Bài 6 chia đa thức một biến đã sắp xếp

CHUYÊN ĐỀ BÀI CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP Mục tiêu  Kiến thức + Vận dụng quy tắc chia đa thức biến xếp + Xác định phép chia hết phép chia có dư, đa thức dư  Kĩ + Thực phép chia đa thức biến xếp + Tìm đa thức dư phép chia có dư + Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc chia Ta thực theo bước sau: - Bước Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần biến - Bước Lấy hạng tử cao đa thức bị chia chia cho hạng tử cao đa thức chia thương thứ - Bước Nhân thương thứ với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích - Bước Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chia cho hạng tử cao đa thức chia thương thứ hai - Bước Tiếp tục lặp lại bước nhận đa thức dư đa thức đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức bị chia  Nếu đa thức dư đa thức phép chia gọi phép chia hết  Nếu đa thức dư khác đa thức phép chia gọi phép chia có dư Bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức chia Tổng quát: Với hai đa thức biến A B với B 0 tồn hai đa thức Q R cho: A B.Q  R với R 0 bậc R bé bậc B II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chia đa thức cho đa thức Phương pháp giải Bước Sắp xếp đa thức theo thứ tự có bậc Ví dụ: Thực phép chia giảm dần biến x  x  x  13 :  x  x  13  Đặt phép tính x  x  x  13 x  x  13 Bước Lấy hạng tử cao đa thức bị Lấy x : x x chia chia cho hạng tử cao đa thức chia Nhân x với đa thức chia x  x  13 , lấy đa ta thương thứ thức bị chia trừ tích nhận được dư thứ Bước Nhân thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích Bước Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương thứ hai Bước Tiếp tục lặp lại bước đến nhận hiệu (đối với phép chia hết)  x  x  x  13 x  x  13 x  x  x  13 h x  x  13 x  x : x  Nhân -1 với đa thức chia x  x  13 lấy dư trừ tích nhận dư thứ hai (phép Trang đến thu đa thức dư có bậc nhỏ chia hết) bậc đa thứa chia x  x  x  13 x  x  13 x  x  13 x x    x  x  13  x  x  13 2 Vậy  x  x  x  13 :  x  x  13  = x  Ví dụ mẫu Ví dụ Thực phép chia a)  x  x  x  3 :  x  3 2 b)  x  x  6x  x   :  x  x  1 c)  x  x  15  x  :   3x  d)   x  x  20  x  :  x   Hướng dẫn giải a)  x  x  x  3 :  x  3  x3  x  x  x3  3x  x x  x 1 x2  5x  2x2  6x  x x 3 Vậy  x  x  x  3 :  x  3  x  x  2 b)  x  x  6x  x   :  x  x  1  x  x3  x  5x  x2  x  x  x3  x  5x2  5x    5x2  5x  x2  2 Vậy  x  x  6x  x   :  x  x  1  x  c)  x  x  15  x  :   3x  Trang   3x  x  x  15  3x3  5x   3x  x2   x  15  x  15 Vậy  x  x  15  x  :   3x  = x  d)   x  x  20  x  :  x    x  x  x  20 x x3  x x2   x  20 x  20 Vậy   x  x  20  x  :  x   = x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Kết phép tính  x  x  :  x  3 A 3x B x  C x D  x Câu 2: Kết  x  x  x   :  x  1 :  x  1 A 3x  B 3x  C  3x  D 3x 2 Câu 3: Kết phép tính   x  x   x  x  :  x  x  1 A x  x  B x  x  C x  D x  x  Bài tập nâng cao Câu 4: Thực phép chia a)  x  x  x   x  :  x  3 3 b)  x  x  x  1 :  x  1 2 c)  x  x  x  3 :  x  x  1 d)  x  x  10 x  x   :  x  x  1 Câu 5: Tính: a)   3x  x  x  15  :   x   b)  x  x  x  1 :  x  1 c)  x  x  x  x   :  x  1 Trang d)  x  14 x  12 x   :  x   Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn C 2 Ta có  x  3x  :  x  3  x  x  3  :  x  3  x Câu Chọn B Ta có  x  x  x   :  x  1 :  x  1   x  1  x  1  3x    :  x  1 :  x  1 3 x  Câu Chọn A 2 2 2 Ta có   x  x   x  x  :  x  x  1   x  x  1  x  3x    :  x  x  1 2 x  3x  Bài tập nâng cao Câu 4 a)  x  x  x   x  :  x  3  2 b)  x  x  x  1 :  x  1 2x  x  x  x  x   6x 2 x4   2 x  x 1 x  x  3x  x3  3 x2 3 x5   3x x2 x5  x3  x 1 x 1  x2 x 1 x3 1 x3 1 0 2 c)  x  x  x  3 :  x  x 1  x3  x  x  x3  x  x  x2  x 1 x 3 x  3x  3 d)  x  x  10 x  x   :  x  x  1  x  x  10 x  x  3x  x3  x  x  3x  3x  x 1 x2  x   x  11x  x   x3  x  x   15 x  10 x   15 x  10 x  Câu a) Thực phép chia  x3  x  x  15 cho  3x  , thu kết   3x  x  x  15  :   x   x  b) Thực phép chia x  x  x  cho x  , thu kết x  x  x  1 :  x  1  x  x  c) Thực phép chia x  x3  x  x  cho x  , thu kết Trang  5x  x  x  x   :  x  1 5 x  14 x  12 x  d) Thực phép chia x  14 x  12 x  cho x  , thu kết  5x  14 x  12 x   :  x   5 x  x  Dạng 2: Tính nhanh Phương pháp giải Ví dụ: Bước Sử dụng quy tắc tính toán Thực phép chia  x  x  1 :  x  1 đẳng thức để thu gọn x  x   x  1 x Bước Thực phép chia 2  x  1 :  x  1  x  1 :  x  1  x  Ví dụ mẫu 2 Ví dụ Phân tích thành nhân tử thực phép chia  24 x  x  18 x  : x Hướng dẫn giải 24 x  x  18 x 3x  x  3x     24 x5  x3 18 x  :  3x  3 x  x  3x   :  x  8 x  3x  Ví dụ Sử dụng đẳng thức để thực phép chia  x  27  :  x  3 Hướng dẫn giải x  27  x   33  x  3  x  x     x  27  :  x  3  x    x  x   :  x    x  x   2 Ví dụ Sử dụng hẳng đẳng thức để thực phép chia  x  x  12 x   :   x  Hướng dẫn giải Ta có x  x  12 x   x      x  3   x  x  12 x   :   x     x  :   x     x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giá trị biểu thức  x  x   :  x  3 x  A B -4 C D -5 2 Câu 2: Giá trị biểu thức  x  y  :  x  y    x  12 x  3x  :   x    x   x 1, y 2 A -6 B C D Bài tập nâng cao Câu 3: Đưa đa thức nhân tử sau thực phép chia a)  x  1 :  x  x  1 Trang b)  x  x  xy  y  :  x  y  3 2 c)  a b  6a b c  12abc  8c  :  2c  ab  Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn B Ta có  x  x   :  x  3   x    x  1  :  x   2  x  1 Thay x  vào biểu thức sau thực phép chia, ta    1  Câu Chọn C  x  y  :  x  y    x3  12 x  3x  :   3x    x  3 Ta có   x  y  :  x  y    3x   3x  x  1 :   3x   x    x  y   3x  x   x  4 x  y  3x  x   x   y  10 Thay x 1, y 2 vào biểu thức sau thực phép chia, ta 8.2  10 6 Bài tập nâng cao Câu 3 a)  x  1 :  x  x  1 x3   x   13  x  1  x  x  1   x  1 :  x  x  1  x  1  x  x  1 :  x  x  1 2 x  b) x  x  xy  y  :  x  y  x  3x  xy  y  x  xy    3x  y   x  x  y    x  y   x  y   x     x  x  xy  3x  :  x  y   x  y   x  3 :  x  y  x  3 2 c)  a b  6a b c  12abc  8c  :  2c  ab   a b  6a b c 12abc  8c   ab  2c    a b  6a b c 12abc  8c  :  2c  ab   ab  2c  :  2c  ab  3 2 3 2 3 3   2c  ab  :  2c  ab    2c  ab  Dạng Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Tìm đa thức M biết x  x  x   x   M Hướng dẫn giải Trang Bước Chuyển vế đưa dạng toán phép chia đa thức Ta có x  x  x   x   M  M  x  x  x   :  x    M  x  x    x   :  x   Bước Thực phép chia đa thức  M   x    x  1  :  x    x  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đa thức M biết x  3x  3x  M  x  1 Hướng dẫn giải x  3x  3x  M  x  1  M  x  x  x  1 :  x  1  M  x  1 :  x  1  M  x  1 Ví dụ Tìm đa thức M biết x  x  x  M  x   Hướng dẫn giải x  x  x  M  x    M  x  x  x  3 :  x    x  x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Đa thức M thỏa mãn x  x  x  M  x  1 A x  x  B x  x  C x  x  D  x  x  3 Câu Đa thức M thỏa mãn  x  x  x   M  x  1 A x  x  B x  x  C x  D x  Bài tập nâng cao Câu Tìm đa thức M biết  x  x  1 M 6 x  x  x  x Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn A 3 Ta có x  x  x  M  x  1  M  x  x  x   :  x  1 Thực phép chia tìm đa thức M  x  x  Câu Chọn D Ta có x  x  x   M  x  1  M  x  x  x   :  x  1 Thực phép chia tìm đa thức M  x  Bài tập nâng cao Câu  2x  x  1 M 6 x  x3  x  x Trang  M  x  x  x  x  :  x  x  1  x  x   x  x  1 :  x  x  1  x  x  Dạng Tìm điều kiện để phép chia phép chia hết Phương pháp giải Thực phép chia sau đồng đa thức dư với đa thức Bước Thực phép chia đa thức A cho B Ví dụ Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B với A x  x3  x  x  a B x  x  Hướng dẫn giải x  x3  x  x  a x2  x   x  x3  x x 1  x2  x  a x2  x  a Để A chia hết cho B phần dư Tức a  0  a 5 Bước Đồng đa thức dư với đa thức Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B với A  x  x  21x  ax  b B x  x  Hướng dẫn giải  x  x  21x  ax  b x  x3  x  x2  x  x  x  15  x  23x  ax  b  x  x  16 x  15 x   a  16  x  b 15 x  15 x  30  a  1 x   b  30  Để A chia hết cho B phần dư a  0  Tức  a  1 x  b  30 0   b  30 0 a 1  b  30 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tìm a để đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  , với f  x  3x  10 x   a, g  x  3x  Trang Bài tập nâng cao Câu Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B với A  x  x3  x   2a  b  x  3b  a B x  x  Câu Tìm tất số tự nhiên k đa thức f  x  k  2k  15 chia hết cho nhị thức g  x  k  Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu f  x  3x  10 x   a, g  x  3x   x  x  10 x   a 3x3  x  x  3x  9x2   a x  3x   3x   a  3x  a Để f  x  chia hết cho g  x  phần dư 0, tức a  0  a 4 Vậy với a 4 đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  Bài tập nâng cao Câu  x  x3  x   2a  b  x  3b  a x  3x  x  3x  x x2  2a  b  x  3b  a d Để A chia hết cho B phần dư 0, tức là:  2a  b  x  3b  a 0  2a  b 0 a 0    3b  a 0 b 0 Vậy a b 0 giá trị cần tìm Câu f  k  k  2k  15, g  k  k  Trang 10  k  2k k  3k  k 3  15 k2  k 3  k2  15  k  3k  3k  15 3k  Để đa thức f  k  chia hết cho đa thức g  k  k  phải ước số dương  k    1; 2;3;6  k  1  k  2     k  3   k  6  k   k     k 0   k 3  k 0  k 3  Vì k    Vậy k   0;3 Dạng Tìm điều kiện x nguyên để giá trị phép chia hai đa thức nguyên Phương pháp giải Bước Thực phép chia đa thức tử cho đa Ví dụ Tìm điều kiện x nguyên để biểu thức thức mẫu để tách phần nguyên Bước Tìm điều kiện để đa thức mẫu ước phần dư A 2x  nhận giá trị nguyên x 1 Hướng dẫn giải A 2x  2x   5  2  x 1 x 1 x 1 Để A  5 x  1 Ta có trường hợp sau - x  1  x 0  A 2  7 - x    x   A 2   - x  5  x 4  A 2  3 - x    x   A 2  1 Vậy giá trị cần tìm x    6;  2;0; 4 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm điều kiện x nguyên để biểu thức B  2x  nhận giá trị nguyên x Hướng dẫn giải Ta có B  x  x   11 11  2  x x x Trang 11 Để B   11 x   Ta có trường hợp sau: - x  1  x 3  B 2  11 13 - x    x 1  B 2  11  - x  11  x 13  B 2  3 - x   11  x   B 2  1 Vậy giá trị cần tìm x    9;1;3;13 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Số giá trị nguyên x để biểu thức A 3x  nhận giá trị nguyên x 1 B C D Bài tập nâng cao Câu Tìm giá trị lớn A  x  x  15 x2  2x  Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn B Ta có 3x   x  1  5  3  x 1 x 1 x 1 3x  nguyên nguyên  x   Ư(5) x 1 x 1 Vì x nguyên nên để  x     5;  1;1;5  x    6;  2;0; 4 Vậy có giá trị nguyên x để biểu thức 3x  nhận giá trị nguyên x 1 Bài tập nâng cao Câu Thương 2, đa thức dư x  x  15 x  x  10  5  2  2  Viết lại A  2 x  2x  x  2x  x  2x   x  1  2 Ta có  x  1 0   x  1  4  5 13   A 2   4  x  1  4 13 Vậy Max A  , dấu xảy  x  1 0  x  0  x  Trang 12