Phân phối giá trị của hàm nguyên và đạo hàm của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ ĐẠO HÀM CỦA NĨ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM    NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành:GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : GS.TSKH HÀ HUY KHỐI Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn THÁI NGUYÊN - 2009 Mục lục trang MỞ ĐẦU Chƣơng - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………………………………….6 1.1 Công thức Poisson-Jensen … 1.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna .7 1.3 Đồng thức Cartan tính lồi .14 1.4 Quan hệ số khuyết 14 1.5 Tập xác định hàm phân hình .17 Chƣơng - PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ………………………………………………… 29 2.1 Sự xác định hàm nguyên tổ hợp tuyến tính đạo hàm dựa vào tạo ảnh hai điểm…………………………………………… 31 2.2 Sự xác định hàm nguyên đạo hàm dựa vào tạo ảnh tập gồm hai điểm…………………………………………………………43 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khối Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy không hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên suốt trình làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường CĐSP Bắc Kạn, đặc biệt đồng nghiệp khoa TN, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ em thời gian học hồn thành luận văn Trong q trình viết luận văn việc xử lý văn chắn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý Q thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 11 năm 2009 TÁC GIẢ Nguyễn Thị Phương Lan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong toán học, lý thuyết phân bố giá trị phân ngành phân tích tốn học Lý thuyết phân bố giá trị nhà toán học R Nevanlinna đưa năm 1926 Chính lý thuyết cịn gọi lý thuyết Nevanlinna Mục đích lý thuyết phân bố giá trị thiết lập định lý thứ định lý thứ hai ánh xạ phân hình Một ứng dụng quan trọng bậc lý thuyết Nevanlinna vấn đề nhất, tức tìm điều kiện để hai ánh xạ phân hình f g trùng Như đề cập trên, năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: với hai hàm phân hình f g mặt phẳng phức  , chúng có ảnh ngược (khơng tính bội) năm điểm phân biệt f trùng g Có thể nói việc nghiên cứu vấn đề ánh xạ phân hình địi hỏi hai phương diện: xây dựng Lý thuyết phân bố giá trị (mà cụ thể định lý thứ hai) nghiên cứu ứng dụng Vấn đề ánh xạ phân hình cịn nghiên cứu nhiều sắc thái đa thức nhất, tập Cũng nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna dựa theo báo đồng tác giả người Trung Quốc Ping Li Chung- Chun Yang nói phân phối giá trị hàm nguyên đạo hàm [16], luận văn trình bày số kết lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phân phối giá trị hàm nguyên đạo hàm trường số phức Đây hướng nghiên cứu thời sự, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học năm gần Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức lý thuyết Nevanlinna, trình bày với mục đích cung cấp kiến thức cần thiết người đọc dễ theo dõi chứng minh kết chương sau Trong chương này, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính chất lý thuyết Nevanlinna nhắc lại là: công thức Poisson-Jensen, hàm đặc trưng Nevanlinna, hai định lý bản, đồng thức Cartan tính lồi, quan hệ số khuyết, tập xác định hàm phân hình Chương 2: Một số kết phân phối giá trị hàm ngun đạo hàm Kết trình bày luận văn hai định lý sau nói xác định hàm nguyên tổ hợp tuyến tính đạo hàm dựa vào tạo ảnh hai điểm, xác định hàm nguyên đạo hàm dựa vào tạo ảnh tập gồm hai điểm Định lý.2.1.7 Giả sử f hàm nguyên khác số n g  L( f )  b1   bi f (i ) , i 0 đó, bi (i  1,0,1,, n) hàm phân hình nhỏ f Giả sử a1 a2 hai số phân biệt £ Nếu f g  L( f ) phân phối a1 CM a2 IM f  g f g có biểu thức sau: f  a2  (a1  a2 )(1  e )2 , g  2a2  a1  (a1  a2 )e ,  hàm nguyên Định lý 2.2.3 Giả sử f hàm nguyên khác số a1 , a2 hai số phức phân biệt Nếu f f ' phân phối tập a1 , a2  CM khẳng định sau (i) f  f ' (ii) f  f '  a1  a2 (iii) f  c1ecz  c2ecz , với a1  a2  , c, c1 c2 số khác không, thoả mãn c2  c1c2  a12 (1  c 2 ) Để minh họa kết nêu trên, luận văn đưa vài ví dụ cụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Công thức Poisson-Jensen Giả sử f ( z ) hàm phân hình { z £ R}, f (0) ¹ 0, ¥ Giả sử a1 , a2 ,L , aM -điểm f ( z ) { z £ R} (mỗi -điểm kể số lần bội nó), b1 , b2 ,L , bN cực điểm (mỗi cực điểm kể số lần bội nó) Khi đó: " z = reiq (0 £ r £ R ) , ta có: log f (reiq ) = 2p 2p ij ò log f (Re ) M + å log m= R( z - am ) R - am z R2 - r dj + R - Rr cos(j - q) + r N - å log u= R( z - bu ) R - bu z Nhận xét: Hàm phân hình f ( z ) có hữu hạn -điểm cực điểm { z £ R} 1.1.1 Hệ Với giả thiết cơng thức Poisson-Jensen, ta có: log f (0) = 2p 2p ij ò log f (Re ) dj + M å log m= am R N - å log u= bu R  Nếu f (0) = ¥ f ( z ) có khai triển z = dạng: f ( z) = cl zl + cl + zl + + L (l > f (0) = , l < f (0) = ¥ )  Xét hàm y ( z) = Rl f ( z) / zl = Rl (cl + cl + 1z + L ), y (0) ¹ 0, ¥ 1.1.2 Hệ Với giả thiết cơng thức Poisson-Jensen, ta có: l log R + log cl = 2p 2p ij ò log f (Re ) dj + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên M å m= log am R N - å u= log bu R http://www.lrc-tnu.edu.vn Các hàm đặc trƣng Nevanlinna 1.2 1.2.1 Định nghĩa Với số thực a , đặt log+ a = max {0, log a } ( tức là, a £ log + a = , a ³ log + a = log a ) Ta có: log a = log+ a - log+ 1a 1.2.2 Định nghĩa Giả sử f ( z ) hàm phân hình { z £ R}, có -điểm a1 , a2 , L , aM , cực điểm b1 , b2 , L , bN ( -điểm, cực điểm tính số lần bội nó) Hàm đếm hàm f định nghĩa công thức sau: N N ( f , R) = å log u= R bu ( N ( f , R) ³ 0) 1.2.3 Định nghĩa Hàm xấp xỉ m( f , R) m( f , R) = 2p 2p ò log + f (Reij ) dj Từ định nghĩa hàm xấp xỉ m( f , R) ,ta có: 2p 2p ij ò log f (Re ) dj = 2p 2p + ij ò log f (Re ) dj 2p 2p ò log + dj f (Reij ) = m( f , R) - m( , R) f có cực điểm a1 , a2 ,L , aM f Hàm f có -điểm a1 , a2 ,L , aM suy hàm f Từ định nghĩa hàm N ( f , R), ta có N ( , R) = M å m= log R am Hệ 1.1.1 viết lại dạng sau đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 log f (0) = m( f , R) - m( , R) - N ( , R) + N ( f , R) f f é ù = m( f , R) + N ( f , R) - êm( , R) + N ( , R)ú êë f ú f û 1.2.4 Định nghĩa Hàm đặc trưng Nevanlinna T ( f , R) = m( f , R) + N ( f , R) f Hệ 1.1.1 viết lại dạng: T ( f , R) = T ( , R) + log f (0) Từ định nghĩa hàm m( f , R) , N ( f , R), T ( f , R) , ta có tính chất sau: 1.2.5 Định lý Nếu f j , j  1, p hàm phân hình, r số thực dương tuỳ ý, a số phức ta có tính chất sau: p p j= j= p p j= j= p p j= j= p p j= j= p p j= j= 1) m( Õ f j , r ) £ å m( f j , r ) 2) m( å f j , r ) £ å m ( f j , r ) 3) N ( Õ f j , r ) £ å N ( f j , r ) 4) N ( å f j , r ) £ å N ( f j , r ) 5) T ( Õ f j , r ) £ å T ( f j , r ) p p j= j= 6) T ( å f j , r ) £ å T ( f j , r ) 7) T ( f - a, r ) - T ( f , r ) £ log + a + log Chứng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 Sự xác định hàm nguyên đạo hàm dựa vào tạo ảnh tập gồm hai điểm Trước hết, ta chứng minh hai bổ đề sau cần cho chứng minh định lý 2.2.1 Bổ đề Giả sử f hàm nguyên khác số a1 , a2 hai giá trị hữu hạn phân biệt khác không Nếu f f ' phân phối tập a1 , a2  IM T (r, h)  S (r, f ) , h ( f ' a1 )( f ' a2 ) , ( f  a1 )( f  a2 ) (16) kết luận đúng: (i) T (r, )  S (r, f ) ,  ( f ' h  f '')( f ' h  f '') ( f ' a1 )( f ' a2 ) (ii) T (r , f ')  N (r , (iii) m(r, (17) )  S (r , f ), i  1, f ' )  S (r , f ) , c  a1 , a2 số f c (iv) T (r , h)  m(r , 1 )  m(r , )  S (r , f )  m(r, )  S (r, f ) f  a1 f  a2 f' h (v) 2T (r, f )  2T (r, f ')  m(r, )  S (r, f ) Chứng minh: (i) Do f , f ' phân phối (i  1, 2) , - điểm f đơn h hàm nguyên Từ giả thiết T (r, h)  S (r, f ) , suy   (16) viết lại là: ( f ' a1 )( f ' a2 )  ( f  a1 )( f  a2 )h , (18) Đạo hàm hai vế (18), ta có: (2 f ' a1  a2 ) f ''  [(2 f  a1  a2 ) f ' h  ( f  a1 )( f  a2 )h '] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 (19) http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi z  z0 , ( f '( z 0)  a1)( f '( z 0) a 2) 0 , ( f ( z0 )  a1 )( f ( z0 )  a2 )  , ta có: f '( z0 )  a1  a2  1 f ( z0 )  a1  a2 Suy ( f '( z0 )h( z0 )  f ''( z0 ))( f '( z0 )h( z0 )  f ''( z0 ))  Như vậy, ta thấy - điểm đơn f ' không cực điểm  Nếu z0 - điểm f ' với số bội m  , - điểm f '' với số bội m 1 , từ (16), z0 - điểm h với số bội m 1 Như vậy, z0 không cực điểm  Ta kết luận  hàm nguyên Ngoài ra, ( f ')2  a2 f ' f ' h  f '' f '' ,   f ' a1 ( f  a1 )( f  a2 ) f ' a1 Theo bổ đề 2.1.1, ta có m(r , m(r , (20) f ' h  f '' )  S (r , f ) Tương tự, ta có f ' a1 f ' h  f '' )  S (r , f ) Từ m(r, )  S (r, f ) , T (r, )  S (r, f ) f ' a2 (ii) (17) viết lại :  f ' h  f ''  f' f '' ,  ( f  a1 )( f  a2 ) ( f ' a1 )( f ' a2 ) theo bổ đề 2.1.1, ta suy m(r , m(r , )  S (r , f ) Tương tự, ta có f ' h  f '' 1 )  S (r , f ) Do đó, theo (17) có m(r , )  S (r , f ) Suy ( f ' a1 )( f ' a2 ) f ' h  f '' T (r , f ')  N (r , )  S (r , f ), i  1, f ' (iii) Từ (17) (20), ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn   f ' h  f '' ( f ')2  a2 f ' f' f ''    f  c  ( f  c)( f  a1 )( f  a2 ) f  c f '( f ' a1 )  f ' a2  Theo bổ đề 2.1.1, ta có m(r, )  S (r , f ) với c  a1 , a2 f c (iv) Do hàm h (16) nguyên h (a1  a2 ) f ' a1a2 f' f' ,   f  a1 f  a2 ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a1 )( f  a2 ) sử dụng bổ đề 2.1.1, dễ dàng nhận được: T (r , h)  m(r , )  S (r , f ) ( f  a1 )( f  a2 )  m( r , 1 )  m( r , )  S (r , f ) f  a1 f  a2  m(r , )  S (r , f ) f' Mặt khác, từ (16) (17) khử bỏ h , ta có:  f'  ( f ')3  (a1  a2 )( f ')2 a1a2 f ' ( f '')2 ,   2 ( f  a1 ) ( f  a2 ) f '( f ' a1 )( f ' a2 ) ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a1 )( f  a2 ) vậy, theo bổ đề 2.1.1, ta có: m(r , 1 )  m(r , )  m(r , )  S (r , f ) f' f  a1 f  a2 Như vậy, ta thu được: T (r , h)  m(r , 1 )  m(r , )  S (r , f )  m(r, )  S (r, f ) f  a1 f  a2 f' (v) Sử dụng kết luận (ii), ta có:   2T (r , f ')  N  r ,   S (r , f )  ( f ' a1 )( f ' a2 )  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ (18) kết luận (iv), ta có:   2T (r , f ')  N  r ,   S (r , f )  ( f  a1 )( f  a2 )h    1  N  r,   N (r , )  S (r , f ) h  ( f  a1 )( f  a2 )   2T (r , f )  m(r , 1 )  m(r , )  N (r , )  S (r , f ) f  a1 f  a2 h  2T (r , f )  T (r , h)  N (r , )  S (r , f ) h h Ta có 2T (r, f )  2T (r, f ')  m(r, )  S (r, f ) Bổ đề 2.2.1 chứng minh W 2.2.2 Bổ đề Giả sử f hàm nguyên khác số a1 , a2 hai giá trị hữu hạn phân biệt Nếu f f ' phân phối tập a1 , a2  CM T (r, h)  S (r, f ) , h bổ đề 2.2.1 Chứng minh: Để tiện lợi, ta viết f1  f ', f  f '' , f3  f ''' Vì f f1 phân phối tập a1 , a2  CM , nên tồn hàm nguyên  để h  e Nếu a1a2  từ (16) h f12 (a1  a2 ) f1  ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a1 )( f  a2 ) Từ đây, theo bổ đề 2.1.1, ta có T (r, h)  S (r, f ) Không tính tổng qt, ta giả thiết a1a2  Giả sử T (r, h)  S (r, f ) Từ (17), (18) (19), cách khử bỏ h , ta có: ( f  a1 )  ( f  a2 ) f1  (2 f  a1  a2 ) f1  (2 f1  a1  a2 ) f   , ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a1 )( f  a2 ) ( f1  a1 )( f1  a2 ) (21) đó, đoạn tiếp    ' , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn f12 f 22    2 2 ( f  a1 ) ( f  a2 ) ( f1  a1 ) ( f1  a2 ) ( f1  a1 )( f1  a2 ) (22) Bình phương hai vế (21), ta có: f12 f12 f12   ( f  a1 )2 ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a2 )  (2 f1  a1  a2 )2 f 22 2 (2 f1  a1  a2 ) f  2 ( f1  a1 )2 ( f1  a2 )2 ( f1  a1 )( f1  a2 ) (23) Bây (22) viết: [ f12 f12 f12   ] ( f  a1 )2 ( f  a1 )( f  a2 ) ( f  a2 )2  (a1  a2 )2 ( f1  a1 )( f1  a2 )  (a1  a2 ) f 22 ( f1  a1 )2 ( f1  a2 )2 (24) Lấy hiệu số (23) (24), ta có: f12 f  2 (2 f1  a1  a2 ) f  ( f1  a1 )( f1  a2 )  (a1  a2 ) 2   ( f  a1 )( f  a2 ) ( f1  a1 )( f1  a2 ) ( f1  a1 )( f1  a2 ) (25) Khử bỏ f từ (22) (25), ta có: 16 f 22 f 22  2 (2 f1  a1  a2 ) f 16   [  H ]2 , 2 ( f1  a1 )( f1  a2 ) ( f1  a1 ) ( f1  a2 ) f1 ( f1  a1 )( f1  a2 ) (26) đó, H Từ bổ đề 2.2.1, m(r ,  ( f1  a1 )( f1  a2 )  (a1  a2 ) 2 f1 ( f1  a1 )( f1  a2 ) 1 )  m(r , )  S (r , f ) Như vậy, từ (26) sử f1  a1 f1  a dụng bổ đề 2.1.1, ta có: m(r, H )  S (r, f ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 (27) http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét hai trường hợp: a1a2   (a1  a2 )2  a1a2   (a1  a2 )2  Nếu a1a2   (a1  a2 )2  từ (27) bổ đề 2.1.2, ta suy 3T (r , f1 )  N (r , 1 )  N (r , )  N (r , )  S (r , f ) f1 f1  a1 f1  a2 Theo (ii) bổ đề 2.2.1 công thức trên, ta có: m(r , )  S (r , f ) f1 (28) Do đó, theo (iv) bổ đề 2.2.1, ta có T (r, h)  S (r, f ) Bây giờ, ta xét trường hợp: a1a2   (a1  a2 )2  , (29) viết lại (17) là:  ( f1  a1 )( f1  a2 )  f12e2  f 22 (30) Lấy đạo hàm hai vế (30), ta có:  '( f1  a1 )( f1  a2 )  (2 f1  a1  a2 ) f  2 ' f12e2  f1 f 2e2  f f3 (31) Giả sử z0 - điểm f1 Từ (17), (18), (19) (31), ta thấy  ( z0 )   (a  a ) f ( z ) f 22 ( z0 ) (a  a ) f ( z ) ,  ( z0 )   2 ,  ( z0 )   2 2 a1a2 a1a2 a1 a2 a1a2 '( z0 )  (a1  a2 ) ( z0 ) f ( z0 )  2 f ( z0 ) f ( z0 ) Vì vậy, sử dụng (29), ta có:   '( z0 )  ( z0 )     f ( z0 )  f3 ( z0 )     ( z0 ) Lại từ (17), ta thấy - điểm f1 f phải - điểm  , vậy, - điểm f1 đơn Giả sử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn '       f2 f3    f1 f1 (32) Khi đó, ta có T (r,  )  S (r, f ) Nó f1 khác khơng Nếu   ta suy f2 '  '  '   , thế, lấy tích phân, ta f2  có: f  c 2 exp  2  , f1  c exp( 2 )  d  , c  d số Từ suy m(r , 1 )  m(r , )  T ( r , h)  S ( r , f ) ,  f1 exp( )  d đưa đến kết T (r, h)  S (r, f ) , theo bổ đề 2.2.1 Sau đây, ta giả thiết   Từ (30), (31), khử bỏ e2 ,ta có: ( ' 2 ' ) f1 ( f1  a1 )( f1  a2 )   (2 f1  a1  a2 ) f1 f  2 ' f1 f 22  2 ( f1  a1 )( f1  a2 ) f  f 23  f1 f f3 (33) Nếu  ' 2 '  ta có e2  c , c số Từ T (r , h)  T (r , e ) S (r , f ) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết  ' 2 '  Do a1 - điểm a2 - điểm f1 đơn, từ (33) - điểm f không - điểm f1 phải - điểm  ' 2 ' Như vậy, ta kết luận T (r , '      f3 )  S (r , f ) Từ (32), ta có: f2  f3  f  f  f1 Vì T (r , f2 )  S (r , f ) f1 (34) Bây giờ, (29) đúng, (26) viết lại là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn b0 f12  b1 f1  b2  (35) Trong đó, b0  16( f2 f f f )  32( )3  (16  24 )( )  8 ( )  16   , f1 f1 f1 f1 b1  16(a1  a2 )  ( f2 f f )  24(a1  a2 )  ( )  12(a1  a2 )  ( ) f1 f1 f1 2(a1  a2 )  16(a1  a2 ) , b2  4(a1  a2 )2  ( f2 f )  4(a1  a2 )  ( )  16 a1a2  (a1  a2 )  f1 f1 Hiển nhiên T (r , bi )  S (r , f ), i  0,1, Do T (r , f )  N (r ,  N (r , 1 )  N (r , )  S (r, f ) f  a1 f  a2 1 )  N (r , )  S (r , f ) f1  a1 f1  a2  2T (r , f1 )  S (r , f ) , Ta có T (r , bi )  S (r , f1 ), i  0,1, Vì vậy, theo bổ đề 2.1.3, ta có: bi  0, i  0,1, (36) Từ đây, (29) (36), dễ dàng thấy f / f1 số Do f '  c1 ( f  c2 ) , (37) đó, c1  , c2  a1 , a2 số Từ (30) (37), ta có: N (r , )  S (r, f ) Mặt khác, từ (21), bổ đề 2.2.1 bổ đề 2.1.1, ta kết f  c2 luận m(r ,  f  c2 )  S (r , f ) Vì vậy, m(r , )  S (r , f ) Do đó, f  c2 T (r, f )  S (r, f ) , mâu thuẫn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên W 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.3 Định lý Giả sử f hàm nguyên khác số a1 , a2 hai số phức phân biệt Nếu f f ' phân phối tập a1 , a2  CM khẳng định sau (i) f  f ' (ii) f  f '  a1  a2 (iii) f  c1ecz  c2ecz , với a1  a2  , c, c1 c2 số khác không, thoả mãn c2  c1c2  a12 (1  c 2 ) Chứng minh: Theo giả thiết định lý 2.2.3, tồn hàm nguyên  thoả mãn T (r , e )  S (r , f ) để ( f ' a1 )( f ' a2 )  ( f  a1 )( f  a2 )e , điều biểu thị là:  (e f  (  a1  a2 2 a a a a  a a e  f ' )(e f  e  f ' ) 2 2 a1  a2  ) (e  1) (38) Đặt  G  e2 f  a1  a2 2 a a e  f ' , 2 (39) a1  a2 2 a a e  f ' 2 (40)  H  e2 f  Khi đó, G H hàm nguyên, G.H  , 1 N (r , )  N (r , )  S (r , f ) G H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 (41) http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì vậy, T (r , G' H' )  T (r , )  S (r , f ) G H (42) Từ (38), (39) (40), ta có:  G  H  e (2 f  a1  a2 ) , (43) G  H  f ' a1  a2 , (44) G.H  ( a1  a2  ) (e  1) (45) Từ ba phương trình trên, ta dễ dàng suy  G'  ' 2 H ' (  e  )G  (  e  ) H  (a1  a2 )e  G H '  (46) Nhân G vào hai vế (46), ta có: 1G2  2G  3  , (47) đó, 1  '   e2  G' , G  2  (a1  a2 )e , 3  ( a1  a2  '  H' ) (e  1)(  e  ) 2 H Từ (42), ta thấy T (r , i )  S (r , f ), i  1, 2,3 (48) Khi e  h  1, từ (16), ta dễ dàng thấy rằng: f  f ' f  f '  a1  a2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bây giờ, ta giả thiết e  Nếu T (r, G)  S (r, f ) , từ (45) ta có T (r, H )  S (r, f ) Vì vậy, từ (43) suy T (r, f )  S (r, f ) Điều khơng thể Do đó, T (r, G)  S (r, f ) Nếu 1  từ (47) (48), ta có: 2T (r , G )  T (r , 2 G  3 )  T (r , G )  S (r , f ) , 1 Và vậy, T (r, G)  S (r, f ) , mâu thuẫn Do đó, 1  Tương tự, ta có i  0, i  2,3 , tức là: ' '   e2   e2  G'  0, G (49) H'  0, H (50) a1  a2  Công thức (49) (50) dẫn tới (51) G' H '    ' Do đó, G H GH  c0e , (52) đó, c0 số khác khơng Kết hợp (45), (51) (52) ta thấy e  số Như vậy, (49) (50) tương ứng trở thành   G '  e G H '  e H Từ (45) suy đến kết G  c1ecz , H  c2ecz , (53)  đó, c  e  1 , với c1 , c2 số thoả mãn c1c2  ( a1  a2  a a ) (e  1)  ( )2 (c  1) 2 (54) Do đó, từ (43), (53) (54), ta có: c1 2 cz c2 2  cz f  e e  e e 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Biểu thức viết lại là: f  c1ecz  c 2ecz ,   c  c  đó, c1  e , c  e thoả mãn 2 a a c1 c  ( )2 (1  c 2 ) Định lý 2.2.3 chứng minh W Chú ý 3: nghi ngờ điều kiện “ f f ' phân phối tập a1 , a2  CM ” định lý 2.2.3 thay “ f f ' phân phối tập a1 , a2  IM ” Nhưng ta chứng tỏ hàm phân hình f , từ “ CM ” định lý 2.2.3 thay “ IM ” Ví dụ, f = e2 z - f f ' lúc phân phối 0,1 IM Dưới ví dụ phức tạp e2 z + Ví dụ 3: Lấy số a, a ¹ 0, - 27 32 Thế phương trình z3 - az - a z + a + a = khơng có nghiệm bội Giả sử f hàm elliptic thoả mãn: ( f ') = f - af - a f + a + a Khi ( f '- a )( f '+ a) = ( f - a) ( f + a) , f , f ' lúc phân phối a, - a IM Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Như vậy, luận văn trình bày lại khái niệm, tính chất, định lý lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình ứng dụng phân phối giá trị hàm nguyên đạo hàm trường số phức cách hệ thống Phân tích chứng minh lại tỉ mỉ, cụ thể bổ đề kết báo Ping Li Chung-Chun Yang [16] phân phối giá trị hàm nguyên đạo hàm Kết luận văn hai định lý: định lí 2.1.7 xác định hàm nguyên tổ hợp tuyến tính đạo hàm dựa vào tạo ảnh hai điểm định lý 2.2.3 nói xác định hàm nguyên đạo hàm dựa vào tạo ảnh tập gồm hai điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Lý thuyết Nevanlinna, Bài giảng Tiếng Anh [2] F Gross, On the distribution of values of meromorphic functions, Trans Amer Math Soc 131(1968), 199-214 [3] F Gross, Complex analysis, Lecture Notes in Math., Vol 599, Springer, 1977, 51- 69 [4] Hongxun Yi, Uniqueness of meromorphic functions and a question of Gross, Science in China, (series A),24(1994), 457- 466 [5] Ping Li and C C Yang, On the unique range set of meromorphic functions, Proc Amer Math Soc., Vol.124, No.l, 1996, 177-185 [6] Qing-De Chang A unicity theorem of slowly growing functions, Acta Math Sinica, Vol 36, No 6, Nov., 1993, 826-833 [7] Ping Li and C.C.Yang, Some further results on the unique range set of meromorphic functions, Kodai Math J., 18(1995), 437-450 [8] E Mues and M Reinders, Meromorphic functions sharing one value and unique range sets, Kodai Math J., 18 (1995), 515-522 [9] L A Rubel and C C Yang, Values shared by an entire function and its derivatives, Complex analysis (Proc Conf Univ of Kentucky, Lexington, 1976), Lecture notes in Math., Vol 599, Berlin: Springer 1977, 101-103 [10] G G Gundersen, Meromorphic functions that share finite values with their derivative, J Math Analysis and Appl., 75(1980), 441-446 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn [11] Yongxing Gu, Uniqueness of an entire function and its differential polynomial, Acta Math.Sinica, Vol.37, No.6, Nov., 1994, 791-798 [12] G Frank and Xinhou Hua, Differential polynomials that share three values with their generated meromorphic function, Michigan Math J 46(1999) N1,175-186 [13] C A Bernstein, D C Chang and B Q Li, On uniqueness of entire functions in Cn and their partial differential polynomials, Math (1996) N3, 379396 [14] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford University Press, Oxford, 1964 [15] Yu-Zan He and Xiu-Zhi Xiao, Algebroid Functions and Ordinary Differential Equations, Science Press, Beijing, 1988 (Chinese) [16] Ping Li and Chung-Chun Yang, Value Sharing of an Entire Function and Its Derivatives, J Math Soc Japan 51( 1999) N4, 781-799 [17] E Mues and N Steinmetz, Meromorphe Funktionen, die mit ihrer Ableitung Werte teilen, Manuscripta Math 29( 1979), 195-206 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn