T 94

phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn: Toán - lớp Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề đề thức Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 2x x  2x x  x  x   A      : 1 x 1 x x  1 x x   Cho biÓu thøc x  0; x  ; x 1 Víi a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 ®iĨm) Chøng minh r»ng: a b  2 b  c b a) BiÕt a; b; c số thực thỏa mÃn điều kiện: a = b + = c + ; c >0     20082 2008 B  2008 20092 2009 có giá trị số tự nhiên b) Biểu thức Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình a) x 3x   x   x   x  2x  4x   3x   x 3 b) Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB đờng kính đờng tròn (O;R) C điểm thay đổi đờng tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh ®iĨm C, H, O, I cïng thc mét đờng tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R M 2008 Bài 5: (1,5 điểm) Cho a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tËn cïng cña M   3  2008 Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng máy tính - HÕt - Hä tªn thÝ sinh: Số báo danh : Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp Bài (4 ®iĨm) a) Rót gän biĨu thøc (2 ®iĨm)   2x  x  2x x  x  x     A      x  0;x  ;x 1   :  1 x x  1x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x     x x 1 x   x   x 1 x    :  x x    x 1 x 1 x 1 x x      x1  x  :  x      x x     x  x  x               x1 x  x                  x 1  x   x x  1  x x x 1  : x1 : x1      x  x  x 1 :  1  x   x1 x x  0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 b) Tính giá trị A x 17  12 (1 ®iĨm) TÝnh  x 17  12   2    x   3 2  3 2 5  2   5   2  17  12 15  10 A  3 2 3 2 c) So s¸nh A víi A (1 ®iĨm) 1 A BiÕn ®ỉi Chøng minh ®ỵc  A x  A 0.5 2 3  2 3 2 0.25 x x  x 1 x x 1 x 2 x  0;x  ;x 1 x víi mäi  1  x A 1 0.5 A  10 A 0.25 0.5   A  0 A 0 A A Bài (3 điểm) a b  2 b a) Chøng minh r»ng kiÖn a = b + = c + ; c > (2 ®iĨm)  b c  biÕt a; b; c ba số thực thoả mÃn điều 0.5 Ta cã: a b   a  b 1  a  b  1 0.25 0.25 b  c   b  c 1  b  c    (c > theo (gt)) Tõ (1) vµ (2) suy a > b > c > a b Mặt khác a b   a  b 1  b  VËy   a b 1  a  b b (V× a >b>0) b  0.5 0.25 0.25 2 b Chøng minh t¬ng tù cho trêng hỵp: a b  a  2 b  b c   b c  (®pcm) B   20082  b) BiĨu thøc 2008 2008  2009 2009 cã gi¸ trị số tự nhiên (1 điểm) 20082 2008 20082 2008 B   20082     2008  2.1.2008     2 2009 2009 2009 2009 Ta cã : 0.5 0.75 2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009     2009    2009 2009 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 0.25 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phơng trình x  3x   x   x   x  2x  a)   x  1  x    x    x  1  x   0 x  (1.75 ®iĨm)  x  1  x  3  1 0.25  x  0  x 2  x     x  1  x  3 0 §iỊu kiƯn   1    x  x 1   x 1  x  x 3  0.5 0.25 0.5  x   0 0.25  x   0  x  1 x  0      x 2 x   x   x   x  x = thoả mÃn điều kiện xác định Vậy phơng trình có nghiệm x = 4x   3x   b) x §iỊu kiƯn x 3 (1) (1.25 ®iĨm) 0.25 0.25  1     3x  4x   3x   x   4x   3x  4x   3x  x 3   4x   3x  x (V× 4x   4x   3x  x 3  4x   3x  x 3 x 3   4x   3x  0.25 4x   3x  5 (2) 0.5 nªn x + > 0) Giải tiếp phơng trình (2) ta đợc nghiệm phơng trình x = Bài (8 điểm) M C I K A O H B 1) Chøng minh ®iĨm C, H, O, I cïng thc mét ®êng trßn (2 ®iĨm) Chøng minh OI  AC Suy OIC vuông I suy I thuộc ®êng trßn ®êng kÝnh OC CH  AB (gt)  CHO vuông H H thuộc đờng tròn đờng kính OC Suy I, H thuộc đờng tròn ®êng kÝnh OC hay C, I, O, H cïng thuéc đờng tròn 2) Chứng minh MC tiếp tuyến đờng tròn (O; R) (2 điểm) AOM  COM - Chøng minh - Chøng minh  AOM =  COM - Chøng minh MC  CO 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75 0.75 0.25 0.25  MC lµ tiÕp tun cđa (O; R) 3) Chøng minh K trung điểm CH ( điểm) KH HB AM.HB AM.HB   KH   AB 2R  MAB cã KH//MA (cïng  AB)  AM AB (1)    AOM CBH MA AO AM.HB AM.HB   CH   AO R C/m  MAO ®ång d¹ng víi  CHB  CH HB (2)   Tõ (1) vµ (2) suy CH = KH CK = KH K trung điểm CH 4) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Chu vi tam giác ACB PACB AB  AC  CB 2R  AC  CB 0.25 Chøng minh cho CB // MO Ta l¹i cã (đồng vị) 0.75 0.5 AC CB 0  AC  CB 2AC.CB  2AC  2CB AC  CB  2AC.CB    AC  CB  AC  CB   AC  CB  AC  CB  AC  CB  2AB 0.75 (Pitago) 0.25 AC  CB  2.4R  AC  CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB M điểm cung AB Suy PACB 2R  2R 2R   PACB 2R  0.25  , dÊu "=" xảy M điểm cung AB 0.25 Vậy max đạt đợc M điểm cung AB Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị M số nguyên (1 ®iĨm) BiÕn ®ỉi  M  52  1004 1004 0.25 Đặt a 5  ; b 5   a  b 10 vµ a.b 1 n n Đặt U n a b với n  N Khi ®ã M = U1004 Ta cã U n  a n 2  b n 2 a.a n 1  b.b n 1  10  b  a n 1   10  a  b n 1 10  a n 1  b n 1   ab  a n  b n  10U n 1  U n 0.25 (v× ab = 1)  U n 2 10U n 1  U n (*) 0.25 Ta thÊy U0 =  Z ; U1 = a + b = 10  Z U a  b  a  b   2ab 10  2.1 98  Z 0.25 Theo c«ng thức (*) U 10U U1 mà U1, U2  Z suy U  Z L¹i theo (*) U 10U  U có giá trị nguyên * Quá trình lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N Suy M = U1004 có giá trị số nguyên a)Tìm chữ số tận M (0.5 điểm) Tõ (*) suy U n 2  U n 10U n 1 10  U n 4  U n  U n 4  U n 2    U n 2  U n  10   U n 4  U n  10  U 4k r cã ch÷ sè tËn cïng gièng 1004 = 4.251 suy U1004 vµ U0 cã chữ số tận giống Mà U0 có chữ số tận (theo c/m câu a) nên M cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Chó ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tơng đơng Điểm toàn không đợc làm tròn Ur 0.25 0.25