PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 2x 2x : 1 Câu Cho biểu thức A = x x x x x a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b Tìm x để A nhận giá trị số âm c Tìm giá trị nguyên x để biểu thức ( x +2).A nhận giá trị số nguyên Câu a Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (với k N*) Chứng minh rằng: 4S + bình phương số tự nhiên 3 b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y Câu a Giải phương trình sau: x 3x x 0 b Xác định giá trị m để phương trình: m ( x 2) 8( x m) 4m có nghiệm số khơng lớn c Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 16 x y z P= Câu Cho tam giác ABC cạnh 2a, M trung điểm BC Góc xMy 60 quay quanh đỉnh M cố định cho hai tia Mx, My cắt AB, AC D E Chứng minh rằng: a Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME tích BD.CE khơng phụ thuộc vào vị trí xMy b DM phân giác BDE c BD.ME CE.MD a.DE d Chu vi tam giác ADE không đổi xMy quay quanh M Câu Trong bảng ô vng kích thước 8 gồm 64 vng đơn vị, người ta đánh dấu 13 Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai có điểm chung chung đỉnh chung cạnh) HẾT -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phịng thi: PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 – 2016 Mơn Tốn – Lớp Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Câu 4, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Bài Nội dung Điểm ĐKXĐ: x≠ 1a 1b 1c 0,25 Rút gọn A = x 0,75 0,25 0,25 0,25 A < x-1 < x 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 * 0,25 0,25 0,25 0,25 * Mà k nên k2 + 3k + nên suy đpcm 3 y3 x 2x 3x 2 x 4 Ta có xy (1) 2b 15 (x 2) y 4x 9x 2x 16 3 y x 2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x=1 từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1; 0) (1; 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x 0 3a + Nếu x 1 : (1) + Nếu x : (1) (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ) x x 0 x x x 1 0 x 1 x 3 0 2 x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có m ( x 2) 8( x m) 4m ( m3 8) x 2m(m 2m 4) ( m 2)( m 2m 4) x 2m(m 2m 4) (*) 2 Vì m 2m (m 1) m nên (*) (m 2) x 2m 0,25 PT có nghiệm m 2 , nghiệm là: 3b x 2m m 0,25 2m 1 Để nghiệm khơng lớn m Giải BPT m (t/m ĐK m 2 ) KL: Với m PT có nghiệm nghiệm khơng lớn 0,25 Ta có: 1 1 1 y x z x z x y z 16x y z 16x y z 16 x y 16 x z y y x 16 x y dấu “=” y=2x; Theo BĐT Cô Si ta có: P= 3c y 21 z 16 0,25 z x Tương tự: 16 x z dấu “=” z=4x; z y 1 4y z dấu “=” z=2y; 0,25 =>P 49/16 Dấu “=” xảy x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Vậy: Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 *Cách khác: HS áp dụng trực tiếp BĐT Svac-xơ (Cô si dạng cộng mẫu) để đánh giá 0,25 0 Ta có: DMC 60 CME 60 BDM BDM CME 4a Suy ra: BMD ∽ CEM (g.g) vì: DBM MCE 600 BDM CME (cm trên) 0,5 BD CM BD.CE BM CM a Suy ra: BM CE không đổi 0,5 A BD CM BD BM Vì BMD ∽ CEM nên MD EM hay MD ME Lại có DBM DME 60 4b x 0,25 D H BDM EDM suy DM phân giác BDE B 0,25 E I Suy BMD ∽ MED (c.g.c) y K M 0,25 C 4c BD BM BD.ME a.DM Vì BMD ∽ MED nên DM ME (1) CEM ∽ MED Tương tự chứng minh suy CE.MD a.ME 0,25 (2) BD.ME CE.MD a.DM a.ME a( DM ME ) a.DE 0,25 0,25 Kẻ MH, MI, MK vng góc với AB, DE, AC H, I, K, suy MH=MI=MK Suy DI=DH, EI=EK Suy Chu vi tam giác ADE 2AH 0,25 Cộng vế với vế (1) (2) 4d a 3a AH HBM 600 Suy chu vi tam giác ADE Vì BM=a nên BH= khơng đổi 3a Chia 64 ô vuông bảng 8x8 thành loại hình vẽ (Các loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng loại khơng có điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kì, 13 điểm thuộc loại ô vừa chia Vì 13=4.3+1 nên theo ngun lí Đirichlê tồn thuộc loại, khơng có điểm chung Suy đpcm 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 0,25 0,25 0,25