hát triển là quá trình vận
Chương HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ Ở chương trước, nghiên cứu hàm y = f(x) với x biến số gọi hàm biến Tuy nhiên thực tế, ta thường gặp đại lượng biến thiên không phụ thuộc vào mà vào hai hay nhiều đại lượng biến thiên khác Từ u cầu đó, địi hỏi phải nghiên cứu hàm nhiều biến số Nói chung việc nghiên cứu hàm nhiều biến phức tạp, nên chương dừng lại nghiên cứu hàm hai biến, song từ việc nghiên cứu hàm hai biến ta mở rộng cho hàm nhiều biến Đan xen với nội dung tốn học, chúng tơi đưa số mơ hình đơn giản sử dụng tốn học kinh tế, với mục đích giúp sinh viên làm quen với việc sử dụng cơng cụ tốn học phân tích kinh tế 6.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 6.1.1 Định nghĩa Cho D tập mặt phẳng xOy Một qui tắc đặt tương ứng điểm M(x, y) D với số thực z=f(x,y) f: D R (x,y) z = f ( x, y ) gọi hàm số hai biến số xác định D Trong đó: + D gọi miền xác định hàm số z = f ( x, y ) + x, y biến độc lập + z = f ( x, y ) hay z = f (M ) gọi giá trị hàm số điểm M(x,y) Ví dụ : z = − x − y 2 z = arcsin( x − y + 1) hàm số hai biến x y 6.1.2 Miền xác định hàm số hai biến số 287 a Tập hợp không gian R2 Định nghĩa: Trong không gian vectơ chiều R = M ( x, y ) x, y R Khoảng cách hai điểm M(x1,y1) N(x2,y2), ký hiệu d(M,N), xác định theo công thức: d ( M , N ) = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) • Hình cầu tâm Mo, bán kính r ( r > 0) R2, kí hiệu S(M0,r): S (M , r ) = M R d (M , M ) r S(M0, r) gọi r lân cận điểm Mo • Mọi tập R2 chứa r - lân cận điểm M0 gọi lân cận điểm M điểm D tồn r lân cận M nằm hồn tồn D • D tập mở điểm D điểm D • M điểm biên D r lân cận M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa điểm không thuộc D Tập tất điểm biên D gọi biên D • Tập D gọi đóng D chứa điểm biên Ví dụ : + D = M R d (M , M ) r tập mở gọi hình cầu mở tâm M0 bán kính r + L = M R d ( M , M ) r tập đóng gọi hình cầu đóng tâm M0 bán kính r b Miền xác định hàm số hai biến số Cho hàm số z = f ( x, y ) Miền xác định z tập hợp tất cặp ( x, y ) R làm cho biểu thức f ( x, y) có nghĩa ký hiệu Df 288 Quy ước: Nếu hàm số cho biểu thức z = f ( x, y) = f ( M ) mà khơng nói thêm miền xác định hàm số ta hiểu miền xác định z tập hợp điểm M cho biểu thức f(M) có nghĩa, hay Df = { M(x, y) R2| biểu thức z = f ( x, y ) có nghĩa} Ví dụ 1: Hàm số z = x + y xác định với ( x, y ) R Ví dụ 2: Hàm số z = y − x xác định miền D = ( x, y ) R y − x = ( x, y ) R y x nửa mặt phẳng phía đường thẳng y = x , kể đường thẳng (Hình 6.1) Ví dụ 3: Hàm số z = R − x − y xác định miền D = ( x, y ) R R − x − y = ( x , y ) R x + y R hình cầu đóng tâm O, bán kính R (Hình 6.2) 289 c Miền giá trị đồ thị hàm số hai biến số + Miền giá trị hàm số z = f ( x, y ) tập hợp tất giá trị hàm số M ( x, y) thay đổi miền xác định, ký hiệu Df , D f = z = f ( x, y ) ( x, y ) D Ví dụ 1: Cho hàm số z = x + y Giá trị hàm số điểm M0(0;0); M1(4;3) là: z0 = f (0, 0) = 02 + 02 = ; z1 = f (4,3) = 16 + = Ví dụ 2: Hàm số z = x + y có miền giá trị là: D f = 0; + ) Ví dụ 3: Hàm số z = sin( x2 + y ) có miền giá trị D f = −1;1 + Đồ thị hàm hai biến Trên hệ trục tọa độ Oxyz, tập hợp tất điểm có tọa độ ( x, y, z ) với (x, y) D z D f gọi đồ thị hàm hai biến z = f ( x, y ) Nói chung đồ thị hàm số z = f ( x, y ) tạo thành mặt S khơng gian ba chiều Oxyz Ví dụ 4: Đồ thị hàm số: z = R − x − y nửa mặt cầu nằm phía mặt phẳng xOy (Hình 6.3) d Đường mức Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định miền D z0 giá trị cố định cho trước hàm số 290 Định nghĩa 6.2 Đường mức hàm số z = f ( x, y ) tập hợp tất điểm M ( x, y) thỏa mãn điều kiện f(x, y) = z0 Ví dụ 1: Cho hàm số z = 3x + y Các đường mức hàm số ứng với giá trị z0 = −2 ; z0 = ; z0 = 3x + y = −2; 3x + y = 0; 3x + y = (Hình 6.4) Ví dụ 2: Hãy viết phương trình đường mức qua điểm A(0,1) hàm số z= x2 + y 2x + y Giá trị hàm số điểm A(0,1) là: z0 = f (0,1) = 02 + 12 = 2.0 + 6.1 Phương trình đường mức hàm số giá trị z0 = là: x2 + y 1 10 = x + y − x − y = ( x − ) + (y− ) = 2x + y 6 36 1 Vậy đường mức hàm số giá trị z0 = đường tròn tâm I ( ; ) bán kính R = 6.2 10 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ 6.2.1 Giới hạn hàm hai biến số 291 a Giới hạn dãy điểm mặt phẳng: Cho dãy điểm {Mn(xn,yn)} D ( với D R ) Ta nói dãy điểm {Mn} hội tụ tới M0 n → lim d (M n , M ) = n → Kí hiệu: lim M n = M hay M n → M n → n → x → x0 Nhận xét: M n → M d ( M n , M ) = ( xn − x0 )2 + ( ym − y0 )2 → n yn → y0 Như vậy, hội tụ dãy điểm khơng gian R2 hội tụ theo tọa độ n Ví dụ 1: Cho dãy điểm M n ( ; ) Tìm lim M n n → n n +1 n Ta có: lim xn = lim = lim yn = lim n → n → n → n → Vậy dãy n =1 n +1 M n hội tụ điểm điểm M (0,1) n→ hay n lim M n ( ; ) = M (0,1) n → n n +1 2n − Ví dụ 2: Cho dãy điểm M n ( ; ) Tìm lim M n n → n n +1 n Ta có: lim xn = lim = lim yn = lim n → n → n → n → 2n − =2 n +1 Vậy dãy điểm M n hội tụ điểm M (0, 2) b Giới hạn hàm số hai biến số Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D R , M0 R , M n ( xn , yn ) dãy điểm miền D Theo quy luật hàm số z = f (x,y), ứng với dãy điểm M1 ( x1 , y1 ) ; M ( x2 , y2 ) ;…; M n ( xn , yn ) ;… (1) cho tương ứng với dãy số z1 = f (M1 ) ; z2 = f (M ) ; …; zn = f (M n ) ;… (2) Khi đó, dãy số (2) gọi dãy giá trị hàm z tương tứng với dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D 292 Định nghĩa 6.4 Nếu với dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D M ( x0 , y0 ) hàm số z = f ( x, y ) hội tụ điểm M ( x0 , y0 ) , mà dãy số (2) tương ứng luôn có giới hạn L số L gọi giới hạn hàm số cho M → M hay ( x, y) → ( x0 , y0 ) ký hiệu: lim f ( x, y ) = L hay lim f (M ) = L M →M x → x0 y → y0 Cũng xét giới hạn hàm số biến, chứng minh định nghĩa tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 6.5 Hằng số L gọi giới hạn hàm số z = f ( x, y ) (x, y) → (x , y0 ) với bé tùy ý cho trước, tồn số cho x − x0 y − y0 f ( x, y) − L Chú ý: - Khái niệm giới hạn vô hạn cho hàm hai biến định nghĩa tương tự hàm biến - Việc chứng minh định lý sau giới hạn tổng, tích, thương hàm số hai biến tương tự chứng minh cho hàm biến f ( x, y ) = m lim g (x, y) = n thì: Định lý 1: Nếu lim x→a x→a y →b y →b + lim f ( x, y ) g (x, y) = lim f ( x, y ) lim g (x, y) = m n x →a x→a x →a y →b y →b y →b + lim f ( x, y ).g (x, y) = lim f ( x, y ).lim g (x, y) = m.n x→a x →a x →a y →b y →b y →b lim f ( x, y ) + lim x →a y →b a f ( x, y ) xy→ m →b = = g (x, y) lim g (x, y) n với (n 0) x →a y →b Định lý 6.2 (Nguyên lý kẹp) Giả sử g ( x, y) f ( x, y) h( x, y) với ( x, y) thuộc lân cận điểm M(x0,y0) lim g (x, y) = lim h( x, y ) = L x → x0 y → y0 lim f ( x, y ) = L x → x0 y → y0 293 x → x0 y → y0 Khi đó: lim( x − x + y − y + 4) Ví dụ 1: Tìm giới hạn x →1 y →3 Giải: + Tập xác định hàm số f ( x, y) = ( x2 − x + y − y + 4) R2 + Với dãy điểm M n ( xn , yn ) hội tụ đến điểm M (1,3) , ta ln có: d = d (M n , M ) = ( xn − 1)2 + ( yn − 3)2 → n → + Do đó: lim f ( M n ) = lim( xn − xn + yn − yn + 4) x →1 y →3 x →1 y →3 = lim ( xn − 1) + ( yn − 3) − = lim(d − 6) = −6 x →1 y →3 d →0 Vậy theo định nghĩa 6.4 ta có lim( x − x + y − y + 4) = - x →1 y →3 Ví dụ 2: Tìm giới hạn lim x →0 y →0 x2 + y x2 + y + −1 Giải + Hàm số f ( x, y) = x2 + y x2 + y + −1 không xác định điểm O(0, 0) + Với dãy điểm M n ( xn , yn ) hội tụ đến điểm M (0,0) , ta ln có: d = d (M n , M ) = ( xn − 0)2 + ( yn − 0)2 = xn + yn → n → + Do đó: xn + yn d ( d + + 1) lim f ( M n ) = lim = lim = lim = lim( d + + 1) = 2 2 x →0 x →0 d →0 d →0 d →0 (d + 1) − xn + yn + − d +1 −1 y →0 y →0 Vậy lim x →0 y →0 x2 + y x2 + y + − Ví dụ 3: Giới hạn lim x →0 y →0 d2 =2 xy có tồn hay khơng? x + y2 Giải 294 Giới hạn khơng tồn xét hai dãy điểm hội tụ đến O(0, 0) ( xn , yn ) = ( 1 ; ) → (0, 0) n → n n ( x 'n , y 'n ) = ( 1 ; ) → (0, 0) n → n n dãy giá trị tương ứng hàm số lại hội tụ đến hai giá trị khác 1 2 f ( xn , yn ) = n n = n → n → 1 + 2 2 n n n 1 2 f ( x 'n , y 'n ) = n n = n → n → 1 1 + + n2 n4 n2 n4 Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim x →0 y →0 x3 + y x2 + y Giải +Hàm số f ( x, y ) = + Ta có: 0 x3 + y khơng xác định điểm O(0, 0) x2 + y x3 + y x3 y3 + x + y ; x 0, y x2 + y x2 + y x2 + y x3 + y + Vì lim( x + y ) = nên theo định lí 6.2 (ngun lý kẹp) ta có lim 2 = x →0 x →0 x + y y →0 y →0 Vậy lim x →0 y →0 x3 + y =0 x2 + y c Các giới hạn lặp Giới hạn theo định nghĩa gọi giới hạn bội giới hạn kép (các trình x → x0 y → y0 diễn đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau) Ngồi giới hạn kép, ta xét giới hạn lặp theo cách thức sau: 295 + Với y y0 cố định y, ta tính trước giới hạn lim f ( x, y) = ( y) , sau tính x→ x giới hạn lim ( y) = E y → y0 Trong trường hợp này, ta viết: lim lim f ( x, y) = E y → y0 x → x0 Tương tự, ký hiệu lim lim f ( x, y) = F x → x0 y → y0 Có nghĩa: lim f ( x, y) = ( x) lim ( x) = F y → y0 x → x0 Nói chung, giới hạn kép L giới hạn lặp E, F giới hạn có giá trị khác nhau, chí giới hạn lặp E F khác Ví dụ: Cho hàm số f ( x, y) = x− y x+ y + Khi ( x, y) → (0, 0) hàm số khơng có giới hạn kép Thật vậy: Xét hai dãy điểm ( xn , yn ) = ( ; ) ( x 'n , y 'n ) = ( ; ) 1 n n n n hội tụ đến điểm O(0, 0) n → , dãy giá trị tương ứng hàm số lại hội tụ tới giới hạn khác 1 − f ( xn , yn ) = n n → n → f ( x 'n , y 'n ) = 1 + n n 1 − n n = n → n → 3 + n n n f ( x, y ) khơng tồn Do đó: lim x →0 y →0 + Các giới hạn lặp tồn có giá trị khác E = lim(lim f ( x, y)) = lim(lim y →0 x →0 y →0 x →0 x− y −y ) = lim = −1 y →0 y x+ y F = lim (lim f ( x, y )) = lim (lim x →0 y →0 x →0 y →0 x− y x ) = lim = x → x+ y x 6.2.2 Tính liên tục hàm hai biến số a Các định nghĩa tính liên tục Định nghĩa 6.4 Hàm số z = f ( x, y ) gọi liên tục điểm (x , y0 ) D nếu: lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) x → x0 y → y0 296