(Tiểu luận) luận văn tốt nghiệp cực trị hàm nhiều biến và hàm vectơ

NỘI DUNG

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Quan sát hai đồ thị trên ta thấy hàm ( , ) = + có giá trị nhỏ nhất bằng

0, giá trị này đạt tại điểm gốc (0,0) Tương tự hàm ( , ) = 1 − − có giá trị lớn nhất bằng 1, giá trị này đạt tại điểm gốc (0,0).

Luận văn tốt nghiệp Đại học GVHD: TS Phạm Thị Vui

Bằng cách nào ta tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm nhiều biến nếu ta không có thông tin cụ thể về đồ thị của nó? Không như cực trị của hàm một biến, vấn đề ở đây sẽ phức tạp hơn nhiều.

Trong phần này ta sẽ tìm hiểu cụ thể phương pháp tìm cực trị của hàm hai biến Phương pháp này vẫn còn hiệu quả khi mở rộng cho hàm nhiều biến hơn, hàm biến ( =3,…). Định nghĩa 1

Hàm ( , ) được gọi là đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại điểm ( , ) nếu ( , ) ≥ ( , ) ( hay ( , ) ≤ ( , )) với mọi điểm ( , ) thuộc lân cận nào đó của Khi đó ( , ) được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) địa phương của hàm ( , ) Cực tiểu và cực đại địa phương được gọi chung là cực trị địa phương, và để ngắn gọn chúng được gọi là cực trị. 1.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định nghĩa 2 Điểm ( , ) được gọi là điểm dừng của hàm ( , ) nếu

( , )= ( , )=0. Điểm ( , ) được gọi là điểm kỳ dị của hàm ( , ) nếu ( , ) hoặc ( , ) không tồn tại. Điểm dừng và điểm kỳ dị được gọi chung là điểm tới hạn. Định lý 1 Nếu hàm ( , ) đạt cực trị địa phương tại điểm ( , ) và tồn tại các đạo hàm riêng ( , ), ( , ) thì ( , ) = ( , ) = 0.

Chứng minh Theo giả thiết ta thấy ( , ) phải tồn tại

Nếu ngược lại ( , ) ≠ 0 Dẫn đến có đạo hàm theo hướng dương của ( , ) và có đạo hàm theo hướng âm của − ( , ) Nghĩa là tăng khi ta di chuyển ( , ) theo một hướng và giảm khi ta di chuyển theo hướng ngược lại Điều này cho ta thấy không thể đạt cực trị tại ( , ) (mâu thuẫn với giả thiết)

Chú ý a) Định lí 1 cho phép ta hạn chế việc xét cực trị tại điểm dừng Ngoài ra hàm còn có thể đạt cực trị tại các điểm kỳ dị Ta gọi các điểm này là các điểm tới hạn b) Nếu mở và ( , ) không có điểm kỳ dị thì điều kiện

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 9 MSSV: B1900380

Luận văn tốt nghiệp Đại học GVHD: TS Phạm Thị Vui nhiên nó không đủ để quyết định hàm đạt cực trị tại điểm này.

Chẳng hạn hàm = có điểm dừng (0,0) (vì =

0, = 0) nhưng hàm không đạt cực trị tại điểm này vì với những điểm ( ,

) gần điểm (0, 0) mà > 0, < 0 thì ( , ) < (0,0) = 0 và với những điểm ( ,

1.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị Định lý 2 Giả sử hàm ( , ) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận của điểm ( , ), với ( , ) là điểm dừng của ( , ), và = ( , ), = ( ,

), = ( , ), ∆ = − Khi đó a) Nếu ∆> 0 và > 0 thì đạt cực tiểu địa phương tại ( , ). b) Nếu ∆> 0 và < 0 thì đạt cực đại địa phương tại ( , ). c) Nếu ∆< 0 thì không đạt cực trị địa phương tại ( , ). d) Nếu ∆ = 0 thì ta không thể khẳng định gì về sự tồn tại của cực trị, trường hợp này cần khảo sát thêm.

Bảng 1.1 Bảng tóm tắt các trường hợp của ∆

Chứng minh Đặt ℎ = ∆ , = ∆ Ta viết công thức Taylor cho ( , ) trong trường hợp = 2.

Vì các đạo hàm riêng cấp hai của liên tục tại ( , ) nên khi (ℎ, )

≠ 0 thì dấu của (ℎ, ) cũng là dấu của vế trái của (1.1) với ℎ, đủ nhỏ. Để chứng minh có cực tiểu (hoặc cực đại) địa phương tại ( , ) ta chứng minh (ℎ, ) ≥ 0 (hoặc (ℎ, ) ≤ 0) với mọi (ℎ, ) thuộc lân cận của (0, 0). Đặt = ( , ), = ( , ), = ( , ) và ∆= −

Nếu ∆= AC − B > 0 thì với mọi (ℎ, ) ≠ (0,0) ta thấy (ℎ, ) sẽ cùng dấu với A Nếu > 0 thì (ℎ, ) > 0, do đó đạt cực tiểu tại ( , )

(ℎ, ) < 0 dẫn đến đạt cực đại tại ( , ).

Nếu ∆< 0 thì (ℎ, ) không giữ nguyên dấu trong lân cận của ( ,

) Chẳng hạn, (ℎ, ) > 0 tại (ℎ, 0) và (ℎ, ) < 0 tại, Do đó không thể đạt cực trị tại ( , ).

Khi = 0 nhưng ∆≠ 0 thì ≠ 0 và (ℎ, ) = (2 ℎ + ) Ta thấy

(ℎ, ) có cả hai giá trị dương và âm trong góc cung phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ nằm giữa đường thẳng = 0 và 2 ℎ + = 0 Trong trường hợp này không đạt cực trị tại ( , ).

Khi ∆= 0 thì có thể có cực tiểu, cực đại hoặc không có cực trị

Ta có thể thấy cụ thể ở các hàm a) g (x, y) = x + y

Hay (0; 0) là điểm nghi ngờ.

Ta không thể kết luận được (0; 0) có phải là điểm cực trị hay không

Nên (0; 0) là điểm cực tiểu của hàm b) g (x, y) = −x − y

Hay (0; 0) là điểm nghi ngờ

Do đó tại (0; 0) ta có

Nên (0; 0) là điểm cực đại của hàm c) g (x, y) = x − y

Hay (0; 0) là điểm nghi ngờ

Do đó tại (0; 0) ta có

Nhưng (0; 0) không là điểm cực trị của hàm vì g (x, y) = x − y < 0 ∀(0, ) mà g (x, y) = x − y > 0 ∀( , 0).

Vậy (0; 0) không là điểm cực trị của hàm

Ta thấy ∆> 0 và < 0 nên là điểm cực đại, và Đ = 4 2 − (−2) − 2 − (−2) = 8.

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm = + − 3

Ta thấy ∆< 0 nên không là điểm cực trị

Ta thấy ∆> 0 và > 0 nên là điểm cực tiểu, và = 1 + 1 − 3.1.1 = −1.

Hình 1.4 Đồ thị hàm z = x + y − 3xy.

Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm

Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm = + + ( , > 0).

Ta thấy ∆> 0 và > 0 nên (5; 2) là điểm cực tiểu và = 5.2 + + = 30.

Hình 1.6 Đồ thị hàm z = xy + + (x, y > 0)

Ví dụ 5 Tìm cực trị của hàm = 1 − +

Hình 1.7 Đồ thị hàm z = 1 − x + y 1.2 Tìm cực trị của hàm nhiều biến

1.2.1 Cực trị không có điều kiện của hàm nhiều biến

Chúng ta đã nghiên cứu cách xác định cực đại và cực tiểu của hàm một biến

Chúng ta hãy mở rộng sự nghiên cứu đó sang các hàm nhiều biến.

Nếu ( , ) là một hàm hai biến, chúng ta nói rằng ( , ) có cực đại địa phương tại = , = nếu ( , ) lớn hơn hoặc bằng ( , ) bất cứ khi nào lân cận và lân cận b Về mặt hình học, đồ thị của ( , ) có đỉnh tại ( , ) = ( , ) [Xem Hình 1.8] Tương tự, chúng ta nói rằng ( , ) có cực tiểu địa phương tại = , = nếu ( , ) bé hơn hoặc bằng ( , ) bất cứ lúc nào khi lân cận và lân cận Về mặt hình học, đồ thị của ( , ) có một đáy là ( , ) = ( , ) [Xem Hình 1.9]

1.2.1.1 Tìm cực trị có sử dụng đạo hàm cấp 1

Giả sử rằng hàm ( , ) có cực tiểu địa phương tại ( , ) = ( , ), như trong hình 1.8 và 1.9 Khi không đổi tại , ( , ) là một hàm của với cực tiểu địa phương tại = Do đó, đường tiếp tuyến của đường cong =

( , ) nằm ngang tại = và do đó có độ dốc 0 Nghĩa là

Tương tự như vậy, khi không đổi tại , thì ( , ) là một hàm của y với cực tiểu địa phương tại = Do đó, đạo hàm của nó đối với bằng 0 tại = Đó là

Hình 1.10 Các đường tiếp tuyến nằm ngang ở cực tiểu địa phương

Ta áp dụng tương tự khi ( , ) có cực đại địa phương tại ( , ) = ( , ).

Phép lấy đạo hàm riêng của hàm hai biến

Nếu ( , ) có cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại ( , ) = ( , ), thì

Cực trị (cực tiểu) địa phương có thể hoặc không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất).

Ví dụ 6 Tìm cực tiểu của ( , ) = 2 − 2 + 5 − 6 + 5 trong hình 1.11.

Hình 1.11 Đồ thị hàm f(x, y) = 2x − 2xy + 5y − 6x + 5.

Ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng

5 từ phương trình thứ hai trong hệ phương trình, ta có = 5 Thay = 5 vào 4 − 2 = 6, ta được

Do đó, = nên ta suy ra = 5 = Vì ( , ) có cực tiểu, nên nó xảy ra khi

= 0 và = 0 Ta đã giải hệ phương trình các đạo hàm riêng bằng 0 và nhận được nghiệm = và = Từ hình 1.11, chúng ta biết rằng ( , ) có cực tiểu nên nó phải xảy ra ở ( , ) = ( , ).

Ví dụ 7 (Hàm lợi nhuận hai biến)

Một công ty bán một sản phẩm X ở hai quốc gia A, B với lượng hàng dự kiến lần lượt là và Qua khảo sát thị trường, để bán hết lượng hàng trên, công ty nên bán 1 đơn vị sản phẩm X ở hai quốc gia với giá lần lượt là 97 − ( ) và 83 − ( ) (USD) Biết chi phí sản xuất 1 sản phẩm X là 20,000 + 3( + ) Tìm và để lợi nhuận thu được là lớn nhất

Gọi ( , ) là lợi nhuận thu được từ việc bán đơn vị sản phẩm X ở quốc gia thứ nhất và đơn vị sản phẩm X ở quốc gia thứ hai Khi đó,

Nghiệm của hệ = 0 là = 470, = 800 Tương tự ở ví dụ trên, ta có

(470,800) là điểm cực đại Vậy, = 470, = 800.

Ví dụ 8 (Bài toán thất thoát nhiệt)

Giả sử chúng ta muốn thiết kế một tòa nhà hình chữ nhật có thể tích là 147,840

Giả sử rằng nhiệt lượng mất đi hằng ngày được cho bởi biểu thức

= 11 + 14 + 15 , trong đó , và lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của tòa nhà.

Tìm kích thước của tòa nhà sao cho thất thoát nhiệt hằng ngày là nhỏ nhất.

Lời giải Chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

= 11 + 14 + 15 (1.2) trong đó , , thỏa mãn phương trình ràng buộc

Thay = vào hàm mục tiêu = 11 + 14 + 15 ta thu được hàm thất thoát nhiệt ( , ) của hai biến như sau

HÀM VECTƠ MỘT BIẾN

Cho ⊆ ℝ và là một phép ứng đơn trị từ vào ℝ Khi ấy ta nói là hàm vectơ từ vào ℝ Như vậy với mỗi số ∈ giá trị ( ) là một vectơ − ề với tọa độ ( ), ( ), … , ( ) Kí hiệu là vectơ trục đơn vị trong ℝ (tức là có tọa độ thứ bằng 1 và các tọa độ khác bằng 0) thì

Các hệ số ( ), ( ), … , ( ) phụ thuộc vào và là đơn ứng từ vào ℝ Như thế , … , là những hàm số thực trên Chứng tỏ mỗi hàm vectơ cho ta hàm số tọa độ (thành phần) , … , Ngược lại, nếu , … , là những hàm số trên thì phép ứng xác định bởi công thức (1) sẽ là một làm vectơ từ vào ℝ

Khi hệ vectơ tọa độ , … , ∈ ℝ đã được xác định, ta viết

( ) = ( ( ), ( ), … , ( )) có nghĩa là hàm vectơ của biến được cho bởi công thức (2.1), trong đó , … , là những hàm số trên ⊆ ℝ.

1) Trong không gian ℝ , ký hiệu = , = , = trong hệ tọa độ trực chuẩn Hàm vectơ một biến ( ) = ( , , ) với và là những hằng số cho ta phép ứng

( ) + ( ) + ( ) , với mỗi ∈ ℝ Điểm cuối của vectơ ( ) tạo thành hình lò xo.

2) Trong thí dụ trên nếu bỏ tọa độ thứ 3 thì ta sẽ có hàm vectơ biến với giá trị trong mặt phẳng (không gian ℝ )

( ) = ( , ) = ( ) + ( ) Điểm cuối của vectơ ( ) tạo thành đường tròn tâm, bán kính | |. 2.1.2 Giới hạn và tính liên tục

Cho ( ) là một hàm vectơ biến ∈ ℝ với giá trị trong ℝ ( ≥ 2) Ta nói rằng vectơ = ( , … , ) ∈ ℝ là giới hạn của ( ) khi → và viết lim ( ) = (2.2)

→ nếu như, với mọi > 0, tồn tại > 0 để ‖ ( ) − ‖ 0 đều tồn tại > 0 để

Chứng tỏ | ( ) − | < xảy ra mỗi khi 0 < | − | < Vậy lim ( ) = , với

Trái lại, nếu (2.2) đúng thì với > 0 cho trước, ta lấy = , ta sẽ tìm được để

| ( ) − | < mỗi khi 0 < | − | < Chọn = min { , … , }, ta có

‖ ( ) − ‖ = ( ( )− ) +⋯+( ( )− ) < +⋯+ = mỗi khi 0 < | − | < Chứng tỏ lim ( ) = Mệnh đề được chứng minh xong.

Nhận xét Từ mệnh đề trên việc khảo sát giới hạn của hàm vectơ một biến hoàn toàn có thể đưa về việc xét giới hạn của hàm số mà chúng ta đã học trong chương trình Giải tích một biến Nhiều tính chất về giới hạn của hàm vectơ có thể chứng minh tương tự như trường hợp hàm số Ví dụ như a) lim ( ) = khi và chỉ khi lim ( ( ) − ) = 0 (ở đây 0 là vectơ có các

→ → tọa độ bằng 0). b) lim ( ) = khi và chỉ khi ( ) = + ( ), trong đó ( ) là vectơ vô

→ cùng bé khi → theo nghĩa lim ( ) = 0

→ c) Nếu ( ) và ( ) là hai hàm vectơ và lim ( ) = , lim ( ) = thì

→ d) Nếu là hằng số và lim ( ) = thì lim ( ) =

→ → e) Nếu ( ) là một hàm số và lim ( ) = , lim ( ) = thì

→ f) Nếu ( ) và ( ) là hai hàm vectơ và lim ( ) = , lim ( ) = thì

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 39 MSSV: B1900380 lim ( ) × ( ) = × (tích vectơ trong trường hợp 3 chiều)

Nhắc lại rằng người ta định nghĩa tích vectơ của 2 vectơ = ( , ,

( , , ) là vectơ ( − , − , − ). Định nghĩa Hàm vectơ gọi là liên tục tại nếu lim ( ) = ( ), tức là với mọi

> 0 sẽ tồn tại > 0 sao cho

Hệ quả Hàm vectơ ( ) = ( ( ), ( ), … , ( )) liên tục tại khi và chỉ khi các hàm tọa độ ( ), ( ), … , ( ) liên tục tại

Chứng minh Suy ra ngay từ mệnh đề trên.

Từ kết quả này ta thấy rằng những tính chất về tính liên tục của hàm vectơ tương tự như trường hợp hàm số.

2.1.3 Đạo hàm Định nghĩa Cho ( ) là hàm vectơ Khi ấy nếu lim ( ∆ ) ( ) tồn tại thì giới hạn

∆ → ∆ đó được gọi là đạo hàm của tại và được ký hiệu là ( ) hay

( ) hay ( ). Mệnh đề sau cho phép tính đạo hàm của qua các hàm số thành phần.

Mệnh đề Hàm vectơ ( ) = ( ( ), ( ), … , ( )) có đạo hàm tại khi và chỉ khi ( ), ( ), … , ( ) khả vi tại và khi ấy ta có công thức

Chứng minh Áp dụng công thức tính giới hạn hàm vectơ ta có lim ( ∆ ) ( ) = , với = ( , … , ),

∆ → ∆ khi và chỉ khi lim ( ∆ ) ( ) = , với mọi = 1, … ,

∆ → ∆ và suy ra ngay kết quả.

Sau đây là một số công thức tính đạo hàm.

Mệnh đề Cho ( ) và ( ) là hai hàm vectơ có đạo hàm và là một hằng số Khi ấy i) ( ( ) + ( )) = ( ) + ( );

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 40 MSSV: B1900380 iv) ( ( ) × ( )) = ( ) × ( ) + ( ) × ( ) (trong trường hợp 3 chiều).

Ta sẽ chứng minh công thức (iii) còn các công thức khác chứng minh tương tự Vì ( ) = ( ( ), ( ), … , ( )) và

Dùng công thức đạo hàm của tổng và tích của các hàm số ta thu được (< ( ), ( ) >) = ( ( ) ( )) + ⋯ + ( ( ) ( ))

Mệnh đề được chứng minh xong Ví dụ a) Cho hàm vectơ ( ) sao cho độ dài vectơ ‖ ( )‖ là hằng số Chứng minh rằng ( ) vuông góc với ( ) với mọi

Ta có < ( ), ( ) >= ‖ ( )‖ = Áp dụng công thức tính đạo hàm 0 = (< ( ), ( ) >) =< ( ), ( ) > +< ( ), ( ) >.

Suy ra < ( ), ( ) > = 0, chứng tỏ ( ) vuông góc với ( ) b) Cho hàm vectơ ( ) có hướng hằng, tức là tồn tại hướng cố định và hàm ( ) sao cho ( ) = ( ) Khi ấy ( ) = ( ) cũng là hàm vectơ có hướng trùng với hướng của ( ).

Chú ý Cho hàm vectơ ( ) có đạo hàm thì đạo hàm ( ) cũng làm hàm vectơ Nếu hàm vectơ ( ) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được ký hiệu là ( ) và được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm ( ) Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp của ( ) và ký hiệu là ( ) ( ).

2.2 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm của hàm vectơ một biến2.2.1 Ý nghĩa hình học

Cho ( ) là một hàm vectơ từ ℝ vào không gian ℝ Các điểm cuối của vectơ ( ) tạo thành một đường cong trong ℝ Đặt là điểm cuối của vectơ cung

⃗⃗ Khi ∆ → 0, → và ( ) tiến dần tới vectơ tiếp tuyến với đường cong tại

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 41 MSSV: B1900380 theo nghĩa tương tự như đối với đường cong trong mặt phẳng Để chính xác hóa khái niệm này đối với đường cong 3 trong không gian 3 chiều, người ta thường định nghĩa vectơ tiếp tuyến đường cong tại là vectơ cùng phương với ( )

Ví dụ Cho ( ) = ( , , 0) là hàm vectơ từ ℝ vào ℝ Tập ảnh là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng Ta có ( ) = (− , , 0) Đây là hướng tiếp tuyến với đường tròn tại mọi điểm ( , , 0), ∈

Giả sử điểm vật chất chuyển động trong không gian phụ thuộc vào thời gian theo công thức ( ) = ( ( ), ( ), ( )) Tại thời điểm , vị trí điểm vật chất sẽ là điểm cuối của vectơ ( ) Khi ấy ( ) biểu thị tốc độ của chuyển động trung bình trong thời gian từ đến + ∆ (điểm vật chất di chuyển từ tới ) Như vậy ( ) sẽ là vectơ vận tốc chuyển động tại thời điểm Tương tự ( ) là vectơ gia tốc của chuyển động tại thời điểm

Tiêu đề	Cực Trị Hàm Nhiều Biến Và Hàm Vectơ
Tác giả	Nguyễn Thanh Trí
Người hướng dẫn	TS. Phạm Thị Vui
Trường học	Trường Đại Học Cần Thơ
Chuyên ngành	Sư Phạm Toán Học
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Cần Thơ

Định dạng
Số trang	79
Dung lượng	916,93 KB