(Luận văn thạc sĩ) về một số bất đẳng thức dạng tham số trong mặt phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ NGỌC THƯỜNG VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ TRONG MẶT PHẲNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ NGỌC THƯỜNG VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ TRONG MẶT PHẲNG h Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - 2020 Mục lục MỞ ĐẦU 1 BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Các bất đẳng thức mặt phẳng 1.2 Các bất đẳng thức điểm tam giác SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ TRONG TAM GIÁC 21 Ý tưởng dẫn đến toán 21 2.2 Các bổ đề 23 2.3 Chứng minh toán nêu 35 h 2.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM TRONG TAM GIÁC 41 3.1 Các bất đẳng thức dạng tham số 41 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 3.3 Một số toán mở bất đẳng thức dạng tham số tam giác 49 42 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 PHỤ LỤC 54 MỞ ĐẦU h Từ trước tới nay, toán bất đẳng thức hình học nói chung bất đẳng thức hình học mặt phẳng nói riêng ln tốn khó muốn quan tâm tìm hiểu Tuy khó khăn tốn bất đẳng thức hình học đề tài mà nhiều người làm tốn muốn tìm hiểu giải Các toán bất đẳng thức mặt phẳng phong phú, kể đến bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Erdos-Modell, v.v Các bất đẳng thức đề cập số kết nhà toán học lĩnh vực bất đẳng thức ( [4], [19], [3]) Các bất đẳng thức tam giác nghiên cứu, đưa nhiều Dựa bất đẳng thức người ta đưa dự đốn bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức dạng tham số để tổng quát cho trường hợp cụ thể đồng thời tìm cách chứng minh Việc chứng minh bất đẳng thức gặp nhiều khó khăn q trình tính tốn, cần có hỗ trợ cơng cụ tính tốn phần mềm Maple ([7], [8]) Các toán bất đẳng thức dạng tham số điểm tam giác năm gần nhà toán học nước quốc tế quan tâm nhiều ([7], [8], [9], [4], [20]) Để có nhìn chi tiết cụ thể bất đẳng thức dạng tham số mặt phẳng, chọn đề tài "Về số bất đẳng thức dạng tham số mặt phẳng" Trong luận văn này, phần mục lục, phần mở đầu phần kết luận luận văn chia làm chương Chương Trong chương này, hệ thống số bất đẳng thức hình học mặt phẳng bất đẳng thức điểm tùy ý tam giác Chương Chương chúng tơi trình bày cách chứng minh bất đẳng thức dạng tham số tam giác có sử dụng phần mềm Maple việc hỗ trợ tính tốn Chương Chương giới thiệu bất đẳng thức dạng tham số điểm tam giác Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Đinh Thanh Đức – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao h Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy giảng dạy lớp Phương pháp tốn sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn toàn thể q thầy Khoa Tốn trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Đỗ Ngọc Thường Chương BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Nội dung chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức mặt phẳng tiếng bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Erdos - Mordell, bất đẳng thức khác xuất kỳ thi toán quốc tế ([19],[15],[2]) h 1.1 Các bất đẳng thức mặt phẳng Một bất đẳng thức tiếng có nhiều ứng dụng tốn bất đẳng thức hình học, đặc biệt tốn so sánh độ dài đoạn thẳng, bất đẳng thức Ptolemy ([15]) Bài tốn 1.1.1(Bất đẳng thức Ptolemy) Với bốn điểm A, B, C, D mặt phẳng, chứng minh AB.CD + AD.BC > AC.BD (1.1) Đẳng thức xảy nào? Lời giải Dựng điểm E cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BD BEA Khi theo tính chất tam giác đồng dạng ta có BA EA = CD Suy BA.CD = BD.AE, (1.2) Hình 1.1 Mặt khác hai tam giác EBC ABD đồng dạng, \ = ABD \ Từ EC = AD Suy EBC BC BD AD.BC = BD.EC BA BD = BE BC (1.3) Cộng theo vế (1.2) (1.3) ta suy AD.CD + AD.BC = BD(AE + EC) > BD.AC h Đẳng thức xảy A, E, C thẳng hàng, tức A D nhìn BC góc nhau, tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Ta xét tốn sau, áp dụng bất đẳng thức Ptolemy q trình chứng minh Bài toán 1.1.2.(IMO, 1995 ) Cho ABCDEF lục giác cho AB = \ = EF \ BC = CD, DE = EF = F A BCD A = 600 G H hai điểm tùy ý Chứng minh AG + BG + GH + DH + EH > CF Lời giải Từ giả thiết ta có BCD AEF tam giác Lấy C F đối xứng với C F qua BE Khi CF = C F ta DEF ABC tam giác Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác F DHE C AGB , ta có F H.DE F E.DH + F D.EH hay F H DH + EH C G.AB C A.BG + C B.AG hay C G BG + AG Do AG + BG + GH + DH + EH > C G + GH + HF > C F = CF Hình 1.2 h Hai tốn sau áp dụng bất đẳng thức Ptolemy Bài toán 1.1.3.(Olympic Toán học 30/4, đề nghị, 2000 ) Chứng tỏ tam giác ABC ta có bc ca ab + + > 4, ma mb mb mc mc ma (1.4) với a, b, c độ dài ba cạnh ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến tương ứng tam giác Lời giải Điều phải chứng minh tương đương với abmc + bcma + camb > 4ma mb mc Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác CM GN , ta có GC.M N GN.M C + GM.N C, Hình 1.3 từ 23 mc 2c 13 mb a2 + 13 ma 2b hay 2mc c mb a + ma b Suy 2mc c2 acmb + bcma (1.5) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ABM N ta AM.BN AN.BM + AB.M N, ab + c2 2, tức h suy ma mb 4ma mb mc abmc + 2c2 mc (1.6) Từ (1.5) (1.6) suy điều phải chứng minh Bài toán 1.1.4.( IMO, 2001 ) Cho tam giác ABC với trọng tâm G độ dài cạnh a, b, c Tìm điểm P mặt phẳng tam giác cho AP.AG + BP.BG + CP.CG đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ theo a, b, c Lời giải Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BGC Kéo dài trung tuyến AL cắt đường tròn K Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác BGL, CGL, ta có BG BL CG CL = , = [ \ sin CLG [ \ sin BLG sin BGK sin CGK (1.7) Hình 1.4 [ = sin CLG [ nên từ (1.7) Nhưng L trung điểm BC sin BLG \ sin CGK ta có BG = CG \ sin BGK \ CK = 2R sin CGK \ , R bán Ta lại có BK = 2R sin BGK, kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCG Do = BG CG hay BG CK = CG BK = sin BGN \ sin CGK \ = 2R sin BGN \ Từ BG = AG Hơn BC = 2R sin BGC CK BC BG CG AG Như CK = BK = BC Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác P BKC ta có P K.BC BP.CK + CP.BK Từ P K.AG BP.BG + CP.CG Suy (AP + P K)AG AP.AG + BP.BG + CP.CG cuối AK.AG AP.AG + BP.BG + CP.CG Tương tự AG BG CK BK = \ sin BGN \ sin AGN \ h Đẳng thức xảy P nằm cung BGC (để có đẳng thức bất đẳng thức Ptolemy) P nằm AK (để có đẳng thức bất đẳng thức tam giác) Do giá trị đạt P ≡ G Theo công thức đường trung tuyến dễ dàng tính AG2 + BG2 + CG2 = (a2 +b2 +c2 ) Sau đây, tác giả trình bày số bất đẳng thức liên hệ đại lượng cạnh diện tích tam giác Bài toán 1.1.5.(Bất đẳng thức Weitzenbock, IMO 1961 ) Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác, S diện tích tam giác Chứng minh √ a2 + b2 + c2 > 3S (1.8)