Chuong 2 bienngaunhien

ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN – KHOA CƠ BẢN Bài giảng XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ThS ThS Nguyễn Văn Phong Email : nvphong1980@gmail.com, nv.phong@ufm.edu.com BIẾN NGẪU NHIÊN XÉT VÍ DỤ Thực phép thử : “Tung đồng xu ” Gọi X số lần xuất mặt ngữa Khi đó, ta có Không gian maãu: Ω = {SSS , SSN , SNS , SNN , NSS , NSN , NNS , NNN } Caùc khả có X - Các biến cố sơ cấp tương ứng X =0 liên kết ←→ SSS X =1 liên kết ←→ SSN , SNS , NSS X =2 liên kết ←→ SNN , NSN , NNS X =3 liên kết ←→ NNN Khi đó, giá trị nhận 0,1,2,3 X gọi biến số ngẫu nhiên hay vắn tắc ta nói X biến ngẫu nhiên (X = ), (X = ), (X = ), (X = ) : biến cố XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA Biến số ngẫu ngiên X phép thử với không gian mẫu môt ánh xạ X :Ω → R ω ֏ X (ω ) PHÂN LOẠI Biến ngẫu nhiên rời rạc : Khi tập giá trị X (Ω) = {x1, x , , xn } laø hữu hạn hay vô hạn đếm Biến ngẫu nhiên liên tục : Khi tập giá trị X (Ω) khoảng R hay R Ví dụ - X số mặt ngữa xuất phép thử tung đồng xu: xu: RR - X chiều cao sinh viên phép thử chọn ngẫu nhiên SV: SV: LT NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA Biến số ngẫu ngiên X phép thử với không gian mẫu môt ánh xạ X :Ω → R ω ֏ X (ω ) PHÂN LOẠI Nhận xét: Ta dùng biến ngẫu nhiên liên tục để xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên liên tục trường hợp tập giá trị biến rời rạc đủ lớn XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT XÁC ĐỊNH BIẾN NGẪU NHIÊN Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, xác định biến ngẫu nhiên X có nghóa xác định giá trị xi , i = 1,2,… mà X nhận ta xác định khả để X nhận giá trị i.e., cần xác định P ({ω | X (ω ) = x i } ) ≡ P (X = x i ) BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT X : Ω → R coù X ( Ω ) = {x1, x , x n , } Giả sử x1 < x < < x n < Khi đó, bảng phân phối X : Xét biến ngẫu nhiên rời raïc X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … Trong pi = P (X = x i ), i = 1, 2, , n , ∑p XÁC SUẤT THỐNG KÊ i =1 i =1 NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Ví dụ Tung đồng xu xu Goi X số lần mặt ngữa xuất Khi ta lập bảng phân phối cho X sau X P Trong 3 8 8 p2 = P (X = 1) ≡ P ({SSN , SNS , NSS }) = p3 = P(X = 2) = P({SNN , NSN , NNS }) = p4 = P(X = 3) = P({NNN }) = p1 = P (X = 0) = P ( {SSS } ) = vaø p1 + p2 + p3 + p = XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Từ bảng phân phối xác suaát X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … HÀM MẬT ĐỘ p f (x ) =  i 0 Haøm f : R → R Xác định x = x i x ≠ x i Được gọi hàm mật độ X Chẳng hạn ví dụ 1, ta có Thoaû 1 / 3 /  f (x ) = 3 / 1 /  0 i) f (x ) ≥ ii ) ∑ f (x ) = x neáu x = neáu x = neáu x = neáu x = x ≠ 0,1, 2, NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Từ bảng phân phối xác suất X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … HAØM PHÂN PHỐI TÍCH LUỸ Xét biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) Khi hàm phân phối xác định F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (x ) x ≤x i Neáu i x1 < x < ⋅⋅⋅ < x n Thì hàm phân phối có dạng x < x1 0  F (x ) =  f (x1 ) + f (x ) + + f (xk −1 ) neáu x k −1 ≤ x ≤ xk 1 x ≥ x n  XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Từ bảng phân phối xác suất X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … HÀM PHÂN PHỐI TÍCH LUỸ Xét biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) Khi hàm phân phối xác định F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (x ) i x ≤x i Neáu x1 < x < ⋅⋅⋅ < x n < ⋅⋅⋅ Thì hàm phân phối có dạng neáu x < x1 0  F (x ) =  f (x1 ) + f (x ) + + f (x n −1 ) neáu x n −1 ≤ x < x n 1 neáu x ≥ x n  NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Từ bảng phân phối xác suất X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … HÀM PHÂN PHỐI TÍCH LUỸ Xét biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) Khi hàm phân phối xác định F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (x ) i x ≤x i thoaû i ) ≤ F (x ) ≤ ii ) lim F (x ) = vaø lim F (x ) = x →−∞ x →+∞ iii ) F (x ) hàm tăng iv ) F (x ) liên tục phải XÁC SUẤT THỐNG KÊ 10 NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Từ bảng phân phối xác suất X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … HÀM PHÂN PHỐI TÍCH LUỸ Xét biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) Khi hàm phân phối xác định F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ f (x ) x ≤x i i Chẳng hạn ví dụ 1, ta có 0   f (x1 )  F (x ) =  f (x1 ) + f (x )  f (x ) + f (x ) + f (x )   f (x1 ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) XÁC SUẤT THỐNG KÊ x < = 1/ neáu ≤ x < = 4/8 neáu ≤ x < = 7/8 neáu ≤ x < =1 x ≥ 3.11 NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC HÀM MẬT ĐỘ Hàm f : R → R gọi hàm mật độ X, P ({ω | a ≤ X (ω ) ≤ b} ) ≡ P (a ≤ X ≤ b ) = ∫ f (x )dx , b a ∀a, b ∈ R, a ≤ b Thoaû i) ii ) XÁC SUẤT THỐNG KÊ ∀x ∈ R, f (x ) ≥ ∫ +∞ −∞ f (x )dx = 12 NGUYỄN VĂN PHONG ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC HÀM PHÂN PHỐI TÍCH LUỸ Hàm F : R → R gọi hàm phân phối X, F (x ) = P ({ω | X (ω ) ≤ x } ) thoaû i ) ≤ F (x ) ≤ ii ) lim F (x ) = vaø lim F (x ) = x →−∞ x →+∞ iii ) F (x ) hàm tăng iv ) F (x ) liên tục phải x F (x ) = ∫ f (t )dt −∞ 13 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC Ví dụ Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 0 x  f (x ) =  2 − x 0 x ≤ f (x ) = x < x ≤ < x ≤ f (x ) = − x 2