUT GROBNER CA MT IấAN 11 2.1 Tính hữu hạn tập hợp s Grăobner ca mt iờan 11 2.2 Nún ca mt c s Grăobner c ỏnh du 15 2.3 Qut Grăobner ca iđêan 19 ¨ ĐƯỜNG ĐI GROBNER 3.1 Băng qua nón 3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 3.3 Thuật toán 21 22 24 28 Kết luận 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 e Lời nói đầu Trong luận văn chúng tơi trình bày v c s Grăobner ca mt iờan, qut Grăobner ca iờan, ng dng ca qut Grăobner vic xõy dng ng i Grăobner C th, lun c chia thnh chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm lý thuyết sở Grăobner, nh: Vnh a thc v th t n thc, Thuật toán chia K [x1 , , xn ], Iđêan đơn thức, Bổ đề Dickson, Định lý c s Hilbert, C s Grăobner, B Shape, Chng 2: Qut Gră obner ca mt iờan Trỡnh by khỏi nim qut Grăobner ca mt iờan v thut toỏn tỡm qut Grăobner ca iờan Mụ t qut Grăobner qua mt s vớ d Chng 3: ng i Gră obner Trỡnh by mt ng dng ca qut Grăobner, ú l ng i Grăobner, cng nh thut toỏn cho phộp chuyn i c s Grăobner t mt th t n thức sang thứ tự đơn thức khác Tôi xin chân thành cảm ơn trường Đại học Quy Nhơn khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn Thầy Ngô Lâm Xuân Châu Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến q thầy, Khoa Tốn, Đại Học Quy Nhơn dày công giảng dạy suốt e MỤC LỤC ii năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng q trình hồn thành luận văn, chắn luận văn nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn để luận văn hồn thiện e Một số ký hiệu N Q R K K [x1 , , xn ] M = {xα |α ∈ Nn } (Rn )+ tập số tự nhiên, tập số hữu tỷ, tập số thực, R C, vành đa thức n biến với hệ số trường K, tập tất đơn thức K [x1 , , xn ] góc phần dương (positive orthant) e Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1, , xn] Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho K trường, n số tự nhiên khác Một đa thức theo n biến x1 , , xn K biểu thức có dạng X f (x1 , , xn ) = cα1 ,α2 ,··· ,αn xα1 xα2 · · · xαnn α1 +···+αn ≤d d số tự nhiên đó, cα1 ,α2 ,··· ,αn ∈ K Mỗi tích xα = xα1 xα2 xαnn gọi đơn thức theo n biến x1 , , xn tổng α1 + · · · + αn gọi bậc đơn thức xα1 xα2 · · · xαnn Các phần tử cα1 ,α2 ,··· ,αn gọi hệ số đa thức Đa thức không đa thức mà hệ số đa thức khơng Mỗi phần tử c ∈ K xem đa thức cách viết c = cx01 · · · x0n Nói riêng = x01 · · · x0n Bậc đa thức f 6= bậc lớn đơn thức với hệ số khác không f Ta quy ước đa thức khơng có bậc −∞ Chú ý 1.2 ([1]) Chú ý K[x1 , , xn ] K-khơng gian vectơ Vì tập tất đơn thức sở K-không gian vectơ nên K[x1 , , xn ] có chiều vô hạn xét K[x1 , , xn ] e 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Định nghĩa 1.3 ([1]) Một tập I ⊂ K[x1 , , xn ] gọi iđêan I thỏa mãn tính chất sau (i) ∈ I, (ii) Nếu f, g ∈ I f + g ∈ I, (iii) Nếu f ∈ I h ∈ K[x1 , , xn ] hf ∈ I Định nghĩa 1.4 ([1]) Cho I iđêan vành K[x1 , , xn ] I gọi hữu hạn sinh tồn đa thức f1 , , fn ∈ I cho với g ∈ I ta có g = h1 f1 + · · · + hs fs , với h1 , , hs ∈ K[x1 , , xn ] Khi f1 , , fs gọi sở I hay tập sinh I, ký hiệu I = hf1 , , fs i Ví dụ 1.1 Iđêan khơng sinh đa thức Vành K[x1 , , xn ] sinh đa thức Đây hai ví dụ đơn giản iđêan vành K[x1 , , xn ] Mệnh đề 1.5 ([1]) Vành đa thức biến K[x] vành chính, tức iđêan K[x] sinh phần tử Mệnh đề 1.6 ([1]) Giả sử K trường vô hạn f ∈ K[x1 , , xn ] Khi f đa thức khơng f hàm không Định nghĩa 1.7 ([1]) Mối quan hệ thứ tự tập M đơn thức K [x1 , , xn ] gọi thứ tự đơn thức thỏa mãn điều kiện sau (i) > quan hệ thứ tự toàn phần, (ii) xα > xβ ⇒ xα+γ > xβ+γ với γ ∈ Nn , (iii) > quan hệ tốt tập M, tức tập khác rỗng M có phần tử bé e 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Bổ đề 1.8 ([1]) Một quan hệ thứ tự > M thứ tự tốt dãy giảm thực M dừng Mệnh đề 1.9 ([1]) Chỉ có thứ tự đơn thức vành đa thức biến K[x], thứ tự bậc > xn+1 > xn > > x2 > x > Định nghĩa 1.10 (Thứ tự từ điển) ([1]) Cho đơn thức xα , xβ ∈ M Ta nói xα >lex xβ phần tử khác không bên trái vectơ α − β dương Định nghĩa 1.11 (Thứ tự từ điển phân bậc) ([1]) Ta nói xα >grlex xβ |α| > |β| |α| = |β| xα >lex xβ , |α| = α1 + + αn Định nghĩa 1.12 (Thứ tự từ điển ngược phân bậc) ([1]) Ta nói xα >grevlex xβ |α| > |β| |α| = |β| phần tử khác không bên trái vectơ α − β âm Mệnh đề 1.13 Các thứ tự >lex , >grlex >grevlex thứ tự đơn thức K[x1 , , xn ] Ví dụ 1.2 Trong vành đa thức K[x, y, z] với x > y > z ta có x3 y z >lex x2 y z 12 , x3 y >lex x3 y z Hay, x2 y z 12 >grevlex x3 y z, xy z >grevlex x2 y z Một phương pháp tổng quát để xây dựng thứ tự đơn thức K[x1 , , xn ] mô tả sau Giả sử M ma trận thực cỡ m × n Ký hiệu hàng M w1 , w2 , , wm Khi ta so sánh đơn thức xα xβ cách trước tiên so sánh trọng chúng theo w1 , tức α.w1 β.w1 Nếu α.w1 > β.w1 β.w1 > α.w1 ta xếp đơn thức tương ứng với thứ tự trọng w1 Nếu α.w1 = β.w1 ta tiếp tục tới hàng phía sau Q trình xác định thứ tự >M e 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Mệnh đề 1.14 ([1]) (i) Nếu Ker(M ) ∩ Zn = {0} thứ tự >M tồn phần (ii) Nếu M có tất hệ số khơng âm >M thứ tự tốt Mệnh đề 1.15 ([1]) (i) Cho >M thứ tự ma trận với hàng w Khi w ∈ (Rn )+ = {(a1 , · · · , an ) : ≥ 0, với i} Ta gọi (Rn )+ góc phần dương (Rn )+ (ii) Mọi vectơ khác không w ∈ (Rn )+ hàng ma trận M cho >M thứ tự đơn thức (iii) Đặt M M ma trận cho thứ tự ma trận >M >0M Khi hàng chúng thỏa mãn w = λw0 với λ > 0, Mệnh đề suy thứ tự đơn thức xác định tia góc phần dương (Rn )+ , thứ tự đơn thức khác tia Hệ 1.16 ([1]) Tất thứ tự đơn thức xác định thứ tự >M với ma trận M (i) Thứ tự lex với x > y > z xác định ma trận 100 M = 0 0 001 tương tự K[x1 , , xn ] với n ≥ (ii) Thứ tự grevlex với x > y > z xác định ma trận 111 M = 1 0 100 e ... xαnn gọi đơn thức theo n biến x1 , , xn tổng α1 + · · · + αn gọi bậc đơn thức xα1 xα2 · · · xαnn Các phần tử cα1 ,α2 ,··· ,αn gọi hệ số đa thức Đa thức không đa thức mà hệ số đa thức khơng... Ví dụ 1.1 Iđêan không sinh đa thức Vành K[x1 , , xn ] sinh đa thức Đây hai ví dụ đơn giản iđêan vành K[x1 , , xn ] Mệnh đề 1.5 ([1]) Vành đa thức biến K[x] vành chính, tức iđêan K[x] sinh... thực, R C, vành đa thức n biến với hệ số trường K, tập tất đơn thức K [x1 , , xn ] góc phần dương (positive orthant) e Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1,