Deda hsg12 vong1 2014 15

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC SBD : PHỊNG: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT Năm học 2014 – 2015 Môn : TỐN Thời gian làm : 180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0 điểm) x−1 (1) x −1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) cho tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận hai điểm A B với độ dài đoạn AB ngắn Bài 2: (2,0 điểm) Cho h m s ố y= Tìm giá trị lớn hàm số sau tập xác định nó: 36 y=f ( x )=x 2− √9−x 2+ Bài 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sin x+ cos x=3 sin x cos x +2 sin x Bài 4: (2,0 điểm) Giải bất phương trình √3 x+ √3 x+ 1< √3 x +4 Bài 5: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình xy =2 x − y x + y 3=−2 Bài 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A vàD có BC=2 AB, M (4 ; 0) trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình x− y +1=0 54 Tìm tọa độ điểm B C biết hình thang ABCD có diện tích tọa độ hai điểm A , B dương { Bài 7: (3,0 điểm) Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực khuyến sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ khách sạn chọn ngẫu nhiên hai người để tặng thưởng Có hai đồn du lịch đến khách sạn, đồn thứ có người Việt Nam 12 người Pháp; đoàn thứ hai có người Việt Nam, người Nga người Anh Tính xác suất để hai địan có hai người nhận thưởng người Việt Nam Bài 8: (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt phẳng ( SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Cho SA= AD=a; SB=a √ Gọi M , N trung điểm AB BC a) Tính theo a thể tích khối chớp S BMDN b) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng SM DN c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SM DN Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT Năm học 2014 – 2015 MƠN TỐN A.ĐÁP ÁN Bài LƯỢC GIẢI Điểm x−1 y= ( 1) x−1 −1 ; ( x−1 )2 lim ¿ ' TXĐ D=R ¿ {1¿} y = lim y=2 ; x→ ±∞ +¿ x → y=+∞ ; lim −¿ x →.1 y=−∞ ¿ ¿¿ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d : x=1 tiệm cận ngang d : y=2 ; Đ K m≠1 m−1 Phương trình tiếp tuyến M −1 y= ( x−m) +2+ m−1 ( m−1 ) ( ) M ∈ ( C ) ⟹ M m; 2+ A giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng Bài ⟹ x A =1 ; y A =2+ m−1 3,0 điểm B giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang y B =2 ; 2= √ −1 x −m ) +2+ ⟺ x B=2 m−1 2( B m−1 ( m−1 ) AB= ( m−2 )2+ ( −2 =2 ( m−1 )2 + m−1 ( m−1 ) ) √ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng ta ≥2 ( m−1 )2 ⟹ AB ≥ √ Vậy AB ngắn √2 Dấu xảy ( m−1 )2=1 ⟹ m=0 ; m=2 m=0 ⟹ M ( 0; ) ; m=2 ⟹ M ( 2; 3) Vậy tọa độ điểm M cần tìm ( ; ) ;(2 ; 3) Bài y=f ( x )=x 2− 36 √9−x 2+ Tập xác định D=[−3 ; 3] Đặt t=√ 9−x2 x ∈ [ −3 ; ] ⟹ t ∈ [ ; ] ; x 2=9−t Xét hàm số 36 g ( t )=9−t 2− trênt ậ p T = [ ; ] t +1 36 g' (t )=−2t + ( t +1 )2 g' (t )=0 ⟺2 t ( t +1 )=36 ⟺ t ( t +1 )2=18 ⟺ ( t−2 ) (t 2+ t +9)=0 ⟺ t=2 ( m−1 )2 + 2,0 điểm g ( )=−25 ; g ( ) =−7 ; g (3 )=−9 ⟹ max g(t )=−7 t=2 T Vậy Giá trị lớn √ 9−x2 =2⟺ x=± √ hàm số y=f ( x ) −7 Giải phương trình lượng giác sin x+ cos x=3 sin2 x cos x +2 sin x ⟺ sin3 x−3 sin x cos x +3 cos x−2 sin x=0 π Ta có cos x=0 ⟺ x= + kπ khơng nghiệm phương trình, chia phương trình cho cos x ta Bài tan x−3 tan x + ( 3−2 tan x ) =0 cos x ⟺ tan x−3 tan x + ( 3−2 tan x ) ( 1+ tan x )=0 ⟺ ta n x +2 tan x−3=0 ⟺ ( tan x−1 ) ( tan x+ tan x+3 )=0 π ⟺ tan x=1 ⟺ x= +kπ (k ∈ Z) π Vậy nghiệm phương trình x= + kπ (k ∈ Z) 2,0 điểm Bài Xét phương trình √3 x+ √3 x+ 1=√3 x+ 4( ¿) ⟺ x+ √ x ( x +1 ) ( √3 x + √3 x+1 ) + x +1=3 x +4 ⟺ √ x ( x+1 ) ( √3 x+ √3 x +1 )=1 ¿ Xét phương trình hệ cách ( ¿ ) vào ¿ ta có √3 x ( x+1 ) √3 x+ 4=1 ⟺ x ( x+ )( x +4 )=1 ⟺ x 3+ 11 x + x−1=0 ⟺ x=−1 ; x= 2,0 điểm Thử lại ta có x= nghiệm phương trình ( ¿ ) Mặt khác hàm số f ( x )= √3 x + √3 x +1− √3 x +4 liên tục R hàm số 1 ; ;+∞ dễ thấy f ( ) 0 6 bất phương trình có tập nghiệm −∞ ; ( dấu khoảng −∞; Cách khác: Đặt )( ( a = x; b = 2x + ) ) Bất phương trình trở thành a +b < a + b + Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 < a3 + b3 + Û a2b + ab2 - < ( ) Û a2b + ab2 - b3 - 2a3 < 2 Û 2a + a b + ab - b < ( ) Û ( 2a - b) a2 + ab + b2 < ổ ổ bử ữ ỗ b 2 ữ ữ ỗ ữ 2a < b ỗ vỡ a + ab + b = ỗa + ữ + > ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ỗ ữ ố ứ Khi ta có 23 x < 2x + Û 8x < 2x + Û x < − y ⟺ ( x +1 ) y=2 x {2xyx =2+ y x=−2 {2 x + y =−2 3 3 Đặt x +1=t ta hệ phương trình sau 2 ty=2t−2 ⟺ t 2y=2 t −2 t 3 ( t−1 ) + y =−2 2t −6 t +6 t−2+ y =−2 ty=2 t−2 ⟺ ty=2t−2 ⟺ 2t −3 t y + y =0 ( 2t + y ) ( t 2−2ty + y )=0 TH1: t 2−2 ty + y 2=0 ⟺ ( t − y )2=0 ⟺ y =t ta t 2=2 t−2⟺ t 2−2 t+2=0 phương trình vơ nghiệm TH2: y=−2t −1± √5 −2 t =2t−2 ⟺ t 1,2 = ⟹ y=1 ± √ −3+ √ −3−√ ; 1−√5 ;( ; 1+ √5) Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 { { { { ( 2,0 điểm ) ìï xy = 2x - y (1) ï í ïï 2x + y3 = - (2) Cách khác: ỵ + y = khơng thỏa hệ phương trình Bài + Chia vế phương trình (1) cho y ; chia vế phương trình (2) cho y ìï x ïï = x - ïï y y y y ổ ử3 ổử ùù ỗx ữ 1ữ ỗ ữ + = - 2.ỗ ữ ùù 2ỗ ữ ữ ỗ ỗy ứ ữ ữ y ố ứ ố ta ïïỵ ìï a + b = 2ab ï x í a = ; b= ïï 2a + 2b3 + = y y Đặt , hệ trở thành ïỵ ïìï - ï a +b = ïí ïï - ïï ab = Giải hệ đối xứng ta ỵ ìï x + - ì ì ïï = ìï y = - 2x - ïïï x = - + ïïï x = - 3- ïï y ï Û ïí Û ïí í Úí ïï x - ïï y + 4x = ïï ïï ỵ ïï = ïỵï y = 1- ïỵï y = 1+ y ï ỵ Do ta có Bài Gọi N trung điểm AD Do hình thang vng nên MN vng góc với AD Phương trình đường thẳng MN 2,0 điểm x +2 y −4=0 Tọa độ N giao điểm AD MN nên nghiệm hệ y +1=0 ⟺ N ; (5 ) {2x+2x−y−4=0 A thuộc AD nên tọa độ A A ( t ; t +1 ) Diện tích hình thang 54 /5 d ( M ; AD )= nên √5 S ABCD = d ( M , AD ) √ 2 9 −1 ⟺ t− + t+1− = ⟺ t=1 ; t= 5 5 −1 ; Vậy tọa độ hai điểm A D ( ; ) h ay 5 S ABCD =2 NA d ( M , AD ) ⟹ NA= ( )( ) ( ) Theo giả thiết ta A ( ;3 ) Đường thẳng AB vng góc với AD nên AB: x +2 y−7=0 hay AB : x=7−2t ; ⟹ B (7−2t ; t) y=t { Ta lại có 2 AB=BM ⟺ √ ( 6−2 t ) + (t−3 ) =√ (−3+2 t ) +t ⟺ t −30t +45=5 t 2−12t +9 ⟺ t=2⟹ B(3 ; 2) M trung điểm BC nên C (5 ;−2) Vậy tọa độ hai điểm cần tìm B ( 3; ) ; C (5 ;−2) Bài Trường hợp 1: Đoàn thứ có hai người nhận thưởng người Việt Nam Chọn người Việt Nam người Việt Nam có C 26 cách chọn Chọn người đồn thứ nhận thưởng có C 218 cách chọn Xác xuất để đồn thứ có người Việt Nam nhận thưởng p1= 3,0 điểm C 26 6.5 = = C18 18.17 51 Trường hợp 2: Đồn thứ hai có hai người nhận thưởng người Việt Nam Chọn người Việt Nam người Việt nam có C 23 cách chọn Chọn người đồn thứ hai nhận thưởng có C 212cách chọn Xác xuất để đồn thứ hai có người Việt Nam nhận thưởng C 23 3.2 p2= = = C12 12.11 22 Trường hợp 3: Mỗi đồn có người Việt Nam nhận thưởng Chọn người có người Việt Nam đồn có C 16 C 112 cách chọn C 218 cách chọn người đồn thứ Xác xuất để đồn thứ có người Việt Nam nhận thưởng C 16 C112 6.12.2 p3 = = = 18.17 17 C218 Tương tự xác xuất để đoàn thứ hai có người Việt Nam nhận thưởng C 13 C 19 3.9 p4 = = = 12.11 22 C 12 Theo công thức xác xuất ta có xác xuất để có hai người nhận thưởng người Việt Nam p= p1 + p2− p p2 + p3 p4 = 5 62 + − + = 51 22 51 22 17 22 187 Cách khác: Gọi A: “Cả hai đồn có nhiều người nhận thưởng người Việt Nam” n ( W) = C C 18 12 Số phần tử khơng gian mẫu: Trường hợp 1: Đồn thứ có người Việt Nam nhận thưởng; đoàn thứ hai khơng có người Việt Nam nhận thưởng C 1.C C Có 12 cách chọn Trường hợp 2: Đồn thứ hai có người Việt Nam nhận thưởng; đoàn thứ khơng có người Việt Nam nhận thưởng C 31.C 91.C 12 Có cách chọn Trường hợp 3: Cả đồn khơng có người Việt Nam nhận thưởng Có C 12 C 92 cách chọn P ( A) = Xác suất biến cố A: Xác suất cần tìm là: 2 C 61.C 12 C 92 +C 31.C 91.C 12 +C 12 C 92 2 C 18 C 12 1- P ( A ) S A H M B D' N D Bài Từ S kẻ SH vng góc với (ABCD) (SAB)(ABCD) nên H thuộc AB Mặt khác tam giác SAB có ba cạnh AB=2 a ; SA=a ; SB=a √ nên tam giác SAB vuông S , SH đường cao C 1 1 a = + = + = ⟹ SH= √ 2 S H S A S B a 3a 3a 1 S BMDN =S ABCD −S ADM −S DCN =4 a2− a a− a.2 a=2 a2 2 1 a √3 a √3 V S BMDN = SH S BMDN = 2a = 3 2 Gọi D’ điểm thuộc đoạn AD cho AD ’= AD MD’//DN ^ Góc hợp SM DN góc SMD ’=α Hai tam giác MAD’ SAD’ vng A có hai cạnh góc vng 2,0 điểm 1,0 điểm a v àa √ S D' =M D' = √ A M + A D'2 = a2+ a2 a √ = Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMD’ ta SD’ 2=S M 2+ M D' 2−2 SM M D' cos α a2 a2 a √5 =a + −2 a cos α ⟹cos α = 4 √5 Ta có mp(SMD’) // DN nên khoảng cách hai đường DN SM khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SMD’) 1 a √3 a2 a √ V SD D M = SH S D D M = SH ( S ADM −S'ADM )= a 2− = 3 1 a √5 a SSM D = SM M D' sin α = a = 2 √5 V SD D M a3 √ 3 a √ = 2= Vậy d ( SM , DN ) = S SM D a ' ( ' ' ) 1,0 điểm ' ' B HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa + Điểm câu chia nhỏ đến 0,25 khơng làm tròn