university logo LÀNH THANH TÙNG GIỚI THIỆU VỀ ĐA THỨC TUTTE CỦA ĐỒ THỊ Chuyên ngành ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học TS Vũ Thế Khôi Lành Thanh Tùng (Cao học k16) Ngày 16[.]
LÀNH THANH TÙNG GIỚI THIỆU VỀ ĐA THỨC TUTTE CỦA ĐỒ THỊ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Thế Khơi university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thanh Tùng (Cao học k16) 16 tháng 10 năm 2011 TaiLànhngay!!! Ban co the xoa dong chuNgàynay!!! / 33 Mở đầu Nội dung luận văn: university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Mở đầu Nội dung luận văn: +) N.Đ Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, chương 6, ĐHQG Hà Nội, (2004) +) B BéLa, Modern graph Theory, chap X, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-384-98491-9, (2010) university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị 1.3 Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng 1.4 Hành trình, đường, chu trình 1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông 1.6 Đồ thị bao trùm 1.7 Cây, rừng, bao trùm(cây khung), rừng bao trùm university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị 1.3 Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng 1.4 Hành trình, đường, chu trình 1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông 1.6 Đồ thị bao trùm 1.7 Cây, rừng, bao trùm(cây khung), rừng bao trùm Chương Định nghĩa tính chất đa thức Tutte 2.1 Định lý sở 2.2 Định nghĩa university-logo 2.3 Tính chất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Ví dụ Lành Thanh Tùng (Cao học k16) Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị 1.3 Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vịng 1.4 Hành trình, đường, chu trình 1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông 1.6 Đồ thị bao trùm 1.7 Cây, rừng, bao trùm(cây khung), rừng bao trùm Chương Định nghĩa tính chất đa thức Tutte 2.1 Định lý sở 2.2 Định nghĩa university-logo 2.3 Tính chất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Ví dụ Lành Thanh Tùng (Cao học k16) Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn Chương Một số trường hợp đặc biệt đa thức Tutte 3.1 Giá trị đặc biệt đa thức Tutte TG (x , y ) x , y ∈ {1, 2} 3.2 Đa thức tơ màu 3.3 Đa thức dịng university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Cấu trúc luận văn Chương Một số trường hợp đặc biệt đa thức Tutte 3.1 Giá trị đặc biệt đa thức Tutte TG (x , y ) x , y ∈ {1, 2} 3.2 Đa thức tô màu 3.3 Đa thức dòng Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm(cây khung) 4.1 Các định nghĩa 4.2 Ví dụ university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đồ thị Cho V tập hữu hạn khác rỗng, E ⊆ V × V , G = (V , E ) gọi đồ thị hữu hạn i) Mỗi phần tử v ∈ V gọi đỉnh đồ thị ii) Mỗi phần tử e = (x , y ) ∈ E với x 6= y gọi cạnh đồ thị iii) Mỗi phần tử e = (x , x ) ∈ E gọi khuyên đồ thị 4i) V = V (G ) gọi tập đỉnh, E = E (G ) gọi tập cạnh, | V | , | E | số đỉnh số cạnh đồ thị university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 / 33 Chương Một số trường hợp đặc biệt đa thức Tutte Ta số trường hợp mà qG (A) dễ dàng xác định là: + qEn (A) = với n ≥ có A-dịng En , có ánh xạ từ tập rỗng vào A + qCn (A) =| A | −1 + Nếu e cầu, qG (A) = thật vậy, giả sử e cạnh từ V1 đến V2 = V (G ) − V1 + Nếu e khuyên qG (A) = (| A | −1)qG −e (A) + Nếu e khơng cầu hay khun qG /e (A) = qG −e (A) + qG (A) university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 25 / 33 Chương Một số trường hợp đặc biệt đa thức Tutte 3.3 Đa thức dòng 3.3.2 Định lý Cho A nhóm hữu hạn, giao hốn G đồ thị, qG (A) = (−1)n(G ) TG (0, 1− | A |) (8) university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 26 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.1 Định nghĩa i) Xét thứ tự tập cạnh E (G ) sau : Ta nói E (G ) = {e1 , e2 , , , em } với ei trước ej i < j Cho F rừng bao trùm đồ thị G , với ei ∈ E (F ), ta gọi UF (ei ) = {ej ∈ E (G ) : (F − ei ) + ej bao trùm} nhát cắt xác định theo ei university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 27 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.1 Định nghĩa i) Xét thứ tự tập cạnh E (G ) sau : Ta nói E (G ) = {e1 , e2 , , , em } với ei trước ej i < j Cho F rừng bao trùm đồ thị G , với ei ∈ E (F ), ta gọi UF (ei ) = {ej ∈ E (G ) : (F − ei ) + ej bao trùm} nhát cắt xác định theo ei Hơn nữa, cho ei ∈ E (G ) − E (F ), chu trình xác định theo ei chu trình F + ei , ta viết ZF (ei ) cho tập cạnh chu trình university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 27 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.1 Định nghĩa i) Xét thứ tự tập cạnh E (G ) sau : Ta nói E (G ) = {e1 , e2 , , , em } với ei trước ej i < j Cho F rừng bao trùm đồ thị G , với ei ∈ E (F ), ta gọi UF (ei ) = {ej ∈ E (G ) : (F − ei ) + ej bao trùm} nhát cắt xác định theo ei Hơn nữa, cho ei ∈ E (G ) − E (F ), chu trình xác định theo ei chu trình F + ei , ta viết ZF (ei ) cho tập cạnh chu trình ii) Gọi cạnh ei ∈ E (F ) cạnh hoạt động bên ( F thứ tự xác định trên) ei cạnh nhỏ UF (ei ) Như ei ∈ E (F ) hoạt động bên i ≤ j với ej ∈ UF (ei ) university-logo Số hóa e Trung liệui –≤ Đạij.học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ZFtâm (ejHọc ) i ∈ Lành Thanh Tùng (Cao học k16) Ngày 16 tháng 10 năm 2011 27 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm Tương tự, gọi cạnh ej ∈ E (G ) − E (F ) cạnh hoạt động bên ej cạnh nhỏ chu trình định nghĩa theo ej , i ≥ j với ei ∈ ZF (ej ) university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 28 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm Tương tự, gọi cạnh ej ∈ E (G ) − E (F ) cạnh hoạt động ej cạnh nhỏ chu trình định nghĩa theo ej i ≥ j với ei ∈ ZF (ej ) iii) Một rừng bao trùm có hoạt động bên i hoạt động j có xác i cạnh hoạt động bên j cạnh hoạt ngồi kí hiệu (i , j)-rừng bên ngồi , bên ngồi động bên university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 28 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm Cây bao trùm có cạnh hoạt động bên cạnh hoạt động bên ngồi university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 29 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.2 Định lý Cho G đồ thị với thứ tự tập cạnh Viết tij cho số lượng rừng bao trùm có hoạt động bên i hoạt động bên ngồi j Khi : university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 30 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.2 Định lý Cho G đồ thị với thứ tự tập cạnh Viết tij cho số lượng rừng bao trùm có hoạt động bên i hoạt động P tij x i y j đa thức Tutte bên ngồi j Khi : S (G ; x , y ) = ij TG (x , y ) đồ thị G Cụ thể tij = tji (G ) độc lập với thứ tự tập cạnh phụ thuộc vào G university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 30 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.3 Ví dụ Cho đồ thị G = C3 hình vẽ university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 31 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm 4.3 Ví dụ Cho đồ thị G = C3 hình vẽ university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 31 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm Xét thứ tự E (G ) = {e1 , e2 , e3 } đồ thị C3 có bao trùm F , F , F ” xác định hình vẽ university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 32 / 33 Chương Khai triển đa thức Tutte theo bao trùm Xét thứ tự E (G ) = {e1 , e2 , e3 } đồ thị C3 có bao trùm F , F , F ” xác định hình vẽ Ta xác định đa thức T (G ; x , y ) = T (C3 ; x , y ) = x + x + y Với cách khai triển đa thức Tutte theo bao trùm ta có thêm cách xác định đa thức Tutte đồ thị university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 32 / 33 Kết luận Luận văn đạt kết sau: - Trình bày kiến thức lý thuyết đồ thị có ví dụ minh họa - Giới thiệu Định nghĩa tính chất đa thức Tutte đồ thị, cách xác định đa thức Tutte đồ thị phép "xóa, co cạnh" - Giới thiệu số trường hợp đặc biệt đa thức Tutte đa thức tơ màu, đa thức dịng(đa thức luồng), - Giới thiệu cách khai triển đa thức Tutte đồ thị theo bao trùm cách khai triển có giá trị tương đương định nghĩa university-logo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lành Thanh Tùng (Cao học k16) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ngày 16 tháng 10 năm 2011 33 / 33