phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn: Toán - lớp Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề đề thức Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 2x x 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x Cho biÓu thøc x 0; x ; x 1 Víi a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 ®iĨm) Chøng minh r»ng: a b 2 b c b a) BiÕt a; b; c số thực thỏa mÃn điều kiện: a = b + = c + ; c >0 20082 2008 B 2008 20092 2009 có giá trị số tự nhiên b) Biểu thức Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình a) x 3x x x x 2x 4x 3x x 3 b) Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB đờng kính đờng tròn (O;R) C điểm thay đổi đờng tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh ®iĨm C, H, O, I cïng thc mét đờng tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R M 2008 Bài 5: (1,5 điểm) Cho a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tËn cïng cña M 3 2008 Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng máy tính - HÕt - Hä tªn thÝ sinh: Số báo danh : Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp Bài (4 ®iĨm) a) Rót gän biĨu thøc (2 ®iĨm) 2x x 2x x x x A x 0;x ;x 1 : 1 x x 1x x 1 x x 2x x x x 2x x x : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x 1 x : x x x 1 x 1 x 1 x x x1 x : x x x x x x x1 x x x 1 x x x 1 x x x 1 : x1 : x1 x x x 1 : 1 x x1 x x 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 b) Tính giá trị A x 17 12 (1 ®iĨm) TÝnh x 17 12 2 x 3 2 3 2 5 2 5 2 17 12 15 10 A 3 2 3 2 c) So s¸nh A víi A (1 ®iĨm) 1 A BiÕn ®ỉi Chøng minh ®ỵc A x A 0.5 2 3 2 3 2 0.25 x x x 1 x x 1 x 2 x 0;x ;x 1 x víi mäi 1 x A 1 0.5 A 10 A 0.25 0.5 A 0 A 0 A A Bài (3 điểm) a b 2 b a) Chøng minh r»ng kiÖn a = b + = c + ; c > (2 ®iĨm) b c biÕt a; b; c ba số thực thoả mÃn điều 0.5 Ta cã: a b a b 1 a b 1 0.25 0.25 b c b c 1 b c (c > theo (gt)) Tõ (1) vµ (2) suy a > b > c > a b Mặt khác a b a b 1 b VËy a b 1 a b b (V× a >b>0) b 0.5 0.25 0.25 2 b Chøng minh t¬ng tù cho trêng hỵp: a b a 2 b b c b c (®pcm) B 20082 b) BiĨu thøc 2008 2008 2009 2009 cã gi¸ trị số tự nhiên (1 điểm) 20082 2008 20082 2008 B 20082 2008 2.1.2008 2 2009 2009 2009 2009 Ta cã : 0.5 0.75 2008 20082 2008 2008 2008 2009 2.2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 0.25 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phơng trình x 3x x x x 2x a) x 1 x x x 1 x 0 x (1.75 ®iĨm) x 1 x 3 1 0.25 x 0 x 2 x x 1 x 3 0 §iỊu kiƯn 1 x x 1 x 1 x x 3 0.5 0.25 0.5 x 0 0.25 x 0 x 1 x 0 x 2 x x x x x = thoả mÃn điều kiện xác định Vậy phơng trình có nghiệm x = 4x 3x b) x §iỊu kiƯn x 3 (1) (1.25 ®iĨm) 0.25 0.25 1 3x 4x 3x x 4x 3x 4x 3x x 3 4x 3x x (V× 4x 4x 3x x 3 4x 3x x 3 x 3 4x 3x 0.25 4x 3x 5 (2) 0.5 nªn x + > 0) Giải tiếp phơng trình (2) ta đợc nghiệm phơng trình x = Bài (8 điểm) M C I K A O H B 1) Chøng minh ®iĨm C, H, O, I cïng thc mét ®êng trßn (2 ®iĨm) Chøng minh OI AC Suy OIC vuông I suy I thuộc ®êng trßn ®êng kÝnh OC CH AB (gt) CHO vuông H H thuộc đờng tròn đờng kính OC Suy I, H thuộc đờng tròn ®êng kÝnh OC hay C, I, O, H cïng thuéc đờng tròn 2) Chứng minh MC tiếp tuyến đờng tròn (O; R) (2 điểm) AOM COM - Chøng minh - Chøng minh AOM = COM - Chøng minh MC CO 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75 0.75 0.25 0.25 MC lµ tiÕp tun cđa (O; R) 3) Chøng minh K trung điểm CH ( điểm) KH HB AM.HB AM.HB KH AB 2R MAB cã KH//MA (cïng AB) AM AB (1) AOM CBH MA AO AM.HB AM.HB CH AO R C/m MAO ®ång d¹ng víi CHB CH HB (2) Tõ (1) vµ (2) suy CH = KH CK = KH K trung điểm CH 4) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Chu vi tam giác ACB PACB AB AC CB 2R AC CB 0.25 Chøng minh cho CB // MO Ta l¹i cã (đồng vị) 0.75 0.5 AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB AC CB AC CB AC CB AC CB AC CB 2AB 0.75 (Pitago) 0.25 AC CB 2.4R AC CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB M điểm cung AB Suy PACB 2R 2R 2R PACB 2R 0.25 , dÊu "=" xảy M điểm cung AB 0.25 Vậy max đạt đợc M điểm cung AB Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị M số nguyên (1 ®iĨm) BiÕn ®ỉi M 52 1004 1004 0.25 Đặt a 5 ; b 5 a b 10 vµ a.b 1 n n Đặt U n a b với n N Khi ®ã M = U1004 Ta cã U n a n 2 b n 2 a.a n 1 b.b n 1 10 b a n 1 10 a b n 1 10 a n 1 b n 1 ab a n b n 10U n 1 U n 0.25 (v× ab = 1) U n 2 10U n 1 U n (*) 0.25 Ta thÊy U0 = Z ; U1 = a + b = 10 Z U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z 0.25 Theo c«ng thức (*) U 10U U1 mà U1, U2 Z suy U Z L¹i theo (*) U 10U U có giá trị nguyên * Quá trình lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N Suy M = U1004 có giá trị số nguyên a)Tìm chữ số tận M (0.5 điểm) Tõ (*) suy U n 2 U n 10U n 1 10 U n 4 U n U n 4 U n 2 U n 2 U n 10 U n 4 U n 10 U 4k r cã ch÷ sè tËn cïng gièng 1004 = 4.251 suy U1004 vµ U0 cã chữ số tận giống Mà U0 có chữ số tận (theo c/m câu a) nên M cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Chó ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tơng đơng Điểm toàn không đợc làm tròn Ur 0.25 0.25