(Luận văn) một số vấn đề về môđun vi phân kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH NGC VN lu an n va ă VỀ MÔĐUN VI PHÂN KAHLER p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ d oa nl w fu an nv a lu oi m ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGỌC VẤN lu an n va ă V MễUN VI PHN KAHLER p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ d oa nl w oi m ll fu an nv a lu Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 z at nh Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG z gm @ m co l an Lu n va ac th si i Mục lục Mục lục i Mở đầu lu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ an n va Môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Tích tenxơ 1.4 Đại số p ie gh tn to 1.1 Địa phương hóa oa nl w 1.5 ă MÔĐUN VI PHÂN KAHLER d 10 a lu Đạo hàm 10 2.2 Mụun vi phõn Kăahler 15 2.3 Hai dãy khớp 22 2.4 Địa phương hóa mơđun vi phân Kăahler 34 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai 40 oi m ll fu an nv 2.1 z at nh z gm @ Kết luận Tài liệu tham khảo 45 46 m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler M u Lý thuyt vi phõn Kăahler l mt lnh vc ca i s v hình học nhận quan tâm nghiên cứu nhà tốn học Nó có nhiều áp dụng đại số giao hốn, hình học đại số số lĩnh vực khác lu an tốn học Mơđun vi phõn Kăahler tỏc ng quan trng n cỏc tớnh va chất vành, chẳng hạn qua kết nối với tính quy Do đó, việc n gh tn to tìm hiểu số vấn đề mơđun vi phõn Kăahler l cn thit v l tin cho việc nghiên cứu toán liên quan p ie oa nl w Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm hai chương: d Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đại số giao hoán a lu dùng luận văn Các kết chương trích dẫn fu an nv từ [1], [3] oi m ll Chương tìm hiểu trình bày số vấn đề môđun vi z at nh phõn Kăahler, bao gm khỏi nim o hm, s xõy dng mụun vi phõn Kăahler, hai dóy khp c bn ca cỏc mụun vi phõn Kăahler, a phng z húa ca mụun vi phõn Kăahler, v mt minh cho kết nối gm @ môđun vi phân Kăahler vi tớnh chớnh quy ca mt vnh Cỏc kt l [9] m co chương tham khảo từ tài liệu [2], [4], [5], [6], [7], [8], an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler Lun c thc hin v hon thnh Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Phạm Thùy Hương Qua xin gởi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng đến Cơ, người tận tình giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô dày công giảng dạy suốt hai năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Chúng tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người động viên giúp đỡ trình làm luận văn lu an Mặc dù chúng tơi cố gắng q trình hồn thành luận va n văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn gh tn to khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý p ie q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler Chng MT S KIN THC CHUẨN BỊ Trong luận văn, vành giả thiết vành giao hốn có lu an đơn vị va n Chương trình bày số kiến thức đại số giao hoán gh tn to sử dụng luận văn Các kết chương tham p ie khảo từ tài liệu [1], [3] Môđun d oa nl w 1.1 fu an nv a lu Cho R vành Định nghĩa 1.1.1 Một R-mơđun nhóm cộng abel M với m ll ánh xạ R × M → M , (a, x) 7→ ax với a ∈ R x ∈ M , thỏa oi mãn điều kiện sau với a, b ∈ R x, y ∈ M : z at nh a(x + y) = ax + ay, z m co 1x = x l (ab)x = a(bx), gm @ (a + b)x = ax + bx, an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler nh ngha 1.1.2 Cho M N R-môđun Một ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu R-môđun hay R-đồng cấu với x, y ∈ M a ∈ R, ta có f (x + y) = f (x) + f (y), f (ax) = af (x) Cho M N R-môđun Tập hợp tất đồng cấu R-môđun từ M đến N ký hiệu HomR (M, N ) Tập hợp HomR (M, N ) R-môđun với phép cộng phép nhân cho bởi: với lu f, g ∈ HomR (M, N ) a ∈ R, an va (f + g)(x) = f (x) + g(x), n to gh tn (af )(x) = af (x) p ie với x ∈ M oa nl w Một đồng cấu R-môđun f gọi đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh) d Cho f : M → N đồng cấu R-môđun Các tập hợp fu an nv a lu m ll Imf := f (M ) oi Kerf := {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0) z at nh tương ứng môđun N M z @ Dãy khớp gm 1.2 ϕ2 ϕn−1 an Lu ϕ1 M1 → M2 → · · · → Mn m co l Định nghĩa 1.2.1 Cho n ∈ N, n Mt dóy n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler cỏc R-mụun M1 , , Mn đồng cấu R-môđun ϕi : Mi → Mi+1 với i = 1, , n − gọi khớp Imϕi−1 = Kerϕi với i ∈ {1, 2, , n − 1} Mệnh đề 1.2.2 Một dãy R-môđun ϕ1 ϕ2 M1 → M2 → M3 → khớp với R-môđun M , dãy R-môđun ϕ∗ ϕ∗ → HomR (M3 , M ) →2 HomR (M2 , M ) →1 HomR (M1 , M ) khớp, ϕ∗i (ϕ) = ϕ ◦ ϕi với i ∈ {1, 2} lu an Tích tenxơ n va 1.3 gh tn to Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N P R-môđun Một ánh xạ p ie ϕ : M × N → P gọi R-song tuyến tính ánh xạ oa nl w ϕ(x, ) : N → P, y 7→ ϕ(x, y), ϕ(., y) : M → P, x 7→ ϕ(x, y) d fu an nv a lu R-đồng cấu với x ∈ M y ∈ N Định lý 1.3.2 Cho M N R-mơđun Khi tồn R- chất phổ dụng sau thỏa mãn oi m ll môđun T ánh xạ R-song tuyến tính τ : M × N → T cho tính z at nh Với R-mơđun P ánh xạ R-song tuyến tính ϕ : M ×N → P , z tồn R-đồng cấu h : T → P cho h ◦ τ = ϕ, tức gm @ cho biểu đồ sau giao hoán τ ∃! h an P Lu $  m co ϕ /T l M ×N n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler Hn na, (T1 , τ1 ) (T2 , τ2 ) thỏa mãn tính chất phổ dụng, T1 T2 R-mơđun, τ1 : M × N → T1 τ2 : M × N → T2 ánh xạ R-song tuyến tính, tồn đẳng cấu f : T1 → T2 cho f ◦ τ1 = τ2 Định nghĩa 1.3.3 R-môđun T xác định Định lý 1.3.2 gọi tích tenxơ M N R, ký hiệu M ⊗ N = M ⊗ N = T R Với x ∈ M y ∈ N , ta viết x ⊗ y = τ (x, y) lu an Mệnh đề 1.3.4 Cho R vành I iđêan R Khi va n với R-mơđun M , ta có tn to gh (R/I) ⊗ M ∼ = M/IM p ie R Đại số d 1.4 oa nl w R/I-môđun a lu fu an nv Cho R0 R vành, ϕ : R0 → R đồng cấu vành Với r0 ∈ R0 a ∈ R, ta định nghĩa m ll oi r0 a = ϕ(r0 )a z at nh Khi vành R trở thành R0 -môđun Cấu trúc R0 -mơđun tương z gm @ thích với cấu trúc vành R, tức (r0 a)b = r0 (ab) với r0 ∈ R0 m co l a, b ∈ R Định nghĩa 1.4.1 Vành R với cấu trúc R0 -môđun gọi an Lu R0 -đại số n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler nh ngha 1.4.2 Cho : R0 → R ψ : R0 → S hai đồng cấu vành Một đồng cấu R0 -đại số f : R → S đồng cấu vành mà đồng cấu R0 -môđun Chú ý 1.4.3 Với ký hiệu trên, f : R → S đồng cấu R0 -đại số biểu đồ sau giao hoán ϕ / R0 ψ R !  f , S tức ψ = f ◦ ϕ lu an n va Cho R R0 R0 -đại số tương ứng định nghĩa đồng R0 tn to cấu vành ϕ : R0 → R ψ : R0 → R0 Khi R0 -mơđun R ⊗ R0 p ie gh vành với phép nhân định nghĩa X  X  X (ai ⊗ a0i ) (bj ⊗ b0j ) = (ai bj ⊗ a0i b0j ) j oa nl w i i,j với , bj ∈ R a0i , b0j ∈ R0 Hơn nữa, R ⊗ R0 R0 -đại số, d R0 fu an nv a lu định nghĩa đồng cấu vành R0 → R ⊗ R0 , r0 7→ ϕ(r0 ) ⊗ ψ(r0 ) R0 m ll Mệnh đề 1.4.4 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho M oi z at nh R0 -môđun N R-mơđun Khi ánh xạ gm @ R0 z ψ : HomR (R ⊗ M, N ) → HomR0 (M, N ) f 7→ f ◦ γ, l m co đẳng cấu R-mơđun, γ : M → R ⊗ M cho quy R0 an Lu tắc γ(x) = ⊗ x với x ∈ M n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 30 Chng minh Xột tng ng d : R/I → M a 7→ d(a) với a ∈ R Trước hết ta chứng minh d ánh xạ Lấy a, b ∈ R/I cho a = b, a, b ∈ R Vì a−b ∈ I nên d(a)−d(b) = d(a−b) = Suy d(a) = d(a) = d(b) = d(b) Bây ta chứng minh d R0 -đạo hàm Thật vậy, lấy a, b ∈ R/I lu an r0 ∈ R0 , a, b ∈ R Khi ta có va n d(a + b) = d(a + b) = d(a + b) = d(a) + d(b) = d(a) + d(b), p ie gh tn to d(r0 a) = d(r0 a) = d(r0 a) = r0 d(a) = r0 d(a), d(ab) = d(ab) = d(ab) = ad(b) + bd(a) = ad(b) + bd(a) oa nl w = ad(b) + bd(a) d Hơn nữa, với a ∈ R, ta có fu an nv a lu  oi m ll Do d = d ◦ π (d ◦ π)(a) = d(a) = d(a) z at nh Định lý 2.3.8 (Dãy khớp thứ hai) Cho R0 vành R R0 -đại số Cho I iđêan R T = R/I Khi tồn z dãy khớp T-môđun gm @ β α R m co l I/I → T ⊗ ΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, α(a) = 1⊗dR/R0 a β(t⊗dR/R0 b) = tdT /R0 b với a ∈ I, b ∈ R an Lu t ∈ T n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 31 Chng minh Trc hết ta chứng minh α ánh xạ Thật vậy, giả sử a1 , a2 ∈ I cho a1 = a2 ∈ I/I , tức a1 − a2 ∈ I Suy tồn P n ∈ N\{0}, ui , vi ∈ I, i = 1, 2, , n cho a1 − a2 = ni=1 ui vi Khi ta có ⊗ dR/R0 (a1 − a2 ) = ⊗ dR/R0 n X ui vi  i=1 = = n X i=1 n X
⊗ (ui dR/R0 vi + vi dR/R0 ui )
(ui ⊗ dR/R0 vi ) + (vi ⊗ dR/R0 ui ) = lu i=1 an Từ suy α(a1 ) = ⊗ dR/R0 a1 = ⊗ dR/R0 a2 = α(a2 ) Do α va n ánh xạ Rõ ràng α đồng cấu T -mơđun p ie gh tn to Tính phổ dụng tích tenxơ suy tồn đồng cấu T -mơđun P β Ta chứng minh β tồn ánh Lấy x = ni=1 a0i dT /R0 ∈ ΩT /R0 , oa nl w n ∈ N\{0}, , a0i ∈ R với i = 1, , n, ta có n n X  X β a0i ⊗ dR/R0 = β(a0i ⊗ dR/R0 ) = x i=1 d i=1 a lu Vậy β toàn ánh fu an nv Theo Mệnh đề 1.2.2, ta cần chứng minh với M T -môđun, dãy oi m ll T -môđun sau khớp β∗ α∗ z at nh HomT (ΩT /R0 , M ) → HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomT (I/I , M ) R Theo Mệnh đề 2.3.3, ta có đẳng cấu T -môđun z @ gm ϕ1 : HomT (ΩT /R0 , M ) → DerR0 (T, M ) m co l Hơn nữa, ta có đẳng cấu T -mơđun an R Lu ϕ2 : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ), n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 32 ú = ψ, với ψ : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomR (ΩR/R0 , M ) R ϕ : HomR (ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ) tương ứng xác định Mệnh đề 1.4.4 Hệ 2.3.5 Do ta cần chứng minh dãy T -môđun sau khớp φ χ DerR0 (T, M ) → DerR0 (R, M ) → HomT (I/I , M ), −1 ∗ φ = ϕ2 ◦ β ∗ ◦ ϕ−1 χ = α ◦ ϕ2 Trước hết, lấy δ ∈ DerR0 (T, M ) bất kỳ, ta chứng minh φ(δ) = δ ◦ π, π : R → R/I ánh xạ tắc Vì dT /R0 : T → ΩT /R0 lu R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn h ∈ HomT (ΩT /R0 , M ) an n va cho δ = h ◦ dT /R0 Khi theo Chú ý 2.3.4, ϕ−1 (δ) = h Do to gh tn
φ(δ) = ϕ2 ◦ β ∗ (h) = ϕ2 (h ◦ β) = (ϕ ◦ ψ)(h ◦ β) p ie = ϕ(h ◦ β ◦ γ) = h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 , oa nl w γ : ΩR/R0 → T ⊗ ΩR/R0 , x 7→ ¯1 ⊗ x với x ∈ ΩR/R0 Từ R suy với a ∈ R, ta có d a lu fu an nv (φ(δ))(a) = (h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 )(a) = (h ◦ β)(¯1 ⊗ dR/R0 a) = h(dT /R0 a ¯) = (h ◦ dT /R0 )(¯ a) = δ(¯ a) = δ(π(a)) m ll oi Vậy f (δ) = δ ◦ π z at nh Mặt khác, với d ∈ DerR0 (R, M ) bất kỳ, dR/R0 : R → ΩR/R0 z R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) gm @ cho d = l ◦ dR/R0 Ta có l m co

∗ −1 −1 χ(d) = α∗ ◦ ϕ−1 (d) = α ◦ ψ ◦ ϕ (d) = α∗ (ψ −1 (l)) = α∗ (˜ γ ) = γ˜ ◦ α, an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 33 ú HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ), γ˜ (t ⊗ x) = tl(x) với x ∈ ΩR/R0 R t ∈ T Bây ta chứng minh Imφ ⊆ Kerχ Với δ ∈ DerR0 (T, M ), theo chứng minh trên, ta có (χ ◦ φ)(δ) = χ(φ(δ)) = χ(δ ◦ π) Ta chứng minh χ(δ ◦ π) = Vì δ ◦ π ∈ DerR0 (R, M ) nên theo chứng minh trên, tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho δ ◦ π = l ◦ dR/R0 Do với a ¯ ∈ I/I , a ∈ I, ta có lu an χ(δ ◦ π)(¯ a) = (˜ γ ◦ α)(¯ a) = γ˜ (1 ⊗ dR/R0 a) = (l ◦ dR/R0 )(a) va n = (δ ◦ π)(a) = δ(¯ a) = p ie gh tn to Ngược lại, ta chứng minh Kerχ ⊆ Imφ Ta có Kerχ = {d ∈ DerR0 (R, M ) | χ(d) = 0} oa nl w Lấy d ∈ Kerχ, theo chứng minh tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) d cho d = l ◦ dR/R0 Khi γ˜ ◦ α = χ(d) = Từ suy với a ∈ I, a lu fu an nv d(a) = (l ◦ dR/R0 )(a) = γ˜ (¯1 ⊗ dR/R0 a) = γ˜ (α(¯ a)) =  oi Vậy d ∈ Imφ m ll Theo Bổ đề 2.3.7, tồn d ∈ DerR0 (T, M ) cho d = d ◦ π = φ(d) z at nh Cho R0 vành R R0 -đại số Cho I iđêan @ o dbi n ∈ N\{0}, ∈ R, bi ∈ I, i = 1, , n ⊆ ΩR/R0 m co l i=1 gm RdI = n nX z R Đặt d = dR/R0 ký hiệu Khi RdI R-môđun ΩR/R0 chứa IΩR/R0 Hơn nữa, an Lu ΩR/R0 /RdI R/I-môđun n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 34 H qu 2.3.9 Vi cỏc ký hiệu trên, ta có ΩT /R0 ∼ = ΩR/R0 /RdI T -mơđun, T = R/I Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có đẳng cấu T -môđun γ : T ⊗ ΩR/R0 → ΩR/R0 /IΩR/R0 R cho γ(a ⊗ x) = ax với a ∈ R x ∈ ΩR/R0 Do đó, từ Định lý 2.3.8, ta có dãy khớp T -môđun β˜ α ˜ lu I/I → ΩR/R0 /IΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, an n va α ˜ = γ ◦ α β˜ = β ◦ γ −1 với α β đồng cấu T -môđun gh tn to dãy khớp thứ hai Ta có p ie Im˜ α = RdI/IΩR/R0  ΩT /R0 ∼ = (ΩR/R0 /IΩR/R0 ) (RdI/IΩR/R0 ) d oa nl w Do fu an nv a lu T -môđun ∼ = ΩR/R0 /RdI  oi m ll Địa phương hóa mụun vi phõn Kă ahler z at nh 2.4 z Trong mục ta chứng minh việc hình thành môđun vi phân @ m co l tham kho t [7], [9] gm Kăahler l "giao hoỏn" vi địa phương hóa Các kết mục Trong mục ký hiệu d dùng thay cho dR/R0 , đạo hàm phổ an Lu dụng R trờn R0 n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 35 Mệnh đề 2.4.1 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho S ⊆ R tập nhân đóng Khi tồn R0 -đạo hàm δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 a sda − ads 7→ s s2 cho biểu đồ sau giao hoán π1 R d  ΩR/R0 π2 / / S −1 R  δ˜ , S −1 ΩR/R0 lu an tức δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d va n Chứng minh gh tn to Trước hết ta chứng minh δ˜ ánh xạ Giả sử a s1 p ie mãn = b s2 , a b s1 , s2 ∈ S −1 R thỏa a, b ∈ R s1 , s2 ∈ S Khi tồn t ∈ S cho t(s2 a−s1 b) = Do = d(t(s2 a−s1 b)) = (s2 a−s1 b)dt+td(s2 a−s1 b) d oa nl w Suy fu an nv a lu = t2 d(s2 a − s1 b) = t2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) oi m ll Vì ts2 a = ts1 b nên   2 t s2 (s1 da − ads1 ) − s1 (s2 db − bds2 ) z at nh = t2 s22 s1 da − t2 s22 ads1 − t2 s21 s2 db + t2 s21 bds2 z = t2 s22 s1 da − t2 s1 bs2 ds1 − t2 s21 s2 db + t2 s2 as1 ds2 @ gm = t2 s1 s2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) = m co l Do an Lu  a  s da − ads s2 db − bds2 ˜ b  1 ˜ δ = = =δ s1 s21 s22 s2 n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 36 Bõy gi ta chng minh δ˜ R0 -đạo hàm Lấy a b s1 , s2 ∈ S −1 R r0 ∈ R0 , ta có a b  ˜ s2 a + s1 b  s1 s2 d(s2 a + s1 b) − (s2 a + s1 b)d(s1 s2 ) ˜ δ + =δ = s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 da ads1 db bds2 ˜ a  ˜ b  = +δ , − + − =δ s1 s1 s2 s2 s1 s2  a  s d(r a) − r ads  s da − ads  a 0 1 ˜ ˜ δ r0 = = r0 = r0 δ , s1 s21 s21 s1 lu an n va p ie gh tn to a b  ab  d(ab) abd(s s ) ˜ ˜ δ =δ = − s1 s2 s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 adb + bda abs1 ds2 abs2 ds1 = − − s1 s2 (s1 s2 )2 (s1 s2 )2  a db a bds2   b da b ads1  + − − = s1 s2 s1 s22 s2 s1 s2 s21 a ˜ b  b ˜ a  = δ + δ s1 s2 s2 s1 Cuối ta chứng minh δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d Thật vậy, với a ∈ R, ta oa nl w có d  a  1da − ad1 da ˜ ˜ = = = π2 (da) (δ ◦ π1 )(a) = δ 12 fu an nv a lu = (π2 ◦ d)(a)  m ll oi Mệnh đề 2.4.2 Cho R0 vành, R R0 -đại số Cho S ⊆ R z at nh tập nhân đóng Khi ta có z ΩS −1 R/R0 ∼ = S −1 ΩR/R0 gm @ S −1 R-môđun l m co Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1, ta có R0 -đạo hàm an Lu sda − ads a δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 , → s s2 n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 37 với a ∈ R s ∈ S Đặt δ = dS −1 R/R0 Vì δ : S −1 R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn đồng cấu S −1 R-môđun h : ΩS −1 R/R0 → S −1 ΩR/R0 cho δ˜ = h ◦ δ Đặt d˜ = δ ◦ π1 , π1 : R → S −1 R, a 7→ a với a ∈ R Ta chứng minh d˜ : R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm Thậy vậy, lấy a1 , a2 ∈ R r0 ∈ R0 , ta có lu an n va p ie gh tn to       ˜ + a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 + a2 ) = δ a1 + a2 = δ a1 + δ a2 d(a 1 ˜ ) + d(a ˜ ), = (δ ◦ π1 )(a1 ) + (δ ◦ π1 )(a2 ) = d(a     ˜ a1 ) = (δ ◦ π1 )(r0 a1 ) = δ r0 a1 = r0 δ a1 = r0 (δ ◦ π1 )(a1 ) d(r 1 ˜ ), = r0 d(a a a  a a  a a  2 ˜ d(a1 a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 a2 ) = δ = δ + δ 1 1 ˜ ) + a2 d(a ˜ ) = a1 (δ ◦ π1 )(a2 ) + a2 (δ ◦ π1 )(a1 ) = a1 d(a oa nl w d Hơn nữa, d : R → ΩR/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn a lu đồng cấu R-môđun g : ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 cho biểu đồ sau fu an nv giao hoán d / oi m ll R g , #  z at nh d˜ ΩR/R0 ΩS −1 R/R0 tức d˜ = g ◦ d z gm @ Xét tương ứng m co l l : S −1 ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 Pn n X  bi  i=1 dbi 7→ δ s s i=1 an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 38 vi x = Pn dbi s i=1 ∈ S −1 ΩR/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ R với i = 1, , n s ∈ S Ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun l ánh xạ ngược h Trước hết, ta chứng minh l ánh xạ Giả −1 sử x, y ∈ S ΩR/R0 thỏa mãn x = y Ta có x = Pn i=1 dbi s1 Pm j=1 cj ddj ,y = s2 , n, m ∈ N\{0}, , bi , cj , dj ∈ R s1 , s2 ∈ S, i = 1, , n, j = 1, , m Khi tồn t ∈ S cho n m  X  X t s2 dbi − s1 cj ddj = i=1 j=1 Từ suy lu n m an X  bi  X  dj  l(x) − l(y) = δ − cj δ s1 i=1 s2 j=1 n va n m gh tn to X X = (δ ◦ π1 )(bi ) − cj (δ ◦ π1 )(dj ) s1 i=1 s2 j=1 p ie n m n m  X  X ˜ ˜ = ts2 d(bi ) − ts1 cj d(dj ) ts1 s2 i=1 j=1 d oa nl w X ˜ X ˜ d(bi ) − cj d(dj ) = s1 i=1 s2 j=1 a lu fu an nv n m  X  X = ts2 (g ◦ d)(bi ) − ts1 cj (g ◦ d)(dj ) ts1 s2 i=1 j=1 n m oi m ll  X   X g ts2 dbi − ts1 cj ddj = = ts1 s2 i=1 j=1 z at nh Bây ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun Thật vậy, với z x, y ∈ S −1 ΩR/R0 , x, y as ∈ S −1 R, ta có ! Pn Pm s a db + s c dd j i=1 i i j=1 j l(x + y) = l s1 s2 ! n m b  X d  X i j = s δ + s1 cj δ s1 s2 i=1 1 j=1 gm @ m co l an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 39 n m X  bi  X  dj  δ + cj δ = l(x) + l(y), = s1 i=1 s2 j=1 n a   Pn aa db  b  X i i i i=1 l x =l = aai δ s ss1 ss1 i=1 n a X  bi  a δ = l(x) = s s1 i=1 s Cuối cùng, ta chứng minh h ◦ l = IdS −1 ΩR/R0 l ◦ h = IdΩS−1 R/R Với −1 x ∈ S ΩR/R0 , x trên, ta có lu an n va gh tn to n n h1 X  b i b  X i i (h ◦ l)(x) = h δ = (h ◦ δ) s1 i=1 s1 i=1 n n X dbi X ˜ bi  = = x δ = s1 i=1 s1 i=1 Pn  bi  Hơn nữa, với ω = i=1 ti δ si ∈ ΩS −1 R/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ p ie R ti , si ∈ S với i = 1, , n, 1 s   si  si   i = δ + δ 0=δ si si 1 si d oa nl w nên a lu oi m ll fu an nv n n hX hX ˜ bi i  si dbi − bi dsi i (l ◦ h)(ω) = l δ =l t si t s2i i=1 i i=1 i n n X  dbi bi dsi  X h  bi  bi  si i = l − = δ − 2δ t s s s t s si i i i i i i i=1 i=1 n  i X h  b i  b i  δ = − − s2i δ t si si si i=1 i n X h  bi  bi  i = δ + δ = ω t s 1 s i i i i=1 z at nh z gm @ l  m co Vậy ta có điều cần chứng minh an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 40 2.5 Mt ỏp dụng dãy khớp thứ hai Trong mục này, ta tìm hiểu áp dụng dãy khớp thứ hai trường hợp R vành afin m iđêan cực đại để đưa điều kiện cần đủ cho vành địa phương Rm quy Các kết mục tham khảo từ tài liệu [2], [5] Trong mục này, K giả thiết trường đóng đại số K[x1 , x2 , xn ] vành đa thức n biến K Mệnh đề 2.5.1 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan lu an thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi n va tồn đẳng cấu K-khơng gian vectơ to tn m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K p ie gh R Chứng minh Vì K trường đóng đại số nên tồn c = (c1 , , cn ) ∈ oa nl w K n cho m = mc = hx1 − c1 , , xn − cn i/I d a lu Áp dụng dãy khớp thứ hai ta có dãy khớp R/m-khơng gian fu an nv vectơ β α R oi m ll m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K → ΩR/m/K → z at nh Do R/m ∼ = K Ví dụ 2.2.7 (i), ta có R/m-tồn cấu α m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K , z R @ gm α(x) = ⊗ dR/K x với x ∈ m Ta cần chứng minh tồn l đồng cấu m co R an Lu γ ∈ HomR/m (R/m R/K , m/m2 ) n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 41 cho = Idm/m2 Trước hết, ta định nghĩa K-đạo hàm δ : R → m/m2 Với a ∈ R, a = f , f ∈ K[x1 , x2 , , xn ], ta viết f = f (c) + f˜, f˜ ∈ hx1 − c1 , , xn − cn i Từ suy a = a0 + x, lu an a0 = f (c) ∈ K x = f˜ ∈ m Ta định nghĩa va n δ(a) = x ∈ m/m2 tn to p ie gh Khi δ ánh xạ δ K-tuyến tính Hơn nữa, với a, b ∈ R, ta có oa nl w a = a0 + x, d fu an nv a lu b = b0 + y, a0 , b0 ∈ K x, y ∈ m Khi m ll δ(ab) = a0 y + b0 x = (a − x)y + (b − y)x oi z Do δ ∈ DerK (R, m/m2 ) Đặt z at nh = ay + bx = aδ(b) + bδ(a) @ gm γ = (ψ −1 ◦ ϕ−1 )(δ), l m co ϕ ψ tương ứng xác định Hệ 2.3.5 Mệnh an R Lu đề 1.4.4 Khi γ ∈ HomR/m (R/m ⊗ ΩR/K , m/m2 ) γ = ψ −1 (h) = , n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler 42 h ∈ HomR (ΩR/K , m/m2 ), h ◦ dR/K = δ γ˜ ∈ HomR/m (R/m ⊗ R ΩR/K , m/m ), γ˜ (a ⊗ ω) = ah(ω) với a ∈ R/m, a ∈ R ω ∈ ΩR/K Ta cần chứng minh γ ◦ α = Idm/m2 Thật vậy, với x ∈ m, ta có (γ ◦ α)(x) = (˜ γ ◦ α)(x) = γ˜ (1 ⊗ dR/K x) = (h ◦ dR/K )(x) = δ(x) = x  Bổ đề 2.5.2 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi lu an n va m/m2 ∼ = mRm /(mRm )2 gh tn to  không gian vectơ R/m ∼ = Rm mRm p ie Chứng minh Ta có đẳng cấu trường oa nl w a  α : R/m → Rm mRm , a 7→ d với a ∈ R a lu Xét tương ứng fu an nv oi m ll ϕ : m/m2 → mRm /(mRm )2 x x 7→ z at nh với x ∈ m Ta chứng minh ϕ ánh xạ Giả sử x, y ∈ m cho z x − y ∈ m2 Suy @ gm x−y x y − = ∈ (mRm )2 1 m co l Do an Lu (x) = (y) n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.vỏƠn.ỏằã.vỏằã.mun.vi.phÂn.kahler si