ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 06) Câu (4,0 điểm): 3x x 1 A 2 : x1 x 2 x x x Cho biểu thức 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để A số tự nhiên Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x 10 x 27 x x Câu (4,0 điểm): A x 1 x x 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Câu (6,0 điểm) Cho thẳng AB có trung điểm O Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB cho CO = DO = OA = OB Lấy điểm E đối xứng với A qua M 1) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? 2) Gọi H K hình chiếu M AB AC Chứng minh rằng: HM MK CD HK MC R 3) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường trịn cố định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: c ab a bc b ac 2 a b bc a c - Hết - Câu ĐÁP ÁN ĐỀ 06 Lời giải Ý Điều kiện: x 0 x 1 3x x 1 A x x x x x 3 x 2 = = = Điểm 0,5 x 1 x 1 x 1 0,5 x 1 x 2 x 2 x1 0,5 2 : x x 2 0,5 x1 0,5 x 1 x 0 x 1 Với điều kiện: Ta có: A = x 1 0,5 Vì A = Do đó: Mà ≥ với x ≥ nên ≤ x 1 A x 1 x > nên Do đó: x 0 2 x 1 x =1 x x 1 = x 1 = ≤2 x 1 0,5 =2 2 3 2 Vậy A số tự nhiên x 0 x 3 2 Giải phương trình: x 10 x 27 x x Điều kiện: ≤ x ≤ VT x 10 x 27 x 2 VP x x 12 12 Dấu “=” xảy 0,5 , dấu “=” xảy x 5 6 x x VP 2 1 x x x 5 6 x x VT VP x 5 (TMĐK) 0,5 0,5 , 0,5 0,5 Vậy nghiệm phương trình x 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x x 1 2 1 x x x 0, x 2 Ta có: x 1 x2 x x2 x2 x2 A 1 1 0, x x x 1 x x 1 x x (vì x x ) Đẳng thức xảy x = 0, suy ra: maxA = x = x x x x 1 x 1 3x A 3A x x 1 x x 1 x2 x 1 = x 2 x2 x 1 x 2 0,5 0,25 0,5 0,25 2 (vì x x 0,25 0, x ) 0,25 , đẳng thức xảy x 0 x Suy ra: Suy ra: minA = , x A Tìm A(0; 3); B(0; 7) Suy I(0; 5) Hoành độ giao điểm J (d1) (d2) nghiệm PT: x + = 3x + x = – yJ = J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ tam giác vuông J 1 SOIJ OI OJ 20 5 2 (đvdt) 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì CD AB CM = MD Tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên hình bình hành Mà AE CD tứ giác ACED hình thoi 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vng C, suy tứ giác CHMK hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng ta có: 0,5 MA.MC MH.AC = MA.MC MH = AC MB.MC Tương tự ta có: MK = BC MA.MB.MC MH.MK = AC.BC 0,5 0,5 Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông C) MC2 MC MC3 MH.MK MC = = MH.MK = MC.AB AB MC AB Mà MC = MK ( CHMK hình chữ nhật) MH.MK MC 2MC CD = = = HK.MC AB 2AB 4R HM MK CD = HK MC 4R (đpcm) Vậy: 0,5 Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy O’ cố định Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường Do O’C’ = OC = R không đổi Suy C’ nằm đường tròn (O’;R’) cố định M di chuyển đường kính AB Vì a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với: 0,5 c a c b b a b c a b a c 2 a b a c 0,5 0,5 0,5 b c 0,5 0,5 c a c b b a b c a b a c 2 a b a c b c 2 Mặt khác dễ thấy: x y z xy yz zx , với x, y, z (*) 0,5 Áp dụng (*) ta có: VT b c a b c a 2 Dấu “=” xảy a = b =c = đpcm 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm khơng làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm