PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (2,0 điểm) a 4a a P = a 7a 14a Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 75.(41992 + 41991 + + 42 + 5) + 25 b) Xác định a, b, c cho 2x4 + ax2 + bx +c chia hết cho x - chia cho x2 - dư 2x Câu (2,0 điểm) a) Cho a + b + c Chứng minh a4 +b4+c4 a3 + b3 + c3 b) Chứng minh với số nguyên x, y A = x y x y x y x y y số phương Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, tam giác ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH.CK 2) Cho tam giác ABC vuông cân A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vng góc BD với MC (H thuộc MC), AH cắt BC D Tìm tỉ số DC Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2016x 3780 x2 1 ……………Hết…………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Đáp án gồm 03 trang) Nội dung Câu Điểm a 1 a) Rút gọn P= a a 23 1 a ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, b) (0,5đ) P= a 0,5 mà Ư(3)= 1;1; 3;3 a b 0,5 Từ tìm a 1;3;5 A = 75.(41992 + 41991 + + 42 + 5) +25 = 25.(4 – 1) (41992 + 41991 + + 5) +25 = 25.(41993 – 1) + 25 = 25.( 41993 – + 1) = 25.41993 0,25 0,5 0,25 Ta có: 2x4 + ax2 + bx + c = (x - 2)P(x) x = ta 4a + 2b + c = -32 (1) Ta có: 2x4 + ax2 + bx + c = (x - 1)(x + 1)Q(x) + 2x x = ta a + b + c = (2) x = -1 ta a - b + c = -4 (3) 0,5 34 28 Kết hợp (1),(2), (3) a = - , b = 2, c = 3 a Do a + b + c 0,5 nên ta đặt : 0,5 a 1 x b 1 y c 1 z 0,5 Thỏa mãn x + y + z 4 3 Xét hiệu : a b c a b c 4 3 1 x y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 2 3x 3y 3z 3x3 y 3z ( x y z ) x y z 0 2 4 3 Vậy: a b c a b c Dấu'' = ''xảy x = y = z =0 hay a = b = c = b Ta có A = x y x y x y x y y A= (x2+5xy+4y2)( x2+5xy+6y2) +y4 đặt x2+5xy+5y2=t (t Z) 0,25 0, A= (t-y2)(t+y2)+ y4=t2=( x2+5xy+5y2)2 Do x,y,t Z nên A số phương 0,25 Vẽ hình 0,25 D A H K B F C Đặt AB = c, AC = b a BD//AC (cùng vng góc với AB) AH AC b AH b HB AH c b Nên HB BD c AH b bc AH bc b c (1) Hay c bc AK b c (2) Tương tự ta có b Từ (1) (2) AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC ; HB AH (vì AH = AK) Từ HB BD c KC CF b HB AK AH2 = BH.KC 0,25 0,25 0,25 0,5 Vẽ hình 0,25 A M I H B D C 0,25 BD Kẻ MI // BC ( I AD) MI = MI MH Ta có : DC HC ( Do MI // BC) 0,5 BD MH DC HC ( 1) MAH ACH đồng dạng ( g-g) MH MA AH AC ( ABC vuông cân A nên AB = AC ) AH = MH AMC vng , ta có AH2 = MH HC 4MH2 = MH.HC HC = MH BD MH BD Thay vào (1) ta có : DC MH DC A 2016x 3780 x2 1 252x 252 252x 2016x 4032 x2 1 252(x 4) 252 252 x2 1 Vậy giá trị nhỏ A – 252 x = – HS làm theo cách khác cho điểm 0,25 0,25 1,0