PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2 điểm): a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1 1 1 + + =2 + + =2 b c b c b) Cho a (1); a (2) Chứng minh rằng: a + b + c = abc Câu 2(2 điểm): a) Cho số nguyên a, b,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 a b c2 Chứng minh rằng: A= số phương; 3 3 b) Chứng minh A = + + + + 100 chia hết cho B = + + + + 100 Câu 3(2điểm): a) Giải phương trình: 1 1 x 5x x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 b) Tìm số dư phép chia đa thức x x x x 2010 cho đa thức x 10x 21 Câu 4(3 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF CM.CE a CF b) Chứng minh c) Gọi K giao điểm CM DA Chứng minh MAD cân d) Tính diện tích MDC theo a Câu 5(1 điểm): Một người nửa quãng đường AB với vận tốc 15 km/h, phần lại với vận tốc 30 km/h Tính vận tốc trung bình tồn quãng đường AB Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————— CÂU Câu a ĐÁP ÁN ĐIỂM 2,0 điểm x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x + x + ) (x + 1) + (x + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Từ (1) suy 1 1 1 + + + + + 4 a b c ab bc ac 1 1 + + 4 + + b c ab bc ac a 0,5 1 + + 1 ab bc ac a+b+c 1 abc a + b + c = abc 0,5 Câu a 2,0 điểm Ta có: ab bc ca 1 a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c) b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c) c2 ab bc ca c b(a c) c(a c) (a c)(b c) (1 a )(1 b )(1 c2 ) (a b)2 (b c)2 (a c)2 (a b)(b c)(c a) Vì a, b, c số nguyên (a b)(b c)(c a) Z 2 (1 a )(1 b )(1 c ) số phương b Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) 0,5 Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Câu a Giải phương trình: 1 1 x 5x x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 ĐK : x {2;3;4;5;6} Phương trình tương đương 1 1 (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) 1 1 1 1 x x x x x x x x 1 x x 8(x 6) 8(x 2) (x 2)(x 6) 8(x 2)(x 6) 8(x 2)(x 6) 32 x 8x 12 x 8x 20 0 (x 2)(x 10) 0 x hoac x 10 (thỏa điều kiện ) Vậy nghiệm phương trình x = -2; x = 10 0,5 2,0 điểm b Ta có: P(x) x x x x 2010 x 10x 16 x 10x 24 2010 Đặt t x 10x 21 , biểu thức P(x) viết lại: P(x) t t 3 2010 t 2t 1995 Do chia t 2t 1995 cho t ta có số dư 1995 Câu 2,0 điểm K a A E B F M D C D BEC CFD (c.g c) C 1 0 CDF vuông C F1 D1 90 F1 C1 90 CMF vuông M hay CE DF b Xét CMF vàCBE có CMF CBE 90 MCF chung => CMF đồng dạng CBE (gg) CM CF CM CE BC CF => CB CE Mà BC =a CM CE a Do : CF c Gọi K giao điểm AD với CE Ta có : AEK BEC ( g c.g ) BC AK d AM trung tuyến tam giác MDK vuông M AM KD AD AMD cân A CD CM CMD FCD ( g g ) FD FC 2 SCMD CD CD SCMD SFCD S FD FD FCD Do đó: 1 SFCD CF CD CD 2 Mà: SCMD CD CD 2 FD Vậy: Trong DCF theo Pitago ta có: 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 SMCD Do đó: CD 1 CD CD a 5 CD 4 Câu a 2,0 điểm Gọi vận tốc trung bình mà tơ từ A đến B x (km/h) Quãng đường AB y (km) ĐK: x > 0, y > y Thời gian ô tô nửa quãng đường đầu là: 2.15 (h) y Thời gian ô tô nửa quãng đường sau là: 2.30 (h) y Thời gian ô tô quãng đường theo dự định là: x (h) Theo ta có phương trình: y y y 30 60 x Giải phương trình ta thu x = 20 (thỏa mãn) Vậy vận tốc trung bình mà ô tô từ A đến B 20 km/h Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com